3.4 Anwendung bedingter Wahrscheinlichkeiten

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1 3.4 Anwendung bedingter Wahrscheinlichkeiten Bsp. 23 Betrachtet werden mehrere Kanonen. Für i N bezeichne A i das Ereignis, daß Kanone i einen Schuß abgibt. A sei das Ereignis, daß ein Treffer erzielt wird. Nun kann die Wahrscheinlichkeit P(A/A i ) ermittelt werden, also die Wahrscheinlichkeit, daß Kanone i einen Treffer erzielt. modifiziert als ÜA. 115 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Bsp. 24 Aufbau eines Expertensystems Vgl. ÜA. Aufbau der Wissensbasis: K i P 0 (K i ) Symptom Nr. 1 P(S 1 /K i ) P(S 1 /K i ) Symptom Nr. 2 P(S 2 /K i ) P(S 2 /K i ) Symptom Nr. 3 P(S 3 /K i ) P(S 3 /K i ) K i bestimmte Ereignisse (z.b. Krankheiten) P 0 (K i ) a priori Wahrscheinlichkeit für K i P(S/K) Wkt für Symptom S, falls K vorliegt P(S/K) Wkt für Symptom S, falls K nicht vorliegt 116 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Inferenzmaschine P(K S) = P(K S) = P(S K) P(K) P(S) P(S K) P(K) P(S) P(S) = P(S K) P(K) + P(S K) P(K) P(S) = 1 P(S) Arbeitsweise: Krankheiten K 1,...,K K Symptome S 1,...,S S 117 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 I 0 = {1,...,K}; l = 0; P 0 = P ; J = {1,...,S} (i,j) I l xj: P l (S j ) := P(S j K i ) P l (K i ) + P(S j K i ) P l (K i ) P l (K i S j ) = P(S j K i ) P l (K i ) P(S j ) P l (K i S j ) = P l(s j K i ) P l (K i ) P l (S j ) a: (l = 0: ärztliches Wissen) r(j) := i I l P l (K i S j ) P(K i S j ) j J; 118 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 j l := argmax j J r(j) das Symptom mit dem größten r(j). b: Frage an den Patienten nach Symptom S jl. P(K i ) wird aktualisiert (Abbildung). Dann wieder (i,j) I l xj: P l+1 (S j ) := P(S j K i ) P l+1 (K i ) + P(S j K i ) P l+1 (K i ) P l+1 (K i S j ) := P(S j K i ) P l+1 (K i ) P(S j ) P l+1 (K i S j ) := P(S j K i ) P l+1 (K i ) P(S j ) 119 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 c: m i := max j J P l+1(k i S j ) P l+1 (K i S j ), i I l I l+1 = I l \ {i I l : m i < c} J l+1 = J l \ {j l }; l := l + 1; /* Abbruchbedingung, z.b. I l = I l+1,s jl = S jl+1,i l+1 = {i} oder J l+1 = */ goto a; end. 120 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 Bsp. 25 Langzeitverhalten eines Ein Prozessorsystems mit einer I/O Einheit Wir betrachten ein Ein Prozessorsystem, das auf folgende Weise arbeiten soll: Wenn ein Programm beendet wird, so wird mit Wahrscheinlichkeit p (0 < p < 1) die I/O Einheit aktiviert, und mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p erfolgt ein erneuter Programmstart. Nach Beendigung eines I/O Vorgangs wird immer ein neues Programm gestartet. Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das System im n ten Zyklus im Programmzustand? Wir legen fest (n = 1, 2, 3,...): 121 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 A n - Ereignis, daß im n ten Zyklus ein Programm startet A n - Ereignis, daß im n ten Zyklus die I/O Einheit aktiviert wird gesucht: P(A n ). Langzeitverhalten ( lim n P(A n )). 122 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 P(A 1 ) = 1, denn es wird beim Einschalten des Systems immer mit einem Programm begonnen. Aus der anfangs angegebenen Beschreibung der Arbeitsweise des Systems folgt: P(A n+1 /A n ) = q = 1 p P(A n+1 /A n ) = p P(A n+1 /A n ) = 0 P(A n+1 /A n ) = 1 Wir bezeichnen q n := P(A n ). Wir ermitteln die ersten drei 123 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Werte: q 1 = P(A 1 ) = 1 q 2 = P(A 2 ) = P(A 2 /A 1 ) P(A 1 ) + P(A 2 /A 1 ) P(A 1 ) }{{} =0 = q = 1 p q 3 = P(A 3 ) = P(A 3 /A 2 ) P(A 2 ) + P(A 3 /A 2 ) P(A 2 ) = q q + 1 (1 q) = (1 p) 2 + p = 1 p + p 2 (totale Wkt.) 124 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 Vermutung: n 1 q n = P(A n ) = ( p) i. Beweis: (vollständige Induktion): IA: Es sei n = 1: q 1 = 1. IS: Wir nehmen an, daß die Formel für n gilt. Wir zeigen die i=0 125 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 Gültigkeit für n + 1: q n+1 = P(A n+1 ) = P(A n+1 /A n ) P(A n ) + P(A n+1 /A n ) P(A n ) = q q n + 1 (1 q n ) = 1 + (q 1) q n = 1 p q n n 1 = 1 p ( p) i = 1 + i=0 n ( p) i = i=1 (nach IV) n ( p) i i=0 126 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Untersuchen wir noch das Langzeitverhalten: lim P(A n) = n = = lim q n n ( p) i i=0 1 1 ( p) = p, geometrische Reihe mit p < 1. Frage: Sind die Ereignisse A n+1 und A n unabhängig? Nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit 127 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 (vgl. Definition 9) gilt: P(A n+1 A n ) = P(A n+1 /A n ) P(A n ) = q q n Wären die beiden Ereignisse unabhängig, so müßte gelten (vgl. Definition 10): P(A n+1 /A n ) = P(A n+1 ) q = q n+1 Aber, für n 2 gilt q q n+1. Also sind die Ereignisse A n und A n+1 nicht unabhängig. Der gesamte Ablauf läßt sich eindeutig in Matrixform darstellen: 128 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Weitere Anwendungen I/O A I/O 0 1 A p 1 p Bsp. 26 (Zuverlässigkeitstheorie) Wir betrachten ein Reihen-System mit 2 Bauteilen, die unabhängig voneinander ausfallen, p i : Ausfallwkt. für Bauteil i Fall: System fällt (innerhalb eines best. Zeitraumes) aus. Wie groß ist Wkt., dass genau das erste Bauteil ausgefallen ist? 129 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 A i : Ereignis, dass Bauteil i ausfällt. geg.: P(A i ) = p i,i = 1, 2 ges.: P(A 1 A 2 A 1 A 2 )? P(A 1 A 2 A 1 A 2 ) = P((A 1 A 2 ) (A 1 A 2 )) P(A 1 A 2 ) = P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 ) Distr.gesetz = = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) p 1 (1 p 2 ) p 1 + p 2 p 1 p 2 UA, Subtraktivität 130 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Analog P(A 2 A 1 A 1 A 2 ) = p 2(1 p 1 ) p 1 + p 2 p 1 p 2 Wkt. für Ausfall beider Bauteile: ÜA 131 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Bsp. 27 (Münzwurf-Spiel) A und B spielen: Münze wird abwechselnd geworfen. Es gewinnt, wer zuerst Blatt hat. B: Ereignis, dass bei einem Wurf Blatt kommt Z: Ereignis, dass bei einem Wurf Zahl kommt E: Ereignis, dass A gewinnt F: Ereignis, dass B gewinnt 132 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 G: Spiel endet nicht. P(E) = P(B) + P(ZZB) + P(ZZZZB) + = = i = 1 2 i= = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 P(F) = P(ZB) + P(ZZZB) + P(ZZZZZB) + = = = 1 i 3 i=0 oder (unter Anwendung der bedingten Wktn.) P(F) = P(F B) P(B) + P(F Z) P(Z) = P(E) 1 2. wird 1. Spieler 2 P(E) = P(E B) P(B) + P(E Z) P(Z) = P(F) 1 2 lineares Gleichungssystem lösen obiges Ergebnis. 134 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Bsp. 28 (Ruin des Spielers) Irrfahrt auf der Geraden mit 2 absorbierenden Zuständen, a und a + b a: Startkapital Spieler A b: Startkapital Spieler B E k : Ereignis, dass der Spieler, der k Euro besitzt, ruiniert wird. p k = P(E k ) A 1 : Ereignis, im nächsten Schritt ein Euro zu verlieren. A +1 : Ereignis, im nächsten Schritt ein Euro zu gewinnen. 135 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 p k = P(E k A 1 ) P(A 1 ) + P(E k A +1 ) P(A +1 ) totale Wkt. = 1 2 (p k 1 + p k+1 ) Daraus folgt: 2p k p k+1 p k = p k+1 + p k 1 = p k p k 1 =: d 136 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 Offenbar: p 0 = 1, p a+b = 0 p k = p k p }{{ k 1 } =d = kd + 1 +p k p 1 p }{{} 0 +p 0 =d p a+b = (a + b)d + 1 = 0 d = 1 a + b p k = 1 k a + b p a = 1 a p b = a a + b a + b = b a + b 137 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 4 Klassische Wahrscheinlichkeitsräume 4.1 Binomiale Wahrscheinlichkeiten Wir betrachten Versuche mit zwei möglichen Ausgängen: A (gut) und A (schlecht). Ω = {A, A} = { gut, schlecht } E = {,A,A, Ω} P(A) = p P(A) = q = 1 p 138 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

25 Beispiele: Münzwurf: p = 1 2 Würfeln: p = 1 6 Qualitätskontrolle: p 100% die Ausschußquote. 2 malige Durchführung (unabhängig voneinander): Elementarereignisse: (A,A), (A,A), (A,A), (A,A). 139 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

26 mit den Wahrscheinlichkeiten P((A,A)) = p 2 P((A,A)) = p (1 p) P((A,A)) = p (1 p) P((A,A)) = (1 p) 2 B k : Ereignis, daß A k mal auftritt, wobei k = 0, 1, 2. P(B 0 ) = (1 p) 2 P(B 1 ) = 2 (p (1 p)) P(B 2 ) = p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

27 Man kann leicht überprüfen, daß allgemein gilt: ( ) 2 P(B k ) = p k (1 p) 2 k. k zweifaches BERNOULLI Schema. n malige Durchführung: Analog zum vorigen Experiment sei jetzt B k das Ereignis, daß A genau k mal auftritt. Jetzt k = 0,...,n. analog zu oben: P(B k ) = ( n k) p k (1 p) n k. Formel für das n fache BERNOULLI Schema. Bezeichnung: B(p,n) oder auch Bi(p,n) 141 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

28 Die Wahrscheinlichkeiten P(B k ) bezeichnen wir auch als Binomialwahrscheinlichkeiten. Offenbar: n i=0 P(B i ) = n i=0 ( ) n p i (1 p) n i i = (p + 1 p) n = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

29 Bsp. 29 Wir betrachten das Experiment, bei dem fünfmal ein Münze geworfen wird. A bezeichne das Ereignis, daß bei einem Wurf Zahl fällt, P(A) = p = 1 2 B 3 : Ereignis, daß A dreimal auftritt: ( 5 P(B 3 ) = 3 ( 5 = 3 = ) (1 2 ) (1 ) 5 2 ) 3 ( ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

30 4.2 Multinomiale Wahrscheinlichkeiten Wir betrachten ein zufälliges Experiment mit den Ausgängen A 1,A 2,...,A l. Wir setzen p i = P(A i ), l i=1 p i = 1. Ein Beispiel ist das folgende Experiment: Es sei ein Behälter mit k Kugeln in l verschiedenen Farben gegeben, wobei k i Kugeln die Farbe i (i = 1,...,l) besitzen, l k i = k. i=1 144 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

31 Es soll die Wahrscheinlichkeit untersucht werden, mit der eine Kugel einer bestimmten Farbe aus dem Behälter entnommen wird: P(Kugel der Farbe i) = p i = k i k. Das Experiment soll nun n mal wiederholt werden. B n1,n 2,...,n l : das Ereignis, daß die Ereignisse A 1 n 1 mal, A 2 n 2 mal,..., und A l n l mal eintreten. n! P(B n1,n 2,...,n l ) = n 1! n 2!... n l! pn 1 1 p n p n l Derartige Wahrscheinlichkeiten bezeichnen wir auch als multinomiale Wahrscheinlichkeiten (polynomiale Wktn.) l. 145 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

32 Vergleichen Sie: (a a l ) n = n! n 1! n l! an 1 1 a n l l wobei die Summe über alle Tupel (n 1,...,n l ) gebildet wird mit l i=1 n i = n. 146 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

33 Bsp. 30 Bei einem Fragebogen wird (u.a.) nach dem Alter der befragten Personen gefragt. Das Alter ist in Klassen eingeteilt, 10-20, 21-40, 41-60, über 60 Jahre. Der Bevölkerungsanteil beträgt jeweils p i für die i-te Altersklasse, i = 1,...,4, i p i = 1. Es werden n=1000 Personen von einem Interviewer befragt. Wie groß ist die Wkt., daß höchsten 10% der befragten bis zu 20 Jahre, und außerdem bis zu 10% der Befragten älter als 60 Jahre alt waren? Sei X i = (X i1,x i2,x i3,x i4 ), wobei X ij = 1 falls Person i zur j-ten Altersklasse gehört, und X ij = 0 sonst. 147 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

34 Dann ist n X = i=1 X i =: (Y 1,...,Y 4 ) Mult(n,p 1,p 2,p 3,p 4 ) und (sei a := 100) P(Y 1,Y 4 a) = P(Y 1 a,y 2 + Y 3 = n Y 1 Y 4,Y 4 a) a a = P(Y 1 = i,y 2 + Y 3 = n i j,y 4 = j) = i=1 a i=1 j=1 a j=1 n! i!j!(n i j)! pi 1p j 4(p 2 + p 3 ) n i j 148 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

35 4.3 POISSON Wahrscheinlichkeiten Beispiele, bei denen POISSON Wahrscheinlichkeiten auftreten, sind die Anzahl von Verkehrsunfällen in einem Ort in einem bestimmten Zeitintervall, die Ankünfte von Kunden an einem Schalter oder der radioaktive Zerfall von α Teilchen. In einer Telefonzentrale wird ermittelt, wieviel Anrufe in einer bestimmten Zeiteinheit ankommen. 149 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

36 Elementarereignisse sind hier also zufällige Anzahlen. Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n,...} = { 0, 1,..., n,...}. Das Ereignis ω i ist z.b. das Ereignis, daß in einer Zeiteinheit genau i Anrufe eintreffen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Elementarereignisses ist gegeben durch: P(ω i ) = λi i! e λ. λ ist dabei ein noch unbestimmter Parameter. Er kann als mittlere Rate aufgefaßt werden. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir als POISSON Wahrscheinlichkeit. Für die 150 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

37 Wahrscheinlichkeit von Ω gilt dann: P(Ω) = P(ω i ) = i=0 = e λ i=0 λ i i! }{{} =e λ = 1 i=0 λ i i! e λ Wir werden später sehen, daß diese Verteilung natürlich ist. 151 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin