R. Brinkmann Seite

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1 R. Brinmann Seite 9.. Bernoulli Versuche und die Binomialverteilung Viele Zufallsexperimente önnen als xperimente mit zwei rgebnissen interpretiert werden, wie z.b. ünzwurf mit den rgebnissen Wappen und Zahl. Wurf einer Heftzwece mit den rgebnissen Rücen oder Spitze. Werfen eines Würfels mit den rgebnissen oder eine. Solche xperimente heißen Bernoulli xperimente. Die beiden rgebnisse eines solchen xperiments bezeichnet man als rfolg oder als isserfolg. Führt man einen solchen Versuch n mal durch, so spricht man von einem n stufigen Bernoulli Versuch oder einer Bernoulliette der Länge n. Bei n stufigen Bernoulli Versuchen wird verlangt, dass das rgebnis eines inzelversuchs nicht durch die anderen Versuche beeinflusst wird. an interessiert sich bei einem solchen n stufigen Versuch für die Anzahl der rfolge oder der isserfolge. inführungsbeispiel in Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlicheit, mit der die Zahl bei diesem Versuch,, oder mal auftritt. bedeutet rfolg oder Treffer, bedeutet isserfolg oder ein Treffer. / / / / / / / / / / / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Treffer Wahrschein zahl licheit,79,47,9 Anzahl der Pfade,4,,,4,,, Wahrscheinlicheit,79,47,9,4 Trefferzahl Hier handelt es sich um einen dreistufigen Bernoulli Versuch. Aus dem Baumdiagramm lassen sich mittels der Pfadregeln leicht die Wahrscheinlicheiten berechnen. S = { ;;;;;;;} Die rgebnismenge enthält 8 lemente (Anzahl der Pfade), die jeweils aus einer Anordnung von Folgeereignissen besteht. Bei rhöhung der Stufenzahl, wird die Bearbeitung der Aufgabe mit dem Baumdiagramm aum mehr möglich. rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite von 9

2 R. Brinmann Seite 9.. Anzahl der Pfade mit rfolgen bei einem n stufigen Bernoulli Versuch: Bei einem n stufigen Bernoulli Versuch besteht jedes lement der rgebnismenge aus n Folgeereignissen.z.B.... Die Anzahl der Pfade mit rfolgen zu finden ist gleichbedeutend damit, aus der rgebnismenge die Anzahl der lemente zu finden, die mal unabhängig von der Reihenfolge einen rfolg aufweisen. an ann das auch so formulieren: Auf wie viele Arten ann man Objete aus n Objeten unabhängig von der Reihenfolge auswählen? Das erinnert an dass Lotto Problem, bei dem aus n = 49 Objeten = Objete unabhängig von der Anordnung ausgewählt werden. Die Anzahl der öglicheiten war in diesem Fall: = = Diese Rechenvorschrift lässt sich auch auf den Bernoulli Versuch übertragen, wenn wir die Anzahl der Pfade mit rfolgen suchen. Für unser Beispiel galt: n = ; = ;;; = Anz. rfolge Anz. der Pfade = = = = = = = Die Anzahl der Pfade mit rfolgen bei einem n- stufigen Bernoulli- Versuch ist: wobei n die Anzahl der Versuche und die Anzahl der rfolge ist Beispiel: in Würfel wird n = mal geworfen. Als rfolg werten wir die Augenzahl. Wie viel Pfade mit = rfolgen gibt es im rgebnisbaum? 4 Die Anzahl der Pfade mit = rfolgen ist: = = s gibt bei diesem Versuch also insgesamt Pfade, die jeweils rfolge beinhalten. Wahrscheinlicheit für einen Pfad mit rfolgen bei einem n stufigen Bernoulli Versuch: An einem onreten Beispiel soll die Rechenvorschrift zur Berechnung der Wahrscheinlicheit eines Pfades gezeigt werden. Diese Vorschrift ist dann zu verallgemeinern. rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite von 9

3 R. Brinmann Seite 9.. Die Wahrscheinlicheit dieses Pfades lässt sich mit der Pfadmultipliationsregel bestimmen: P ( ) = = Die Anzahl der Stufen für dieses Zufallsexperiment ist n =. Die Anzahl der rfolge ist =. Die Anzahl der isserfolge ist n = =. Diese Zahlen treten als xponenten der Wahrscheinlicheiten für einen rfolg (p = /) bzw. für einen isserfolg (q = /) auf. s gilt q = p = / = /. Damit lässt sich die Wahrscheinlicheit für n = und = wie folgt berechnen: P( ) = = p ( p) Verallgemeinerung: Da es sich bei einem n stufigen Bernoulli Versuch um einen Versuch handelt, bei dem in jeder Stufe die rfolgswahrscheinlicheit P() = p gleich bleibt, gilt nach der Pfadmultipliationsregel für jeden Pfad mit rfolgen und n isserfolgen: ( ) n Pfadwahrscheinlicheit = p p wobei p die Wahrscheinlicheit für einen isserfolg darstellt. Wahrscheinlicheit für rfolge bei einem n stufigen Bernoulli Versuch: P( X ) p ( p) n = = Anzahl der Pfade mit rfolgen Wahrscheinlicheit für einen Pfad mit rfolgen und n isserfolgen Bemerung zum Binomialoeffizienten mit q = ( p) n Das ist der Binomische Lehrsatz. ( ) n n n n n n q + p = p q + p q + p q p q p q Für das inführungsbeispiel mit n = gilt: P( X = ) =,79 = = 7 P( X = ) =,47 = = P( X = ) =,9 = = P( X = ) =,4 = = rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite von 9

4 R. Brinmann Seite Binomialverteilung: Bei einem n stufigen Bernoulli Versuch mit der rfolgswahrscheinlicheit p und der isserfolgswahrscheinlicheit p, gilt für die Wahrscheinlicheit von rfolgen: P( X = ) = p ( ) n p Diese Wahrscheinlicheitsverteilung heißt Binomialver teilung. Übung: ine Familie hat Kinder. Die Wahrscheinlicheit ein ädchen zu gebären betrage p =,. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, das unter den Kindern,,,, 4,, ädchen sind und zeichnen Sie das Histogramm der Wahrscheinlicheitsverteilung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit folgender reignisse: A: Genau die Hälfte der Kinder sind ädchen. B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind ädchen. C: indestens die Hälfte der Kinder sind ädchen. Lösung: Das Problem ann als stufiger Bernoulli Versuch betrachtet werden mit n = und p =,. Gesucht ist P(X = ) für =,,,, 4,, n P( X = ) = p ( p) P( X = ) =, = = = = 4 4 P( X = ) =,97 = = = = P( X = ) = = = = =, P( X = ) =, = = = 4 4 P( X = 4) =,47 4 = = = = 4 4 P( X = ) = = = = =, P( X = ) =, = = = = 4 4 rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite 4 von 9

5 R. Brinmann Seite 9.. Histogramm der Wahrscheinlicheitsverteilung P ( ) ( ) ( ) P A = P X = =, ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass unter den Kindern genau drei ädchen sind. ( ) = ( ) = ( = ) + ( = ) + ( = ) + ( = ) P B P X P X P X P X P X 4 = = = =, ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass unter den Kindern höchstens drei ädchen sind. ( ) = ( ) = ( = ) + ( = ) + ( = ) + ( = ) P C P X P X P X 4 P X P X 4 = = = =, ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass unter den Kindern mindestens drei ädchen sind. Übung: ine ünze wird mal geworfen und p sei,. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der Wappen. b) it welcher Wahrscheinlicheit wirft man () Höchstens mal Wappen () Weniger als mal Wappen () mindestens mal Wappen (4) mehr als einmal Wappen? rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite von 9

6 R. Brinmann Seite 9.. Lösung: Das Problem ann als stufiger Bernoulli Versuch betrachtet werden mit n = und p =,. a) Gesucht ist P(X = ) für =,,,, 4, P X = ( ) = = = 4 = = = = 4 = = = = 4 = = = = = 4 = = = 4 = 4 = = = b) () Höchstens mal Wappen bedeutet: P( X ) = = =,8 () Weniger als mal Wappen bedeutet: P( X < ) = + + = =, () indestens mal Wappen bedeutet: P( X ) = = =,987 (4) ehr als mal Wappen bedeutet: P( X > ) = = =,8 Kumulierte Binomialverteilung Beispiel: ine ünze wird mal geworfen. Zu bestimmen sind die Wahrscheinlicheiten für die reignisse: a) Genau mal Wappen. b) Höchstens mal Wappen. c) indestens 7 mal Wappen. d) indestens mal und höchstens mal Wappen. Die Daten der Wahrscheinlicheitsverteilung sind in folgender Tabelle zusammengestellt. Dabei sind die Werte auf Stellen nach dem Komma gerundet. rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite von 9

7 R. Brinmann Seite P( X = ),.,,7,74,,, P X,,,74,7,,, ( = ) Bemerung: Für die Fälle =,, und 8, 9, ist die Wahrscheinlicheit natürlich nicht Null. Die Null entsteht dadurch, dass auf drei Stellen nach den Komma gerundet wurde. Das Histogramm einer solchen Binomialverteilung sieht wie folgt aus:. P ( ) a) Die Wahrscheinlicheit P(X = ) ann aus der Tabelle, bzw. aus dem Histogramm abgelesen werden. Die Wahrscheinlicheit für das reignis mal Wappen beträgt: P( X = ),7 b) Die Wahrscheinlicheit für das reignis : Höchstens mal Wappen, ann nicht unmittelbar abgelesen werden. Dazu müssen die Tabellenwerte der Wahrscheinlicheiten aufaddiert werden. P(X = ) + P(X = ) P(X = ) Hat man jedoch eine Tabelle in der die Wahrscheinlicheiten bereits aufaddiert wurden, also eine umulierte Tabelle, dann ann man die Wahrscheinlicheit für daraus sofort ablesen P( X = ) P( X ),,.,,,,7,8,74,,,,,4,7, P X,,,74,7,,, P X,748,88,94,979,994,999 ( = ) ( ) Bemerung: Für < ist die umulierte Wahrscheinlicheit natürlich nicht Null. benso sind die Werte für < auch nicht. Sie unterscheiden sich aber aum noch von diesen Werten, so dass man in den meisten Fällen für pratische Berechnungen die gerundeten Tabellenwerte verwenden ann. rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite 7 von 9

8 R. Brinmann Seite Histogramm der umulierten Binomialverteilung KP( ) P ( ) Höchstens mal bedeutet P( X ),994 c) indestens 7 mal bedeutet: P X 7 = P X P X,8 =,94 ( ) ( ) ( ) d) indestens mal und höchstens mal bedeutet: P,7,... = P X P X,999,=,978 ( ) ( ) ( ) Das Beispiel zeigt, welchen Vorteil umulierte Tabellen haben, wenn es darum geht, die Wahrscheinlicheit für einen Bereich der Zufallsvariablen X zu berechnen. Diese Bereiche sind auf dem Zahlenstrahl auch als Intervalle darstellbar. rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite 8 von 9

9 R. Brinmann Seite Wir unterscheiden folgende Fälle: P( X ) p ( p) n = = n a n P( X ) = p ( p) = a n n n P( X ) = p ( p) = a a n b n Pa ( X b) = p ( p) = a a b n Übung: in ultiple Choice Test besteht aus Aufgaben mit jeweils Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist. it welcher Wahrscheinlicheit ann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten? a) ehr als Aufgaben b) indestens und höchstens Aufgaben c) Weniger als Aufgaben d) Genau Aufgaben Die Trefferwahrscheinlicheit pro Aufgabe ist / =,. Da diese Wahrscheinlicheit bei jeder der Aufgaben besteht, ann der Vorgang als stufiger Bernoulli Versuch betrachtet werden. Der Auszug aus der umulierten Binomialverteilung mit n = und p =, soll als Hilfestellung genutzt werden. 9 4 P( X ),444,84,7,99,99 9 P X,98,999 ( ) Lösung: a) P( X ) = P( X = ) P( X ) = = Die Wahrscheinlicheit durch bloßes Raten mehr als Aufgaben richtig zu beantworten ist leiner als, (,%). P = P X P X 9 =,444 =, b) ( ) ( ) ( ) Die Wahrscheinlicheit durch bloßes Raten mindestens und höchstens Aufgaben richtig zu beantworten ist, (,%). P X 9 =,444 diret aus der Tabelle ablesbar. c) ( ) Die Wahrscheinlicheit durch bloßes Raten weniger als Aufgaben richtig zu beantworten ist,444 (44,4%). P X = = P X P X 4 =,99,99 =, d) ( ) ( ) ( ) Die Wahrscheinlicheit durch bloßes Raten genau Aufgaben richtig zu beantworten ist, (%). rstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_ 4.9. : Seite 9 von 9