Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge. Nina Elisabeth Isele

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1 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge Nina Elisabeth Isele

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge Die Zahlen von Bell und Stirling Bellsche Zahlen Stirling-Zahlen Partitionszahlen und Ramanujan-Zahlen Partitionszahlen Ramanujan-Zahlen Catalansche Zahlen und das Pascal Dreiec Faulhabers Formel und die Bernoullischen Zahlen Faulhabers Formel Bernoullische Zahlen Fibonacci-Zahlen und Lucassche Zahlen Fibonacci-Zahlen Lucassche Zahlen Beziehung zwischen Fibonacci- und Lucasschen Zahlen 15 1

3 Kapitel 1 Einleitung In dieser Arbeit habe ich mich, wie der Titel schon vermuten lässt, mit berühmten Familien von Zahlen und ihren Zusamenhängen untereinander beschäftigt. Dabei habe ich vor allem die Bücher Zahlenzauber: von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen von John Horton Conway und Richard K. Guy [1], Elemente der disreten Mathemati von Voler Dieert, Manfred Kufleitner und Gerhard Rosenberger [2] und Combinatorics and graph theory von John M. Harris, Jeffry L. Hirst und Michael J. Mossinghoff [3] und einige mathematische Zeitschriftenartiel zu Rate gezogen. Ich habe mich dabei auf folgende Familien von Zahlen onzentriert: Bellsche Zahlen, Stirling-Zahlen, Partitionszahlen, Ramanujan-Zahlen, Catalansche Zahlen, Bernoullische Zahlen, Fibonacci Zahlen und Lucassche Zahlen. 2

4 Kapitel 2 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge 2.1 Die Zahlen von Bell und Stirling Mathematische Wissenschaftler und Wissenschaftler im Allgemeinen benennen gerne ihr Errungenschaften nach ihren Namen, da machen auch die Mathematier, die die Familien von Zahlen, die ich hier vorstellen werde, eine Ausnahme. Einige davon gehören dabei schon zum Allgemeinwissen dazu, wie Fibonacci (Spitzname von Leonardo da Pisa), andere hingegen ennt man eher in mathematischen Kreisen, so wie die ersten zwei Familien, die ich näher betrachtet habe, nämlich die von Eric Temple Bell und James Stirling Bellsche Zahlen Eric Temple Bell hat das Problem behandelt, wieviele Möglicheiten es gibt, n deutlich unterscheidbare Objete in Gruppen anzuordnen, oder in einer etwas höheren mathematischen Sprache: die Anzahl aller Partitionen einer n-elementigen Menge. Eine Partition einer Menge A ist eine Menge P = {P 1,..., P } mit 1 i P i = A mit P i für alle 1 i und P i P j = für alle 1 i < j. Die Antwort auf diese Frage liefern die Bellschen Zahlen. Wenn man zum Beispiel 4 Gepäcstüce gruppieren möchte, gibt es genau 15 Mögliceiten dafür (Abbildung 2.1). Die vierte Bellsche Zahl b 4 ist somit gleich 15. 3

5 Abbildung 2.1: alle Gruppierungen von vier Gepäcstücen (Conway/Guy [1], Ausschnitt) Die Abbildung 2.1 veranschaulicht diese 15 Möglicheiten vier (unterschiedliche) Gepäcstüce zu gruppieren. Die Ziffern diret unter den Gruppierungen: 1, 7, 6, 1 geben dabei die Anzahl der Gruppierungen der vier Gepäcstüce in jeweils einer, zwei, drei bzw. vier Gruppen an. Diese Zahlen sind die sogenannten Stirling-Zahlen zweiter Art Stirling-Zahlen Stirling-Zahlen 2. Art Die Stirling-Zahlen zweiter Art geben die Anzahl der Gruppierungen von n verschiedenen Objeten in genau Gruppen an und haben folgende Schreibweise: { n} für 1 n. Der Zusammenhang zwischen den ersten Bellschen Zahlen und den Stirling Zahlen 2. Art wird in der folgenden Tabelle veranschaulicht: 4

6 n Stirlingsche Zahlen 2. Art { n } Bellsche Zahlen Darin wird deutlich, dass man die Bellschen Zahlen aus der Summe der jeweiligen Stirling-Zahlen erhält: b n = { n} { 1 + n } { n } n b n ist somit die Gesamtzahl der Möglicheiten, n Objete in Gruppen anzuordnen. Nachdem es Stirling-Zahlen der 2. Art gibt, muss es wohl auch Stirling- Zahlen der 1. Art geben. Stirling-Zahlen 1. Art Diese werden wie folgt geschrieben: [ n ], mit 1 n. Sie geben die Anzahl der Permutationen über M = {1,..., n}, die sich in Zyel anordnen lassen, während die Stirling-Zahlen der 2. Art die Anzahl der Partitionen von M in Klassen beschreiben. Schauen wir uns ein Beispiel (von Donald Knuth [4]) für eine Stirling- Zahl 1. Art an. [ 4 2] = 11, da es 11 verschiedene Wege gibt 4 Elemente in 2 Zylen anzuordnen: (123)(4) (124)(3) (134)(2) (234)(1) (132)(4) (142)(3) (143)(2) (243)(1) (12)(34) (13)(24) (14)(23). Für die Stirling-Zahlen 1. Art gilt: [ n ] [ 1 + n ] [ n ] n = n! b n Es herrscht der gleiche Zusammenhang zwischen Stirling-Zahlen 1. Art und der Faultät wie zwischen den Stirling-Zahlen 2. Art und den Bellschen Zahlen: 5

7 n Stirlingsche Zahlen 1. Art [ n ] Faultät n! Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wählen wir n = 3, dh. wir betrachten die Stirling-Zahlen 1. Art von 3 Elementen. [ 3 ] [ 1 = 2, 3 ] [ 2 = 3, 3 ] 3 = 1 Diese Zahlen ommen zustande, wenn man die 6 Permutationen dreier Elementen (123) in 1 Zyel, 2 Zyel bzw. 3 Zyel darstellt: 1 Zyel 2 Zyel 3 Zyel (123) (132) (12)(3) (13)(2) (23)(1) (1)(2)(3) Man ann die 3 Elemente also genau auf zwei Arten in einem Zyel, auf drei in zwei Zyel und auf eine in drei Zyel darstellen. Kommen wir nun zu ein paar Eigenschaften der Stirling-Zahlen. Eigenschaften der Stirling-Zahlen Die Stirling-Zahlen stehen nicht nur mit den Bellschen Zahlen und der Faultät in Verbindung, sondern sie haben auch einen ähnlichen Aufbau wie die Binomialoeffizienten: ( n+1 ) ( = n ) + ( n ) 1 (1) [ n+1 ] = n [ n] + [ n ] 1 (2) { } n+1 = { n} { } + n 1 (3) Zwischen den zwei Arten von Stirling-Zahlen herrscht ebenfalls eine Verbindung, die Donald Knuth in seinem Artiel Two notes on notation [4] als law of duality bezeichnet hat: { n } = [ n], wobei wir dafür die Stirling-Zahlen auf die ganzen Zahlen erweitern und sie für bestimmte Werte von n und festlegen müssten. (Siehe dazu Donald Knuths The art of computer programming [5], Seite 68.) Satz 2.1 Additionstheorem für Stirling-Zahlen 1. Art: [ n [ ] = n 1 ] [ 1 + (n 1) n 1 ] 6

8 Beweis: Wir zeigen das Additionstheorem für n 1 und N. Auf der linen Seite steht die Anzahl der Permutationen von {1,..., n} mit Zyel. Diese Permutationen lassen sich in zwei Typen aufteilen: Der erste Typ enthält (n) als Zyel und der zweite Typ nicht. Die Permutationen des ersten Typs entstehen, wenn man den Zyel (n) zu einer Permutation von {1,..., n 1} mit -1 Zyel hinzufügt. Dafür gibt es [ n 1 1] Möglicheiten. Damit haben wir den ersten Summanden erhalten. Nun müssen wir uns noch davon überzeugen, dass der zweite Summand (n 1) [ n 1] der Anzahl der Permutationen des zweiten Typs entspricht. Diese Permutationen erhält man, wenn man bei einer Permutation von {1,..., n 1} mit Zyel das Element n einfügt. Dafür gibt es genau [ n 1] Möglicheiten, wobei wir bei jeder das Element n diret hinter einem der n-1 übrigen Elemente in einen Zyel einfügen önnen. Und somit erhalten wir die gewünschte Gleichung. Satz 2.2 Additionstheorem für Stirling-Zahlen 2. Art: { n } { } { } = n n 1 Beweis: Wir beweisen das Additionstheorem zuerst für n 1 und N. Wir teilen die Menge der Partitionen wieder in zwei Typen ein. Der erste Typ enthält {n} als eine Klasse. Da jede solche Partition mit einer Partition von {1,..., n 1} in -1 Klassen identifiziert werden ann, ergibt sich der erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung { n 1 1 }. Der zweite Typ entsteht dadurch, dass wir bei einer Partition {P 1,..., P } von {1,..., n 1} das Element n zu einer der Klassen hinzufügen. Es gibt genau { n 1 } Partitionen von {1,..., n 1} und es gibt mögliche { } Klassen, zu denen wir n hinzufügen önnen. Damit gibt es genau n 1 Partitionen des zweiten Typs und da jede Partition entweder zum ersten oder zum zweiten Typ gehört, erhalten wir die gewünschte Gleichung für n 1 und N. Nun wollen wir aber die Stirling-Zahlen 2. Art auf alle, n Z erweitern, sodass das Additionstheorem allgemein gilt. Es gilt: { n } = { 0 für 0 n < n < 0 n } > 1 für n > > 1 Für n < 0 definieren wir { n 0 } = 0. Damit gilt dann: { } { { n 0 1 falls n = 0 = = 0 n} 0 sonst (2.1) Das erweitert } die Definition auf alle n Z und = 0. Sei jetzt < 0 und für alle n Z schon definiert. Wir setzen indutiv: { n +1 7

9 { n } { } { } = n+1 +1 ( + 1) n +1 für n Z und < 0. Das definiert die Erweiterung auf n Z und 0. Sei schließlich n < 0 und > 0. Wegen { n } ({ } { }) { } = 1 n+1 n 1 und { n 0 } = 0 n = 0 ist { n } = 0 falls n < 0 notwendig und hinreichend, um das Additionstheorem auf ganz Z Z fortzusetzen und somit gilt es allgemein. 2.2 Partitionszahlen und Ramanujan-Zahlen Partitionszahlen Eine Partition einer Menge A = A 1... A mit n Elementen in nichtleere disjunte Teilmengen bewirt eine Zerlegung von n in positive Summanden: n = A A Die Anzahl dieser Partitionen wird durch die Stirling-Zahlen 2. Art { n} beschrieben, jedoch önnen verschiedene Partitionen dieselbe Summenzerlegung erzeugen. Anders als bei den Stirling-Zahlen 2. Art ommt es bei den Partitionen nämlich nicht auf die Reihenfolge an. Zur Veranschaulichung nehmen wir noch einmal das Beispiel aus Abbildung 2.1 der Gruppierungen vierer verschiedener Gepäcstüce zur Hand. Da bei den Partitionen die Reihenfolge eine Rolle mehr spielt, werden die vier Gepäcstüce nicht mehr voneinander unterscheidbar. Dadurch gibt es nur mehr 5 Möglicheiten sie in 1, 2, 3 oder 4 Gruppen einzuteilen, diese sind die 5 Partitionen von 4. Diese 5 Partitionen stellen in Abbildung 2.2 die gelb umrandeten Felder dar. 8

10 Abbildung 2.2 (Conway/Guy [1], von mir modifiziert) Die gelben Flächen in Abbildung 2.2 stellen die Partitionszahl p n für n = 4 dar. Es gilt also p 4 = 5. Die Partitionen sind dabei die gelben Zahlenombinationen: 4, 3 1, 2 2, und Sie stellen die Anzahl der Objete (Gepäcstüce) in jeder Gruppe dar. Die erste Partition gibt zum Beispiel an, dass sich genau vier Objete in der einzelnen Gruppe befinden. Nun ann man sich auch der Frage widmen, wie viele Möglicheiten es gibt n identische Elemente in eine bestimmte Anzahl von Gruppen aufzuteilen. Diese Nummer werden wir mit p n, bezeichnen. Für p n gilt dann: p n = p n,1 + p n, p n,n für n 1 p n = p n, In unserem Beispiel (Abbildung 2.2) entspricht p 4, dann gleich: p 4 = p 4,1 + p 4,2 + p 4,3 + p 4,4 = = 5. Allgemein gelten für p n, folgende Eigenschaften: { 1 falls = 0 (i) p 0, = 0 falls 0 (ii) p n, = 0 für alle, wenn n < 0 (iii) p n, = 0 wenn 0 oder > n 9

11 (iv) p n,1 = p n,n = 1 für n 1 Um die Partitionszahlen p n zu berechnen gibt es eine exate Formel wie bei den Bellschen Zahlen. Der indische Mathematier Srinivasa Ramanujan hat allerdings folgende Näherungsformel vermutet: wobei a n b n bedeutet, dass lim p n 1 4n 3 eπ 2n 3, n a n bn = 1. Diese Formel wurde später in Zusammenarbeit mit G.H. Hardy von ihm bewiesen und von Hans Rademacher in eine exate, lange Formel abgeändert, die ich hier aber nicht erwähnen werde. (Zu finden ist sie zum Beispiel in dem Artiel Asymptotic formulae in combinatory analysis [6] von Hardy und Ramanujan.) Wenn man die Reihenfolge beim Abzählen von Partitionen berücsichtigen würde, wäre die Antwort viel einfacher, denn es gibt genau 2 n 1 geordnete Partitionen von n. Für die Partitionszahlen gibt es ebenfalls eine algebraische Formel: 1 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )... = 1 + p 1x + p 2 x 2 + p 3 x Ramanujan-Zahlen Die Ramanujan-Zahlen τ n lassen sich ähnlich definieren, wie die Partitionszahlen: x[(1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) ] 24 = τ 1 x + τ 2 x 2 + τ 3 x Catalansche Zahlen und das Pascal Dreiec Die Catalanschen Zahlen gehen auf den belgischen Mathematier Eugène Charles Catalan zurüc. C ist zum Beispiel die Antwort auf die Frage, wieviele Wege es gibt ein Produt von + 1 Matrizen zu berechnen. Behalten wir uns im Hinteropf, dass die Matrizenmultipliation assoziativ aber nicht ommutativ ist, so sehen wir, dass es nur einen Weg gibt, eine oder zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren. Bei dem Produt von drei Matrizen gibt es zwei Möglicheiten, nämlich (M 0 M 1 )M 2 und M 0 (M 1 M 2 ); bei dem Produt von vier Matrizen gibt es schon fünf: ((M 0 M 1 )M 2 )M 3, (M 0 (M 1 M 2 ))M 3, (M 0 M 1 )(M 2 )M 3 ), M 0 ((M 1 M 2 )M 3 ) und M 0 (M 1 (M 2 M 3 )). Für = 4, also für das Produt von fünf Matrizen, steigen die Catalanschen Zahlen schon rapide an, C 4 ist nämlich schon 14. Wie ann man nun die höheren C berechnen, ohne alle Rechnungswege ausprobieren zu müssen? Nehmen wir an, dass die letzte Multipliation zwischen dem i-ten und (i + 1)-ten Glied stattfindet: 10

12 (M 0 M 1 M i )(M i+1 M ). Dann gibt es C i Wege die Terme in der ersten Klammer zu gruppieren und C 1 i Wege für die Terme in der zweiten Klammer. Insgesamt gibt es nun C i C 1 i verschiedene Möglicheiten. Summen wir diese nun über i auf, so erhalten wir die Gesamtanzahl der Möglicheiten für + 1 Terme: 1 C = C i C 1 i 1. i=0 Schauen wir uns die ersten fünf Catalanschen Nummern an: C 1 = C 0 C 0 = 1, C 2 = C 0 C 1 + C 1 C 0 = 2, C 3 = C 0 C 2 + C 1 C 1 + C 2 C 0 = 5, C 4 = C 0 C 3 + C 1 C 2 + C 2 C 1 + C 3 C 0 = 14, C 5 = C 0 C 4 + C 1 C 3 + C 2 C 2 + C 3 C 1 + C 4 C 0 = 42. Nicht reursiv werden die Catalanschen Zahlen durch folgende Formel definiert: C = 1 ( ) 2. (2.2) + 1 In dieser Formel verstect sich eine interessante Verbindung zum Pascal schen Dreiec. Wenn wir uns den Binomialoeffizienten aus der Formel (2.2) ( 2) anschauen, sehen wir, dass er den mittleren Zahlen des Pascal schen Dreiecs (in Abb. 2.3 blau mariert) entspricht. Abbildung 2.3 mittlere Zahlen des Pascal schen Dreiecs [7] 11

13 Wenn wir bei Null beginnen, die Zeilen im Pascal schen Dreiec zu nummeriere, erhalten wir C 4 folgendermaßen: Aus = 4 folgt 2 = 8, das heißt wir nehmen den mittleren Binomialoeffizienten der 8. Reihe: 70. Dividieren wir diesen nun durch + 1, also durch 5, so erhalten wir 14, was der vierten Catalanschen Zahl C 4 entspricht. Man ann die Catalanschen Zahlen auch noch mithilfe drei anderer Wege aus dem Pascalschen Dreiec erhalten, welche ich hier aber nicht explizit erwähnen werde. (Zu finden sind diese zum Beispiel in The ubiquitous Catalan numbers von Thomas Koshy [8].) 2.4 Faulhabers Formel und die Bernoullischen Zahlen Faulhabers Formel Johann Faulhaber war zu seiner Zeit (Anfang 17. Jh.) als Der große Arithmetier von Ulm beannt. Er hat sich vor allem mit Summenformeln für höhere Potenzen beschäftigt und ist somit auf die nach ihm benannte Faulhaber Formel geommen: 1 [n + ( ) n 1 1 ( ) n 2 1 ( ) n n 1 = ( ) n ]. (2.3) Sie ist ähnlich aufgebaut wie die Formel des Binomischen Lehrsatzes, nur dass es ein onstantes Glied gibt und die anderen Glieder mit gewissen Konstanten multipliziert werden: 1, 1 2, 1 1 6, 0, 30, 0, , 0, 30, 0, 5 66, 0... Diese Konstanten hat Jaob Bernoulli in seinem Wer Ars Conjectandi (1713) gründlich disutiert, weshalb sie von da an als Bernoullische Zahlen beannt waren Bernoullische Zahlen Formal werden die Bernoullischen Zahlen von Conway/Guy, um an den Zusammenhang zum Binomischen Lehrsatz zu erinnern, wie folgt bezeichnet: B 0 = 1, B 1 = 1 2, B2 = 1 6, B3 = B 5 = B 7 =... = 0 B 4 = B 8 = 1 30, B6 = 1 42, B10 = 5 66,..., wobei die Bernoullischen Zahlen natürlich eine Potenzen sind, sondern nur so angeschrieben werden. Mit dieser Schreibweise ann man die Faulhaber- Formel wie folgt ausdrücen: 12

14 n 1 = (n+b) B Die Ausdrüce innerhalb der Anführungszeichen sind dabei als Summen von Gliedern zu schreiben, die jeweils eine Potenz von B sind, die mit einer Zahl multipliziert werden. Die Potenzen von B sind selbstverständlich wieder als Bernoullische Zahlen zu lesen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: Sei = 11 und x = n, dann erhalten wir den Ausdruc: (x+b) 11 B = 1 11 (x11 +11x 10 B 1 +55x 9 B x 8 B x 7 B x 6 B x 5 B x 4 B x 3 B x 2 B xB 10 + B 11 B 11 ) Wir sehen als erstes, dass sich B 11 B 11 aufheben. Die Terme mit den ungeraden Potenzen B 3, B 5, B 7 und B 9 fallen ebenfalls weg, da diese gleich Null sind. Uns bleibt also folgender Ausdruc über: 1 11 (x x 10 B x 9 B x 7 B x 5 B x 3 B xB 10 ) Für x = 1000 entspricht dieser Ausdruc der Zahl: (91 nonillion 409 octillion 924 septillion 241 sextillion 424 quintillion 243 quadrillion 424 trillion 241 billion 924 million 242 thousand 500). Doch wie findet man nun die Werte der Bernoullischen Zahlen? Es gelten folgende Gleichungen: B 2 2B = B 2, woraus B 1 = 1 2 folgt, B 3 3B 2 + 3B 1 1 = B 3, woraus B 2 = 1 6 folgt, B 4 4B 3 + 6B 2 4B = B 4, woraus B 3 = 0 folgt, B 5 5B B 3 10B 2 + 5B 1 1 = B 5, woraus B 4 = 1 30 folgt, und allgemein gilt: (B 1) = B für 1, woraus sich B 1 berechnen lässt, sofern B 1, B 2,..., B 2 bereits beannt sind. 2.5 Fibonacci-Zahlen und Lucassche Zahlen Fibonacci-Zahlen Die Fibonacci-Zahlen sind die Antwort auf das berühmte Kaninchenproblem von Leonardo da Pisa bzw. Leonardo Pisano Bigollo, besser unter dem Spitz- 13

15 namen Fibonacci beannt (von Filius Bonacci, der Sohn des Bonacci, des Gutmütigen, welcher der Spitzname seines Vaters war, siehe [1]: S.126). f n sei die Anzahl der Kaninchenpaare in der n-ten Generation, f 1 das ursprüngliche Paar und f 2 dessen unmittelbare Nachfahren. Dann gilt: f n+2 = f n + f n+1, denn in der (n + 2)-ten Generation gibt es je ein Paar aus der Generation n und n + 1, da jedes Kaninchenpaar ein Kaninchenpaar der nächsten und übernächsten Generation hervorbringt. So erhält man die Fibonacci-Zahlen, mit f 0 = 0 und f 1 = 1 beginnend: Die Fibonacci-Zahlen ommen in der Natur sehr häufig vor, doch sie haben auch in der Mathemati viele verschiedene Annüpfungspunte. So stehen sie zum Beispiel auch, ähnlich wie die Catalan schen Zahlen, mit dem Pascal schen Dreiec in Verbindung. Der französische Mathematier François Édouard Anatole Lucas hat folgenden Zusammenhang herausgefunden: f n+1 = ( n 0 ) + ( n 1 1 ) + ( n 2 2 ) +... Was diese Formel in Worten ausdrüct, ist Folgendes: Man ann die (n+1)- te Fibonacci-Zahl aus der Aufsummierung der (n + 1)-ten Diagonale im Pascal schen Dreiec erhalten (siehe Abb. 2.5). Abbildung 2.5 (Aufsummierung der gepuntelten Diagonalen des Pascal schen Dreiecs ergeben die Fibonacci-Zahlen) [9] 14

16 So erhält man zum Beispiel die neunte Fibonacci-Zahl aus der Summe = 34 = f 9. Die Fibonacci-Zahlen stehen auch noch mit einer anderen Familie von Zahlen in Verbindung, nämlich mit den Lucasschen Zahlen Lucassche Zahlen Wie der Name schon verrät gehen diese Zahlen ebenfalls auf François Édouard Anatole Lucas zurüc. Die Lucasschen Zahlen, mit l n notiert, werden ähnlich definiert wie die Fibonacci-Zahlen: l 0 = 2, l 1 = 1 und l n+2 = l n + l n+1 So erhält man die Werte der Lucasschen Zahlen: Beziehung zwischen Fibonacci- und Lucasschen Zahlen Diese beiden Familien von Zahlen werden nicht nur mit derselben Formel definiert, sondern sie haben auch noch weitere gemeinsame bzw. ähnliche Eigenschaften. Es gelten zum Beispiel folgende Relationen: f 2n = f n l n l 2n = ln 2 2( 1) n f 0 + f f n = f n+2 1 l 0 + l l n = l n+2 1 l n = f n 1 + f n+1 5f n = l n 1 + l n+1 2f m+n = f m l n + f n l m 2l m+n = l m l n + 5f m f n Weiters streben die Verhältnisse zweier aufeinanderfolgender Fibonaccischen und Lucasschen Zahlen gegen denselben Grenzwert, nämlich gegen die goldene Zahl φ = 1, Das geht darauf zurüc, dass man f n und l n durch die Zahlen darstellen ann: φ = und ψ = f n = φn ψ n φ ψ = 1 5 {( ) n ( ) n } und l n = φ n + ψ n = {( ) n ( ) n }. Mit wachsendem n nähern sich nun die Verhältnisse f n+1 f n und l n+1 l n der goldenen Zahl φ an, während das Verhältnis ln f n gegen den Wert 5 = 2, strebt. Diesen Zusammenhang macht folgende Tabelle deutlich: 15

17 n f n+1 f n l n+1 l n l n fn , ,5 1, , , , ,6 1, ,2 6 1,625 1, ,25 7 1, , , , , , , , , , , , Mit diesem Ergebnis möchte ich meine Arbeit abschließen. Im Anhang befindet sich noch die Bibliographie. 16

18 Literaturverzeichnis [1] John Horton Conway, Richard K. Guy: Zahlenzauber: von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen, Basel: Birhäuser, 1997 [2] Voler Dieert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: Elemente der disreten Mathemati, Berlin/Boston: DeGruyter, 2013 [3] John M. Harris, Jeffry L. Hirst, Michael J. Mossinghoff: Combinatorics and graph theory. Second edition, Bereley: Springer, 2008 [4] Donald E. Knuth: Two notes on notation, American Mathematical Monthly Vol. 99,(1992): [5] Donald E. Knuth: The art of computer programming. 1. Fundamental Algebra, Reading (Massachusetts): Addison-Wesley, 1997 [6] Godfrey H. Hardy, Srinivasa Ramanujan: Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proceedings of the London Mathematical Society Vol. 2, XVII, (1918): [7] zugegriffen am [8] Thomas Koshy: The ubiquitous Catalan numbers, Mathematics Teacher Vol. 100, (2006): [9] zugegriffen am