Messung der Schallgeschwindigkeit über Resonanz

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1 Messung der Schallgeschwindigeit über Resonanz Lautsprecher Mirofon Frequenzgenerator/Wechselspannung und Verstärer Oszillosop mit Darstellung der Anregung (Kanal 1) und des Mirofon- Signals (Kanal 2) Messprinzip: Die Luft bzw. andere Gase befinden sich in einem Rohr der Länge L, das beidseitig durch eine Metallmembran abgeschlossen ist. Bei Anregung in Resonanz ist das Mess-Signal des Mirofons maximal.

2 Messung der Schallgeschwindigeit über Resonanz: Auswertung Resonanzbedingung: 2L n 1,2,... n n Ganzzahlige Vielfache n der Wellenlänge passen in das Doppelte der Rohrlänge L. Ausbreitungsgeschwindigeit/Schallgeschwindigeit c Da a priori die Ordnung der Resonanz n nicht beannt ist müssen zumindest zwei benachbarte Resonanzfrequenzen bestimmt werden, um die Schallgeschwindigeit zu bestimmen. Die Schallgeschwindigeit hängt von den Eigenschaften des Mediums, d.h. des Gases ab und es gilt mit dem Gasdruc p und der Massendichte r (später mehr) mit dem Adiabatenoeffizienten c. Über c als Verhältnis der molaren Wärmeapazitäten bei onstantem Druc bzw. Volumen ist die Moleülstrutur zugänglich, d.h. die Anzahl der Freiheitsgrade f. c p c r c C p f 2 C f V n n 2L n n

3 Allgemeinere Lösungen der Wellengleichung: d Alembert sche Lösung A( x, t) 1 A( x, t) x v t Wir wählen einen Ansatz mit einer beliebigen Funtion f, die als Argument den Phasenfator der monochromatischen Welle enthält: A( x, t) f ( u) mit u x t Wie bilden wieder die Ableitungen und setzen in die DGL ein: A( x, t) f ( u) u f ( u) x u x u 2 2 A( x, t) 2 f ( u) 2 2 x u A( x, t) f ( u) u f ( u) t u t u 2 2 A( x, t) 2 f ( u) 2 2 t u und es folgt sofort: 2 2 A( x, t) 1 A( x, t) x v t f ( u) f ( u) u v u v 2 v Unser Ansatz ist also eine Lösung der Wellengleichung.

4 Auf gleiche Weise zeigt man, dass auch der Ansatz A( x, t) g( w) mit w x t Diese Darstellung ist der Fourier-Darstellung äquivalent. Beispiele: die Wellengleichung erfüllt. Durch Überlagerung erhalten wir dann die noch allgemeinere Lösung A( x, t) f ( x t) g( x t) mit beliebigen Funtionen f und g. Erweitert auf 3D folgt dann: A( r, t) f ( r t) g( r t) f entspricht einer vorlaufenden, g einer rüclaufenden Welle. Mehr siehe Tafel. Zeit t Fourier-Darstellung: Da jede monochromatische Welle eine Lösung der Wellengleichugn ist, gilt das auch für eine Welle, die aus beliebigen monochromatischen Wellen zusammengesetzt ist.

5 Frage: Lassen sich beliebige Zeitfuntionen aus monochromatischen Anteilen zusammensetzen? Was sind die Frequenzinhalte beliebiger Zeitfuntionen? U(t) Fourieranalyse / Fouriersynthese Antwort: Eine periodisches Zeitsignal (Periodendauer T) ann durch eine unendliche Summe von Zeitsignalen jeweils einer Frequenz beliebig gut approximiert werden (disretes Frequenz-Spetrum). mit der Grundharmonischen a0 U ( t) a cos t b sin t f1 a c cost 2 1 T und den höheren Harmonischen 1 T t Für nichtperiodische Zeitfuntionen geht die Summe in ein Integral über. Das Frequenzspetrum ist dann ontinuierlich!

6 Beispiel 1: U(t) Dreiec-Spannung t

7 Fouriersynthese der Dreiecspannung 4 U1( t) sin( t) t

8 Fouriersynthese der Dreiecspannung 4 sin(3 t) U2( t) sin( t) 2 3 t

9 Fouriersynthese der Dreiecspannung a U t a t b t 0 ( ) cos sin a 0 c cost sin(3 t) sin(5 t) U3( t) sin( t) t

10 Beispiel 2: U(t) Rechtec-Spannung t

11 Fouriersynthese der Rechtecspannung 4 U1( t) sin( t) t

12 Fouriersynthese der Rechtecspannung 4 sin(3 t) sin(5 t) U3( t) sin( t) 3 5 t

13 Fouriersynthese der Rechtecspannung a U t a t b t 0 ( ) cos sin a 0 c cost sin(3 t) sin(5 t) sin(7 t) sin(9 t) U5( t) sin( t) t

14 Experiment: Fourier-Synthese Ein Fourier-Synthesizer erzeugt neben der Grundfrequenz f 1 = 440 Hz auch die höheren Harmonischen mit f n n f1 n 1,2,3...9 Die Ausgangsspannungen der 9 Kanäle önnen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen addiert werden. Das Oszillosop zeigt neben der Grundschwingung auf Kanal 1 auch das Summensignal auf Kanal 2

15 Experiment: Fourier-Synthese, Erzeugung typischer Summensignale