ANALYSIS I. Lösung der Klausur vom 25/02/14. Aufgabe 1

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1 ANALYSIS I Lösung der Klausur vom 5//4 Aufgabe (a) Das Monotonieriterium für Folgen besagt, dass monoton wachsende nach oben beschränte Folgen (a n ) R onvergent sind. Entsprechendes gilt für monoton fallende nach unten beschränte Folgen. (b) Eine Funtion f: (a, b) R heisst stetig, wenn sie in allen (a, b) stetig ist; dabei ist f stetig in, wenn ɛ > δ > (a, b) : < δ f() f( ) < ɛ oder äquivalenterweise, wenn für jede Folge ( n ) (a, b) gilt n f( n ) f( ) (c) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass für eine stetige Funtion f: [a, b] R, die auf (a, b) differenzierbar ist, ein ξ (a, b) eistiert mit f(b) f(a) b a = f (ξ) (d) Für eine beschränte Funtion f: [a, b] R sind das Ober- und Unterintegral wie folgt definiert: b f := inf{ a b f := sup{ a t()d t T [a, b], t f} t()d t T [a, b], t f} f heisst Riemann-integrierbar falls f = f gilt.

2 Aufgabe {, Q (a) Die Dirichlet-Funtion f() = ist auf [, ] (so wie auf, R\Q jedem anderen Intervall [a, b], a < b) nicht Riemann-integrierbar, man hat nämlich f = = f da jede nicht-leere offene Teilmenge von R rationale und irrationale Zahlen enthält. (b) Die auf [, ] definierte Funtion f() = {, <, = ist offenbar unbeschränt, also nicht Riemann-integrierbar (auch nicht uneigentlich, da t d = ln t für t ), aber auf (, ] stetig. NB: Bei dieser Teilaufgabe wurde massenweise behauptet, eine solche Funtion würde nicht eistieren - man beachte, dass die Impliation (stetig integrierbar) i.a. nur auf beschränten abgeschlossenen Intervallen [a, b] gilt, auf denen stetige Funtionen notwendigerweise beschränt sind. Da jede Fortsetzung (stetig oder nicht) einer auf (a, b] beschränten stetigen Funtion auf ganz [a, b] notwendigerweise integrierbar ist, muss hier ein legitimes Beispiel für unbeschränt sein (ann aber dennoch auf (, ] uneigentlich integrierbar sein, wie z.b. f() = oder f() = ln ). (c) Die Identitätsfuntion f: (, ) R, besitzt ein Maimum, da für jedes (, ) ein δ > eistiert mit + δ (, ); man nehme z.b. δ =. Diese Funtion nimmt jedoch ihr Maimum auf [, ] an. Eine Funtion ohne Maimum, die das nicht tut, wäre zum Beispiel f: (, ) R,. (d) Die Folge von stetigen Funtionen f : [, ] R, {, < f () =, onvergiert puntweise gegen die Heaviside-Funtion auf [, ]: Unter Verwendung der Stetigeit der Eponentialfuntion gilt nämlich = e( ln ) e() = für

3 Aufgabe 3 (a) (i) Nach Monotonie der Wurzelfuntion gilt für die Folge = ( ) 4 = ( ) 4 =, insbesondere ist ( ) eine Nullfolge. Die Reihe divergiert. Alternativ schreibe man ( )( ) = (ii) Die Folge a = +5 ist eine monoton fallende Nullfolge, da Nullfolge und < +5 dem Leibnizriterium. (iii) Es gilt > +5 (+) +5. Folglich onvergiert die alternierende Reihe in (ii) nach ( + )!! : = ( + ) ( + ) + ( + ) = + ( + ) = ( ) + e < Die Reihe onvergiert nach dem Quotientenriterium. (b) (i) Kürze durch höchste Potenz (= 3 ) und wende Grenzwertsätze an: lim b ( + = lim ) ( + )3 3 3 = ( + lim ) lim ( + lim )3 lim 4 + lim 3 lim 5 3 = 3 (ii) Es ist < 3 < für >, so dass ) ) ) ) b = (3 = (3 (3 < (3 für Folglich gilt b nach dem Sandwich-/Einquetschriterium. 3

4 Hier ist ein cooler alternativer Beweis: Aufgrund der Monotonie der Eponential- und der Potenzfuntionen auf R + gilt b = (3 ) (3 + ) ( 3 + ) + > Die Folge ist also monoton fallend und nach unten beschränt, also onvergent nach dem Monotonieriterium. Setze b := lim b. Angenommen es gilt b > ; dann b = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = = b 3 + b ( ) = 3 + b Im letzten Term onvergiert der Ausdruc auf der linen Seite gegen b b = b aufgrund der Stetigeit der Wurzelfuntion, während der auf der rechten (bestimmt) divergiert. Widerspruch zur Annahme b >. Folglich ist (b ) eine Nullfolge. log (iii) Es ist b = nach Logarithmengesetz. Betrachte die Funtion f() = log. Nach der l Hopital schen Regel gilt = log = log log lim = lim = Für die Wahl der Folge = erhält man also lim b = lim f( ) = 4

5 Aufgabe 4 Indution über n N: Für n = gilt (IA): ( 3 = 3 = = = Die Aussage gelte nun für ein festes n N (IV). Dann folgt ) ( n+ n ) 3 = 3 + (n + ) 3 IV = ( n ) + (n + ) 3 Rücwärts-Rechnen liefert: ( n+ ( n ( n ) = + (n + )) = ) + (n + ) n + (n + ) Zu zeigen ist also die Gleichheit der beiden unterstrichenen Ausdrüce. Es gilt (n+) n [ ] +(n+) = (n+) n(n + ) +(n+) = n(n+) +(n+) = (n+) 3 und damit für alle n N: n+ 3 = ( n+ ) 5

6 Aufgabe 5 (a) Indution über n N : Für n = gilt (IA): Es gilt a = a a < a b =: a aufgrund der Monotonie der Wurzelfuntion, und weiterhin a := a b a + b da die folgende Ungleichung im Allgemeinen gilt: =: b, a b a + b a b a +b a a b + b ( a b ) Letztendlich b := a + b < b + b = b Die Aussage gelte nun für ein festes n N (IV). Dann folgt (IS) analog zum (IA): a n+ = a n+ a n+ < a n+ b n+ =: a (n+)+ := a n+ b n+ a n+ + b n+ =: b (n+)+ und weiterhin b (n+)+ := a n+ + b n+ < b n+ + b n+ = b n+ (b) Nach (a) sind die Folgen (a n ), (b n ) monoton und beschränt (durch a nach unten und durch b nach oben). Nach dem Monotonieriterium eistieren daher a, b R mit a = lim a n und b = lim b n. Es gilt n n b = lim b n = lim b a n + b n n+ = lim n n n = a + b Es folgt a b = und damit a = b. In * wurde der Grenzwertsatz für die Summe zweier onvergenter Folgen verwendet. 6

7 Aufgabe 6 (a) Auf R\{} ist f differenzierbar als Komposition von differenzierbaren Funtionen und mittels der Ableitungsregeln gilt für ( ) [ ( ) f () =. cos + sin ( )] ( ) = cos + ( ) sin (b) Für die Nullfolge n = nπ gilt Folglich ann lim f () nicht eistieren. f ( n ) = cos(nπ) + nπ sin(nπ) = ( ) n }{{} = (c) Der Grenzwert des Differenzenquotienten f() f() = cos ( ) = cos ( ) für eistiert nicht, mit derselben Begründung wie in (b). Folglich ist f im Nullpunt nicht differenzierbar. 7

8 Aufgabe 7 (a) Da die Stellen z := ( + )π, Z genau die Nullstellen der inneren Funtion + cos() sind, gilt + cos() > ausserhalb der z, so dass f dort differenzierbar ist als Verettung von differenzierbaren Funtionen. Dies legitimiert für z die Anwendung der Kettenregel, was in den z aufgrund der Nicht-Differenzierbareit der Wurzelfuntion im Nullpunt nicht möglich wäre (auch wenn dies eine Aussage über die Differenzierbareit von f in den z macht). Für z erhält man nun mittels der Ableitungsregeln f () = sin + cos und f () = cos + cos [ sin ] sin +cos 4( + cos ) NB: f lässt sich hier zwar vereinfachen als f () = sgn() cos, aber diese Form würde die Differentiation an den geraden Vielfachen von π erheblich erschweren. (b) Das Auslammern von + cos() im Zähler von f hinterlässt den Term cos sin +cos 4( + cos ) sin = cos ( + cos ) sin = } {{ + cos } + cos + cos =, 4( + cos ) }{{} 4 ( + cos ) =:c Im letzten Ausdruc fasst sich der Zähler mittels binomischer Formel zusammen und ürzt sich vollständig weg. Es gilt daher f () = cf() mit c = für z 4. (c) Es gilt f() = und f () =. Wegen f () = cf() in einer Umgebung von = folgt daraus { f (n) c n = ( ) n, n gerade () = n, n ungerade NB: Streng genommen müsste dies noch per Indution verifiziert werden, aber die Rechnung ist lediglich eine Anwendung von (b). Die Taylor-Reihe im Nullpunt ist damit gegeben durch T f =() = n= f (n) ( = ) ( ) n n= = n! = ( ) 4 ()! mit Konvergenzradius ρ =. 8

9 Aufgabe 8 (a) Substituiere y = ; dann d = (b) Wende partielle Integration an: π (sin ) = π Und gleich noch einmal: π π (cos )d + π = ( }{{} )d = =y y() y() ydy = 3 [ ] y 3 = 3 ( cos )d + [ ( cos ) ] π π = (cos )d + π sin d + [(sin )] π + π = [cos ] π + π = π 4 (c) Substituiere y = cos ; dann π 4 tan d = π 4 ( sin ) cos }{{} =y d = y( π 4 ) y() y dy = [ln y] = ln = ln 9

10 Aufgabe 9 (a) Sei (a, b) fest und sei h mit + h (a, b). Dann ist aufgrund des streng monotonen Wachstums f( + h) > f() für h >, sowie f() > f( + h) für h <. In beiden Fällen also f( + h) f() h >. Die Grenzwertbildung liefert dann f f(+h) f() () = lim. h h (b) Die Funtion f: (, ) R, 3 ist zum Einen streng monoton wachsend, da für y > gilt y 3 3 = (y )(y + y + ) (y )(y y + ) = (y )( y ), wobei mindestens eine der Ungleichungen für jedes Paar echt ist, und zum Anderen differenzierbar als Polynomfuntion mit f () = 3 = =. (c) Seien (, ) und δ > mit + δ (, ). Nach dem Mittelwertsatz eistiert ξ (, + δ) mit f( + δ) f( ) δ = f (ξ) Da f streng monoton wachsend ist, gilt f( + δ) > f( ) und somit f (ξ) >. NB: Die Bedingung f ( ) = ist hierbei überflüssig. (d) Diret: Da f streng monoton wächst und differenzierbar ist, gilt f () für alle (, ). Wegen f ( ) = hat dann f in ein loales Minimum. Folglich f ( ) =. Indiret: Wäre f ( ), dann würde f wegen f ( ) = in ein loales Etremum besitzen. Dann gäbe es δ >, so dass f( ) f( + δ) bzw. f( δ) f( ), beides im Widerspruch zum streng monotonen Wachstum von f. NB: Auch die Stetigeitsvoraussetzung von f ist hierbei überflüssig.

11 Aufgabe Da f auf [, ) nicht-negativ und monoton fallend ist, eistiert für alle das f() und gleicht f(). Aufgrund der Monotonie des Riemann-Integrals folgt min [,] f(t)dt f()dt = ( )f() = f() Da weiterhin f auf [, ) uneigentlich integrierbar ist, eistiert (rein nach Definition) der Grenzwert c := lim f(t)dt, womit dann gilt f() f(t)dt = f(t)dt f(t)dt c c = für Dies zeigt, dass lim ()f() = und liefert nach Ersetzen von durch das gewünschte Ergebnis.