Operations Research. Bewertungsverfahren :

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1 Operations Research Bewertungsverfahren : Ist wie NW-Ecken und Vogelsches Appr. Ein Verfahren zum Aufstellen eines recht wenig optimierten Tableaus, das dann anschließend noch durch ein Stepping Stone oder die Modi Methode optimiert werden muß : Beispiel : Vorgaben : 3 Anbieter A1 A3 4 Nachfrager B1 B4 TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai A A A Man sucht sich jetzt einfach das Feld mit den minimalsten Kosten ( hier : A2 / B3 mit 1 ) und trägt die maximale Anzahl der Nachfrage ein. Zu beachten : Ist das ganze Angebot in einem Schritt aufgebraucht, muß man eine Entartungsnull in einem Kästchen in der Zeile bzw Spalte eintragen. Nach dem 1. Schritt sieht das so aus : TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai A A A

2 Diesen Schritt wiederholt man mit den verbliebenen Kästzchen solange, bis die ganze Nachfrage befriedigt bzw das ganze Angebot aufgebraucht ist : TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai A A A Die Kostenfunktion beträgt jetzt : 2*10+5*13+2*8+5*1+1*4 = 110 Das Vogelsche Approximationsverfahren Hier legt meine eine extra Zeile + Spalte dsj bzw dzi für den Mindestkostenzuwachs an. In diese kommt der Differenzwert vom kleinsten zum zweitkleinsten Kostenwert. BSP : TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai dzi A A A dsj

3 Jetzt sucht man sich das Kästchen, mit dem größten ds und dz, hier also B4 wegen ds4 = 8 und A1 wegen dz1 = 4. Dort trägt man den maximalen Wert ein und berechnet die neuen Mindestkostenzuwächse. Ganz aufgebrauchte Zeilen / Spalten fallen dann weg. TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai dzi A A A dsj Das macht man so lange, bis alles aufgebraucht ist : TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai dzi A A A dsj Kostenfunktion Z = 4*10+3*13+2*9+5*1+1*4 = 106

4 Die MODI Methode Benötigt ein Ausgangstableau aus dem Bewertungsverfahren. Diese wird um die S / Z Ui und vi erweitert. In V1 trägt man immer eine Null ein. Der Wert von ui wird immer so berechnet : ui + vj = Cij, d.h in den ersten Schritten ist ui = Cij 0. Aber nur in BF s! Ist man mit der ersten Spalte fertig, muß man rückwärts rechnen. Man schaut wo man schon Ui s hat und rechnet damit die vj s aus, solange, bis alle ui s und vj s gefunden wurden : 1. Schritt : TAB 0 B1 B2 B3 B4 ai Ui A A A vl 0 2. Schritt : Hier rechnet man dann cij - ui = vj Das (vorläufige) Endtableau sieht dann so aus : TAB 1 B1 B2 B3 B4 ai Ui A A A vl

5 Jetzt trägt man noch die Kostenänderungswerte in Klammer in die NBF s ein : Es gilt : delta cij = cij ui vj, zb. Für Feld A1 / B3 : (-5) = -48 TAB 2 B1 B2 B3 B4 ai Ui A ( - 42 ) 15 ( - 48 ) A ( 43 ) ( 15 ) A3 ( 15 ) ( 0 ) vl Jetzt muß man beim kleinste KÄW (hier : A1 / B3) das Feld mit der max. Anzahl auffüllen und in der Zeile / Spalte den Wert mit den größten Kosten entsprechend reduzieren, damit die Summe der Spalte und der Zeile wieder stimmen ( s.g. Umverteilung, genau wie beim Stepping Stone) Für den 1. Schritt heißt das : Man füllt A1/B3 mit dem Maximum der Spalte und Zeile, hier also 10 auf. Jetzt muß man aber A2 / B3 ( einziges BF der Spalte ) zu einem NBF machen, damit die Spalte B3 wieder stimmt., Der neu enstandene KÄW ist wieder *(-1) von dem verschwundenen (vergleiche Stepping Stone)! Jetzt sind aber die Zeilen A1 und A2 aus dem Gleichgewicht, also reduzieren wir in der Zeile A2 das BF mit den größten Kosten um 10, also A2 / B1. Normalerweise nimmt man zum reduzieren das BF mit den größten Kosten, wenn dessen Inhalt nicht ausreicht das mit den 2. größten Kosten usw. Aus Symmetriegründen muß man aber oft das BF nehmen, das in einer Spalte mit einem weiteren BF steht, das sich wiederum in der Zeile befindet, in die man den Wert verschoben hat. Auf Deutsch : Es muß immer ein Rechteck aus BF s möglich sein, mit einem NBF auf das verschoben wird, ansonsten kann man die Verschiebnung nicht mehr ausgleichen!

6 Nun müssen wir noch A1 / B1 um 10 erhöhen, damit die die Spalte B3 wieder stimmt. Und siehe da, alle Zeilen + Spalten sind wieder im Gleichgewicht : TAB 3 B1 B2 B3 B4 ai Ui A ( - 42 ) A ( 43 ) 50 ( 48 ) 15 ( 15 ) A3 ( 15 ) ( 0 ) vl Jetzt muß man natürlich wieder die ui s, vj s und die neuen KÄW s ausrechnen und eintragen Man fängt dabei wieder mit v1 = 0 an und baut so alle Werte auf. Für die vi s und ui s gilt wieder : cij = ui +vj. Weil auf A1 / B3 jetzt ein neues BF entsatnden ist, ändert sich der v3 und damit auch der u3 und v2 : TAB 3 B1 B2 B3 B4 ai Ui A A ( 48 ) A vl Und die KÄW berechnen sich wieder aus cij-ui-vj, TAB 4 B1 B2 B3 B4 ai Ui A ( 6 ) A ( 91 ) 50 ( 48 ) 15 (15) A3 ( - 33 ) ( - 48 ) vl

7 Jetzt geht das Ganze wieder von vorne los : 1. Größten KÄW suchen und Feld maximal auffüllen. 2. Zeilen und Spalten ausgleichen 3. Neue vj s und ui s berechnen 4. Neue KÄW berechnen Das Ganze geht solange, bis keine negativen KÄW mehr vorhanden sind. Hier jetzt ein ganzer Schritt in einem Tableau : Man muß erst einmal die Null aus A3 / B3 verschieben, da sonst keine Symetrie gegeben ist (z.b. bei A3 / B2, zwar große Kosten, aber kein weiteres BF in der Spalte um Verschiebnung auszugleichen) TAB 5 B1 B2 B3 B4 ai Ui A (-42 ) A (43 ) 50 ( 48 ) 15 (15) A3 ( 15 ) ( 48 ) vl Jetzt ist nur noch ein neg. KÄW übrig, der sich durch Verschieben von 20 von A1 / B4 beseitigen lässt. Es muß A1 / B4 sein, da dies das BF mit der nötigen Symmetrie und den größten Kosten ist ( bildet Viereck mit dem NBF und 2 weiteren BF s). TAB 6 B1 B2 B3 B4 ai Ui A (42) A (85) 50 ( 48 ) 15 (57) A3 ( - 27 ) (6) vl

8 Leider hat sich bei A3 / B1 ein neuer neg. KÄW ergeben, also das Ganze noch einmal : TAB 7 B1 B2 B3 B4 ai Ui A1 ( 27 ) (42) A (58) 50 (21) 15 (30) A (6) vl So, das war s, es sind keine negativen KÄW mehr vorhanden. Die (optimalste) Kostenfunktion lautet : Z = 30*20+20*40+40*15+10*17+20*15 = 2470 KE