Operations Research. Linearoptimierung. Bearbeitet von Peter Stingl

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1 Operations Research Linearoptimierung earbeitet von Peter Stingl Auflage 22 uch 76 S Hardcover ISN Format ( x L): 4,5 x 2 cm Gewicht: 26 g Wirtschaft > etriebswirtschaft: Theorie & Allgemeines > Unternehmensforschung, Operational Research (OR) Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shopde ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft Im Sortiment finden Sie alle Medien (ücher, Zeitschriften, Ds, eooks, etc) aller Verlage Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von üchern zu Sonderpreisen Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte

2 ARL HANSER VERLAG Peter Stingl Operations Research Linearoptimierung wwwhanserde

3 2 Lineare Optimierungsprobleme x 2 6 P P sentartete Ecke ( 4) x +x 2 5 PPPPPPPPPPPPPPP X x + x 2 7 2x +x x ild 42 Aufgaben 4 Man fuhre Schlupfvariable ein und bestimme nach dem beschriebenen Verfahren samtliche Ecken des zulassigen ereichs 2x + x 2 8 4x +5x 2 2 2x +5x 2 5 x x 2 : Kennzeichnen Sie fur die Ecken V und NV! (a) Wo ist z =6x +2x 2 maximal (b) Wo ist z 2 =4x +x 2 maximal 42 Man fuhre Schlupfvariable ein und bestimme nach dem beschriebenen Verfahren samtliche Ecken des zulassigen ereichs 2x + x 2 7 4x +5x 2 2 2x +5x 2 5 x x 2 Welche Ecke ist degeneriert Kennzeichnen Sie hierfur V und NV! 5 Simplexverfahren Die Idee dieses von G Dantzig entwickelten Verfahrens ist, nicht alle Ecken von X aufzusuchen, sondern, ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis durch asistausch mittels Austauschalgorithmus bzw Gau- Jordan-Algorithmus (SWV) zu einer Ecke mit (i Allg) besserem Zielfunktionswert fortzuschreiten Da es nur endlich viele Ecken gibt, erhalt man nach endlich vielen Schritten den optimalen Eckpunkt

4 5 Simplexverfahren Wir entwickeln den Algorithmus zunachst an einem eispiel: eispiel 5 Wir ordnen die Koe~zienten des kanonischen Maximumproblems von eispiel (ohne die redundante edingung x < 6) zu einem Tableau: x x 2 x x 4 x 5 b i x x x 5 9 z ; ;25 Dieses Tableau beschreibt die Startecke x x 2 ~x = x x 4 A = A mit x ; 25x 2 +x +x 4 +x 5 + z = x 5 9 Hierbei sind die Strukturvariablen x x 2 NV, die Schlupfvariablen x x 4 x 5 V, was in der ersten Spalte des Tableaus angemerkt ist Die NV haben in der Ecke ~x den Wert, die Werte der V ergeben sich aus den Nebenbedingungs-Gleichungen, die durch die Zeilen des Tableaus reprasentiert sind Die Zielfunktionszeile (z-zeile) beinhaltet die Zielfunktionsgleichung und ganz rechts den aktuellen Zielfunktionswert Nach Isolierung der V ist die Ecke ~x durch folgende Gleichungen beschrieben: x = ; x ; x 2 x 4 = ; 5x ; 2x 2 x 5 = 9 ; x 2 z = +x + 25x 2 Nun soll ein asistausch vorgenommen werden: Als neue V wahlt man eine bisherige NV (mit dem Wert ), die dann (moglichst stark) positiv werden soll die grote Verbesserung von z verspricht hierx (da der Koe~zient in der Zielfunktion groer ist als 25) x 2 bleibt NV und auf dem Wert Man nennt dann die x -Spalte die Pivotspalte fur den asistausch Welche bisherige V wird jetzt NV x kann hochstens den Wert =5 = 6 annehmen, wenn keine der Variablen x x 4 x 5 negativ werden soll Es wird dann x 4 =; 5 6 ; 2 = und neue NV x =; 6 ; =4 x 5 =9; =9, bleiben V x 4 soll demnach neue NV werden man nennt die x 4 -Zeile Pivotzeile Zur Ermittlung der Pivotzeile muss man also die uotienten b i a i,(soweit a i > )

5 4 Lineare Optimierungsprobleme vergleichen ein Index i, fur den dieser uotient minimal wird, kennzeichnet die Pivotzeile hier ist i =2 diezweite Zeile ist Pivotzeile Pivotspalte und Pivotzeile schneiden sichimpivot(-element)( \ Drehpunkt{), hier a 2 =5 Es ist gunstig, das Pivotelement im Tableau zu markieren Aus x 4 =; 5x ; 2x 2 errechnen wir x = 5 ; 2 5 x 2 ; 5 x 4 und substituieren dies in allen ubrigen Gleichungen ( \ Austausch{) wir erhalten das neue Tableau die Pivotzeile wird x x 2 ; 5 x 4 =6 Die erste Zeile wird 6 ; 2 5 x 2 ; 5 x 4 +x 2 +x =, also 5 x 2+x ; 5 x 4 =4, die dritte Zeile x 2 + x 5 = 9 bleibt unverandert, da x 4 nicht vorkommt Die Zielfunktionszeile wird ;(6 ; 2 5 x 2 ; 5 x 4) ; 25x 2 + z =,also ;x 2 +6x 4 + z =8 Somit lautet das neue Tableau: x x x x 2 x x 4 x 5 b i ; x 5 9 z ; 6 8 Diese Veranderung des Tableaus bedeutet also, dass man die Pivotzeile durch den Pivotwert dividiert und dadurch den Pivot zu macht, zu den ubrigen Zeilen ein derartiges Vielfaches der Pivotzeile addiert, dass dort in der Pivotspalte Nullen entstehen, insgesamt also in der Pivotspalte ein Einheitsvektor entsteht Dies ist aber gerade der Schritt des Gau-Jordan-Algorithmus, den man als \ Ausraumen{ der Pivotspalte mit der Pivotzeile als \ Arbeitszeile{ bezeichnet Durch Vertauschen der Spalten fur x und x 4 bringt man das Tableau wieder in die \ kanonische{ Form

6 5 Simplexverfahren 5 x 4 x 2 x x x 5 b i x ;=5 =5 4 x =5 2=5 6 x 5 9 z 6 ; 8 Die zugehorige Ecke ist 6 ~x = 4 A mit 6 x 4 ; x 2 + z =6 ; +z = 8 9 Ein weiterer Austauschschritt erfolgt wegen des Koe~zienten ; in der Zielfunktionszeile man macht deswegen die Variable x 2 zur neuen V (Pivotspalte) Da das Minimum der uotienten 4 4 =5 =5, 6 2=5, 9 ist, wird x neue NV (Pivotzeile) Der Gau-Jordan-Algorithmus fuhrt zu x 4 x 2 x x x 5 b i x 2 ; 5 2 x ; 2 x 5 ; z Die kanonische Form ist x 4 x x 2 x x 5 b i x 2 ; 5 2 x ; 2 x 5 ; z Da nun die Koe~zienten der Zielfunktionszeile fur die NV x und x 4 samtlich positiv sind, wurde eine Vergroerung der Werte der NV eine Verschlechterung von z mit sich bringen: Das Verfahren hat zu einer Ecke mit optimalem z = F (~x) gefuhrt

7 6 Lineare Optimierungsprobleme In der Ecke x x 2 x x 4 x 5 A = = 2= 7= A hat z den maximalen Wert z max = 8 Wir beschreiben nun den Simplexalgorithmus fur das SMP bzw das zugehorige kanonische Maximumproblem: Algorithmus 5 Start des Simplexalgorithmus: Es liege ein kanonisches Maximumproblem (b i vor Fur ein Ausgangstableau zur Ecke x x n;m x n;m+ x n A = b b m A, (i = ::: m)) mit dem Zielfunktionswert z = sind die Strukturvariablen die NV, die Schlupfvariablen die V Das Ausgangstableau lautet: x ::: x t ::: x n;m x n;m+ ::: x n;m+s ::: x n b i x n;m+ a ::: a t ::: a n;m ::: ::: b x n;m+s a s ::: a st ::: a s n;m ::: ::: b s x n a m ::: a mt ::: a m n;m ::: ::: b m z ;c ::: ;c t ::: ;c n;m ::: ::: Wahl der Pivotspalte: Ist die Zielfunktionszeile von der Gestalt z d ::: d t ::: d n;m ::: d mit d j (j = ::: n; m) so ist das Verfahren mit der Startecke als Optimallosung beendet: