Denition eines Orthonormalsystems (ONS) Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V mit dim(m) = n dim(v ) = m heiÿt Orthonormalsystem, wenn gilt:

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1 Hilbertraum Durch Verallgemeinerung der aus der Linearen Algebra bekannten Konzepte wie Basis, Orthogonalität und Projektion lassen sich die Eigenschaften des Hilbertraumes verstehen. Vorweg eine kurze Wiederholung der Linearen Algebra. Lineare Algebra Ein Orthonormalsystem ist eine Menge von Vektoren in einem euklidischen oder unitären Vektorraum mit deniertem Skalarprodukt (Prähilbertraum), die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Denition eines Orthonormalsystems (ONS) Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V mit dim(m) = n dim(v ) = m heiÿt Orthonormalsystem, wenn gilt: O1: v, w M : v w v w = Je zwei Vektoren aus M sind zueinander Orthogonal O2: M Der Nullvektor ist in M nicht enthalten O3: v M : v = 1 Jeder Vektor in M hat die Norm 1 Eine zu O1-O3 äquivalente Denition lautet {v 1, v 2,..., v n } M : v i v j = (δ ij ) m,n Im Allgemeinen gilt für ein ONS dim(m) dim(v ), im Fall dim(m) = dim(v ) spricht man von einem vollständigen Orthonormalsystem (VONS). Das VONS bildet eine Orthonormalbasis (ONB) des Vektorraums V. 1

2 Denition einer Orthonormalbasis Eine Teilmenge B eines Prähilbertraums V mit dim(b) = dim(v ) = m heiÿt Orthonormalbasis, wenn gilt: {b 1, b 2,..., b m } B : b i b j = (δ ij ) m,m Mit der m m Einheitsmatrix (δ ij ) m,m Jedes Element von V muss sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen lassen und diese Darstellung muss eindeutig sein. Denn sei {b 1, b 2,..., b m } eine ONB des Prähilbertraums V, dann lässt sich jedes ψ V darstellen als m ψ = b i c i wobei die Entwicklungskoezienten c i C eindeutig durch gegeben sind. Dann ist ψ gegeben als Der Ausdruck ψ = i=1 c i = b i ψ = b i ψ m b i b i ψ i=1 ψ V m b i b i = (δ ij) m,m = 1 i=1 heiÿt Vollständigkeitsrelation. Beispiel 1 B =, 1/ 2 i/ 2, i/ 2 1/ 2 ψ = 2 Sobald man eine Basis gewählt hat, ist die Darstellung des Vektors ψ in dieser eindeutig. Die Entwicklungskoezienten c i ergeben sich zu {, i, 1}. Die Darstellung dieses Vektors wäre sogar ohne den Basisvektor b 1 möglich, allerdings wäre dann die Vollständigkeitsrelation nicht mehr erfüllt, da m=3 i=2 b i b i = 1/2 i/2 + 1 /2 i/2 i /2 1/2 i /2 1/2 = 1 1 2

3 keine vollständige m x m Einheitsmatrix ist. Auÿerdem lieÿe sich nicht jeder Vektor in C 3 in dieser Basis entwickeln. Die Matrizen 1 b 1 b 1 = b 2 b 2 = 1 /2 i/2 i /2 1/2 b 3 b 3 = 1/2 i/2 i /2 1/2 heiÿen Projektionsoperatoren. Sei M ein Teilraum eines unitären Vektorraumes U mit ψ M M. Dann bezeichnet man ψ M als die orthogonale Projektion von ψ auf den Teilraum M (dimm=n). n M = ϕ i ϕ i ψ (1) i=1 Was heiÿt das denn genau? Wie kommt man darauf? Für Vektoren in R 2 wird es anschaulich klar. Wir projizieren den Vektor ψ auf den Vektor ϕ. Die Projektion p wird ein vielfaches des Vektors ϕ sein p = x ϕ und der Fehler (error) Vektor e = ψ p. Abbildung 1: Projektion Wie groÿ ist der Faktor x? Die wichtige Eigenschaft in diesem Fall ist, dass die Vektoren e und p orthogonal zu einander sind. Wir benutzen das und schreiben ϕ T (ψ xϕ) = xϕ T ϕ = ϕ T ψ x = ϕt ψ ϕ T ϕ 3

4 so erhalten wir schlieÿlich für die Projektion mit dem Projektionsoperator p = ϕx = ϕϕt ϕ T ϕ ψ P = ϕϕt ϕ T ϕ in unserem vorigen Beispiel sind die Vektoren normiert, der Nenner wird also zur Zahl 1. Dieses Konzept lässt sich, wenn man sich von der Anschaulichkeit löst, auf den C n übertragen. Orthogonale Funktionen Auch das Konzept der Orthogonalität lässt sich erweitern. Haben wir im vorigen Abschnitt Vektoren betrachtet, möchten wir nun orthogonale Funktionen verstehen. Wenn jemand bereits mit Fourier Reihen gearbeitet hat, hat er implizit bereits die Orthogonalität von sin(x) bzw. cos(x) Funktionen benutzt. Periodische Funktionen können als Summe von sin(x) und cos(x) Funktionen geschrieben werden. f(x) = k a k cos(kx) + b k sin(kx) (2) Die gerade Funktion oder korrekter Distribution δ(x) kann als Summe der geraden cos(kx) Funktionen geschrieben werden. δ(x) = a + a 1 cos(x) + a 2 cos(2x) + a 3 cos(3x) +... Wie bestimmt man nun die Koezienten? Wieder ist die wichtige Eigenschaft die wir benutzen Orthogonalität. Aber was heiÿt das bei Funktionen? Betrachten wir zunächst den Koezienten a 1. Wir multiplizieren die Gleichung mit cos(x) und integrieren über das Intervall [, π] δ(x)cos(x)dx = = {}}{ a cos(x)dx + =a 1 π {}}{ a 1 cos 2 (x)dx + a 3 cos(2x)cos(x)dx + + a k cos(kx)cos(x)dx +... } {{ } } {{ } = = 4

5 Wir erhalten für a u. a 1 a = 1 2π a 1 = 1 π δ(x)cos(x)dx = 1 2π δ(x)cos(x)dx = 1 π bzw. allgemein für a k a k = 1 π δ(x)cos(kx)dx = 1 π Alle Integrale auf der rechten Seite sind Null, auÿer das integral von a k cos 2 (kx)dx = π bzw. a dx = 2π Allgemein gilt: 2π für k = l = cos(kx)cos(lx)dx = π für k = l > für k l = sin(kx)sin(lx)dx = für k = l = π für k = l > für k l = (3) (4) sin(kx)cos(lx)dx = für alle k und l (5) Die Fourier Reihen Entwicklung der Delta Distribution ergibt also δ(x) = 1 2π + 1 π cos(x) + 1 π cos(2x) + 1 π cos(3x) +... Man nennt die a k 's das Spektrum der Fourier Reihe. Es sagt uns "wie viel vom cos(kx)" in unserer Funktion steckt. In unserem Beispiel sind die a k 's konstant. Wenn wir die cos(kx) Funktionen als e Funktionen darstellen, sehen wir unmittelbar, das dieses Ergebnis mit der komplexen Formulierung der Fourier Reihen Entwicklung äquivalent ist. δ(x) = 1 ( ) 1 + e ix + e ix + e i2x + e i2x + + e ikx + e ikx π komplexe Formulierung der Fourier Reihen Entwicklung f(x) = c k e ikx (6) k= Analog zu den Gleichungen (3) (4) (5) gilt im komplexen { e ikx e ilx 2π für k = l = = für k l = so könne die Koezienten bestimmt werden. (7) 5

6 Ich möchte nach der Wiederholung bereits bekannter Konzepte eine neue Sichtweise einführen. Dazu betrachten wir analog zur Projektion in der Linearen Algebra, die Fourier Reihen Entwicklung als die Projektion einer Funktion in den Raum der orthogonalen Funktionen. Die Koezienten übernehmen dann die Bedeutung der Koordinaten in der Linearen Algebra. Wir denieren das Skalarprodukt zur Multiplikation zweier Funktionen: u i u j = b a dr u i (r) u j (r) (8) Eine Menge von Funktionen {u 1 (r), u 2 (r),... } mit u i (r) F bildet eine Basis wenn jede Funktion ψ auf eindeutige weise in dieser entwickelt werden kann. ψ(r) = i c i u i (r) (9) mit Komponenten c i u j ψ = u j i c i u i = i c i u i u j = i c i δ ij = c j (1) Haben wir eine Basis gewählt, ist die Angabe der Komponenten c i zur Angabe von ψ(r) äquivalent. Man sagt die Menge der c i sei eine Darstellung der Funktion ψ(r). Als Basis können wir alle Funktion benutzen, die orthonormiert sind u i u j = b a dr u i (r) u j (r) = δ ij (11) und die Vollständigkeitsrelation erfüllen. (vergl. LinAlg) [ ] dr u i (r ) ψ(r ) u i (r) ψ(r) = i = c i u i (r) = i u j ψ u i (r) = i [ ] dr ψ(r ) u i (r ) u i (r) = i dr ψ(r ) δ(r r ) (12) 6

7 Auÿer sin(x) und cos(x) bzw. e Funktionen, gibt es noch andere wichtige Basen (Legendre- Chebyshev- Bessel- Laguerre- Hermite-Polynome). Das Grundproblem der Elektrostatik z.b., die Lösung der Poisson-Gleichung mit Randbedingungen, ist bei komplexeren Aufgaben nur durch die Orthogonalität der Legendre Polynome möglich. Wir möchten hier aber den Zusammenhang mit der Quantenmechanik besprechen. Und auch hier benutzt man die Lösung der Legendre Dierentialgleichung, die Legendre Polynome welche Teillösung der dreidimensionalen Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten sind (Kugelächenfunktion). Wir haben im Laufe der Verallgemeinerung verschiedener Konzepte bereits die endlich dimensionalen Vektorräume verlassen, als wir die Fourier Reihen von i = bis entwickelt haben. Jetzt möchten wir auch die diskrete Basis verlassen und unsere Konzepte auch auf die kontinuierlichen Basen erweitern. Kontinuierliche Basen Um konkret zu werden betrachten wir nun die ebene Welle v p (x) = 1 2πħ e ipx/ħ (13) wobei k = p/ħ der Wellenvektor ist (der Einfachheit halber in einer Dimension). Wir haben nun keine diskrete Basis mehr, denn wir erlauben jeden möglichen Impuls p R. Wir integrieren ein Spektrum von Wellen ψ(x) = 1 2πħ dp ψ(p) e ipx/ħ dieses Spektrum ist ebenfalls ein kontinuierliches Spektrum durch die Fourier Transformierte. ψ(p) = 1 2πħ dp ψ(x) e ipx/ħ ψ(p) gegeben Wie die Koezienten bei den Fourier Reihen sagt uns die Fourier Transformierte, "wie viel von einem bestimmten Impuls p " in der Welle ψ(x) steckt. Wir verlieren nun also auch die Anschaulichkeit der Koordinaten in Form der Koezienten unserer Reihen Entwicklung und erhalten dafür kontinuierliche Basen. Man spricht bei diskreten Spektren von abzählbar unendlich vielen Koezienten und bei kontinuierlichen Spektren von überabzählbar unendlich vielen Koezienten, Begrie die in der Mengenlehre exakt deniert sind. 7

8 Wir berechnen die Fourier Transformierte der δ Distribution f(p) = f(x) = 1 2π δ(p) = δ(x) = 1 2π f(x)e ipx dx f(p)e ipx dp δ(x)e ipx dx = 1 e ipx dp (14) Jedes ψ(x) lässt sich eindeutig also Kombination von v ps darstellen ψ(x) = mit "kontinuierlichen Komponenten" ψ(p) = dp ψ(p) v p (x) (15) ψ(x) dx ψ(x) v p(x) (16) Wenn wir nun unsere neue Basis v p betrachten erhalten wir in Analogie zur ONB von u i 's mit u i u j = δ ij unter Verwendung von (14) den Ausdruck 1 vp v p = e i x ħ (p p) dx = δ(p p) (17) 2πħ sowie die kontinuierliche Form der Vollständigkeitsrelation ψ(x) = 1 [ ] dx ψ(x ) v 2πħ p(x ) dp v p (x) (18) = = dx ψ(x ) vp (x ) v p (x) = 1 2πħ dp v p(x ) v p (x) dx ψ(x ) δ(x x ) e i p ħ (x x ) dp = δ(x x ) (19) 8

9 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Teilchen zum Zeitpunkt t im Volumenelement d 3 r um den Punkt r aufhält ist ψ(r, t) 2 d 3 r. Man muss das Teilchen auf jeden Fall irgendwo im Raum antreen. Also ψ ψ = d 3 r ψ (r, t)ψ(r, t) = d 3 r ψ(r, t) 2 = 1 (2) Soll ψ ein Zustand repräsentieren macht es physikalisch also nur Sinn, wenn gilt ψ ψ mit ψ F F L 2 (21) nur dann können wir ψ normieren. Da Gleichung (17) für p = p divergiert, kann v p kein physikalischer Zustand eines Teilchens sein. Der Formalismus ist allerdings ein wichtiges Hilfsmittel für Berechnungen die man im Zusammenhang mit ψ durchführen muss. Betrachten wir die zur Erläuterung die diskrete Darstellung der Wellenfunktion ψ(r) = c i u i (r) i ψ ψ = i c i c i u i (r)u i (r) dr = i c i 2 Das entspricht in der Basis {u i } gerade der Norm 2 zum c i 2 = ψ(r) 2 < i Wenn also die Länge des Vektors < ist, gilt ψ L 2. Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik (Abstand) ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heiÿt Hilbertraum. Insbesondere können Hilberträume auch unendlichdimensional sein (Wikipedia). ε N N m, n N : c m c n < ε (22) Eine Folge (c i ) i N heiÿt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > einen Index N gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als ε voneinander entfernt sind. 9