Ergänzung zur Vektorrechnung

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1 Ergänzung zur Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 5 Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung

2 Übersicht Verallgemeinerung des Vektorbegriffs Verallgemeinerung des Vektorbegriffs Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie:

3 Vektoren im IR n In den vorangegangenen Abschnitten haben wir die geometrischen Vektoren mit ihren Koordinaten bzgl. eines Koordinatensystems identifiziert: a a a a 3 Formal führen wir weitere Komponenten ein! Ein geordnetes n-tupel heißt ein Vektor. Es gibt zwei Schreibweisen: a Zeilenvektor: a = (a, a,..., a n ), Spaltenvektor: a = a.. a n (a i IR). Bezeichnung: n-dimensionaler Vektorraum IR n. Die für geometrische Vektoren eingeführten Rechenoperationen lassen sich mit Ausnahme des Vektorprodukts auf Zeilen- und Spaltenvektoren übertragen. Die entsprechenden algebraischen Eigenschaften gelten weiter. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 3

4 Preis-, Mengenvektor bei Bestellproblemen von Gut G die Menge m, Vereinbarung: von Gut G die Menge m,. Wenn man immer dieselbe Reihenfolge (Ordnung) beibehält, dann genügt zur Charakterisierung der Bestellung die Angabe (m, m,..., m n ) = m (Mengenvektor). Will man den Preis der einzelnen Güter angeben, kann man ebenfalls eine feste Ordnung (Reihenfolge) einhalten: (p, p,..., p n ) = p (Preisvektor). Will man den Gesamtwert einer Bestellung bestimmen, so ergibt sich dafür: m p m p W = m p + m p m n p n =. m n. p n. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 4

5 Lineare Abhängigkeit im IR 3 Ein Vektor a wird als linear unabhängig bezeichnet. Zwei Vektoren a, b nennt man linear abhängig, wenn sie parallel sind; d. h. wenn gilt: b = λ a. linear unabhängig, wenn sie nicht parallel sind. a und b spannen dann (bei gleichem Anfangspunkt) eine Ebene auf. a b entscheidet über lineare Unabhängigkeit. Drei Vektoren a, b, c nennt man linear abhängig, wenn alle drei Vektoren in einer Ebene liegen. Dann lässt sich mindestens einer der drei Vektoren a, b, c als Linearkombination der anderen darstellen, z. B. c = λ a + µ b. linear unabhängig, wenn sie (bei gleichem Anfangspunkt) den IR 3 aufspannen. [ a, b, c] entscheidet über lineare Unabhängigkeit. Sind die Vektoren a, b, c linear unabhängig, so kann jeder Vektor x in Komponenten in die Richtungen von a, b, c zerlegt werden. Das lineare Gleichungssystem x = λ a + λ b + λ 3 c ist eindeutig lösbar. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 5

6 Lineare Abhängigkeit im IR n Problemstellung: Lässt sich bei einer vorgegebenen Menge von Vektoren { a, a,..., a m } einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen? D. h., gilt eine der Gleichungen: a = λ a + λ 3 a λ m a m oder a = λ a + λ 3 a λ m a m oder. a m = ˆλ a + ˆλ a ˆλ m a m? Im Prinzip müsste jede dieser Gleichungen auf Lösbarkeit untersucht werden. Das logische Gegenteil ist begrifflich einfacher zu fassen. Die Vektoren { a,, a,... a m } heißen linear unabhängig (l. u.), wenn aus der Gleichung λ a + λ a + λ 3 a λ m a m = o ( ) stets folgt λ = λ =... = λ m =. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 6

7 Lineare Abhängigkeit im IR n ; Beispiel I { a =, a =, a 3 =, a 4 = } l. u.? LGS λ a + λ a + λ 3 a 3 + λ 4 a 4 = o ( ) λ + λ + λ 3 + λ 4 = Def. Gleichheit λ + λ 3 + λ 4 = λ + λ 4 = λ + λ + λ 3 = λ + λ 3 + λ 4 = Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 7

8 Lineare Abhängigkeit im IR n ; Beispiel II 5 5 λ = λ = λ 3 = λ 4 =. Also sind die Vektoren a, a, a 3, a 4 linear unabhängig. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 8

9 Basis im IR n Besitzt das lineare Gleichungssystem LGS λ a + λ a + λ 3 a 3 + λ 4 a 4 = o ( ) nur die triviale Lösung λ =... = λ 4 =, so besitzt das Gleichungssystem λ a + λ a + λ 3 a 3 + λ 4 a 4 = b für jedes b IR 4 eine eindeutige Lösung. D. h., für den Vektor b steckt in der Kenntnis der Faktoren λ, λ, λ 3, λ 4 derselbe Informationsgehalt (bei bekannten Vektoren a,..., a 4 ). Einen solchen Satz von Grundvektoren nennt man Basis. Sind im IR n n linear unabhängige Vektoren { a, a,..., a n } gegeben, so nennt man diese Vektoren eine Basis des Vektorraums IR n. Jeder Vektor b IR n kann eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren { a, a,..., a n } dargestellt werden. Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: 9

10 Komponentenzerlegung im IR 3 I a = 3, a = a i linear unabhängig, a 3 = ; 3 λ a + λ a + λ 3 a 3 = b eindeutig lösbar für beliebige b! 3 3 z. B. b = 6 ergibt LGS: b = a + 3 a + a 3 bzw. b = = 3 λ = λ = 3 λ 3 = = Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie:

11 Komponentenzerlegung im IR 3 II (Cramersche Regel) λ a + λ a + λ 3 a 3 = b Skalarprodukt mit a a 3 ; a a 3 ; a a λ a a a 3 + λ a a a }{{} 3 + λ 3 a 3 a a 3 = }{{} b a a 3 = = da a, a 3 a a 3 ; wenn a a a 3 = [ a, a, a 3 ] erhält man für 3 λ = [ 6 b, a, a 3 ] [ a, a, a 3 ] = = analog ergibt sich λ = [ a, b, a 3 ] [ a, a, a 3 ] = 3 3 = 3; λ 3 = [ a, a, b] [ a, a, a 3 ] = 3 3 = Fakultät Grundlagen Ergänzung zur Vektorrechnung Folie: