Numerische Verfahren

Transkript

1 Numerische Verfahren 1. Kapitel: Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät 03 WS 13/14 Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 1 / 11

2 Inhalt 1 Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 2 / 11

3 Eingangsfehler (z.b. Messdaten sind fehlerbehaftet) Rundungsfehler (begrenzt durch die Maschinengenauigkeit) Verfahrensfehler (durch Näherungen oder durch Akkumulation bzw. Auslöschung) Fortpflanzung der Eingangsfehler Relativer und absoluter Fehler Sei x eine fehlerbehaftete Größe und x der exakte Wert absoluter Fehler x = x x relativer Fehler ɛ x = x x = x x x Ist x ein Vektor so ergibt sich x = x x und ɛ x = x x x Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 3 / 11

4 Einschub: (1) Sei V ein Vektorraum über K (K = R oder K = C). Die Abbildung : V R + 0 heißt, falls folgende Eigenschaften gelten (für alle a K, x, y V ): 1 x = 0 x = 0 2 a x = a x 3 x + y x + y (Dreiecksungleichung) Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 4 / 11

5 Einschub: (2) Beispiele für Vektornormen 1 Summennorm: x 1 = x 1 + x x n 2 Euklidische : x 2 = x x x n 2 3 Maximumsnorm: x = max{ x 1, x 2,..., x n } Beispiele für Matrixnormen Sei A eine reelle (n, n)-matrix 1 Spaltensummennorm: A 1 = max n j=1...n a ij 2 Spektralnorm: A 2 = max j=1...n λ j (A T A), mit λ j (A T A): Eigenwerte der Matrix A T A 3 Zeilensummennorm: A = max j=1...n n a ji Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 5 / 11

6 (1) Mit der wird die Abhängigkeit eines Problems von gestörten Eingangsdaten beschrieben. Die szahl stellt ein Maß für diese Abhängigkeit dar. Ein mathematisches Problem heißt gut konditioniert, falls relativ kleine Änderungen in den Eingangsdaten(= ɛ x ) relativ kleine Änderungen in den Ausgangsdaten (= ɛ y ) hervorrufen; ansonsten heißt es schlecht konditioniert. Es wird zur Berechnung der Ausgangsdaten von einer exakten Auswertung der Funktion (y = f (x)) ausgegangen. Also: Relative : κ R = ɛ y ɛ x Daraus ergibt sich, dass κ R angibt, wie stark der relative Eingangsfehler verstärkt wird. Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 6 / 11

7 (2) Fehlerfortpflanzung(1) Fehlerfortpflanzungsgesetz Sei x der Vektor der fehlerbehafteten Eingangsgrößen und ỹ = f ( x) = f ( x 1, x 2,..., x n ) die fehlerbehaftete Ausgangsgröße y = ỹ y = f xi ( x) x i oder y f xi ( x) x i σ i = f xi ( x) ist der Verstärkungsfaktor von x i. Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 7 / 11

8 (3) Fehlerfortpflanzung (2) Relativer Fehler y y = n f xi ( x) f ( x) x i = τ i = x i f ( x) f x i x i (x) x }{{} i rel. Fehler:ɛ xi = τ i ɛ xi x i f ( x) f x i ( x) ist der Verstärkungsfaktor von ɛ xi. Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 8 / 11

9 (4) Berechnung der Relative einer Funktion wird ɛ x = (ɛ x1,..., ɛ xn ) T in der Summennorm und τ = (τ 1,..., τ n) T in der Maximumsnorm gemessen, so ergibt sich ɛ y = y y κ R ɛ xi mit κ R = max{ τ 1,..., τ n } werden die en genau anders herum gewählt, so ergibt sich ɛ y = y y κ R max{ ɛ x1,..., ɛ xn } mit κ R = τ i für eine Funktion f : R R ergibt sich insbesondere ɛ y = y y = κ R ɛ x mit κ R = f (x) x f (x) Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 9 / 11

10 (5) Berechnung der Relative für eine beliebige Funktion κ R = f ( x) x f ( x) Die Eingangsgröße x kann vektoriell sein und die Funktion f kann einen Vektor ergeben. einer regulären Matrix Sei A eine reguläre (n, n)-matrix cond(a) = A 1 A Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 10 / 11

11 eines Algorithmus Ein Algorithmus heißt gutartig oder stabil, wenn die durch ihn im Laufe der Rechnung erzeugten Fehler in der Größenordnung des durch die des Problems bedingten unvermeidbaren Fehlers bleiben. a a Zitat aus: Dahmen, Reusken; Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler; S. 42; Springer Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14 11 / 11