Numerische Mathematik

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1 Numerische Mathematik 0 Organisatorisches Version Thorsten Struckmann

2 0 Organisatorisches Numerische Mathematik Kursziele Kursinhalte Ablauf Literatur Numerische Mathematik WS Struckmann 2

3 Über mich Raum: F [email protected] Web: Sprechstunde: Do 14:00-15:00 Lehre Mathematik Numerische Mathematik Angewandte Informatik Physik F & E Elektrochemie Redox-Flow-Batterien Numerische Mathematik WS Struckmann 3

4 Quarks & Co Hintergrund Software & Finanzen ,00 World GDP scenarios 80000, , , ,00 0, Numerische Mathematik WS Struckmann 4

5 Numerische Mathematik? Beispiel Numerische Simulation der Strömung um Tragfläche Numerische Mathematik WS Struckmann 5

6 Numerik, Mathematik, Informatik, Technik, Computing, Numerische Mathematik Näherungsweise Berechnung von Gleichungslösungen, Funktionswerten, Integralen, auf Computern, weil die Größen nicht analytisch berechenbar sind die Rechnung von Hand auf Grund des Aufwands und der gewünschten Zuverlässigkeit nicht in Frage kommt. Numerische Mathematik WS Struckmann 6

7 Ziele der Numerischen Mathematik Geeignete Näherungs- bzw. Diskretisierungsmethoden für mathematische Probleme liefern Konvergenz der numerischen Lösung zur echten Lösung beurteilen Numerische Methoden in effiziente und stabile Algorithmen übersetzen Ergebnisse verifizieren Elemente der Mathematik und Informatik Numerische Mathematik WS Struckmann 7

8 Was will dieser Kurs? Dieser Kurs ist eine Einführung in die Grundlagen der Numerischen Mathematik. eine Darstellung von ausgewählten, numerischen Methoden und Algorithmen als Bausteine zur Lösung komplexer Probleme. Kompetenzen Sie können in typischen Anwendungssituationen eine geeignete Numerische Methode begründet auswählen. ausgewählte Numerische Methoden als Verfahren zur Lösung typischer Probleme des wissenschaftlichen Rechnens erläutern und anwenden. in einer höheren Programmiersprache (MATLAB) implementieren und anwenden. in Bezug auf Verfahrensfehler, Störungsempfindlichkeit (Stabilität) und Effekte in speziellen Situationen beschreiben. in Bezug auf deren Effizienz abschätzen. Rundungsfehler & Fortpflanzung von Rundungs- und Datenfehlern abschätzen. die Störungsempfindlichkeit (Kondition) typischer Numerischer Probleme abschätzen. Numerische Mathematik WS Struckmann 8

9 Kursinhalte 0 Organisatorisches Kursziele, Ablauf, Literatur 1 Grundlagen 1. Gleitpunktarithmetik 2. Fehlerfortpflanzung 2 Nichtlineare Gleichungen 1. Nullstellenbestimmung 2. Nichtlineare Gleichungssysteme 3 Lineare Gleichungssysteme 1. Direkte Verfahren 2. Iterative Verfahren 3. Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Interpolation und Approximation 1. Interpolation mit Polynomen 2. Trigonometrische Interpolation 3. Ausgleichsrechnung 5 Differentiation und Integration 1. Numerische Differentiation 2. Numerische Integration 6 AWP für gewöhnliche Dgl 1. Euler-Verfahren 2. Runge-Kutta-Verfahren 7 Rückblick 1. Probeklausur und Wiederholung 2. Klausur Numerische Mathematik WS Struckmann 9

10 Workload: 5.0 Credit Points Präsenzstudium 3+1 SWS Selbststudium!!!!!!! Lehrveranstaltungstermine Kursablauf Sem. Unterricht: Donnerstag :15 Uhr Raum F 522 (F 328) Labor: Dienstag Uhr Raum F 341, ab Anwesenheit in 6 Vierteln erforderlich Vorstellung von Lösungen im Labor erforderlich Einteilung: Unterlagen EMIL-Lernraum: Numerische Mathematik (Str) W16 MuP-Homepage Übungsaufgaben: Skript, Laboraufgaben, Begleit-Literatur Prüfungsform Klausur Termin: Fr, , 08:30 (90 Minuten) Inhalt: Ähnlich den Übungs- und Laboraufgaben, Bestehen: Mindestens 50% Punkte Zugelassene Hilfsmittel Selbst erstellte Formelsammlung (6 Seiten) wiss. TR, keine programmierbaren oder CAS-Rechner Numerische Mathematik WS Struckmann 10

11 Termine SW KW Tag su su-nr Inhalt su Tag Labor L-Nr Gruppen Inhalt Labor Sep 1.1 Gleitpunktarithmetik Sep 1.2 Fehlerfortpflanzung Okt 2.1 Nullstellenbestimmung 04. Okt 1 A,B Okt 2.2 Nichtlin. Gleichungssysteme 11. Okt 1 C,D Okt 3.1 Direkte Verfahren 18. Okt 2 A,B Okt 3.2 Iterative Verfahren 25. Okt 2 C,D Nov 3.3 Eigenwerte und Vektoren 01. Nov 3 A,B Nov 4.1 Interpolation mit Polynomen 08. Nov 3 C,D Nov 4.2 Trigonom. Interpolation 15. Nov 4 A,B Nov 4.3 Ausgleichsrechnung 22. Nov 4 C,D Dez 5.1 Numerische Differentiation 29. Nov 5 A,B Dez 5.2 Numerische Integration 06. Dez 5 C,D Dez 6.1 Euler-Verfahren 13. Dez 6 A,B Dez 6.2 Runge-Kutta-Verfahren 20. Dez 6 C,D Jan 7.1 Probeklausur&Wiederholung 10. Jan 7 A,B Jan 7.1 Probeklausur&Wiederholung 17. Jan 7 C,D Feb 7.2 Klausur (08:30) Numerische Mathematik WS Struckmann 11

12 Literatur - Lehrbücher Als ebooks über HAW-Bibliothek oder online erhältlich M. Knorrenschild: Numerische Mathematik - Eine beispielorientierte Einführung. Hanser Verlag, 5. Auflage 2013 (14.90!!) A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB. Springer Verlag, 2005 W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, 2. Auflage 2007 H. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik. Springer Verlag, 8. Auflage 2011 C. Moler, Numerical Computing with MATLAB. Electronic edition: The MathWorks, Inc., Natick, MA, Print edition: SIAM, Philadelphia, G.R. Lindfield, J.E.T. Penny: Numerical Methods Using MATLAB. Elsevier, 3rd Edition 2012 Numerische Mathematik WS Struckmann 12

13 1 Grundlagen 1.1 Gleitpunktarithmetik Datentypen Gleitpunktzahlen Rechengeschwindigkeit 1.2 Fehler und Fehlerfortpflanzung Fehlerquellen in der Modellierung Absoluter und Relativer Fehler Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit Fehlerfortpflanzung bei ungenauen Eingabedaten Verfahrensfehler Numerische Mathematik WS Struckmann 13

14 2 Nichtlineare Gleichungen 2.1 Iterative Nullstellenbestimmung Gleichungen und Nullstellen Bisektion Fixpunktiteration Newton-Verfahren MATLAB fzero 2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme Newton-Verfahren für Systeme Fixpunktiteration Numerische Mathematik WS Struckmann 14

15 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1 Direkte Verfahren Rückblick Gauss-Verfahren Dreieckszerlegungen: LU-Zerlegung Pivotisierung Kondition und Fehlerfortpflanzung 3.2 Iterative Verfahren Jakobi, Gauss-Seidel, SOR Fixpunkt-Verfahren und Abbruchkriterien 3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren Extreme Eigenwerte Potenzverfahren Alle Eigenwerte QR-Verfahren Numerische Mathematik WS Struckmann 15

16 4 Interpolation und Approximation 4.1 Interpolation mit Polynomen Polynominterpolation Splineinterpolation (Linear, Kubisch) 4.2 Trigonometrische Interpolation Periodische Funktionen und Fourier-Reihen Interpolation durch trigonometrische Funktionen Anwendungen 4.3 Ausgleichsrechnung - Approximation Ausgleichsproblem und Fehlerfunktional Lineares Ausgleichsproblem (Lineare Regression) Numerische Mathematik WS Struckmann 16

17 5 Numerische Differentiation und Integration 5.1 Differentiation Differenzenformeln für f höhere Ableitungen partielle Ableitungen Fehlerordnung 5.2 Integration Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel Quadraturfehler Gauss-Quadratur Adaptive Quadratur Numerische Integration in MATLAB Numerische Mathematik WS Struckmann 17

18 6 AWP für gewöhnliche Dgl 6.1 Euler-Verfahren AWP und Richtungsfeld Euler-Verfahren Lokaler und globaler Fehler Systeme von Dgl und Dgl höherer Ordnung 6.2 Runge-Kutta-Verfahren Heun-Verfahren Varianten des Runge-Kutta-Verfahrens Schrittweitensteuerung Anfangswertprobleme in MATLAB Numerische Mathematik WS Struckmann 18