Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008

Transkript

1 1 / 34 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 34 Technisches Vorlesungswebsite: Übungsgruppen zunächst wie in Mathe A III aber sehen wir...

3 3 / 34 Literatur 1. Van Loan: Introduction to Scientific Computing, Matlab Curriculum Series 2. Stoer: Numerische Mathematik 1, Springer 3. Stoer, Bulirsch: Numerische Mathematik 2, Springer 4. Hämmerlin, Hoffmann: Numerische Mathematik, Springer verschiedene Skripte im Web der Uni Erlangen...

4 Einführung 4 / 34

5 5 / 34 Einführung Was ist Numerik? Konstruktion von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme Analyse von Algorithmen zur... Anwendung von Algorithmen zur... Wozu Numerik? Explizite Lösung nicht angebbar Explizite Lösung zu aufwendig

6 Beispiele Simulation des Kristallwachstums in einer unterkühlten Schmelze. 6 / 34

7 7 / 34 Beispiele Bildsegmentierung 2d und 3d

8 8 / 34 Beispiele Strömungsberechnung: Karmansche Wirbelstrasse

9 9 / 34 Beispiele Simulation des Pincheffekts bei flüssigen Leitern im Magnetfeld

10 10 / 34 Fehler In der Numerik treten eine Menge Fehler auf, manche ärgerlicherweise nicht wirklich vermeidbar. Daher steht am Beginn jeder Numerikvorlesung die Beschäftigung mit Fehlern eigentlich zieht sich dies durch die gesamte Numerik hin. Mögliche Fehlerquellen sind: Rundungsfehler: Fliesskommarechnungen sind notwendig ungenau Approximationsfehler: Funktionen, Ableitungen, Integrale etc werden nur näherungsweise berechnet Datenfehler: Messdaten sind meist ungenau Darstellungsfehler: Graphische oder numerische Ausgabe ist ungenau...

11 11 / 34 Absoluter und relativer Fehler Es sei x ein gegebener Skalar (d.h. eine Zahl) und x eine Approximation von x. Man unterscheidet den absoluten Fehler vom relativen Fehler err rel := err abs := x x x x x = err abs x

12 12 / 34 Absoluter und relativer Fehler Ist der relative Fehler in der Größenordnung 10 d, so ist x ungefähr auf d Stellen genau, d.h. es gibt eine Zahl τ mit und es gilt: x = x + τ. τ = ±( }{{} n d+1 n d+2...) 10 e d Nullen

13 13 / 34 Beispiel: Stirlingsche Formel Die Stirlingsche Formel n! ( n ) n 2πn e ist eine bekannte Näherungsformel zur Berechnung der Fakultät n!.

14 14 / 34 Beispiel: Stirlingsche Formel Wir betrachten absolute und relative Fehler, berechnet mit dem Matlab Skript Stirling.m aus Van Loan. Online Demo...

15 15 / 34 Rundungsfehler Numerische Berechnungen liefern oft andere Ergebnisse, als die Mathematik eigentlich erwarten lässt. Wir betrachten Partialsummen der Taylorreihe von e x : e x = n k=0 x k k! + eη (n + 1)! xn+1. Eigentlich sollte man erwarten, daß der (absolute) Fehler e η (n + 1)! xn+1 mit wachsendem n immer kleiner wird immerhin konvergiert die Taylorreihe ja überall!!!

16 16 / 34 Rundungsfehler Die MatLab Beispielrechnung mit ExpTaylor.m (Van Loan) zeigt aber ein anderes Bild abhängig von der Wahl von x scheinen die Fehler zwar bei größerem n, also bei mehr Summanden, tatsächlich kleiner zu werden, allerdings nicht beliebig klein!

17 Rundungsfehler: x = / 34

18 Rundungsfehler: x = / 34

19 19 / 34 Rundungsfehler Das ist kein Einzelfall selbst wenn man harmlos wirkende Funktionen wie das Polynom p(x) := (x 1) 6 = x 6 6x x 4 20x x 2 6x + 1 in der Nähe der Nullstelle x 0 = 1 berechnet, geschehen je nach Formel erstaunliche Dinge!

20 Rundungsfehler: x 6 6x x 4 20x x 2 6x / 34

21 Rundungsfehler: (x 1) 6 21 / 34

22 22 / 34 Rundungsfehler Was ist da los? Offenbar haben mathematisch äquivalente Formulierungen unterschiedliche numerische Eigenschaften! Eine Erklärung dafür muß auf die Gleitkommadarstellung von Zahlen im Computer und das Rechnen mit diesen eingehen...

23 23 / 34 Gleitkomma- Arithmetik Definition: Eine Gleitkommazahl x ist die approximative Darstellung einer reellen Zahl der Form x = ±0.b 1 b 2...b t β e mit Basis β, Mantisse m = 0.b 1 b 2...b t der Mantissenlänge t und Exponent e. Die b i mit 0 b i β 1 sind Ziffern bezüglich der Basis β.

24 24 / 34 Gleitkomma- Arithmetik Die Menge F(β,t,L,U) aller Gleitkommazahlen mit Exponent L e U und Mantissenlänge t ist eine endliche Teilmenge der rationalen Zahlen F(β,t,L,U) Q. Definition: Ist b 1 0, so ist x eine normalisierte Gleitkommazahl. Die 0 selbst ist ebenfalls eine Gleitkommazahl, hier nehmen wir an, daß Mantisse und Exponent der 0 ebenfalls Null sind.

25 25 / 34 Beispiel: Ein Gleitkommazahlensystem Ein Beispielsystem (β,t,l,u) = (10,2, 1,2) zur Illustration: Es gibt 90 verschiedene darstellbare normalisierte Mantissen: und vier mögliche Exponenten m {0.10,0.11,,0.98,0.99} e { 1,0,1,2} Insgesamt (mit negativen Zahlen und der Null) haben wir also 721 verschiedene normalisierte Gleitkommazahlen.

26 26 / 34 Beispiel: Ein Gleitkommazahlensystem Die kleinste darstellbare positive Gleitkommazahl ist die größte x m = x M = Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Gleitkommazahlen variiert!

27 27 / 34 Gleitkomma- Arithmetik Für eine reelle Zahl x bezeichnen wir mit fl(x) die Gleitkommazahl, die am nähsten an x herankommt. Es gilt: Satz: und Definition: Seien F(β,t,L,U) und x R mit β L < x < β U gegeben. Dann gilt für den relativen Darstellungsfehler fl(x) x x 1 2 β 1 t. Die Zahl eps := 1 2 β 1 t heißt Maschinengenauigkeit. Ist in Octave direkt vorhanden.

28 28 / 34 Demo Online mit MatLab Skript FpFacts.m aus Van Loan...

29 29 / 34 Gleitkomma- Arithmetik Wir modelieren die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für zwei Gleitkommazahlen folgendermassen: Rechnung exakt ausführen Ergebnis normalisieren (mit exakter Mantisse!) Mantisse auf Mantissenlänge t runden Damit ist klar, daß wir bei jeder Gleitkommarechnung mit Rundungsfehlern rechnen müssen... (-;

30 30 / 34 Beispiel Sei (β,t,l,u) = (10,3, 9,9). Wir addieren x = 12.3 und y = 5.27 also folgendermaßen: exakte Rechnung: = normalisieren: = Mantisse runden: z = x + y =

31 Gleitkomma- Arithmetik Ähnlich wie die Rundungsfehler durch endliche Mantissenlänge schränkt auch der endliche Bereich für den Exponenten die Gleitkommadarstellung auf mindesten zwei Weisen ein: y Definition: Underflow und Overflow ist das Ergebnis einer Gleitkommarechnung betragsmäßig kleiner als x m aber ungleich 0, so ensteht ein Underflow (Unterlauf). ist das Ergebnis einer Gleitkommarechnung betragsmäßig größer als x M, so entsteht ein Overflow (Überlauf). Standardrückgabewert ist inf. Ein Underflow kann als Rückgabewert eine 0 erzeugen, manchmal allerdings bricht das Programm mit einer floating point exception ab. In der Praxis (siehe etwa IEEE ) ist die Geschichte noch ein wenig komplizierter, aber hier reicht uns dies. 31 / 34

32 32 / 34 Interpolation Aufgabenstellung: Gegeben sind endlich viele Datenpunkte. Finde eine Funktion, die diese Punkte verbindet und den Trend geeignet wiedergibt... Spezialfall Polynominterpolation: Gegeben seien n verschiedene Zahlen x 1,x 2,...,x n und zugehörige Werte y 1,y 2,...,y n. Finde ein Polynom p n 1 (x) vom Grad n 1 mit p n 1 (x i ) = y i i = 1 : n.

33 33 / 34 Interpolation Fragen zur Polynominterpolation Wie repräsentieren wir das Interpolationspolynom p n 1? (Basis?) Standardbasis Monome 1,x,x 2,x 3,...x n 1 sind Basis von P n 1 andere Basen möglich: 1,(x + 2),(x + 2)(x 3) ist auch eine Basis zu P 2 Wie bestimmt man die Koeffizienten von p n 1? Wir werden ein LGS lösen müssen Wie wertet man p n 1 effizient aus? an anderen Stellen auswerten plotten...

34 34 / 34 Vandermonde Ansatz Nicht die beste Idee, aber straight forward : Wir verwenden dazu die Monome als Basis. Beispiel: Finde ein Polynom welches die Daten interpoliert. p 3 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3, ( 2,10),( 1,4),(1,6),(2,3)