Reelles Skalarprodukt
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- Sebastian Zimmermann
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Reelles Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung, : V V R mit folgenden Eigenschaften: Positivität: v, v > 0 für v 0 Symmetrie: Linearität: u, v = v, u λu + ϱv, w = λ u, w + ϱ v, w Dabei sind u, v, w V und λ, ϱ R beliebige Vektoren bzw. Skalare. Skalarprodukt 1-1
2 Reelles Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung, : V V R mit folgenden Eigenschaften: Positivität: v, v > 0 für v 0 Symmetrie: Linearität: u, v = v, u λu + ϱv, w = λ u, w + ϱ v, w Dabei sind u, v, w V und λ, ϱ R beliebige Vektoren bzw. Skalare. Aufgrund der Symmetrie ist ein reelles Skalarprodukt auch bzgl. des zweiten Argumentes linear, also eine Bilinearform auf V. Skalarprodukt 1-2
3 Vektorraum der auf [0, 1] definierten, reellwertigen stetigen Funktionen 1 f, g = f (xg(x dx (Positivität, Linearität, Symmetrie 0 Skalarprodukt 2-1
4 Vektorraum der auf [0, 1] definierten, reellwertigen stetigen Funktionen 1 f, g = f (xg(x dx 0 (Positivität, Linearität, Symmetrie Verallgemeinerung durch Einführung einer positiven Gewichtsfunktion w: 1 f, g w = fg w 0 Skalarprodukt 2-2
5 Vektorraum der auf [0, 1] definierten, reellwertigen stetigen Funktionen 1 f, g = f (xg(x dx 0 (Positivität, Linearität, Symmetrie Verallgemeinerung durch Einführung einer positiven Gewichtsfunktion w: 1 f, g w = fg w gewichtete Skalarprodukte für radialsymmetrische Funktionen auf der Kreisscheibe oder Kugel: 1 0 f (rg(rr dr, f (rg(rr 2 dr Skalarprodukt 2-3
6 Komplexes Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung, : V V C mit folgenden Eigenschaften: Positivität: v, v > 0 für v 0 Schiefsymmetrie: Linearität: u, v = v, u λu + ϱv, w = λ u, w + ϱ v, w Dabei sind u, v, w V und λ, ϱ C beliebige Vektoren bzw. Skalare. Skalarprodukt 3-1
7 Aufgrund der Schiefsymmetrie ist ein komplexes Skalarprodukt bzgl. der zweiten Variablen nicht linear: u, λv + ϱw = λ u, v + ϱ u, w. Lediglich für reelle Skalare ist die komplexe Konjugation ohne Bedeutung. Skalarprodukt 3-2
8 Erläuterung: Die Asymmetrie ist notwendig für die Positivität des komplexen Skalarproduktes, z.b. iv, iv i 2 v, v = v, v < 0 für v 0 Skalarprodukt 4-1
9 Erläuterung: Die Asymmetrie ist notwendig für die Positivität des komplexen Skalarproduktes, z.b. iv, iv i 2 v, v = v, v < 0 für v 0 Antisymmetrie iv, iv = i v, iv = (īi v, v = v, v > 0 Skalarprodukt 4-2
10 Erläuterung: Die Asymmetrie ist notwendig für die Positivität des komplexen Skalarproduktes, z.b. iv, iv i 2 v, v = v, v < 0 für v 0 Antisymmetrie iv, iv = i v, iv = (īi v, v = v, v > 0 Die Positivität ist notwendig für die Definition der induzierten Norm v = v, v Skalarprodukt 4-3
11 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt 5-1
12 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt Eigenschaften 10x 1 y 1 + x 2 y 2 Skalarprodukt 5-2
13 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt 10x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 Eigenschaften alle Skalarprodukt 5-3
14 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt 10x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 Eigenschaften alle Linearität Skalarprodukt 5-4
15 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt Eigenschaften 10x 1 y 1 + x 2 y 2 alle x 1 y 2 Linearität x 1 y 1 + x 2 y 2 Positivität, Symmetrie x 1 x 2 + y 1 y 2 Skalarprodukt 5-5
16 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt Eigenschaften 10x 1 y 1 + x 2 y 2 alle x 1 y 2 Linearität x 1 y 1 + x 2 y 2 Positivität, Symmetrie x 1 x 2 + y 1 y 2 Symmetrie Skalarprodukt 5-6
17 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt Eigenschaften 10x 1 y 1 + x 2 y 2 alle x 1 y 2 Linearität x 1 y 1 + x 2 y 2 Positivität, Symmetrie x 1 x 2 + y 1 y 2 Symmetrie Die erste Definition beschreibt kein Skalarprodukt auf C 2, da weder Positivität noch Schiefsymmetrie erfüllt ist: (i, 0, (i, 0 = 10i 2 = 10 < 0 10i = (i, 0, (1, 0 (1, 0, (i, 0 = 10i Skalarprodukt 5-7
18 mögliche Definitionen reeller Skalarprodukte für Vektoren x, y, R 2 : Skalarprodukt Eigenschaften 10x 1 y 1 + x 2 y 2 alle x 1 y 2 Linearität x 1 y 1 + x 2 y 2 Positivität, Symmetrie x 1 x 2 + y 1 y 2 Symmetrie Die erste Definition beschreibt kein Skalarprodukt auf C 2, da weder Positivität noch Schiefsymmetrie erfüllt ist: (i, 0, (i, 0 = 10i 2 = 10 < 0 10i = (i, 0, (1, 0 (1, 0, (i, 0 = 10i richtige Erweiterung auf den komplexen Fall: x, y = 10x 1 ȳ 1 + x 2 ȳ 2 Skalarprodukt 5-8
19 Euklidisches Skalarprodukt Für Vektoren x = (x 1,..., x n t, y = (y 1,..., y n t C n ist das kanonische Skalarprodukt durch n y x = x j ȳ j j=1 definiert mit der assoziierten Norm z = z z n 2. Das Superskript bezeichnet dabei die Transposition und komplexe Konjugation eines Vektors. Skalarprodukt 6-1
20 Euklidisches Skalarprodukt Für Vektoren x = (x 1,..., x n t, y = (y 1,..., y n t C n ist das kanonische Skalarprodukt durch n y x = x j ȳ j j=1 definiert mit der assoziierten Norm z = z z n 2. Das Superskript bezeichnet dabei die Transposition und komplexe Konjugation eines Vektors. Die Definition schließt den reellen Fall ein, bei dem die komplexe Konjugation entfällt: y x = y t x = x 1 y 1 + x 2 y x n y n für x, y R n. Skalarprodukt 6-2
21 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i, y = ( 2 2i Skalarprodukt 7-1
22 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 Skalarprodukt 7-2
23 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 = 2 + 8i 2 Skalarprodukt 7-3
24 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 = 2 + 8i 2 = 8i Skalarprodukt 7-4
25 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 = 2 + 8i 2 = 8i Konjugieren ist notwendig für die Positivität der assoziierten Norm keine Konjugation falsche Definition der Längen Skalarprodukt 7-5
26 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 = 2 + 8i 2 = 8i Konjugieren ist notwendig für die Positivität der assoziierten Norm keine Konjugation falsche Definition der Längen x : (1 + 2i 2 + ( 2 i 2 = 1 + 4i i 1 Skalarprodukt 7-6
27 x = komplexes Skalarprodukt: ( 1 + 2i 2 i, y = ( 2 2i x, y = (1 + 2i 2 + ( 2 i 2i = 2 + 4i + 4i + 2i 2 = 2 + 8i 2 = 8i Konjugieren ist notwendig für die Positivität der assoziierten Norm keine Konjugation falsche Definition der Längen x : (1 + 2i 2 + ( 2 i 2 = 1 + 4i i 1 = 8i R y : (2i 2 = 4 4 = 0 0 Skalarprodukt 7-7
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