Unitäre und orthogonale Matrix

Transkript

1 Unitäre und orthogonale Matrix Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär, falls A 1 = A t = A, d.h. falls die Spalten von A eine orthonormale Basis von C n bilden. Unitäre und orthogonale Matrizen 1-1

2 Unitäre und orthogonale Matrix Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär, falls A 1 = A t = A, d.h. falls die Spalten von A eine orthonormale Basis von C n bilden. Für relle Matrizen entfällt (wie beim Skalarprodukt) die komplexe Konjugation, A 1 = A t, und man spricht von einer orthogonalen Matrix. Unitäre und orthogonale Matrizen 1-2

3 Unitäre und orthogonale Matrix Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär, falls A 1 = A t = A, d.h. falls die Spalten von A eine orthonormale Basis von C n bilden. Für relle Matrizen entfällt (wie beim Skalarprodukt) die komplexe Konjugation, A 1 = A t, und man spricht von einer orthogonalen Matrix. Eine reelle (komplexe) Matrix A ist genau dann orthogonal (unitär), wenn sie die euklidische Norm jedes Vektors invariant lässt: Av = v Unitäre und orthogonale Matrizen 1-3

4 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. Unitäre und orthogonale Matrizen 2-1

5 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. (i) A unitär = (Ay) (Ax) = y A Ax = y x Unitäre und orthogonale Matrizen 2-2

6 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. (i) A unitär = (Ay) (Ax) = y A Ax = y x Invarianz des komplexen Skalarproduktes, was Normtreue einschließt Unitäre und orthogonale Matrizen 2-3

7 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. (i) A unitär = (Ay) (Ax) = y A Ax = y x Invarianz des komplexen Skalarproduktes, was Normtreue einschließt (ii) Normtreue = Spalten v j von A als Bilder der Einheitsvektoren e j normiert: v j = Ae j = 1 Unitäre und orthogonale Matrizen 2-4

8 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. (i) A unitär = (Ay) (Ax) = y A Ax = y x Invarianz des komplexen Skalarproduktes, was Normtreue einschließt (ii) Normtreue = Spalten v j von A als Bilder der Einheitsvektoren e j normiert: v j = Ae j = 1 zum Beweis der Orthogonalität wähle λ = exp(iϑ), so dass s = v j (λv k ) R Unitäre und orthogonale Matrizen 2-5

9 Beweis: Es genügt, den allgemeineren komplexen Fall zu betrachten. (i) A unitär = (Ay) (Ax) = y A Ax = y x Invarianz des komplexen Skalarproduktes, was Normtreue einschließt (ii) Normtreue = Spalten v j von A als Bilder der Einheitsvektoren e j normiert: v j = Ae j = 1 zum Beweis der Orthogonalität wähle λ = exp(iϑ), so dass s = v j (λv k ) R Normtreue und Definition der euklidischen Norm 2 = e j + λe k 2 = v j + λv k 2 = v j 2 + λ 2 v k 2 + vj (λv k ) + (λv k ) v j = 2 + 2s }{{} = s=s = s = 0 und somit ebenfalls v j v k = 0 Unitäre und orthogonale Matrizen 2-6

10 Beispiel: Für n = 2 k existieren bis auf Skalierung orthogonale Matrizen H k der Dimension n n mit Einträgen in { 1, 1}, die so genannten Hadamard-Matrizen. Unitäre und orthogonale Matrizen 3-1

11 Beispiel: Für n = 2 k existieren bis auf Skalierung orthogonale Matrizen H k der Dimension n n mit Einträgen in { 1, 1}, die so genannten Hadamard-Matrizen. H 1 = ( 1 ), Unitäre und orthogonale Matrizen 3-2

12 Beispiel: Für n = 2 k existieren bis auf Skalierung orthogonale Matrizen H k der Dimension n n mit Einträgen in { 1, 1}, die so genannten Hadamard-Matrizen. H 1 = ( 1 ), H 2 = ( ), Unitäre und orthogonale Matrizen 3-3

13 Beispiel: Für n = 2 k existieren bis auf Skalierung orthogonale Matrizen H k der Dimension n n mit Einträgen in { 1, 1}, die so genannten Hadamard-Matrizen. H 1 = ( 1 ), H 2 = ( ), H 4 = Unitäre und orthogonale Matrizen 3-4

14 Beispiel: Für n = 2 k existieren bis auf Skalierung orthogonale Matrizen H k der Dimension n n mit Einträgen in { 1, 1}, die so genannten Hadamard-Matrizen. H 1 = ( 1 ), H 2 = ( ), H 4 = Rekursion: ( Hk H H 2k = k H k H k ) Unitäre und orthogonale Matrizen 3-5

15 Beispiel Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erhält man die sogenannte Fourier-Matrix W n = wn 0 0 wn 0 (n 1).. w n (n 1) 0 w n (n 1) (n 1). Unitäre und orthogonale Matrizen 4-1

16 Beispiel Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erhält man die sogenannte Fourier-Matrix W n = wn 0 0 wn 0 (n 1).. w n (n 1) 0 w n (n 1) (n 1). Sie ist nach Normierung (W n W n / n) unitär, d.h. W n W n /n ist die Einheitsmatrix. Unitäre und orthogonale Matrizen 4-2

17 Beispiel Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erhält man die sogenannte Fourier-Matrix W n = wn 0 0 wn 0 (n 1).. w n (n 1) 0 w n (n 1) (n 1). Sie ist nach Normierung (W n W n / n) unitär, d.h. W n W n /n ist die Einheitsmatrix. Die Orthogonalität der Spalten folgt aus der geometrischen Summenformel n 1 wn lj wn lk = l l=0 w (j k)l n Unitäre und orthogonale Matrizen 4-3

18 Beispiel Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erhält man die sogenannte Fourier-Matrix W n = wn 0 0 wn 0 (n 1).. w n (n 1) 0 w n (n 1) (n 1). Sie ist nach Normierung (W n W n / n) unitär, d.h. W n W n /n ist die Einheitsmatrix. Die Orthogonalität der Spalten folgt aus der geometrischen Summenformel n 1 wn lj wn lk = l l=0 w (j k)l n = w (j k)n n 1 w j k n 1 Unitäre und orthogonale Matrizen 4-4

19 Beispiel Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erhält man die sogenannte Fourier-Matrix W n = wn 0 0 wn 0 (n 1).. w n (n 1) 0 w n (n 1) (n 1). Sie ist nach Normierung (W n W n / n) unitär, d.h. W n W n /n ist die Einheitsmatrix. Die Orthogonalität der Spalten folgt aus der geometrischen Summenformel da w n n = 1. n 1 wn lj wn lk = l l=0 w (j k)l n = w (j k)n n 1 w j k n 1 = 0, Unitäre und orthogonale Matrizen 4-5

20 Normale Matrizen Eine komplexe Matrix A heißt normal, falls AA = A A, mit A = Ā t. Insbesondere sind unitäre und hermitesche Matrizen normal. Unitäre und orthogonale Matrizen 5-1

21 Normale Matrizen Eine komplexe Matrix A heißt normal, falls AA = A A, mit A = Ā t. Insbesondere sind unitäre und hermitesche Matrizen normal. Für relle normale Matrizen ist AA t = A t A, was insbesondere für orthogonale und symmetrische Matrizen erfüllt ist. Unitäre und orthogonale Matrizen 5-2

22 Beweis: A unitär = AA = AA 1 = E = A 1 A = A A Unitäre und orthogonale Matrizen 6-1

23 Beweis: A unitär = A hermitesch = AA = AA 1 = E = A 1 A = A A AA = AA Unitäre und orthogonale Matrizen 6-2

24 Beweis: A unitär = A hermitesch = AA = AA 1 = E = A 1 A = A A AA = AA = A A Unitäre und orthogonale Matrizen 6-3

25 Beweis: A unitär = A hermitesch = AA = AA 1 = E = A 1 A = A A AA = AA = A A Unitäre und orthogonale Matrizen 6-4

26 Beweis: A unitär = A hermitesch = AA = AA 1 = E = A 1 A = A A AA = AA = A A Beide Eigenschaften sind demnach hinreichend für Normalität. Unitäre und orthogonale Matrizen 6-5

27 Beispiel: ( ) 1 a A = b c Unitäre und orthogonale Matrizen 7-1

28 Beispiel: = normal, falls ( ) 1 a A = b c ( ) ( ) ( ) AA t 1 a 1 b 1 + a 2 b + ac = = b c a c b + ac b 2 + c 2 ( ) ( ) ( ) A t 1 b 1 a 1 + b 2 a + bc A = = a c b c a + bc a 2 + c 2 a = ±b b + ac = a + bc a = b (a = b, c = 1) Unitäre und orthogonale Matrizen 7-2