Numerik I. Aufgaben und Lösungen

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1 Universität zu Köln SS 2009 Mathematisches Institut Prof Dr C Tischendorf Dr M Selva, mselva@mathuni-koelnde Numerik I Musterlösung Übungsblatt 4, Kondition (5 Punkte) Aufgaben Lösungen (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle Vektoren x R n Zeigen Sie, dass daraus folgt, dass x 2 x n x 2 n cond 2(A) cond (A) ncond 2 (A), Sei x R n so, dass x k =, k n Wir haben dann, dass = x k n x i = x i= ( n ) /2 ( n x 2 = x i 2 = x i x i ( i= i= ) /2 /2 n x i ) = x x i= Die zweite Ungleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung n x i y i x 2 y 2, für alle x, y R n, i= wenn man den Vektor y R n so wählt, dass y i = sign(x i ) Damit haben wir, dass Ax A = sup x =0 x n Ax 2 sup x =0 x 2 = n A 2, A R n n

2 cond (A) = A A n A 2 n A 2 = n cond 2 (A) Auf der anderen Seite, Ax 2 A 2 = sup x =0 x 2 sup x =0 Ax n x = n A, A R n n cond 2 (A) = A 2 A 2 n A n A = n cond (A) 2 (6 Punkte) Wir betrachten das Gleichungssystem Ax = b mit ( ) ( 2 A =, b = 4) (a) Nehmen wir an, dass die Koeffizienten der Matrix A genau vorliegen Wie groß darf der relative Fehler in der Maximumnorm in der rechten Seite sein, damit der relative Fehler (in der Maximumnorm) in der Lösung kleiner als 0 2 ist? (b) Wenn die Elemente von A mit relativer Genauigkeit von mindestens 0 3 gegeben werden Ist es möglich, bei exakt vorgegebener rechter Seite b, eine Genauigkeit von 0 2 in der Lösung zu erreichen? (a) Wir können folgende Abschätzung aus der Vorlesung benutzen (Satz 35 im Skript, mit δ A = 0, = 0, da die Koeffizienten der Matrix A genau vorliegen Als Norm wählen wir die Maximumnorm) cond (A) δ b Wenn der relative Fehler in der rechten Seite δ b so ist, dass cond (A) δ b 0 2, ist der relative Fehler in der Lösung kleiner oder gleich 0 2 Die Maximumnorm von A ist gleich 3 Die Inverse von A ist die Matrix ( ) 2 A =, 2

3 deren Maximumnorm auch gleich 3 ist Dann sind cond (A) = A A = 9 wenn δ b b 900 cond (A) δ b b 0 2, (b) Nun ist δ A A 0 3, dh, δ A 0 3 A = < A = 3 wir dürfen folgende Abschätzung aus der Vorlesung benutzen (Satz 35 mit δ b = 0, da die Koeffizienten des Vektors b exakt vorliegen) A A A Wählen wir = 3 0 3, dann ist ( δa A ) < 0 2, dh, es ist möglich eine Genauigkeit von 0 2 in der Lösung zu erreichen 3 (5 Punkte) Sei A R n n eine reguläre Matrix Beweisen Sie, dass cond(a) = max Ax x =0 x Ax min x =0 x () Die Regularität der Matrix A ergibt, dass für alle x existiert z, so dass x = Az A = max x =0 A x x = max z 0 Az = max z 0 = min z 0 Az Az 3

4 Daraus folgt, dass cond(a) = A A = max Ax x =0 x min x =0 Ax x Bemerkungen: Die Kondition von einer Matrix ist immer größer oder gleich 4 Zusatzaufgabe Sei A R n n regulär Beweisen Sie, dass min { δ A 2 : A + δ A singulär} = A 2 gilt Zeigen Sie, dass daraus folgt { } δa 2 min : A + δ A singulär = A 2 cond 2 (A) Das heißt, die reziproke Konditionszahl gibt gerade den relativen Abstand von A zur nächstgelegenen singulären Matrix an Aus dem Satz (35) der Vorlesung folgt, dass wenn A + δ A eine singuläre Matrix ist, dann ist δ A 2 A 2, das heißt min { δ A 2 : A + δ A singulär} A 2 (2) Wegen der Stetigkeit der Matrixnorm sowie der Abgeschlossenheit der Menge der singulären Matrizen aus R n n wird das Minimum in (2) tatsächlich angenommen Um zu zeigen, dass dieses gleich / A 2 ist, konstruieren wir eine Störung δ A mit δ A 2 = / A 2 so, dass A+δ A eine singuläre Matrix ist Sei A = UΣV T eine Singulärwertezerlegung von A (U V sind orthogonale Matrizen Σ ist eine Diagonalmatrix) mit Σ = diag (σ σ 2 σ n ), U = (u u n ), V T =, v n wobei u i die i te Spalte von U bezeichnet v i, die i te Zeile von V T Dann ist A + δ A mit δ A = U ˆΣV T ˆΣ = diag (0 0 σ n ) eine singuläre Matrix Außerdem kann die Matrix δ A as δ A = σ n u n v n geschrieben werden daher δ A 2 = σ 2 n (ut n u n)(v n (v n ) T ) v 4

5 Das heißt, δ A 2 = σ n = /σ n = A 2 Bemerkung: Obwohl die reziproke Konditionszahl einer Matrix den relativen Abstand von A zur nächtstgelegenen singulären Matrix angibt, gibt es sonst fast keine Beziehung zwischen der Determinante einer Matrix ihrer Kondition, wie die folgenden Beispiele zeigen Die Matrizen B n R n n, n N 0 B n = haben Determinante gleich für alle n, aber je größer n wird, desto schlechter konditioniert werden sie, cond (B n ) = n2 n Auf der anderen Seite, die Matrizen D n R n n, n N D n = sind sehr gut konditionert (cond (D n ) = 0 ), obwohl je größer n wird, desto kleiner wird ihre Determinante, det(d n ) = 0 n 5