W Themenkreis 3: Translation und Rotation sowie Themenkreis 8: Trägheitsmoment. 5. Harmonische Schwingungen. Schwingungen eines Federpendels

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1 5. Harmonische Schwingungen Fr m Bild 5.1. Federpendel F r = -Dx F r -A 0 A x Einführung von Grundbegriffen der Schwingungslehre am Beispiel des Feder- und des Fadenpendels. Überprüfung der Geset- V ze für schwingungsfähige Systeme wie Physikalisches Pendel und Reversionspendel. Vereinfachte Beschreibung realer physikalischer Systeme durch Näherungen. Hochgenaue Bestimmung der Gravitationsbeschleunigung der Erde. Standardlehrbücher Stichworte: Schwingungen, Pendel, Gravitationsbeschleunigung), W Themenkreis 3: Translation und Rotation sowie Themenkreis 8: Trägheitsmoment. G Schwingungen eines Federpendels Lenkt man einen Körper der Masse m eines schwingungsfähigen Systems aus seiner stabilen Ruhelage aus und läßt ihn dann los, so vollführt er periodische Bewegungen um diese Ruhelage. Eine solche Schwingung ist charakterisiert durch die Schwingungsdauer T und die maximale Auslenkung des Körpers, die Amplitude A. Für die quantitative Beschreibung der Schwingungsbewegung bei nicht zu großen Auslenkungen x betrachten wir zunächst die von der Feder, Bild 5.1, auf den Körper ausgeübte rücktreibende Kraft F r = Dx. Die Konstante D wird als Federkonstante, Richtgröße oder Direktionskonstante bezeichnet. Läßt man nun bei einer Auslenkung oder Amplitude x = A den Körper los, so beginnt dieser eine beschleunigte Bewegung in Richtung auf die Gleichgewichtslage x =0. Hier angelangt, besitzt er seine maximale kinetische Energie E kin = mv 2 /2 und damit die Fähigkeit, gegen die rücktreibende Kraft Arbeit zu leisten. Demzufolge durchläuft der Körper die Ruhelage, wird dann aber zunehmend abgebremst, erreicht im reibungsfreien Fall den Umkehrpunkt bei x = A. Hier ist seine kinetische Energie Null, aber die potentielle Energie maximal, und der Körper kehrt seine Bewegungsrichtung wieder um. Der Körper schwingt dann um seine Gleichgewichtslage.

2 Schwingungen eines Federpendels N 53 Nach der Newtonschen Grundgleichung oder Bewegungsgleichung F = ma mit der beschleunigenden Kraft F und der Beschleunigung a = v =ẍ wobei v =dv/dt und ẍ =d 2 x/dt 2 bedeuten) muß in jedem Augenblick diese Beschleunigungskraft F = mẍ gleich der rücktreibenden Kraft F r = Dx sein. Damit lautet die Bewegungsgleichung für die Schwingung eines Pendels mẍ = Dx. Nach Umformung zu ẍ +D/m)x =0ergibt sich eine spezielle Form einer Differentialgleichung, die als Schwingungsgleichung eines Federpendels ẍ + ω 2 x =0 mit ω = D/m bezeichnet wird. Diese Bewegungsgleichung einer freien, harmonischen, ungedämpften Schwingung stellt eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten m, D) dar. Die Größe ω ist dabei eine Konstante, die vom jeweiligen schwingungsfähigen System abhängt. Die Lösung dieser Schwingungsgleichung ist im einfachsten Fall eine Sinusschwingung: xt) =A sin ωt mit A = konstant. Daß diese Lösung die Schwingungsgleichung erfüllt, läßt sich durch Differenzieren leicht zeigen: ẋ = ωa cos ωt und ẍ = ω 2 A sin ωt = ω 2 x, woraus die Schwingungsgleichung ẍ + ω 2 x =0folgt. Sinusfunktionen sind bekanntlich periodisch, daher findet man nach der Dauer einer Schwingung T =2π/ω den gleichen Schwingungszustand wieder vor, denn für t = t 0 + T gilt: xt) =A sin ω t 0 + 2π ) = A sinωt 0 +2π) =A sin ωt 0 = xt 0 ). ω Die reziproke Schwingungsdauer wird als Frequenz f = 1 T = ω 2π bezeichnet. ω =2πf heißt die Kreisfrequenz der Schwingung. Für unseren Fall einer Sinusschwingung gilt für die

3 54 N 5. Harmonische Schwingungen Schwingungungsdauer eines Federpendels T = 2π ω =2π m D. F m r = - mg sin F = mg Bild 5.2. Fadenpendel x Man sieht: Die Schwingungsdauer T ist unabhängig von der Schwingungsamplitude A. Auch wenn A mit der Zeit abnimmt, bleibt die Schwingungszeit T konstant. Die Schwingungszeit ist auch praktisch unabhängig von einer Dämpfung, sofern diese nicht extrem groß wird. Eine allgemeinere Lösung der Schwingungsgleichung lautet: x = A sinωt + α), wie man durch Differenzieren und Einsetzen leicht nachprüfen kann. A und α sind beliebig wählbare Parameter, während ω = D/m durch das jeweilige schwingungsfähige System festgelegt ist. Das Argument ωt+α) der Sinusfunktion bestimmt den augenblicklichen Wert der Auslenkung und wird als Phase bezeichnet. Die Größe α bestimmt die Auslenkung zur Zeit t =0. Speziell für α = π/2 ergibt sich x = A sinωt + π/2) = A cos ωt. Die Größe α wird Phasenkonstante genannt. G Fadenpendel Mathematisches Pendel) Ein Fadenpendel besteht aus einem kugelförmigen Körper der Masse m, der an einem Faden der Länge l hängt, Bild 5.2. Nach einer Auslenkung um den Winkel ϕ vollführt dieses Pendel Schwingungen um seine Ruhelage. Zur Beschreibung dieser Bewegung wird idealisierend angenommen, die Masse sei im Schwerpunkt der Kugel vereint Massenpunkt Modell ) und der Faden sei gewichtslos. Auf den Körper wirkt die Gewichtskraft F = mg g 9,81 m/s 2 ist die ortsabhängige Gravitationsbeschleunigung, auchfall- oder Erdbeschleunigung genannt, deren genauer Wert für Berlin g =9,81288 m/s 2 beträgt). Bei einer Auslenkung um den Winkel ϕ kann man die Kraft F zerlegen in eine in Richtung des Fadens wirkende, von diesem aufgefangene Kraft und in eine hierzu senkrechte, rücktreibende Kraft F r = mg sin ϕ. Diese erzeugt die Beschleunigung ẍ = l ϕ längs der kreisförmigen Pendelbahn. Mit der Newtonschen Grundgleichung F = mẍ ergibt sich aus F = F r : ml ϕ = mg sin ϕ bzw. ϕ + ω 2 sin ϕ =0. Für kleine Amplituden kleine Auslenkwinkel) gilt näherungsweise sin ϕ ϕ, und man erhält die Schwingungsgleichung eines mathematischen Pendels ϕ + ω 2 ϕ =0 mit ω = g l.

4 Physikalisches physisches) Pendel N 55 Diese Differentialgleichung ist vom gleichen Typ wie eben diskutiert, lediglich ist statt des Ortes x beim Federpendel hier der Winkel ϕ die variable Größe. Mit T =2π/ω ergibt sich die Schwingungsdauer eines Fadenpendels bei kleinen Amplituden l T 0 =2π g. Daraus folgt: Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist unabhängig von der Pendelmasse m und bei kleinen Amplituden auch unabhängig von der Schwingungsweite ϕ. Für große Amplituden hat man dagegen die exakte Gleichung ϕ + ω 2 sin ϕ =0 zu lösen, was auf nicht mehr elementar lösbare sog. elliptische Integrale führt. Man kann jedoch folgende Reihenentwicklung als Näherung ansetzen: Schwingungsdauer eines Fadenpendels bei großen Amplituden T = T ϕ 4 sin ϕ ) 64 sin4 2 + l mit T 0 =2π. g G Physikalisches physisches) Pendel Das mathematische Pendel stellt eine Idealisierung eines schwingungsfähigen Systemes dar, bei der die Masse punktförmig lokalisiert ist und der Faden gewichtslos angenommen wird. Bei einem beliebig geformten starren Körper der Masse m, der um eine Achse A drehbar aufgehängt ist und schwingt, Bild 5.3, muß dagegen dessen s s A Drehachse Trägheitsmoment I A = r 2 dm S F r S bezüglich der Drehachse A mit berücksichtigt werden. Der Schwerpunkt S des Körpers liegt im Abstand s von der Drehachse A. Bei Auslenkung um den Winkel ϕ aus der Ruhelage greift am Schwerpunkt wieder wie beim Fadenpendel die in Bahnrichtung wirkende rücktreibende Kraft F r = mg sin ϕ an. Diese erzeugt ein F Bild 5.3. Physikalisches Pendel F rücktreibendes Drehmoment M r = sf r = smg sin ϕ.

5 56 N 5. Harmonische Schwingungen Für kleine Winkel ist wieder näherungsweise sin ϕ ϕ und somit M r = D ϕ mit der Winkelrichtgröße D = smg. Für diese beschleunigte Drehbewegung gilt mit dem Trägheitsmoment I A, völlig analog zur Newtonschen Grundgleichung für die Translation, die Grundgleichung für Drehbewegungen M r = I A ϕ. So erhält man analog zum Fadenpendel die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels D ϕ + ω 2 ϕ =0 mit ω = I A mit der A 1 Drehachse 1 Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels IA T =2π D =2π I A. smg s 1 Drehachse 2 A 2 A 2 S F h Drehachse 2 Diese einfachen Beziehungen gelten allerdings nur für kleine Auslenkungswinkel. Für große Amplituden, die beim physischen Pendel bis zu 180 betragen können, muß man wieder von der exakten Schwingungsgleichung ϕ + ω 2 sin ϕ =0ausgehen und für die Schwingungsdauer die Näherungsformel für größere Amplituden benutzen. Man definiert ferner eine reduzierte Pendellänge l r eines physischen Pendels, die gleich der Länge eines mathematischen Pendels ist, welches die gleiche Schwingungszeit T besitzt: T =2π l r g 2π Damit ergibt sich die I smg. s 2 S F A 1 Drehachse 1 Bild 5.4. Reversionspendel h reduzierte Pendellänge l r = T 2 4π 2 g = I sm. G Reversionspendel Ein Reversionspendel ist ein spezielles physikalisches Pendel, daszwei zueinander parallele Drehachsen A 1 und A 2 besitzt, an denen das Pendel aufgehängt und zu Schwingungen angeregt werden kann, Bild 5.4. Im allgemeinen werden die Schwingungszeiten T 1 um die Drehachse A 1 und T 2 um A 2 nach Umkehrung des Pendels verschieden sein, da sich sowohl die

6 Reversionspendel N 57 Trägheitsmomente I 1 und I 2 als auch die Winkelrichtgrößen D 1 = s 1 mg und D 2 = s 2 mg für die beiden Schwingungsmöglichkeiten unterscheiden. Für die Schwingungsdauern gilt: T 1,2 =2π I 1,2 D1,2 I 1,2 =2π s 1,2 mg mit m: Masse des Pendels, s 1,2 : Abstände des Pendelschwerpunktes S von den Drehachsen A 1 bzw. A 2 und g: Gravitationsbeschleunigung. Die reduzierten Pendellängen l r1 und l r2 für Schwingungen um die beiden Achsen A 1 und A 2, Bild 5.4, sind im allgemeinen verschieden. Durch geeignetes Verschieben der Drehachsen bei gleichbleibender Massenverteilung bzw. durch Veränderung der Massenverteilung des Pendels bei festbleibenden Drehachsen wie bei dem Experiment 5.4 läßt sich jedoch erreichen, daß die Schwingungszeiten T 1 und T 2 gleich werden. Es gilt dann: Die reduzierte Pendellänge l r = l r1 = l r2 eines abgeglichenen Reversionspendels mit T 1 = T 2 ist gleich dem Abstand h = s 1 + s 2 der beiden Drehachsen, Bild 5.4, und man erhält die Schwingungsdauer eines abgeglichenen Reversionspendels h T 1 = T 2 =2π g. Herleitung dieser Beziehung: Das Trägheitsmoment des Pendels für die Drehachse durch den Schwerpunkt S sei I S. Für die Schwingung um die Achse A 1 ist dann nach dem Steinerschen Satz I 1 = I S + m 1 s 2 1 und daher nach Definition der reduzierten Pendellänge l r1 = I 1 = I S + s 1. ms 1 ms 1 Analog ergibt sich: l r2 = I S + s 2. ms 2 Angenommen, es sei l r1 = s 1 + s 2, so ist s 2 = l r1 s 1 = I S /ms 1 und man erhält l r2 = I Sms 1 + I S = s 1 + I S = l r1, mi S ms 1 ms 1 d. h. T 1 = T 2. Mit Reversionspendeln können Präzisionsmessungen der Erd- oder Gravitationsbeschleunigung g durchgeführt werden. Denn außer der Schwingungszeit T braucht nur der Schneidenabstand h gemessen zu werden, was mit hoher Genauigkeit möglich ist.

7 58 N 5. Harmonische Schwingungen Querstab Muffe 5.1 Federpendel 1/1) Schraubenfeder m F ) Halter zur Gewichtsauflage m H ) Visierlinie Bleigewichte m i Dämpfung Metermaßstab verschiebbare Marke x 0 Bild 5.5. Versuchsanordnung zum Federpendel x m H Bild 5.6. Diagramm zur statischen Messung der Federkonstante x i m Nachprüfung der Gesetze für die harmonische Schwingung des V Federpendels. Statische und dynamische Bestimmung der Federkonstanten D. Überprüfung des Einflusses der Federmasse, der Schwingungsweite und der Dämpfung auf die Schwingungszeit. Bestimmung der Richtgröße. Stoppuhr, Schraubenfeder, Halter zur Gewichtsauflage mit Bleigewichtsscheiben, Metermaßstab mit verschiebbarer Marke, Stativ- Z material. Gewindestab mit Dämpfungsscheiben, Becherglas mit Wasser. Statische Messung von D 1/3) K Zunächst werden die Feder m F ) und die Gewichtehalterung m H ) gewogen. Dann bestimmt man die Auslenkung der Feder aufgrund der Gewichtehalterung x 0. Zwecks Ausschaltung der Parallaxe wird z. B. an der Unterseite des Auflagetellers entlangvisiert und die Marke am Maßstab auf die entsprechende Höhe eingestellt, Bild 5.5. Man belastet die Feder nun nacheinander mit unterschiedlichen Kombinationen der Gewichtsscheiben und bestimmt die Auslenkungen x i = x i x 0. J Es werden die Auslenkungen x i über den zugehörigen Werten der Masse m i aufgetragen und aus dem Geradenanstieg D stat bestimmt, Bild 5.6. Dynamische Messung von D 1/3) K Man belastet die Feder nacheinander mit den Gewichtsscheiben, bringt die Feder jeweils zum Schwingen und bestimmt die Schwingungsdauern T i. Die Zeitmessung erfolgt dabei wegen des kleineren Meßfehlers bei den Nulldurchgängen des Schwingers und nicht bei den Umkehrpunkten. Dabei wird die Zeit jeweils für z. B. 10 Schwingungen gemessen. Jede Zeitmessung wird dreimal durchgeführt. 2 Mit dem Ziel einer Linearisierung der Ergebnisse wird T als J Funktion von m aufgetragen, Bild 5.7. Für die Schwingungszeit T gilt bei Berücksichtigung der Federmasse m F die erweiterte Formel T =2π m + m F /3)/D. A T 2 _ 1 m 3 m F Bild 5.7. Diagramm zur dynamischen Messung Aus dem Anstieg B und dem Achsenabschnitt A der mittelnden Geraden werden D und m F bestimmt: T 2 = 4π2 D m + 4π2 m F 3D = Bm + A. Die Fehler bei der statischen und bei der dynamischen Messung werden abgeschätzt und die gewonnenen Werte für D verglichen. Einfluß von Federmasse, Schwingungsweite, Dämpfung 1/3) K Man messe die Dehnung x 0 und die Schwingungszeit der Feder T bei Belastung mit dem Halter m H ) allein. Die Messung wird für eine größere Belastung wiederholt.

8 5.2 Fadenpendel Mathematisches Pendel) N 59 Die gemessenen Schwingungszeiten werden mit den mit Hilfe von J D und m berechneten verglichen. Welchen Einfluss hat dabei die Berücksichtigung der Federmasse m F in der Rechnung. K Bei einer mittleren Belastung m soll geprüft werden, ob sich für sehr kleine, kleine und mittlere Schwingungsweiten x m die gleichen Schwingungszeiten ergeben. Da der erwartete Unterschied klein ist, muß T jeweils genau gemessen werden. Zur Verringerung der Streufehlereinflüsse soll T daher aus jeweils 20 bis 50 Messungen ermittelt werden. J Die Schwingungszeiten bei unterschiedlichen Schwingungsweiten werden vergleichend diskutiert. K Ein dünner Stab, der unten eine Scheibe trägt, wird in den Gewichtehalter eingeschraubt. Die Höhe des Querstabes wird so eingestellt, daß die Dämpfungsscheibe in ein mit Wasser gefülltes Becherglas eintaucht und während der Schwingungen auch unter Wasser bleibt. Für eine mittlere Belastung m soll die Schwingungsdauer T D bei Wasserdämpfung gemessen werden. Wie viele Schwingungen lassen sich messen? J Die Schwingungszeiten der ungedämpften Schwingung werden mit denen für gedämpfte Schwingungen verglichen. Meßsäule Rasierklinge 5.2 Fadenpendel Mathematisches Pendel) 1/1) Präzisionsbestimmung der Erd- oder Gravitationsbeschleunigung V g aus der Länge und der Schwingungsdauer eines Fadenpendels unter Berücksichtigung von Korrekturen. Amplitudenabhängigkeit der Schwingungszeit. Fadenpendel, Stoppuhr. Für die exakte Bestimmung von g: fotoelektrische Zähleinrichtung, Kathetometer zur Messung der Faden- Z länge. Das Pendel besteht aus einer Kugel z. B. Messing, Durchmesser 2r), die über einen dünnen Draht z. B. Stahl, Durchmesser d) an einer Schneide Rasierklinge) drehbar aufgehängt ist. Dieses System verhält sich in erster Näherung wie ein mathematisches Pendel, dessen Länge l gleich dem Abstand Kugelmitte/Schneide ist. Messung der Gravitationsbeschleunigung 2/3) K Die Pendellänge wird mit einem Kathetometer gemessen, das aus einem an einem vertikalen Präzisionsmaßstab verschiebbaren, genau horizontal auszurichtenden Fernrohr besteht. Man stellt das Fadenkreuz nacheinander auf die Schneidenkante, sowie auf die obere und untere Tangentialebene der Kugel ein und ermittelt so l r und l + r, Bild 5.8. Die Messungen werden zweimal wiederholt. Die Gravitationsbeschleunigung g soll mit einem Fehler < 1% bestimmt werden. Zu der hierfür notwendigen sehr genauen Ermittlung der Schwingungszeit ist es sinnvoll, die Zeit für eine große Zahl N von Schwingungen z. B. 1000) zu messen, wobei die Zählung der 2N Nulldurchgänge fotoelektrisch erfolgt, Bild 5.9. Eine Lichtquelle und eine Kathetometer +r -r Lichtschranke Fernrohr vertikal verschiebbar) Kugel Bild 5.8. Versuchsanordnung zum Fadenpendel Lichtschranke vergrößert, 90 Lichtquelle o gedreht) Fotodiode 2r Zähler Bild 5.9. Fotoelektrische Zähleinrichtung

9 60 N 5. Harmonische Schwingungen Tabelle 5.1. Dichten verschiedener Materialien bei 20 C Material Dichte /gcm -3 Luft Stahl Messing Blei 0,0012 7,7 8,4 11,3 Fotodiode werden dazu so aufgestellt, daß die Pendelkugel beim Nulldurchgang das Licht abschattet und der Zähler anspricht. Das Pendel wird nur wenig ausgelenkt, d. h. maximal 5, damit die Bedingung sin ϕ ϕ hinreichend genau erfüllt ist. Anfangs- und Endamplitude werden notiert. Ergänzende Grundlagen: Wegen der angestrebten hohen Genauigkeit bei der g-bestimmung von unter einem Prozent muß bei der Auswertung eine Reihe von Korrekturen berücksichtigt werden, um systematische Fehler, die das Meßergebnis verfälschen, auszuschließen. Trägheitsmoment von Kugel und Aufhängedraht: Da die Pendelmasse nicht punktförmig und der Faden nicht gewichtslos ist, muß man anstelle der Formel für die Schwingungsdauer eines idealen mathematischen Pendels die Gleichung für ein physikalisches Pendel verwenden: I T =2π D. Das Trägheitsmoment einer Kugel der Masse m für eine Achse durch den Schwerpunkt ist I S =2/5)mr 2 und für Drehungen um eine Achse A im Abstand l nach dem Steinerschen Satz I A = I S + ml 2.Das Trägheitsmoment des Drahtes der Masse µ und der Länge l, also eines sehr dünnen Stabes, ist bei Drehung um eine senkrechte Achse durch den Schwerpunkt I S =1/12)µl2, bei Drehung um die Achse A im Abstand l/2 vom Schwerpunkt I A = I S + µl2 /4. Das gesamte Trägheitsmoment des Pendels ist daher: I = ml r ) ) µl 2 l ) = ml r ) 2 1 µ +. 5 l 3 m Die Masse der Kugel m = Vρ Kugel = 4/3)πr 3 ρ Kugel ) wird aus dem Radius r und der Dichte ρ Kugel bestimmt, die Masse des Drahtes µ = πd 2 lρ Draht /4) aus Länge l, Durchmesser d und Dichte ρ Draht des Drahtes. Die Dichten verschiedener Materialien sind in Tabelle 5.1 angegeben. Der Auftrieb in Luft: Die Schwerkraft F G = mg, die an der Pendelkugel angreift, ist noch um die Auftriebskraft F a = Vρ L g zu vermindern V = m/ρ Kugel ; Dichte der Luft ρ L s. Tabelle 5.1). Die resultierende Kraft ist daher F = mg Vρ L g = mg 1 ρ ) L. ρ Kugel Winkelrichtgröße: Die resultierende Winkelrichtgröße D ergibt sich aus dem am Kugelmittelpunkt angreifenden Drehmoment mglϕ1 ρ L /ρ Kugel ) und dem im Drahtschwerpunkt angreifenden Moment µgϕl/2: D = mgl 1 ρ L + 1 ) µ. ρ Kugel 2 m )

10 5.2 Fadenpendel Mathematisches Pendel) N 61 Umrechnung auf unendlich kleine Ausschläge: Ist ϕ m Angabe im Bogenmaß!) die mittlere Schwingungsweite, dann gilt nach der angegebenen Näherungsformel, wenn man nach dem quadratischen Glied abbricht: I T =2π D 1+ 1 ϕ ) 4 sin2 m I 2 + 2π D 1+ 1 ) 16 ϕ2 m. Zusammenfassung der Korrekturen: Aus den vorstehenden vier Korrekturen ergibt sich, wenn man die Näherung 1 + ε)/1 + δ) 1+ε δ für ε, δ 1 verwendet, g = 4π2 l T r ) 2 ρ L + 1 µ 5 l ρ Kugel 6 m + 1 ) 8 ϕ2 m. Aus den Messungen von l und T wird unter Berücksichtigung der J Korrekturen der Wert für g berechnet. Bei der Fehlerabschätzung können Fehler der Korrekturgrößen wegen Geringfügigkeit unberücksichtigt bleiben. Vergleich des Ergebnisses mit dem Literaturwert. Weitere kleinere, deshalb hier nicht berücksichtigte Korrekturen: Die Pendelmasse bewegt auch die umgebende Luft teilweise mit, d. h. die schwingende Masse ist etwas größer als m. Das Pendelstativ schwingt geringfügig mit. Infolge der Elastizität dreht sich der Pendelfaden periodisch während der Schwingung, d. h. diese andere Schwingungsform nimmt Energie auf. Die Drehung um eine Schneide entspricht nicht genau einer Drehung um eine raumfeste Achse. Die Vorzeichen der durch diese systematischen Fehler verursachten Abweichungen des Meßwertes vom wahren Wert sollen diskutiert werden. Kennen Sie weitere systematische Fehler? Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer 1/3) K Zur Messung der Abhängigkeit T = fϕ m ) werden für etwa 6 Auslenkwinkel jeweils 100 T gemessen. Die mittlere Schwingungsweite ϕ m, d. h. das Mittel aus Anfangs- und Endwert des Winkels, soll zwischen 3 und 20 eingestellt werden. J Nach der Näherungsformel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels für große Winkel folgt mit sinϕ/2) ϕ/2 und unter Berücksichtigung des quadratischen Korrekturgliedes die Schwingungsdauer T = T ) 16 ϕ2 m. T T 0 T wird als Funktion von ϕ m, Bild 5.10, oder ϕ 2 m aufgezeichnet. T 0 wird aus der Extrapolation für ϕ m =0und daraus die Gravitationsbeschleunigung g bestimmt. Das Ergebnis wird unter Einbeziehung der Fehlerrechnung mit dem Wert aus der Präzisionsmessung verglichen. m Bild Diagramm T über ϕ m zur Bestimmung der Amplitudenabhängigkeit beim Fadenpendel

11 62 N 5. Harmonische Schwingungen 5.3 Physikalisches Pendel 1/1) h h 1 h 2 A S 0 S 1 Winkel- Teilkreis s 0 zylindrisches Gewicht ) m 1 Aufstellmarke Bild Versuchsanordnung zum physikalischen Pendel s 1 Untersuchung der Schwingung eines Pendels mit ausgedehnter V Massenverteilung. Überprüfung des Steinerschen Satzes. Messung der Amplitudenabhängigkeit der Schwingungszeit, Nachprüfung der Gültigkeit der Näherungsformel für die Schwingungsdauer bei großen Amplituden. Stoppuhr, Pendelstab mit Zusatzgewichten und Winkelteilkreis Z physikalisches Pendel), Aufstellmarke. Ein Pendelstab, an welchem zusätzliche Gewichtsstücke angebracht werden können, ist um eine horizontale Achse drehbar gelagert, Bild An einem feststehenden 360 -Winkel-Teilkreis lassen sich die Schwingungsweiten ϕ ablesen. K Physikalisches Pendel bei kleinen Amplituden 1/3) Bei kleinen Auslenkungen < 5 ) werden die Zeiten für z. B. 10 T je dreimal gemessen: für den Pendelstab alleine, mit einem kleinen, zylindrischen Zusatzgewicht an dem langen Ende des Stabes, Bild 5.11, mit einem Scheibengewicht an der gleichen Stelle und mit dem Scheibengewicht am langen und dem anderen Gewichtsstück am kurzen Ende des Stabes. Alle vier Anordnungen werden skizziert. Um die Schwingungszeiten des physikalischen Pendels berechnen zu können, bestimme man die vom Drehpunkt A gemessenen Längen h 1 und h 2 des Stabes und den Abstand s 1 zum Schwerpunkt S 1 des Zusatzgewichtes, Bild 5.11, und notiere dessen Masse m 1. Aus den gemessenen Schwingungszeiten T werden für die vier J Anordnungen aus T =2π l r /g mit g =9,81 m/s 2 die reduzierten Pendellängen l r berechnet. Ergebnis diskutieren. Aus welchem Grunde ist für die letztgenannte Anordnung mit zwei Zusatzgewichten l r am größten? Für den Pendelstab allein sowie die Messung mit dem kleinen Zusatzgewicht werden die zu erwartenden Schwingungsdauern näherungsweise mit T =2π I/D berechnet und mit den gemessenen Werten verglichen. K Die Gültigkeit des Steinerschen Satzes wird für fünf Positionen der Zusatzmassen überprüft. J Die Meßergebnisse einschließlich einer Fehlerabschätzung werden mit den aus dem Steinerschen Satz berechneten Werten verglichen. Physikalisches Pendel bei großen Auslenkungen 1/3) K In einer Meßreihe werden die Schwingungszeiten T des physikalischen Pendels mit einem kleinen, zylindrischen Zusatzgewicht am langen Ende des Stabes, Bild 5.11, als Funktion der Schwingungsweiten ϕ gemessen. Da infolge der Reibung die Weiten während der Messung abnehmen,

12 5.4 Reversionspendel N 63 beginnt man mit einer etwas größeren Auslenkung, liest Anfangs- und Endamplitude ab und benutzt einen Mittelwert ϕ m. Praktisch bestimmt man 10 T für etwa 6 Werte von ϕ m im Bereich zwischen 10 und 100 ; für weitere 3 bis 4 Werte im Bereich von 100 bis etwa 150 mißt man jeweils nur 5 T, da hier die Amplitude infolge starker Dämpfung schnell abnimmt. Alle Messungen werden zur Verringerung des Streufehlers dreimal durchgeführt. J Es wird jeweils T T 0)/T 0 berechnet, wobei T 0 die Zeit für die Amplitude ϕ m 0 ist. Die Meßergebnisse werden mit der als Näherung zu erwartenden Abhängigkeit der Schwingungsdauer eines Fadenpendels bei großen Amplituden T T 0 ) T 0 = 1 4 sin2 ϕ m 2 ) verglichen. Man berücksichtige ferner das zweite Korrekturglied der Näherungsformel, das für ϕ m 50 einen wesentlichen Beitrag liefert. Hinweis: Im Bereich sehr großer Amplituden ϕ m 90 wird auch diese Näherung nicht ausreichen. Theoretische Abschätzung der Schwingungszeit J eines physikalischen Pendels 1/3) Vereinfachend wird zunächst angenommen, daß das Pendel nur aus einem dünnen Stab der Masse m 0 und der Länge h = h 1 + h 2 besteht, an dem eine punktförmige Masse m 1 im Abstand s 1 von der Drehachse A befestigt werden kann, Bild Der Schwerpunkt S 0 des Stabes allein liegt in der Entfernung s 0 = h 2 h 1 )/2 von der Drehachse; die Winkelrichtgröße ist daher D0 = m 0 gs 0 und das Trägheitsmoment beträgt I A0 = m 0 s h 2 /12). Für einen Massenpunkt m 1 im Abstand s 1 von der Drehachse ist I A1 = m 1 s 2 1 und D1 = m 1 gs 1. Beim Zusammensetzen zweier Pendelkörper zu einem fest verbundenen System addieren sich einfach die Trägheitsmomente und Winkelrichtgrößen: I A = I A0 + I A1 und D = D0 + D1. Damit läßt sich die Schwingungszeit T =2π I A /D auch für das System ausrechnen. Für die durchgeführten Versuche zum physikalischen Pendel bei kleinen Amplituden vergleiche man die berechneten Schwingungszeiten mit den gemessenen Werten von T und diskutiere die Ergebnisse für alle vier Anordnungen. Man kann die Näherung verbessern, indem man die Zusatzmasse nicht mehr als punktförmig, sondern als zylinderförmig annimmt. 5.4 Reversionspendel 1/1) Untersuchung der Eigenschaften eines physikalischen Pendels V mit zwei Drehachsen. Präzisionsbestimmung der Gravitationsbeschleunigung g.

13 64 N 5. Harmonische Schwingungen Stahlschneide Scheibe zylindr. Gewicht s 1 s 2 A 1 S A 2 h 1 h h 2 Aufstellmarke Bild Versuchsanordnung zum Reversionspendel Reversionspendel mit Winkelteilung z. B. Pendelstab mit zwei Z Schneiden und Scheibengewichte), Aufstellmarke, Meßschieber, Stoppuhr. Für die Messungen bei dieser Aufgabe wird eine Anordnung entsprechend Bild 5.12 benutzt. Ein Stab, an welchem zusätzliche Körper angebracht werden können, läßt sich an zwei Stahlschneiden A 1,A 2 ) schwingungsfähig aufhängen. Die Pendelschwingungen sind sehr wenig gedämpft; die Auslenkung braucht nur wenige Grad zu betragen d. h. einige cm bei etwa 50 cm Pendellänge). Um die Nulldurchgänge möglichst genau messen zu können, wird die Ruhelage des Pendels mit einer auf den Tisch gestellten Marke gekennzeichnet. Der bei einem Reversionspendel notwendige Feinabgleich für die Gleichheit von T 1 und T 2 ist justieraufwendig. Es läßt sich zeigen, daß die Schwingungszeit T eines abgeglichenen Reversionspendels mit der reduzierten Pendellänge h = s 1 +s 2, in guter Näherung gegeben ist durch T = T 1 + T T 1 T 2 2 s 1 + s 2 s 1 s 2 mit T =2π wenn T 1 T 2 T 1 gilt. Zur Berechnung des Korrekturgliedes muß s 1 s 2 ) und hierfür die Lage des Pendelschwerpunktes bekannt sein. Wegen des kleinen Faktors T 1 T 2 darf die Messung von s 1 und s 2 im Prinzip relativ ungenau sein. Allerdings würden für nahezu symmetrische Reversionspendel s 1 s 2 ) die Korrekturen wegen des Auftretens von s 1 s 2 im Nenner wieder groß werden. Aus diesem Grunde verwendet man zur g-bestimmung asymmetrische Pendel. Bei Präzisionsmessungen hat man wie beim Fadenpendel eine Reihe weiterer Korrektionen zu berücksichtigen. Insbesondere ist die Reduktion auf unendlich kleine Schwingungsamplituden auszuführen: T 0 = T 1 1 ) 16 ϕ2 m. h g, Ferner hat man darauf zu achten, daß die Schneiden parallel zueinander und senkrecht zur Pendelachse stehen sowie horizontal aufgehängt werden, und daß der Schwerpunkt in der Ebene der Schneiden liegt. Abgleich des Reversionspendels 1/2) K Messung der Schwingungszeiten T 1 und T 2 des Stabes ohne Zusatzkörper um die beiden etwas asymmetrisch liegenden Schneiden z. B. 10 T je dreimal messen). Abmessungen des Stabes bestimmen h 1, h 2, h; Bild 5.12). Anbringen der Scheibe außerhalb der Schneide bei A 2 am kurz überstehenden Ende des Stabes. Scheibe dabei zunächst dicht an der Schneide A 2 befestigen. Messung der Schwingungszeiten 5 T oder 10 T ) um die beiden Achsen: T 1 und T 2 unterscheiden sich stark. Verschiebt man die Scheibe an das Stabende, so wird die Schwingungszeit T 2 sehr groß. Scheibe zwischen die beiden Schneiden einsetzen und etwa in der Mitte befestigen; 10 T 1 und 10 T 2 messen. Es ist T 1 T 2, was wegen der weitgehenden Symmetrie der Anordnung auch verständlich ist.

14 5.4 Reversionspendel N 65 Um eine Asymmetrie zu erzeugen, wird die Scheibe bis ganz dicht an eine der beiden Schneiden verschoben, wie in Bild 5.12 dargestellt; wieder 10 T 1 und 10 T 2 messen. Trotz Asymmetrie des Pendels ist auch hier T 1 T 2. Einen noch besseren Abgleich der Schwingungszeiten erhält man durch zusätzliches Anbringen des kleinen zylindrischen Körpers an einem der Stabenden, Bild Um die optimale Lage zu ermitteln, kann man zunächst die Schwingungszeiten T 1 und T 2 messen, wenn sich das Zusatzgewicht einmal am äußersten Ende des Stabes und das andere Mal dicht an der Schneide befindet: Messungen von z. B. 20 T je ein- bis zweimal wiederholen. Durch Interpolation kann dann die optimale Stellung des kleinen Körpers abgeschätzt und ungefähr eingestellt werden. Messung der Gravitationsbeschleunigung 1/2) K Mit dem abgeglichenen Reversionspendel wird eine Bestimmung der Gravitationsbeschleunigung g durchgeführt. Die Zeiten z. B. 30 T 1 und 30 T 2 werden mehrmals gemessen z. B. je dreimal), wobei auch die ungefähre Größe der Schwingungsamplitude notiert werden muß. Man skizziere die Pendel-Anordnung, wobei auf die richtige Indizierung von A 1, A 2 und T 1, T 2 zu achten ist. Der Schneidenabstand h wird mit dem Meßschieber auf beiden Seiten des Pendelstabes möglichst genau gemessen. Durch Balancieren wird die ungefähre Lage des Pendelschwerpunktes abgeschätzt. Das zylindrische Gewichtsstück in Bild 5.12 wird dabei solange verschoben, bis das Pendel sich etwa im Gleichgewicht befindet. Die Abstände s 1 bzw. s 2 des Schwerpunktes von den Schneiden werden gemessen und in die Skizze eingetragen. Die Messungen werden mit J T = T 1 + T T 1 T 2 2 s 1 + s 2 s 1 s 2, ausgewertet. Ferner soll eine Reduktion auf unendlich kleine Schwingungsamplituden nach T 0 = T 1 1 ) 16 ϕ2 m durchgeführt werden. Aus T 0 wird mit der Beziehung h T 0 =2π g die Gravitationsbeschleunigung g ermittelt. Bei der Fehlerrechnung bleiben Fehler der Korrekturterme unberücksichtigt. Vergleich des Ergebnisses mit dem Literaturwert für Berlin g =9,81288 m/s 2 ). Systematische Fehler der Messung sind zu diskutieren.