Kompressible Gasdynamik

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1 Hauptseminar Lineare und Nichtlineare Wellenphänomene 14. Januar 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Thermodynamische Grundlagen 2 Bewegungsgleichungen 3 Konstruktion der Charakteristiken Allgemeine Konstruktion Gleichförmig beschleunigter Kolben 4 Rankine-Hugoniot-Bedingungen Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand 5 Quellen

3 Physikalische Größen 1/2 E = 1 2fRT innere Energie (f Zahl der Freiheitsgrade) H Enthalpie F Freie Energie Q Wärme W Arbeit T Temperatur ρ Dichte p Druck

4 Physikalische Größen 2/2 V Volumen S Entropie c p, c V spezifischer Wärmekoeffizient bei konstantem Druck und Volumen R allgemeine Gaskonstante c Schallgeschwindigkeit u Gasgeschwindigkeit M := u c Machzahl

5 Ideales Gasgesetzt: Zusammenhang Dichte und Volumen: pv = RT (1) ρ = 1 V (2)

6 1. Hauptsatz der Thermodynamik für ein ideales Gas de = dq + dw (3) Vernachlässigung von Reibung und magnetischen Effekten (dw = pdv ) de = dq pdv (4)

7 Einführung der Entropie Die Entropie wird über den Anteil der thermischen Energie eingeführt, der nicht in mechanische Arbeit überführt werden kann, ds := dq T. de = TdS pdv (5)

8 Angenommen, die innere Energie E = E (S, V ) ist eine Funktion von S und V. ( ) ( ) E E de = ds + dv (6) S V V S Das heißt T := ( ) E S V und p := ( E V ) S.

9 Es wird zusätzlich die Enthalpie H und die freie Energie F eingeführt über H := E + pv und F := E TS. dh = de + pdv + Vdp (7) und df = de SdT TdS = pdv SdT. (8)

10 Man kann, wie oben, nun den Druck und die Entropie über p := ( ) F V T und S := ( ) F T definieren. Unter der Annahme, dass V die zweite Ableitung der freie Energie hinreichend glatt ist, folgt durch den Satz von Schwarz: ( ) ( ) p S = (9) T V V T

11 Spezifischer Wärmekoeffizent 1/2 Der spezifische Wärmekoeffizent c wird über dq = cdt definiert. Das heißt aus Gleichung 4 wird de = cdt pdv. (10)

12 Spezifischer Wärmekoeffizent 2/2 Durch Umformen von Gleichung 10 kann man zeigen: Der spezifische Wärmekoeffizent bei konstanten Volumen: ( ) E c V = = 1 fr (11) T 2 Der spezifische Wärmekoeffizent bei konstanten Druck: V c p = c V + R (12) Für Luft gilt, dass f = 5, c V = 5 2 R und c p = 7 2 R.

13 Jetzt kann man Gleichung 5 wie folgt schreiben: ds c V = dt T + ( cp c V 1 ) dv V (13) Wir definieren den Adiabatenkoeffizienten über γ := cp c V. Durch Integration erhält man nun: S c V = log ( TV γ 1) + C (14)

14 Mit Gleichung 1 und 2 erhält man nun: ( ) S p = log ρ γ + C (15) c V p = κe S c V ρ γ (16) Die innere Energie kann man jetzt schreiben als: E = c v T = p (γ 1) ρ (17)

15 Substantielle Ableitung Df Dt := f t + u f (18)

16 Massen- und Impulserhaltung in Substantieller Form Dρ Dt + ρ u = 0 (19) und D u Dt + 1 p = 0 (20) ρ

17 Energieerhaltung t ( 1 2 ρu2 + ρe ) {( ) } ρu2 + ρe + p u = 0 (21) Daraus folgt: DE Dt p Dρ ρ 2 Dt = 0 (22)

18 Da TdS = de p dρ (23) ρ2 folgt DS Dt = 0 (24) Das heißt, der Fluss ist isentrop und S = S 0. p = kρ γ, wobei k = κe S 0 cv konstant ist.

19 Wir können also die Bewegungsgleichungen wie bei den Schallwellen schreiben: ρ t + (ρ u) = 0 (25) und u t + u u + kγργ 2 ρ = 0. (26) Für eindimensionalen Fluss: und ρ t + (ρu) = 0 (27) x u t + u u ρ + kγργ 2 = 0. (28) x x

20 Allgemeine Konstruktion Die lokale Schallgeschwindigkeit ist durch c = ( ) 1 p 2 = γkρ ρ γ 1 (29) S gegeben. Zusätzlich ist c ρ = 1 (γ 1) c (30) 2ρ

21 Allgemeine Konstruktion Damit können wir die Gleichungen 27 und 28 wie folgt umformen: und 2 c t + 2u c x + (γ 1) c u x = 0 (31) u t + u u x + 2c c = 0. (32) γ 1 x

22 Allgemeine Konstruktion Wenn man nun ( 32) ± 1 γ 1 ( u ± t 2c γ 1 ( 31) ausführt, erhält man: ( u ± 2c ) = 0 (33) γ 1 ) + (u ± c) x Die Gleichung hat die gleiche Form wie die Gleichung des eindimensionale Verkehrsfluss.

23 Allgemeine Konstruktion R + = u + 2c γ 1 ist auf der Charakteristik X + (t), mit dx + dt = u + c, konstant. R = u 2c γ 1 ist auf der Charakteristik X (t), mit = u c, konstant. dx dt

24 Gleichförmig beschleunigter Kolben Die Erzeugung einer Stoßwelle mit einem gleichmäßig beschleunigten Kolben

25 Gleichförmig beschleunigter Kolben Der Kolben wird gleichförmig beschleunigt, das heißt x (t) = 1 2 at2. Zur Zeit t = 0 befindet sich der Kolben am Ort x (0) = 0. Das Gas befindet sich bei x 1 2 at2. Wenn der Kolben startet, steigt die Temperatur im Gas. Da c T erhöht sich die Schallgeschwindigkeit. Das heißt, Schallwellen die früher entstehen werden von später entstehenden Schallwellen eingeholt. Wir nehmen an, das die X -Charakteristiken die bei t = 0 entstehen den Raum füllen. R = u 2c γ 1 = 2c 0 γ 1 (34) c = c (γ 1) u (35) 2

26 Gleichförmig beschleunigter Kolben Abbildung : Charakteristiken und Stoßwelle beim gleichmäßig beschleunigten Kolben im Gasrohr

27 Gleichförmig beschleunigter Kolben Die X + Charakteristiken, die am Kolben entstehen, erfüllen dx + dt X + (t, t 0 ) = 1 2 at2 0 + = u + c = c (γ + 1) at 0. (36) { c } 2 (γ + 1) at 0 (t t 0 ) (37)

28 Gleichförmig beschleunigter Kolben Die Steigung der Charakteristiken steigt mit steigendem t 0. Das heißt, zwei Charakteristiken schneiden sich zum endlichen Zeitpunkt t s. Wir gehen davon aus, dass sich zuerst benachbarte Charakteristiken schneiden. Sei dafür δt 0 << 1. X + (t, t 0 + δt 0 ) X + (t, t 0 ) + δt 0 X + t (t, t 0 ) (38) Das heißt, benachbarte Charakteristiken schneiden sich, wenn X + t = 0. (39)

29 Gleichförmig beschleunigter Kolben t = 2c 0 a (γ + 1) + 2γ γ + 1 t 0 (40) Das geschieht das erste mal mit der Charakteristik, die zur Zeit t 0 = 0 entsteht. Das heißt, t s = 2c 0 a(γ+1) und x s = 2c2 0 a(γ+1). Angenommen a = 100 m s 2, t s 2, 84s und x s 969m (in Luft gilt: γ 1, 4).

30 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Wir betrachten nun die Bewegungsgleichungen 19, 20 und 21 in der Umgebung einer Stoßwelle. Wir nehmen an, dass die Stoßwelle eben ist und bei x = s (t) liegt. Gleichung 19 in integraler Form lautet d dt x2 Wir können den ersten Summanden durch ( d s(t) ) ( x2 s(t) ρdx = dt x 1 + s(t) x 1 ρdx + [ρu] x 2 x 1 = 0. (41) x2 + x 1 s(t) ) ρ t dx + ρ Lṡ ρ R ṡ umschreiben (wobei () L der Zustand links der Stoßwelle und () R der Zustand rechts der Stoßwelle ist). (42)

31 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Wenn man nun den Grenzwert für x 1 s (t) und x 2 s (t) bildet erhält man: (ρ L ρ R ) ṡ = ρ L u L ρ R u R. (43) Definiert man zusätzlich die Relativgeschwindigkeit ū := u ṡ, führt dies zu ρ L ū L = ρ R ū R. (44)

32 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Ähnlich erhält man aus den Gleichungen 20 und 21 ρ L ū 2 L + p L = ρ R ū 2 R + p R (45) und ( ) ( ) ρ LūL 2 + ρ LE L + p L ū L = 2 ρ RūR 2 + ρ RE R + p R ū R (46)

33 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Abbildung : Die verschiedenen Zustandsgrößen auf den beiden Seiten einer planaren Stoßwelle

34 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Ersetzt man die Energie über E = p = c2 γρ p ρ(γ 1) und den Druck über erhält man die Rankine-Hugoniot-Bedingungen in der Form ρ L ū L = ρ R ū R, (47) ρ L (ū L ) ( γ c2 L = ρ R ūr ) γ c2 R (48) und 2ū2 1 L + 1 γ 1 c2 L = 2ū2 1 R + 1 γ 1 c2 R. (49)

35 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Da wir jetzt drei Gleichungen mit sechs Unbekannten haben, können wir immer zwei Unbekannte eliminieren. Eliminiert man zum Beispiel ū R und c R und führt die lokale Machzahl M = ū c ein, erhält man die Gleichung und zusätzlich aus Symmetriegründen ρ R ρ L = (γ 1) M2 L + 2M2 L (γ 1) M 2 L + 2, (50) ρ L ρ R = (γ 1) M2 R + 2M2 R (γ 1) M 2 R + 2. (51) Das heißt, der Fluss hat auf der einen Seite der Stoßwelle Überschallgeschwindigkeit und auf der anderen Unterschallgeschwindigkeit.

36 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Führt man die Stoßwellenstärke z := p R p L p L ein, kann man über die Rankine-Hugoniot-Bedingungen eine Aussage zur Entropiedifferenz treffen: { S R S L (1 + z) (2γ + (γ 1) z) γ } = log c V (2γ + (γ + 1) z) γ (52) z = 1 S R S L c V 0, 01 (Siehe nächste Seite)

37 Herleitung der Rankine-Hugoniot-Bedingungen Abbildung : Entropieänderung durch eine Stoßwelle der Stärke z

38 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Reflektion einer Stoßwelle an einer Wand Abbildung : Reflektion einer Stoßwelle an einer Wand

39 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Wenn wir aus den Rankine-Hugoniot-Bedingungen p R und ρ R eliminieren, erhalten wir: ( ) ( ) 2 2γ ūl 2 γ ū pl L (ū R ū L ) = 0 (53) γ + 1 ρ L Vor der Reflektion der Stoßwelle mit Geschwindigkeit U + gilt ū L = u s U + und ū R = U +. Für die reflektierte Stoßwelle mit Geschwindigkeit U gilt ū L = u s + U und ū R = U.

40 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Dann gilt ( ) ( ) 2 (u s U + ) 2 2γ ps u s (u s U + ) = 0 (54) γ + 1 γ + 1 ρ s und ( ) ( ) 2 (u s + U ) 2 2γ ps u s (u s + U ) = 0. (55) γ + 1 γ + 1 ρ s

41 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Das heißt,u s U + und u s + U lösen die gleiche quadratische Gleichung. (u s U + ) (u s + U ) = γp s ρ s, (56) da (x x 1 ) (x x 2 ) = x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 = x 2 + ax + b. (57)

42 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Eleminieren wir nun ū R und ρ R aus den Rankine-Hugoniot-Bedingungen erhalten wir ( 2 ) ρl ūl 2 γ + 1 p L = p R p L + γ 1 γ + 1. (58)

43 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Setzen wir nun die Werte vor und nach der Reflektion ein, erhalten wir ( ) 2 ρs (u s U + ) 2 = p 0 + γ 1 γ + 1 p s p s γ + 1 (59) und ( ) 2 ρs (u s + U ) 2 = p 1 + γ 1 γ + 1 p s p s γ + 1. (60)

44 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Multipliziert man diese zwei Gleichung benutz Gleichung 56, erhält man ( p0 + γ 1 ) ( p1 + γ 1 ) ( ) 2γ 2 =. (61) p s γ + 1 p s γ + 1 γ + 1

45 Reflektion einer Stoßwelle an einer ebenen, festen Wand Angenommen p 0 << p s. p 1 3γ 1 p s γ 1 (62) In Luft (γ 1, 4) gilt also, dass p 1 8p s.

46 Quellen Billingham/ King: Wave Motion Demtröder: Experimentalphysik 1

47 Danke für Eure Aufmerksamkeit.