Schriftliche Vordiplomprüfung Physik

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1 Schriftliche Vordiplomprüfung Physik Prof. T. Esslinger / Prof. R. Monnier Dated: Mittwoch, 17. September 2003, 9:00 12:00 Uhr) Aufgaben I. ELEKTRON IM MAGNETFELD Ein Elektron Ladung e, Masse m) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld der Stärke B. B und v stehen senkrecht aufeinander. 1. Erklären und skizzieren Sie, welche Bahn das Elektron beschreibt. 2. Wie gross ist der anfängliche Radius r der Bahn und die Winkelgeschwindigkeit ω? 3. Eine beschleunigte elektrische Ladung strahlt Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab. Die abgestrahlte Leistung beträgt P = e2 a 2 6πɛ 0 c 3, 1) wobei a der Betrag der Beschleunigung der Ladung und c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. P r)? Wie gross ist 4. Wie gross ist die Gesamtenergie Er) des Elektrons mit Bahnradius r? 5. Berechnen Sie, ob der Bahnradius des Elektrons durch die Abstrahlung kleiner oder grösser wird. II. RAD Ein Rad mit Radius R und Masse m soll eine Stufe der Höhe h gegen die Gravitation hochgerollt werden. Hierzu greift an der Achse des Rads eine horizontale Kraft F an. 1. Fertigen Sie eine Skizze des Problems an, in der Sie alle relevanten Kräfte sowie den Fixpunkt der Drehbewegung einzeichnen. 2. Wie gross muss die Kraft F mindestens sein, um das Rad die Stufe hinaufzurollen? III. HARMONISCHE SCHWINGUNG Ein aus vier dünnen Stangen bestehender quadratischer Bilderrahmen mit Kantenlänge l und Gesamtmasse m hängt an einem Nagel. Um den Nagel kann er mit kleiner Auslenkung eine harmonische Schwingung durchführen. 1. Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Bilderrahmens bezüglich seines Aufhängepunkts. 2. Der Bilderrahmen wird seitlich leicht angestossen. Wie gross ist seine Schwingungsfrequenz? 3. Wenn man statt des Bilderrahmens eine Punktmasse mit einem masselosen Faden an dem Nagel aufhängen würde, wie lang müsste der Faden sein, um dieselbe Schwingungsfrequenz zu erhalten?

2 2 l IV. WÄRMEKAPAZITÄT Ein Mol eines idealen einatomigen Gases z. B. Helium) befindet sich in einem Behälter, der mit einem Kolben abgeschlossen ist. Der Kolben ist mit einer Feder Federkonstante k) verbunden, die eine Kraft F = k x ausübt. Die Querschnittsfläche des Kolbens ist A. Die Wärmekapazität des Feder- und Wandmaterials wird vernachlässigt, ebenso die Reibung des Kolbens. 1. Berechnen Sie die Position des Kolbens xt ) als Funktion der Temperatur T. 2. Berechnen Sie die Wärmekapazität c = dq dt des Gesamtsystems. k V. MAGNETSPULEN Zwei identische Leiterschleifen mit jeweils Radius R und N Windungen befinden sich auf der z Achse Spule A im Nullpunkt, Spule B bei z = d) und werden jeweils vom Strom I gleichsinnig durchflossen. 1. Ziehen die Leiterschleifen sich an oder stossen sie sich ab? Ohne Rechnung - mit Begründung! 2. Berechnen Sie das magnetische Moment der Leiterschleife B. 3. Berechnen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart das Magnetfeld der Leiterschleife A entlang der Symmetrieachse. Das Gesetz von Biot-Savart lautet d B = µ 0 NI dl r 4π r 3. 2) 4. Berechnen Sie die potentielle Energie der Leiterschleife B im Magnetfeld von Leiterschleife A und daraus die Kraft auf Leiterschleife B.

3 3 A B I I 0 d z

4 4 Lösungen VI. ELEKTRON IM MAGNETFELD 1. Das Elektron wird von dem Magnetfeld auf eine kreisförmige Bahn gezwungen 0.5 Punkte). Drehsinn des Elektrons aus rechter-hand -Regel 0.5 Punkte). 2. jede Gleichungszeile 1 Punkt) Die Lorentzkraft ist gleich der Zentripetalkraft: In der Kreisbewegung ist v = ωr, somit ergibt sich qvb = mω 2 r 3) ω ist unabhängig von r! ω = eb m und r = mv eb 3. jede Gleichungszeile 0.5 Punkte) In der Kreisbewegung ist 4) a = ω 2 r 5) Eine beschleunigte elektrische Ladung strahlt Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab. abgestrahlte Leistung beträgt Die 4. 1 Punkt) Die Gesamtenergie lautet Er) = m 2 ω2 r Punkte) Es gilt P r) = e2 ω 4 r 2 6πɛ 0 c 3 alternativ: P r) = e6 B 4 r 2 6πɛ 0 c 3 m 4 6) Somit folgt P r) = de dt = de dr dr dt 7) Man sieht dr dt = P r) = e2 ω 2 r de 6πɛ dr 0 c 3 m. 8) somit wird der Bahnradius des Elektrons kleiner, wenn es Leistung abstrahlt. dr dt < 0, 9) Alternativ: Die Energie des Elektrons wächst mit zunehmendem Radius 1 Punkt). Bei Energieabstrahlung d.h. Energieverlust) muss der Bahnradius kleiner werden 1 Punkt). VII. RAD 1. Skizze: 2 Punkte je 1/2 für Kräfte, 1 für Drehpunkt) Der Drehpunkt ist der Berührungspunkt zwischen Rad und Stufe. 2. jede Formel 1 Punkt) Der Kosinus des Winkels α zwischen der Verbindungslinie zwischen Radmittelpunkt und Drehpunkt und der Vertikalen beträgt Die Gravitationskraft bewirkt ein Drehmoment cos α = R h R 10) T g = mgr sin α = mg 2Rh h 2. 11)

5 5 mg α R F Drehpunkt h Die angreifende Kraft F bewirkt ein entgegengerichtetes Drehmoment T F = F R sin90 α) = F R cos α = F R h). 12) Damit das Rad die Stufe hinaufgerollt werden kann, muss gelten. Somit folgt T F > T g 13) F > mg 2Rh h 2. 14) R h VIII. HARMONISCHE SCHWINGUNG 1. Das Trägheitsmoment ist definiert 1 Punkt): I = r 2 dm r 2 dl, 15) mit ρ = m/4l) und dl als Längenelement entlang des Rahmens. Alternative Methoden: a) Das Trägheitsmoment des Bilderrahmens wird berechnet durch Integration entlang der Rahmenlinie je 0.5 Punkte): I 1 I 2 I 3 I 4 l/2 l/2 l 0 l/2 l/2 l 0 x 2 dx 12 l3 16) l/2) 2 + x 2) dx = 7ρ 12 l3 17) l 2 + x 2) dx = 13ρ 12 l3 18) l/2) 2 + x 2) dx = 7ρ 12 l3 19) Die Liniendichte ist ρ = m/4l) und somit ergibt sich 1 Punkt) I = 7m 12 l2. 20) b) Jeder Stab hat I s = 1 12 ρl3 bezogen auf seinen Mittelpunkt 1 Punkt). Verwende Satz von Steiner um die Trägheitsmomente der Stäbe bzgl. Aufhängepunkt zu berechnen 1 Punkt) Ergebnisse gleich wie oben) und addiere dann 1 Punkt).

6 c) Das Trägheitsmoment eines Stabs bezogen auf den Mittelpunkt des Bilderrahmens beträgt I s = 1 3 ρl3 1 Punkt), wobei der Satz von Steiner richtig angewendet werden muss 1 Punkt). Das Gesamtträgheitsmoment folgt somit aus dem Satz von Steiner I = 4I s + ml 2 /4 1 Punkt). 2. jede Gleichung 0.5 Punkte) Die Schwingungsfrequenz des physikalischen Pendels beträgt 6 und hier R = l/2): ω = mgr I 21) ω = = 12mgl 14ml 2 6g 22) 7l. 23) 3. jede Gleichung 0.5 Punkte) Ein ideales Pendel mit Fadenlänge L besitzt die Schwingungsfrequenz und somit ergibt sich der korrekte Vergleich der Schwingungsfrequenzen ergibt 0.5 Punkte) ω = g L 24) L = 7 l. 25) 6 IX. WÄRMEKAPAZITÄT jede Gleichungszeile = 1 Punkt) Es gelten die ideale Gasgleichung und der Hauptsatz der Thermodynamik: das Minuszeichen steht im Tipler!) 1. Der Kolben übt einen Druck p und eine Volumenänderung V p V = R T und dq = du dw. 26) p = F/A = kx A und V = A x 27) aus. Aus der Gasgleichung folgt 2. Aus dem Hauptsatz folgt und somit Für ein ideales, einatomiges Gas gilt kx 2 = RT bzw. xt ) = dq = C V dt + F dx = RT k. 28) C V + F dx ) dt 29) dt c = dq dt = C V + kx dx dt = C V + R 2. 30) C V = 3 2 R 31) Ingesamt folgt c = ) R = 2R. 32) 2

7 7 X. MAGNETSPULEN 1. Die beiden Spulen erzeugen jeweils ein Magnetfeld analog zu einem Stabmagneten 1 Punkt). Da der Strom gleichsinnig fliesst, sind die Magnetfelder der Spulen gleich orientiert. Aus dem Bild der Stabmagneten folgt, dass sich Nordpol und Südpol der Spulen gegenüberliegen somit ziehen sich die Spulen an 1 Punkt) Punkt) Das magnetische Moment beträgt m m = N I A = πr 2 NI. 33) 3. jede Gleichungszeile 0.5 Pkte) Das Stromelement dl steht stets senkrecht auf dem Vektor r und aus Symmetriegründen hat das Magnetfeld auf der Symmetrieachse nur eine Komponente in Richtung der Symmetrieachse 0.5 Pkte). Somit kann man schreiben Es ergibt sich db z = µ 0 NIdl 4π r 2 sin θ = µ 0 4π NIdl z 2 + R 2 R z2 + R 2. 34) B z = µ 2πR 0 NIR dl 35) 4π 0 z 2 + R 2 ) 3/2 = µ 0 2 NIR 2. 36) z 2 + R 2 ) 3/2 4. jede Gleichungszeile 0.5 Punkte) Die potentielle Energie der Spule B im Magnetfeld von Spule A und somit ergibt sich die Kraft F E pot = m m B z 37) = µ 0 2 πnir 2 ) 2 z 2 + R 2 ) 3/2 38) F = de pot dz z=d 39) = 3µ 0 πnir 2 ) 2 d. 2 d 2 + R 2 ) 5/2 40)