Gravitation - Einführung

Transkript

1 Gaitation - infühung Schon i Altetu waen au geoetichen und atonoichen Betachtungen die ungefähen Wete fü dadiu owie de Abtand de-ond bekannt. Die aktuellen Wete lauten: 670k und 84000k( 60 ). De Anekdote nach, ka Newton bei de Beobachtung de Fall eine Apfel auf die Idee fü die Gaitationtheoie. De Augangpunkt eine Übelegungen wa, da die (näheungweie) Keibewegung de onde u die de it den gleichen Geetzen wie jede Bewegung auf de de bechieben weden können ollte! a) Beeche die Gechwindigkeit de onde auf eine Keibahn u die de ( T 7, d ) Löung: Offenichtlich betägt de Ufang de (näheungweien) Keibahn de onde u 9 6 die de U = π =,41 10 owie die UlaufdaueT, Die Gechwindigkeit liegt alo bei = 1,0 10. b) Beechne die Zentipetalbechleunigung a Z, die de ond efäht! Löung: az = =, Die Bechleunigung wikt dabei adial (=in Richtung de Keiittelpunkte), wähend die Gechwindigkeit de onde tangential geichtet it. c) Auf jede Kiloga ondgetein wikt alo die in Aufgabenteil b) beechnete Bechleunigung, bzw. die Kaft F = 1 kg az. Wie iel göße it die Kaft auf eine ae on 1kg auf de dobefläche? Wa fällt di an den Zahlen auf? 9,81 Löung: Wi beechnen da Vehältni de Bechleunigungen: 601.,74 10 = Die it offenichtlich zielich genau 60. De ond it abe 60 dadien on de de entfent! Auf de dobefläche it an offenichtlich einen dadiu o dittelpunkt entfent Daau kann an chließen: Die Gaitationkaft (=Schwekaft) zwichen zwei aen 1 cheint it de Quadat de Abtande abzunehen:. De Abtand bezieht ich dabei auf den ittelpunkt de Keibewegung alo nicht auf die dobefläche! d) Die Schwekaft zwichen zwei Köpen cheint it de Quadat ihe Abtande abzunehen. it welchen Daten könnte an diee Veutung noch übepüfen? Löung: an könnte die Bewegung de Planeten u die Sonne betachten, bzw. die Bewegung andee Satelliten u die de. Die tun wi nun: Auf de Weg zu Gaitationgeetz Die Fage lautet, ob auch fü die Planetenbewegungen u die Sonne gilt:, it de Abtand zwichen Sonne und Planet ( Bahnadiu ). gilt fü die Zentipetalkaft:

2 4π F Z = = wegen: = π T T Gleichetzen füht auf (Vetändnifage: Wau acht e eigentlich Sinn, diee beiden Tee gleichzuetzen?): 4π bzw. = C. it andeen Woten: Gilt unee Veutung fü die Schwekaft, o ollte /T eine Kontante ein! De Tabelle entnit an, da die tatächlich T T zutifft! Alleding it diee Kontante ancheinend on de Köpe abhängig, u den die Keibewegung tattfindet: C de =10-5 und C Sonne =,4. gilt = kg und S = 10 0 kg Fage: Wa fällt euch auf? Löung: Da Vehältni de C-Kontanten it gleich de aenehältni on Sonne und de. Die heißt abe: Offenichtlich it die Gaitationkaft auch on diee ae (alo de ae, u die die Dehung tattfindet ) abhängig 1 : bzw. Allgeeine Gaitationgeetz (Newton, 1687): = γ Die Kaft wikt zwichen aen ( und ), die den Abtand oneinande haben. γ it die og. allgeeine Gaitationkontante. Bei augedehnten Köpen echnen wi den Abtand o ittelpunkt. Die Zeichnung illutiet diee Beziehung. Die Pfeile geben die Kaftpfeile an. Sie geifen an beiden Köpen an (Stichwot: Wechelwikunggeetz ). Ihe Richtung ( Käfte ind Vektoen ) it läng de Vebindunglinie. eke: it nicht nu ein Köpe (etwa: de Gößee ), de den andeen anzieht. Beide ziehen ich gegeneitig it de identichen Kaft an! Welchen Wet hat nun die Popotionalitätkontanteγ? Wi wien: in de Nähe de dobefläche gilt = g (it g=9,81/, de Otfakto). a) Beechnen ie daau den Wet füγ! 1 Tatächlich weden wi bald ehen, da etwa bei de Bewegung de onde u die de, die de ga nicht tillteht. Sie it alo nicht einfach de Köpe, u den die Bewegung tattfindet

3 Löung: Auf de de egibt da Gaitationgeetz = γ (it de dae und de dadiu) geade den Wet g. Gleichetzen (und nachγ auflöen) egibt: g 11 γ = = 6, kg b) Fü Aufgabenteil a) haben ie den Wet fü die ae de de ( ) ewendet. Wie könnte an dieen Wet abchätzen? 4 Löung: gilt: ae = Dichte al Voluen, alo = π ρ. Welchen Wet kann kg an fü die Dichte chätzen? Wae liegt z. Bp. bei1000. Wählt an etwa 500kg/ 4 kot an auf einen Wet on ca.,78 10 kg. Da it chon ein ganz odentliche 4 Schätzwet (de tatächliche Wet liegt bei 6 10 kg ). c) Beechnen ie die Stäke de danziehung in 00k Höhe (d.h. in de Höhe de Rautation ISS) Löung: Geucht it de Otfakto auf de ISS, alo g ISS = γ. Die ae ( + 00k) fällt wiede heau und an ehält: g ISS 9,7. Diee Wet it kleine al auf de dobefläche kla abe nicht o iel kleine, da an die offenichtliche Schweeloigkeit auf de Rautation etehen könnte. it wohl ein ietändni, zu glauben, da Schweeloigkeit dann (und nu dann) auftitt, wenn an oweit on allen aen entfent it, da diee keine (ode kau noch) Anziehungkaft auüben! Schwekaft, Schweeloigkeit und feie Fall Die Rautation uht ja nicht einfach in 00k Höhe, onden ukeit die de. Betachten wi den Übegang on feie Fall und de Ukeien de de genaue. De Sceenhot echt zeigt da Poga Ulauf.exe (kann on eine Seite heunte geladen weden). Siuliet wid die Wuf- bzw. Flugbahn eine Köpe, de au 400k Höhe waageecht abgewofen wid. Die Abwufgechwindigkeit kann aiiet weden. Zunächt enttehen ie gößee Wufpaabeln ( waageechte Wuf ). Ab eine betiten Gechwindigkeit (714k/h) chließt ich die Flugbahn. De Köpe ukeit die de (auf eine ellipenföigen Bahn). ine weite anwachende Gechwindigkeit füht zunächt auf weitee elliptiche Bahnen (auch eine exakte Keifo kann eeicht weden). Ab eine betiten Gechwindigkeit elät de Köpe die de und keht nicht wiede zuück! Die nebentehende Abbildung tat au Newton Pincipia atheatica (1687). Sie tellt ebenfall da, wie die Flugbahn eine waageecht gewofenen Stein bei wachende Gechwindigkeit eine Keibahn u die de ie ähnliche wid. Zu Zeit New-

4 Newton eine kühne Hypothee! a) Beechnet die Gechwindigkeit, it de auf de dobefläche ein Köpe gewofen weden u, u eine olche Keibahn zu becheiben! Löung: Auf de dobefläche wikt die Kaft = g. Diee oll den Köpe auf eine Keibahn zwingen alo die Rolle de Zentipetalkaft pielen. De Radiu it duch die Aufgabentellung ogegeben. Dait kann die notwendige Gechwindigkeit beechnet weden: F = F g g = = Z g = 7, b) Beechnet dieelbe Gechwindigkeit fü einen Satelliten in 00k Höhe übe de dobefläche! Löung: In de Nähe de dobefläche it die (Luft-)Reibungkaft natülich o goß, da de Köpe keine Keibahn fliegt. In 00k Höhe gelingt die chon leichte. Die notwendige Gechwindigkeit kann wie in a) beechnet weden, wenn de andee g-fakto und de gößee Radiu eingeetzt weden. Ode an cheibt diekt die Gleichung hin, die fü alle Abtände h on de dobefläche gilt: F = F γ ( + h) = γ + h g Z = + h k Fü h=00k betägt die notwendige Gechwindigkeit = 7, h Setzt an fü h den Abtand zu ond ein, gewinnt an die Gechwindigkeit, it de diee Satellit die de ukeit. Zuätzlich geben un diee Rechnungen einen Hinwei daauf, wie an innoll übe eine olche Flugbahn u die de nachdenkt: handelt ich eigentlich u einen feien Fall auf die de e wid die de jedoch efehlt, da die waageechte Gechwindigkeit o hoch it, da de Köpe betändig an de de obei fällt. Abe zuück zu og. Schweeloigkeit. Wa wollen wi daunte etehen? an denkt an die Bilde on Atonauten, die chweelo chweben. Wenn ie einen Gegentand lolaen fällt diee ebenfall nicht heunte, onden chwebt neben ihnen weite. Gleichzeitig haben wi augeechnet, da die Fallbechleunigung auf de ISS ie noch 90% de idichen Wete betägt! Wie pat da zuaen? Nun, wi haben ja geehen, da die ISS einen feien Fall u die de aufüht. Alle Gegentände in ih fallen ebenfall. Da it e alo, wa dazu füht, da die Auwikungen de Schwekaft nicht zu püen ind! Die echte Abbildung (au de netten Wiki- Atikel zu Thea Schweeloigkeit) zeigt eine Dae auf ei- k h

5 eine Tapolin, die i Spung eine Flache lolät. Auch diee Flache cheint neben de Fau zu chweben, da ie dieelbe Bewegung aufüht. In gößee aßtab ezeugt an Schweeloigkeit auf den og. Paabelflügen. in Flugzeug fliegt auf eine (wuf-) paabelföigen Bahn und auf diee Weie ind in eine Inneen ebenfall keine Auwikungen de Schwekaft zu püen. Übigen: genau o, wie da obige Tapolinexpeient owohl bei Flug nach oben, al auch bei Fall nach unten klappt, hecht die Schweeloigkeit bei Paabelflug ebenfall chon bei paabelföigen Steigflug (iehe Abbildung). Viele enchen einen iige Weie, de Paabelflug wüde die Schweeloigkeit nu iulieen. Wi haben nun geehen, da diee Schweeloigkeit genau o echt it, wie die de Atonauten i Weltau.