PHYSIK Geradlinige Bewegungen 2

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1 PHYSIK Geradlinige Bewegungen Gleichäßig bechleunigte Bewegungen Die Löungen der Aufgaben zu Freien Fall befinden ich auf der Matheatik-CD. Die dort befindliche Datei kann an auch audrucken. Datei Nr Friedrich W. Buckel Juli 00 Internatgynaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt 1 Grundlagen 1 Einfache Berechnungen 6 3 Etwa chwierigere Beipiele 9 4 Der freie Fall 1 Aufgabenblatt it Löungen (nur auf der CD)

3 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 1 1. Grundlagen Dieer Text oll kein Lehrbucheratz ein, in de nun gründlich in die gleichäßig bechleunigte Bewegung eingeführt wird. Vielehr werden die weentlichen Gedanken und Fakten dargelegt und die Bewegunggleichungen it allerlei Rechnungen ertieft. Ohne eine Antriebkraft ändert ein Fahrzeug eine Gechwindigkeit nicht. Wir etzen daher eine kontante Antriebkraft irgendwelcher Art orau. I Experient beobachtet an, daß dann da Fahrzeug ier chneller fährt. Proble Nr. 1: Wer biher nur die gleichförige Bewegung beprochen hat, kennt nur den dort eingeführten Gechwindigkeitbegriff, der auf die Proportionalität on Wegtrecke und Zeitpanne zurückgeht: Wenn kontant bleibt, nennt an dieen Quotienten die Gechwindigkeit der t zugrunde liegenden gleichförigen Bewegung. E uß nun elbt de Schüler klar ein, daß an dieen Gechwindigkeitbegriff nicht erwenden kann, wenn die Bewegung bechleunigt it, weil ja dann beagter Quotient eben nicht kontant bleibt. Alo it ein neuer Gechwindigkeitbegriff für diee Art der Bewegung zu definieren. Proble Nr. : Wir kot an zu den Geetzen der bechleunigten Bewegung it kontanter Antriebkraft? I Unterricht kann an beipielweie it einer reibungfrei geachten Bewegung eine Meßreihe auftellen und nach Proportionalitäten uchen. Zunächt wird an banalerweie nachprüfen, daß Wegtrecke und Fahrzeit t nicht proportional ein können. Weil da Fahrzeug ier chneller wird, nit in jeder folgenden Sekunde der zurückgelegte Weg zu! Dennoch tellt an eine Meßreihe für und t auf und ucht einen Zuaenhang. Ein Beipiel zeigt da Vorgehen: Man kann auf diee Idee koen, die Zeit t zu quadrieren, u dait die Wegzunahe durch die Zunahe der Gechwindigkeit zu kopenieren. Jedenfall klappt e zielich gut, die Kontanz de Quotienten nachzuweien. t t t t 0,08 4 0,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 Dait haben wir eine Proportionalität, und der Quotient (an nennt ihn die Proportionalitätkontante) charakteriiert die Bewegung.

4 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung Waru an dann de Quotienten gerade den Naen 1 a gibt, kann an i Hinblick auf güntigere Ergebnie ert al abtun. Nun hat an alo experientell ein Naturgeetz entdeckt. Da Naturgeetz it tet die Proportionalität. Die Gleichung acht ert der Mench darau, dait er etwa zu Rechnen hat! Und da o gefundenen Rechengeetz lautet jetzt = at E it da Weg-Zeit-Geetz der gleichäßig bechleunigten Bewegung und die Kontante a nennt an Bechleunigung. In unere Veruch hat ich 1 ergeben. 1 a 0,0 a 0,04 t = = = Nun ollte an gleich ein Schaubild zur Hand haben, denn diee Gleichung tellt ja eine Parabel dar: B 3 = 0,0 t B A B 1 Auf der t-ache wurde al Maßtab 1 c gewählt, dait die Parabel nicht zu flach wird. In da Diagra ind ier Zutandpunkte eingetragen: A ( 6 0,7), B10 ( ), C143,9 ( ) und D186,48 ( ) Wir benötigen ie gleich für uner nächte Proble:,

5 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 3 Proble Nr. 3: Wie kot an nun zu eine ernünftigen Gechwindigkeitbegriff? Dazu brauchen wir nochal da Diagra der Seite : Wir berechnen jetzt it der hier eigentlich ungültigen Forel = t drei Gechwindigkeiten. = 0,0 t Und zwar erwenden wir dazu die ier orhandenen Zutandpunkte A, B 1, B und B 3. A Dait tun wir o, alo ob ich der Körper gleichförig on A zu B 1, zu B oder zu B 3 bewegt. Man nennt die o erzeugte Gechwindigkeit die Durchchnittgechwindigkeit. B 1 B B 3 6,48 0,7 5,76 Mittel A und B 3 entteht: 3 = = = 0, ,9 0,7 3,0 Mittel A und B entteht: = = = 0, ,00 0,7 1,8 Mittel A und B 1 entteht: 1 = = = 0, I Diagra ind Strecken (Sekanten) zwichen den Kurenpunkten eingezeichnet. Wir wien ja, die Steigung dieer Strecken geben die Gechwindigkeit der zugehörigen gleichförigen Bewegung an. Wenn wir da Diagra betrachten, erkennen wir, daß die Parabel in A flacher erläuft al jede dieer Sehnen, und daß ie in den Endpunkten jeweil teiler läuft al jede dieer Sehnen. Da heißt die tatächliche Gechwindigkeit, wie ie auch ier erittelt ein ag, it in A kleiner al die Werte 1, und 3, und in den Endpunkt B 1, B, B 3 größer al die drei berechneten Werte. Man ieht aber chnell, daß die Abweichung ier kleiner wird, je näher wir den zweiten Zutandpunkt an A heranrücken. Wer Erfahrung hat, der weiß, daß an nun B 1 gegen A rücken läßt und oit or der Sekante zur Tangente kot. Ich will al Beipiel einen ehr dicht bei A liegenden B6,10,744. Die ergibt einen Gechwindigkeitwert on Punkt B* nehen: ( ) 0,744 0,7 0,04 * = = = 0,4 6,1 6 0,1

6 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 4 Wer die Theorie der Berechnung der Tangententeigung it Hilfe der Ableitungfunktion kennt, weiß, daß wir nun einfach die Wegfunktion ableiten üen und erhalten oit da wa an dann die Moentangechwindigkeit nennt: () 1 t = at ( t) = ' ( t) = at It die abzuleitende Variable die Zeit, chreibt an nicht ' ( t ) ondern () t. Der Punkt tellt oit da Zeichen für die Ableitung nach der Zeitariablen dar. We diee ganze Theorie zu chwer it, der halte ich einfach a Ergebni fet: Die Moentangechwindigkeit der gleichäßig bechleunigten Bewegung wird berechnet durch ( ) t = at Diee Schaubild gibt eine Gerade i t Diagra: Man beachte, daß die Einheit auf der t-ache noch kleiner geacht worden it. Denn bei der hier erwendeten kleinen Bechleunigung on a = 0,04 nit die Gechwindigkeit nur ganz langa, zu. Diee Diagra it nun ganz wichtig zu Vertändni de Begriffe Bechleunigung. I Vergleich it der Geradengleichung y = x erkennt an daß in =at diee Bechleunigung a die Steigung dartellt. Und weil an diee Steigung an einer geraden an beliebigen Abchnitten berechnen kann, gilt: a = t Beipiel: Bei einer bechleunigten Bewegung hat ein Körper nach t 1 = 4 die Gechwindigkeit 1 = 1 und nach t = 10 die Gechwindigkeit = 30. Berechne die wirkende Bechleunigung: a = = = = = 3 t t t Erinnern Sie ich noch, wie an eine Gerade it der Steigung 3 zeichnet? Man geht u 1 nach recht und u 3 nach oben, d.h. e gilt Merke: Wird ein Körper durch a=3 bechleunigt, dann nit eine Gechwindigkeit pro Sekunde u 3 zu!

7 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 5 Da t Diagra getattet auch noch die Berechnung de zurückgelegten Wege durch Berechnung de Flächeninhalte zwichen der Geraden und der t-ache. Beipiel. Gegeben ei eine Bechleunigung on a = 1,. 1 Dann lautet da Weg-Zeit-Geetz: = at = 0,6 t und da Gechwindigkeit-Zeit-Geetz: = a t = 1, t Die ergibt zwei Diagrae: 3 ( ) ( 3) 3 ( ) Beginnen wir i rechten Bild. Dort it die Weg-Zeit-Funktion ( ) t = 0,6 t al Parabel dargetellt. Zuätzlich it der nach 3 zurückgelegte Weg eingezeichnet: ( ) 3 = 0,6 9 = 5,4. I linken Bild it die Gechwindigkeit-Zeit-Funktion dargetellt: () t = 1, t. Zuätzlich it die Gechwindigkeit nach 3 eingetragen: ( ) 1 Die grüne Dreieckfläche hat den Inhalt A = 3 3,6 = 5,4. Und die it genau der nach 3 Sekunden zurückgelegte Weg!!! Allgeein gilt nälich für diee Dreieck: 1 ( ) 1 1 A = t t = t at = at = ( t). E wird bald Aufgaben geben, bei denen die wichtig it! 3 = 1, 3= 3,6.

8 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 6. Einfache Berechnungen Wir haben nun eine Reihe on Foreln, die wir anwenden können: WISSEN: Für die gleichäßig bechleunigte Bewegung gilt: a = kontant =a t = a t 1 Dabei ind und die au der Ruhe herau nach der Zeit t erreichten Werte! Wie können nun Aufgaben auehen? BEISPIEL 1 Ein Körper wird au der Ruhe herau bechleunigt und erreicht nach 8 Sekunden die Gechwindigkeit 11,. Welchen Weg hat er dabei zurückgelegt? Löung: Gegeben ind nun t = 8 und = 11,, alo liefert und die Forel 11, a = die wirkende Bechleunigung: a = = 1,4 t 8 1 Daher folgt = a t = 0,7 64 = 44,8. BEISPIEL Löung: Ein Körper wird au der Ruhe herau bechleunigt und hat nach 5 die Strecke 50 zurückgelegt. Welche Gechwindigkeit hat er dann erreicht? Gegeben ind jetzt t = 5 und = Die Forel = at liefert jetzt die Bechleunigung a: 100 a = = = 4 t 5 Darau folgt dann = a t = 4 5= 0.

9 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 7 BEISPIEL 3 Löung: Ein Körper wird au der Ruhe herau it a =,4 bechleunigt und legt dabei die Strecke 30 zurück. Welche Gechwindigkeit hat er erreicht? Gegeben ind alo a =,4 und = Au = a t t = = = 5 Daher it t = 5. a,4 Nun folgt = a t =,4 5= 1 ACHTUNG: Da Verfahren au Beipiel 3 kann an abkürzen, wenn an eine neue Forel entwickelt. Wir haben da Proble, daß wir au a und berechnen ollen. Dazu gibt e bi jetzt hier noch keine Gleichung. Alo entwickeln wir ie: E gilt = 1 a t (1) und = a t () Wir benötigen bei dieer ganzen Rechnung eigentlich da t nicht, daher wird t o eliiniert: Au () folgt t = a Eingeetzt in (1): Aufgelöt nach : = = = a a = a a d.h. = a Diee Gleichung getattet die Berechnung der Gechwindigkeit, die ein Körper erreicht hat, wenn er au der Ruhe herau entlang einer Strecke bechleunigt worden it. Angewandt auf uner Beipiel 3: a a =,4 30 = 144 = 1!!!!!

10 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 8 BEISPIEL 4 Löung: Ein Körper wird au der Ruhe herau it a =,4 bechleunigt und erreicht dabei die Gechwindigkeit 1. Welche Wegtrecke hat er zurückgelegt? Gegeben ind alo a =,4 und = 1. Und geucht it der Weg. Wer jetzt gut aufgepaßt hat, uß erkannt haben, daß wir eine Forel benötigen, welche die drei Größen a, und enthält, alo = a Quadrieren und utellen nach : 144 = a = = = 30 a 4,8 Beerkung: E gibt Lehrer, die zunächt ohne diee Forel aukoen wollen, weil ie den Ugang it den beiden anderen einüben laen wollen. Dann geht an o or: 1 Au = a t folgt t = = = a,4 Dait folgt: = a t = 1, 5 = Die it etwa utändlicher, geht aber auch. Allerding haben wir einen wichtigen Nebeneffekt, wir haben zugleich die Fahrzeit 5 erittelt. It diee in der Aufgabe direkt gefragt, dann ollte an nur dieen Weg einchlagen. BEISPIEL 5 Löung: Ein Körper wird au der Ruhe herau bechleunigt und erreicht nach 15 die Gechwindigkeit 6. Wir lange wurde bechleunigt? Gegeben ind = 15 und = 6. Wir haben chon wieder diee Kontellation und berechnen au = a die Bechleunigung a: 36 = a a = 1, = 30 =. 6 Au = a t folgt t = = = 5. a 1,

11 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 9 BEISPIEL 6 Löung: 3. Etwa chwierigere Beipiele Ein Körper wird au der Ruhe herau 5 Sekunden lang it a = 0,8 bechleunigt. Dann fährt er gleichförig weiter. Wie weit it er nach Minuten gefahren und welche Endgechwindigkeit beitzt er? Startphae: (Gleichäßig bechleunigte Bewegung). Gleichförige Phae: Gegeben ind a = 0,8 und t = 5. Darau folgt = a t = 0,8 5= 4 1 und = a t = 0,4 5 = 10 M Die Gechwindigkeit = 4 S bleibt kontant bi zu Ende. Zurückgelegter Weg in der Retzeit t = in 5 = 115 : Au = folgt = t = = 460 t BEISPIEL 7 Überlegung: Ein Fahrzeug wird au der Ruhe herau gleichäßig bechleunigt. Dabei braucht e zur Erhöhung einer Gechwindigkeit on = auf = 8 genau 3 Sekunden. 1 Berechne die wirkende Bechleunigung,die nach 10 Sekunden erreichte Gechwindigkeit owie den bi dahin zurückgelegten Weg. 1 = = 8 t = 3 0 t1 t 10 t Eine olche Skizze lohnt ich ier, da ie die Sacherhalte klarer acht.

12 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 10 Nun uß an ich al erte darüber klar werden, daß e u die Größen und t geht, alo it die Forel = a t gefragt. Wir üen ie auf zwei Ereignie anwenden: Zur Zeit t 1 it Zur Zeit t it = d.h. e gilt 1 = a t1 (1) = 8 d.h. e gilt = a t. () 1 Nun üen wir unbedingt unere Kenntni der 3 Sekunden aunützen, d.h. wir üen auf die Idee koen, au t = t t1 die Gleichung t = t1+ t zu bilden. = a t + t = a t + a t Eingeetzt in (): ( ) Alo gilt jetzt: = 1+ a t a t = 1 a = = t t Ja, und an hätte ich die ganze Arbeit paren können, wenn an ich diee Forel on Seite 4 geerkt hätte. Dort war beprochen worden, daß die Bechleunigung a wegen = at die Steigung i t Diagra it. Und die Steigung kann an au zwei beliebigen Meßpunkten berechnen, eben durch a =. t Nach dieen nicht unwichtigen Überlegungen folgt die eigentliche Löung: Gegeben ind die zwei Zutandpunkte de t Diagra: ( ) und P ( t 8 ) P t 1 1 wobei zuätzlich t = 3 gegeben it. 6 E folgt: a = = = t 3. Nach t 3 = 10 it dann ( ) 10 = 10 = 0 und ( ) 1 10 = a t = =

13 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 11 BEISPIEL 8 Ein Fahrzeug wird au der Ruhe herau gleichäßig bechleunigt. Dabei braucht e zur Erhöhung einer Gechwindigkeit on = auf = 8 genau 30 Fahrtrecke. Berechne die wirkende Bechleunigung 1 Überlegung: 1 = = 8 = Der Unterchied zu Beipiel 7 it erkennbar: Jetzt it die Wegtrecke gegeben, zuor war e die Fahrzeit. Daher nützt jetzt die Forel a = nicht ehr! t Aber wir erwenden die Forel = a bzw. = a : E gilt bei 1 : 1 = a1 und bei : Nun ubtrahiert an beide Gleichungen: a = ( ) = a a = a = a Darau folgt a = = = =

14 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 1 4. Der freie Fall Wenn wir un in nicht allzu große Höhe begeben, können wir die Graitationkraft, alo die Gewichtkraft unerer Körper al kontant anehen. Denken wir un dann noch den Luftwiedertand weg, dann fallen Körper unter de Einfluß einer kontanten Kraft gleichäßig bechleunigt. Die Bechleunigung kann an experientell zu etwa 9,81 betien. Man erwendet dafür da Sybol g: WISSEN: Fallen Körper i erdnahen Rau ohne Luftwidertand, dann führen ie eine gleichäßig bechleunigte Bewegung it der Fallbechleunigung a= g= 9,81 au. Oftal wird g 10 aufgerundet. Für da Fallen au der Ruhe herau gelten daher folgende Geetze: = g t bzw. h g = (1) t = g t () = gh (3) Dabei it h die Falltrecke au der Ruhe herau und t die zugehörige Fallzeit owie die dann erreichte Gechwindigkeit. I Grunde it alo der freie Fall nicht Neue, ondern nur eine pezielle gleichäßig bechleunigte Bewegung, die ogar den Vorteil hat, daß an die Bechleunigung kennt. Daher ollen jetzt keine weiteren Beipiele folgen ondern einige Aufgaben zu Üben.

15 MECHANIK 9111 Gleichäßig bechleunigte Bewegung 13 AUFGABEN zu freien Fall E it getattet, it g 10 zu rechnen. (1) Ein Körper fällt 1 Sekunden lang. Wie tief it er gefallen und welche Gechwindigkeit hat er erreicht? () Ein Körper fällt 0 tief. Wie lange braucht er dazu und welche Gechwindigkeit hat er a Ende der Falltrecke? (3) Ein Körper fällt frei. Nach welcher Zeit und welcher zurückgelegten Fallhöhe erreicht er die Gechwindigkeit 108 k h? (4) Ein Körper fällt 6 Sekunden lang frei. Wie lang ind die Wegtrecken in der 1. Sekunde, in der. Sekunde uw.? Gib auch die nach 1, uw. erreichten Gechwindigkeiten an. (5) Zwei Körper werden on eine Hochhau au fallen gelaen. Der zweite Körper beginnt einen Fall genau 1 Sekunde nach de erten. In welche zeitlichen Abtand treffen ie auf de Boden in 15 Tiefe auf? Wie groß it 3 Sekunden nach de Lolaen de 1. Körper der Höhenunterchied und der Gechwindigkeitunterchied der beiden Körper? Und nun chwere Aufgaben: (6) Ein Körper paiert bei Fallen die Marken h 1 und h in der Zeit,4. Diee Marken haben einen Abtand on 90. Berechne h 1 und h. (7) Ein Körper paiert bei Fallen die Marken h 1 und h, die 1,8 aueinander liegen. Der Gechwindigkeitunterchied beträgt Berechne h 1 und h. (8) Ein Körper erzielt auf einer Falltrecke eine Gechwindigkeitzunahe on 5. Wa läßt ich darau für die benötigte Zeitpanne folgern? Die Löungen befinden ich auf der Matheatik-CD