Lösungen zur Mechanik Serie 5

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1 Löungen zur Mechanik Serie 5 1. Der Fall de Guiball a) Für die potentielle Energie zu Beginn Zutand 1) erhält an: E total,1 E pot,1 g h kg 9.81 N J 10.5J kg b) Für die totale echaniche Energie ergibt ich auf 1.70 Höhe Zutand ): E total, E pot, +E kin, g h + v 0.430kg 9.81 N kg kg 3.96 ) J 10.5J c) In diee 3. Zutand erhalten wir chlielich für die Geatenergie: E total,3 E kin,3 v kg 7.00 ) J 10.5J d) Wir haben in den drei Zutänden jeweil dieelbe echaniche Geatenergie E total erhalten. Mit anderen Worten: die Energie bleibt ingeat erhalten. Während de Fallen wandelt ie ich einfach von potentielle in kinetiche Energie u.. Der Medizinball i Unterricht a) Bei Abwurf wird der Ball durch die Hand bechleunigt, d.h., ie verrichtet Bechleunigungarbeit an ih, führt ih alo kinetiche Energie zu. Diee kinetiche Energie wird bei Auftieg nach und nach in potentielle Energie ugewandelt. Der Ball wird langaer, gewinnt dafür aber an Höhe. Der Ball verwendet eine kinetiche Energie dazu, Hubarbeit an ich elbt zu verrichten. Fällt der Ball wieder, o findet die Uwandlung in die ugekehrte Richtung tatt. Die potentielle Energie geht wieder in kinetiche Energie über. Da der Ball bei dieen eher kleinen Gechwindigkeiten nur einen geringen Luftwidertand erfährt, ind eine Energieverlute klein. Vernachläigbar wenig kinetiche Energie wird in innere Energie übergeführt. Und oit dürfen wir bei den folgenden Berechnungen von der Erhaltung der Energie augehen. b) Wir etzen die Geatenergien unittelbar nach de Abwurf Zutand 1) und a höchten Punkt Zutand ) gleich. Mit de Nullniveau auf der Höhe de Boden folgt: E total,1 E total, E pot,1 +E kin,1 E pot, Foreln einetzen g h 1 + v 1 g h g h 1 +v 1 g h g h 1 v 1 g h h 1 )... v 1 g h h 1 ) Werte einetzen 9.81 N kg )

2 Man kann bei dieer Rechnung übrigen ein wenig gechickter vorgehen, inde an da Nullniveau auf Abwurfhöhe etzt. Dadurch entfällt der Ter für die potentielle Energie in Zutand 1 h 1 0). Die Höhe de toten Punkte u dann aber von Anfang an auf h geetzt werden. Für die Energieerhaltungrechnung folgt o: E total,1 E total, E kin,1 E pot, Foreln einetzen v 1 g h v 1 g h... v 1 g h Werte einetzen 9.81 N kg Halten wir fet: Die Abchugechwindigkeit, die in Zutand 1 vorhanden ein u u den toten Punkt Zutand ) zu erreichen, hängt nur vo Höhenunterchied h h h 1 zwichen Abchuhöhe und tote Punkt ab. Die aboluten Höhenwerte h 1 und h ind irrelevant. Darin widerpiegelt ich unere Wahlfreiheit für da Nullniveau von E pot! c) Zutand 3 it der Moent, in welche der Ball eine Höhe von.00 über de Boden durchquert. Wie wir unter a) beerken konnten, it e für da Rechnen gechickt die tiefte in eine Proble vorkoende Höhenlage al Nullniveau der potentiellen fetzulegen. Hier legen wir alo da Nullniveau auf.00 über Boden und etzen dieen Zutand 3 it de toten Punkt Zutand ) in Beziehung. Deen Höhe beträgt neu h 0.38 und e folgt: E total,3 E total, E kin,3 E pot, Foreln einetzen v 3 g h v 3 g h... v 3 g h Werte einetzen 9.81 N kg d) Rekapitulation iehe auch unter a)): Wäre der Luftwidertand nicht vernachläigbar klein, o wäre die Energie de Ball nicht erhalten. Zwichen Ball und Luft würde Reibung tattfinden. Der Ball würde einen Teil einer kinetichen Energie an die Luft abgeben. Wir agen:der Ball könnte nicht ehr al abgechloene Syte betrachtet werden.

3 3. Ein Fadenpendel a) Wenn wir it de Energieforaliu rechnen, ollte da Nullniveau innvollerweie auf der tieften vorkoenden Lage der Kugel, alo i unterten Punkt der Pendelchwingung gewählt werden. Die Startituation ei Zutand 1, der Moent de Durchgang durch den unterten Punkt Zutand. Wir etzen die Energien der beiden Zutände gleich: E total, E total,1 E kin, E pot,1 +E kin,1 Foreln einetzen v g h 1 + v 1 v g h 1 +v1... v g h 1 +v1 Werte einetzen 9.81 N kg ) b) Den Moent gröter Höhe bezeichnen wir al Zutand 3. Setzen wir via Energiehaltung die Zutände h inial, v axial) und 3 h axial, v 0) iteinander in Beziehung: E total,3 E total, E pot,3 E kin, Foreln einetzen g h 3 v h 3 v g N kg ) : g) Werte einetzen c 4. Abchu auf eine Tur a) Der Höhenunterchied zwichen de Abwurf von der Plattfor Zutand 1) und de toten Punkt Zutand ) beträgt 17. Mit de Nullniveau auf Abwurfhöhe folgt darau: E total,1 E total, E kin,1 E pot, Foreln einetzen v 1 g h v 1 g h... v 1 g h Werte einetzen 9.81 N kg b) Nach de Reultat von a) it klar, da die geuchte Höhenlage Zutand 3 it Gechwindigkeit v 3 1 ) oberhalb der Auichtplattfor liegt. Für da forale Rechnen it e 3

4 hier güntig, diee geuchte Höhenlage al neue Nullniveau anzuetzen. Dann liegt der tote Punkt auf der Höhe h und e folgt: E total, E total,3 E pot, E kin,3 Foreln einetzen g h v 3 h v 3 g ) N kg : g) Werte einetzen 7.34 Diegeuchte Höhe liegtoit 7.34 unterhalb de toten Punkte und dait über Boden. Natürlich können wir tattdeen auch it de biherigen Nullniveau auf Höhe der Auichtplattfor rechnen können: E total,3 E total,1 E pot,3 +E kin,3 E kin,1 Foreln einetzen g h 3 + v 3 v 1 : g) h 3 + v 3 g v 1 h 3 v 1 g v 3 g v 1 v 3 g 18.6 ) N kg ) 9.65 v 3 g Werte einetzen Auch dait koen wir auf eine Höhe von über Boden. c) Nun legen wir da Nullniveau auf den Boden. A einfachten etzen wir den Zutand de Stein unittelbar vor de Aufprall Zutand 4) it de toten Punkt Zutand ) in Beziehung. Wie der Aufgabentext beagt, gehen nun 15 J Energie verloren. Da üen wir folgenderaen berückichtigen: E total,4 E total, 15J E kin,4 E pot, 15J Foreln einetzen v 4 g h 15J v4 g h 15J v 4 g h 15J 9.81 N kg... Werte einetzen 51 15J 0.73kg Energieverlute laen ich alo ohne groe Problee in eine Rechnung einbauen, olange ie ich denn beziffern laen. 4

5 5. Die Leitung de Jet d Eau in Genf a) Betrachten wir eine kleine Portion Waer it Mae in zwei Moenten: Erten bei Verlaen der Düe Zutand 1: noch keine Höhe, dafür Gechwindigkeit v 1 ) und zweiten a oberten Punkt Zutand : keine Gechwindigkeit, dafür Höhe h ). E folgt: E kin,1 E pot, v 1 g h v 1 g h... Foreln einetzen v 1 g h Werte einetzen 9.81 N kg k h Wie an bei Übergang von der zweiten zur dritten Zeile ieht, fällt die Mae rau. E kot alo nicht darauf an, wie gro die Portion Waer gewählt wird. b) Der Vorgang it nicht reibungfrei. Da Waer it erten recht chnell unterweg und verteilt ich zweiten recht tark der Strahl bricht auf de Weg nach oben auf). E entteht ein nicht zu vernachläigender Luftwidertand, der erfordert, da de Waer zuätzliche kinetiche Energie itgegeben werden u, dait e trotzde 15 Höhe erreichen kann. c) Die Düe verrichtet tändig Bechleunigungarbeit. Pro Sekunde werden 500 Liter Waer, da ind gerade 500kg von 0 auf 16 k h 60 ) bechleunigt: 500kg 60 E kin v J 900kJ Die ekündlich zugeführte kinetiche Energie beträgt oit 900 kj, d.h.: 6. Reibungarbeit eine Brui ) P E kin t 900kJ 900kW 1 Wie chon bei Aufgabe 4.c) fügen wir den Energieverlut in die Energieerhaltunggleichung ein. Die kinetiche Energie de Latwagen it i Zutand 1 vor der Verlangaung durch die Rollreibung gröer al i Zutand danach. U wie viel? Natürlich genau u die abgegebene Reibungarbeit W R. Dait folgt der in der Aufgabentellung enthaltene Tipp, it de wir direkt weiterarbeiten können v 1 55 k h und v 45 k h ): E kin,1 E kin, +W R Foreln einetzen v 1 v +F R F R µ R F N µ R F G µ R g v 1 v +µ R g : v1 v +µ R g v v 1 v µ R g : g ) µ R v 1 v g Werte einetzen ) ) N kg

6 7. Auchwingende Fadenpendel a) Da Pendel it zwar in guter Näherung, aber eben nicht volltändig reibungfrei. Da bedeutet, da nach und nach eben doch echaniche Energie verloren geht. Naentlich die Reibung bei der Aufhängung und der Luftwidertand der Kugel ind für diee Energieverlute verantwortlich. b) Dait wir auber it de prozentualen Energieverlut rechnen können, u da Nullniveau wie i Aufgabentext deklariert auf Höhe der unterten Lage platziert werden. Ein Verlut von 3% bedeutet, e bleiben noch 68% 0.68 übrig. Dait können wir chreiben: E total, 0.68 E total,1 E pot, +E kin, 0.68 E pot,1 Foreln einetzen g h + v 0.68 g h 1 g h +v 0.68 g h 1 g h v g 0.68 h 1 h )... v g 0.68 h 1 h ) Werte einetzen 9.81 N kg ) c) E kot ein zweiter Faktor 0.68 vor die Geatenergie und e folgt: E total, E total, E total,1 E pot, E pot,1 Foreln einetzen g h g h 1 : g) h h 1 Wert einetzen c 8. Einen Guiball fallen laen a) Zu Beginn, alo vor de fallen gelaen Werden, beitzt der Ball aufgrund einer Starthöhe eine ganz betite Menge an potentieller Energie E pot. Während de Fallen, de Kontakt it de Boden und de anchlieenden Aufteigen, it der Ball kein abgechloene Syte. E it aber klar, da keine Energie hinzukot, ondern da der Ball durch den Luftwidertand, die Reibung it de Boden und die innere Reibung während de Bodenkontakt allenfall etwa Energie verliert. Soit verfügt der Ball nach de Bodenkontakt i toten Punkt oben über weniger Energie. Die potentielle Energie und die dadurch erreichte Höhe ind geringer. b) Legen wir da Nullniveau auf dieen tieften Punkt der Bewegung, o gibt e dort keine potentielle Energie und auch die kinetiche Energie it gleich Null, denn e handelt ich u den unteren Ukehrpunkt der Bewegung. Die echaniche Energie it in diee Moent in der leichten Kopriierung de elatichen Guiball gepeichert. E handelt ich alo u Feder- oder eben elatiche Energie. 6

7 9. Beere Auto? a) Berechnen wir die Veränderung der kinetichen Energie. Dabei üen wir auf die richtigen Einheiten achten v 1 7 k h 0 und v 44 k h 1. ): E kin, E kin,1 v v 1 100kg 0 v ) v 1 ) 1. ) ) J 150kJ Da Minuzeichen bringt zu Audruck, da e ich u einen Energieverlut handelt. Solange Sie ich de Verlute bewut ind, dürfen Sie einen olchen Wert auch ohne diee Vorzeichen angeben. Achtung! Vielleicht haben Sie intuitiv zuert verucht, den Energieverlut au der Differenz der beiden Gechwindigkeiten zu betien. Diee Vorgehenweie kann nicht funktionieren, weil in der Berechnung der kinetichen Energie die Gechwindigkeit i Quadrat auftritt. Hier die Rechnung, welche den Fehler aufzeigt: ) und allgeein: v 1 v v v 1 ) v v v 1 +v 1 Zwichen 44 k h und 7 k h teckt wegen diee Gechwindigkeitquadrat deutlich ehr kinetiche Energie al zwichen 0 k h und 44 k h. b) Die verloren gegangene kinetiche Energie it zu innerer Energie geworden. Nebt einer geringen Erwärung von Pneu, Strae und ugebender Luft ind bei diee Vorgang vor alle die Breen de Auto hei geworden. c) Offenbar chwierig uzuetzen, aber theoretich denkbar, wären Schwungräder innerhalb de Auto, welche bei Abbreen bechleunigt würden und bei nächten Lofahren z.b. an einer Apel ihre Bewegungenergie ofort wieder an da Auto abgeben könnten. Bei Fahrzeugen it Elektrootoren kann der Antrieb bei Abbreen direkt dazu verwendet werden, u au der kinetichen zuindet teilweie wieder elektriche Energie zu gewinnen Rekuperationbree). Wa bei Eienbahnlokootiven längt chon Anwendung gefunden hat, it i Zuge der Entwicklung von Hybridauto Auto it owohl Benzin, al auch Elektroantrieb) eit ein paar Jahren auch auf der Strae zu Thea geworden. Leider tellen wir nach wie vor fet, da bei Auto it herkölichen Verbrennungotoren die geate kinetiche Energie bei Abbreen in innere Energie verloren geht. E werden keine Rückgewinnungechanien eingeetzt. Hier gibt e noch Entwicklungpotential! 10. Ein Auto a Hang a) Da Auto verliert eine anfängliche Zutand 1) potentielle gegenüber de Nullniveau, da wir auf Höhe de Zutande nach der Bechleunigung legen wollen: E pot,1 g h kg 9.81 N J 56.4kJ kg b) Der Zuwach an kineticher Energie beträgt v 34.7 k h ): E kin, v 1150kg ) 5343J 53.4kJ 7

8 c) Wäre da Auto ein abgechloene Syte, o üte die potentielle Energie i Zutand 1 volltändig zu kineticher Energie de Zutande werden. Genau die it nicht der Fall. Die beiden Reultate untercheiden ich u etwa 3 kj. Der Grund für den Energieverlut it einal ehr die Tatache, da währen de Vorgang Reibung tattfindet. Inbeondere die Rollreibung it bedeuta. d) Korrekterweie üte bei dieer Aufgabentellung deklariert werden, da da Nullniveau der potentiellen Energie effektiv auf die Höhe von Zutand gelegt werden oll, denn anonten it nicht klar, wie viel echaniche Energie in den beiden Zutänden effektiv vorhanden it und dann lät ich auch kein eindeutiger prozentualer Verlut angeben. Mit de Nullniveau auf Höhe von Zutand ergibt ich für den prozentualen Verlut: 56408J 5343J 56408J 985J % 56408kJ 11. Reibungverlut bei Schlitteln a) Nur die potentielle und die kinetiche Energie de Schlittler verändern ich. Der Verlut an potentieller Energie ergibt ich au de Höhenverlut und die Verlut von kineticher Energie folgt au der Abnahe der Gechwindigkeit. Der Höhenverlut beträgt: h l inα 5 in Dait lät ich der Verlut an potentieller Energie betien: E pot g h 85kg 9.81 N J kg Für die verlorene kinetiche Energie erhalten wir: E kin E 1 E v 1 v v 1 v ) 85kg 6.4 ) 5.1 ) ) 635J Ingeat beträgt der Energieverlut oit: E E pot + E kin 176J+635J 1911J 1.9kJ Dieer Energieverlut enttand aufgrund der Reibung. E handelt ich alo u die verrichtete Reibungarbeit. b) Mit der Reibungarbeit au a) lät ich direkt die ittlere Reibungkraft während der betrachteten Schlitteltrecke betien: F R E 1911J N Die Reibungzahl µ it definiert al da Verhältni von Reibungkraft F R zu Noralkraft F N. Letztere üen wir zuert berechnen. Auf der chiefen Ebene gilt: F N F G, g coα 85kg 9.81 N kg co3.5 83N Soit folgt für die Gleitreibungzahl zwichen Schlitten und Schnee: µ F R 76.4N F N 83N 8

9 1. Beau Jeu in Aktion Für die Bechleunigungarbeit erhält an 93 k h ): W B v 0.435kg Darau ergibt ich für die Bechleunigungleitung: P B W B t J ) J 19100W 19kW 13. Eine Sylveterrakete Unter Berückichtigung de Verlute aufgrund de Luftwidertande etzen wir die Energieerhaltung für die Hülle an Zutand 1 toter Punkt, Zutand unittelbar vor de Aufprall): E pot,1 E kin, +W Luftwidertand g h 1 v g h 1 v + 8J v g h 1 8J v g h 1 8J +14J 9.81 N kg Foreln einetzen 8J... Werte einetzen 47 8J 0.07kg Elektrizitätkoten bei Theater Für die ittlere Leitung der 18 Scheinwerfer erhalten wir: P 55% W 8415W Dait ergibt ich für die während der Vorführung bezogene Energieenge: E P t 8415W 1.75h 1476Wh 14.76kWh Der Prei für die Aufführung beträgt oit: Prei 14.76kWh 0 Rp. 94.5Rp..95Fr. kwh 15. Aureden für den perönlichen Energieverbrauch Die in eine Jahr bezogene Standby-Energieenge beträgt: E Standby P Standby t 7.0W J 1MJ Anderereit beträgt der Energieverbrauch für Otto jährliche Flugreie: E Reie 3000lit MJ lit MJ 470 E Standby Wollte Otto wirklich durch eine Standby-Einparung den Energieverbrauch de Fluge kopenieren, o üte er dafür ein knappe halbe Jahrtauend lang Standby-Energie paren. Seine perönliche Aurede für Fliegen it alo geradezu grotek! 9