PHYSIK Wurfbewegungen 2

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1 PHYSIK Wurfbewegungen Waagerechter Wurf Datei Nr. 911 Diee Datei it noch unkorrigiert Friedrich W. uckel Augut 00 Internatgnaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt 1 Grundlagen zu waagerechten Wurf 1 ahnkure zu waagerechten Wurf 3 3 Gechwindigkeiten entlang der ahn 5 4 Ufaende Aufgaben 8 5 Auführliche Löungen 10-5 eerkung Die allgeeine quadratiche Gleichung a + b + c 0 hat die Löungforel b± b 4ac 1, a Diee Forel (i Volkund auch Mitternachtforel genannt, wird on ir auchließlich erwendet. In nicht wenigen Aufgaben it ie der leider zu oft eingeetzten p-q-forel deutlich überlegen.

3 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 1 1. Grundlagen Waagerechter Wurf Ein waagerechter Wurf entteht durch Überlagerung einer gleichförigen ewegung in horizontaler Richtung und de freien Fall (enkrecht dazu). Phikaliche Eperiente zeigen, daß ich diee ewegungen ungetört überlagern, o daß an die Gleichungen für jede der ewegungen dann benützen kann, wenn ie nützlich ind. Einführung eine Koordinatente: Die -Ache zeige in Abwurfrichtung, alo horizontal, die -Ache ertikal nach unten, alo in Richtung de freien Fall. Soit erhält an ier ewegunggleichungen, zwei für die Koordinate de Aufenthaltorte und zwei für die Gechwindigkeit der beiden Teilbewegungen: In -Richtung (gleichförig): 0 0 t In -Richtung (freier Fall): g t 1 gt Einfachte Anwendungbeipiele dazu: (1) Eine Kugel wird horizontal it 0 abgetoßen. Nach welcher Zeit chlägt ie auf de h 0,8 tieferen oden auf? Wie weit fliegt ie dabei hinau? h Die ungetörte Überlagerung bedeutet, daß die Fallbewegung nicht durch die gleichförige ewegung in -Richtung getört wird. Der Körper kot alo in derelben Zeit unten an, wie wenn er nur fallen würde. (Da gibt e nette Eperiente dazu, wo gleichzeitig zwei Kugeln in ewegung geetzt werden, die eine fällt nur, die andere führt einen waagerechten Wurf durch. eide koen zur elben Zeit unten an!) Au der Höhe berechnen wir die Flugdauer: 1,6 gt t 0,16 0,4 1 g 10 So lange fliegt alo der Körper (auch horizontal!). Dabei legt er in -Richtung die Strecke 0 t 0,4 0,8 zurück.

4 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf () Eine Kugel wird horizontal it 0 4 abgechoen und fliegt 6 weit hinau (in -Richtung eint an dait), bi ie unten aufchlägt. Au welcher Höhe wurde ie abgechoen? Nun üen wir it der gleichförigen ewegung arbeiten. Wir kennen die Wegtrecke horizontal geeen it 6 und etzen ein: 6 t t 1, Dait berechnen wir die Falltrecke. Wir erwenden alo diee Zeit für die andere ewegung, den freien Fall, der ja genauo lange dauert: 1 ( ) gt 5 1,5 11,5 So tief it alo der Körper bei eine Wurf gefallen. (3) Eine Kugel wird horizontal it abgechoen und landet 4 weit draußen und 3 tiefer. Mit welcher Gechwindigkeit wurde der Körper abgechoen Au der Höhe berechnen wir die Flugdauer: (Dieen Grundatz ollte an ich erken.) 6 gt t 0,6 0,77 1 g 10 Für die horizontale ewegung gilt: 4 t 5, t 0, (4) Eine Kugel wird horizontal it 4 abgechoen und trifft nach 1 auf. 0 Au welcher Höhe wurde ie abgechoen und wie weit flog er? Weil die horizontale ewegung gleichförig it, folgt: t Da it die Flugweite. 0 Und nun die Falltiefe: gt

5 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 3. ahnkure bei waagerechten Wurf Die Auftellung der Gleichung einer ahnkure it ein rein atheatiche Proble. Zunächt die Vorbereitungen. Wir legen der ewegung ein --Koordinatente zugrunde. Wie i erten beprochen oll in -Richtung die gleichförige ewegung durchgeführt werden, in -Richtung der freie Fall. P ( ) Die Poition P de fliegenden Körper wird dait durch P. zwei Koordinaten fetgehalten: ( ) Diee wiederu können wir it den ewegunggleichungen berechnen: und 0 t (1) 1 gt () 1 Alo befindet ich der Körper zu Zeitpunkt t i Punkt P( 0t gt ) Die erechnung der ahngleichung it nun eine ogenannte rtkurenaufgabe der Anali. An eine eipiel führe ich da ganz gründlich durch: Dazu erwende ich. 0 Vorübung: Nehen wir 1 0,1, dazu können wir it (1) die Flugdauer berechnen: 1 0,1 t1 0, Dait erhalten wir 1 1 ( ) Wir haben alo den Kurepunkt P ( 0,1 0,015) gt 5 0,05 0,015 1 berechnet. 0, Nun daelbe it 0, t 0,1 0 1 Ergibt gt 5 ( 0,1 ) 0,05 : P ( 0, 0,05) 3 0,5 Und daelbe it 3 0,5 : t3 0,5 0 1 Ergibt gt 5 ( 0,5) 0,315: P ( 0,5 0,315) 3 3 E ercheint natürlich utändlich, au der orgegebenen -Koordinate ier zuert die Flugzeit errechnen zu üen, die dann ert die -Koordinate liefert. 3

6 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 4 Stellen wir alo eine Forel her, die dieen Schritt beinhaltet. Dazu löen wir 0 t nach t auf: t und etzen die in die Forel für ein: gt g. Die kann an noch uforen in 0 g 0 In unere eipiel kennen wir 0, alo heißt die Forel hier: 10 4 d.h. 1, 5 1 Diee Gleichung getattet alo da ofortige erechnen der -Koordinaten au den - Koordinaten für alle ahnpunkte. E it oit die Gleichung der ahnkure. Und wir erkennen an, daß e eine Parabel orliegt. Die eltae Maßeinhalt 1 ergibt ich durch Kürzen der Einheiten. Sie it auch notwendig für die Forel und darf nicht weggelaen werden: 1 Setzen wir 0,5 ein, liefert ie ( ) 1 1,5 0,5 1,5 0,5 0,315. Wir erkennen zweierlei: Erten ergibt ich o die richtige Maßeinheit für, nälich Meter, und zweiten haben wir it der Forel daelbe Ergebni zu 0,5 erhalten wie auf der Seite zuor it unerer utändlichen Rechnung. 0,1 0, 0,5 0,1 0, 0,3 P 3 Der oben berechnete Kurenpunkt P ( 0,5 0,315) 3 it eingetragen!

7 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 5 3. Gechwindigkeiten entlang der ahn! Vorkenntnie: Man uß wien, daß ich Gechwindigkeiten ungetört überlagern (olange an nicht in den ereich der Lichtgechwindigkeit kot! ) Die gechieht ektoriell: Wenn ein oot eine Fahrgechwindigkeit 1 6 hat und der Fluß ich in anderer Richtung it 3 bewegt, dann erhält an eine reultierende Gechwindigkeit geäß den Regeln der Vektorrechnung: Hier drei erchiedene eipiele (E ind ier nur andere Richtungen orhanden:) 1 1 r r 1 r Die reultierende (wirkae) Gechwindigkeit erhält an tet al Diagonale eine Parallelogra. Die Länge dieer Diagonale, alo den etrag der Gechwindigkeit berechnet an fat tet trigonoetrich, ebeno die Richtung, die an durch einen Winkel z.. relati zu 1 angeben kann. Nur i erten Fall, in de die ich überlagernden Gechwindigkeiten zueinander enkrecht (orthogonal) ind, kann an für die Diagonale den Pthagora anwenden. Anwendung auf den waagerechten Wurf: Hier liegt die Situation de erten eipiel or. Horizontal (in -Richtung) haben wir ja tet die kontante Koponente de waagrechten Wurf. D.h. Jeder Meter in - Richtung geeen, wird in derelben Zeit zurückgelegt. Nach unten wird e jedoch ier chneller, weil der freie Fall durch die Erdanziehung bechleunigt wird. Schauen wir un a ild on Seite ier einige Stellen genauer an und berechnen dazu die Koponenten und dir reultierende ahngechwindigkeit.

8 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 6 0,1 0, 0,5 P 1 P 0,1 0, 0,3 Zu eipiel on Seite 4: und 0 g t 10 t P Nach t 1 0,05 befindet ich der geworfene Körper i Punkt P ( 0,1 0,015) 1. Dort hat er diee beiden Gechwindigkeitkoponenten: 0 und 10 0,05 0,5 Verwenden wir für eine graphiche Dartellung der Gechwindigkeit die Einheit 1c für 1, dann ergibt ich die oben in P 1 dargetellte Situation. Die Diagonale tellt die reultierende Gechwindigkeit dar. Wir berechnen ie it de Satz de Pthagora: r r ,5,06. Die Richtung zeigt abwärt und zwar genau in Richtung der Tangente. Den Winkel gegen die -Ache berechnen wir o: 0,5 tanα 0,5 α 14. Nach t 0,1 befindet ich der geworfene Körper i Punkt P ( 0, 0,05) ahngechwindigkeit: g t 10 0,1 1. Richtungwinkel: ,4, denn r 1 tanα 0,5 α 6,6. Nach t 3 0,5 befindet ich der geworfene Körper i Punkt P ( 0,5 0,315) + 4+,5,5 und r,5 3 : tanα 1,5 α 51,3

9 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 7 Zuaenfaung: WISSEN: (1) Die Flugbahn bei waagerechten Wurf it eine Parabel. Ihre Gleichung erhält an au den Gleichungen 0 t und gt, inde an die -Gleichung nach t auflöt und die in die -Gleichung einetzt. () Die ahngechwindigkeit entteht durch ektorielle Addition der Gechwindigkeitkoponenten 0 und g t. Die Größe der reultierenden Gechwindigkeit liefert der Satz de Pthagora: + + ( gt) r 0 Die Richtung de Gechwindigkeitektor und oit der Flugbahn wird fetgelegt durch den Winkel α gegen die Richtung: gt tanα 0

10 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 8 4. Ufaende Aufgaben Nr. 1 Ein Körper fliegt waagerecht on einer Tichplatte hinau. Er chlägt auf de oden it der Gechwindigkeit unter 45 auf. erechne der Reihe nach die Startgechwindigkeit, die Flugdauer, die Falltiefe und die Flugweite. Nr. Ein Fahrzeug wird durch eine gepannte Feder auf einer waagerechten Tichplatte in ewegung geetzt. Die Gechwindigkeit bei Verlaen der Feder beträgt A 10. Die Reibungzahl auf der Tichfläche beträgt f 0, und der Weg on der Feder bi zur Tichkante beträgt 9. a) Mit welcher Gechwindigkeit erläßt da Fahrzeug den Tich? b) Da Fahrzeug chlägt 1,0 nach Verlaen de Tiche unten auf. Wie weit it e hinaugeflogen und wie tief it e gefallen? Unter welche Winkel und it welcher Gechwindigkeit trifft e auf? c) Nun wird die Fahrbahnunterlage erändert, wodurch da Fahrzeug nur noch 6 weit fliegt. Wie groß war jetzt die Abprunggechwindigkeit o Tich? Wie groß war bei gleicher Startgechwindigkeit A 10 bei der Feder die Reibungzahl auf der Unterlage? Nr. 3 Auf einer Tichkante liegen nebeneinander zwei gleiche Körper. Durch eine geeignete Startorrichtung werden ie gleichzeitig horizontal abgechoen. Die Tichhöhe ei 1, Körper 1 erhält eine Startgechwindigkeit on 0,1, Körper da doppelte, alo 0, 4. Ertelle eine Wertetafel für die graphiche Dartellung der Flugbahnen i Maßtab 1:10 und berechne ahnpunkt i Zeitabtand 0,1. Trage in dieen Punkten auch die Gechwindigkeitpfeile ein! Nr. 4 Ein Körper wird in A durch eine Feder auf die Gechwindigkeit A 1 bechleunigt. Dann gleitet er unter Reibung bi und erläßt dort nach it 6 die horizontale Fläche. A C a) erechne die Reibungzahl f für die Strecke A. b) Der Körper chlägt nach 1, in C auf. erechne Falltiefe, Flugweite, Auftreffgechwindigkeit und Auftreffwinkel. c) Zeichne die ahnkure i Maßtab 1:100 d) In welche ahnpunkt beträgt die Flugrichtung 45? Wie groß it dort? e) Wir groß üßte ein, dait er in C unter 45 auftreffen würde?

11 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 9 Nr. 5 Auf der Strecke A gilt die Reibungzahl f 0,. Der in A on einer Feder (blau) abgechoene Körper hat in noch die Gechwindigkeit. A a) Der Körper erreicht nach 3. erechne eine Startgechwindigkeit owie die Länge der Strecke A. A α D b) Der Körper trifft in C in 5 Tiefe auf die Schräge auf. erechne die Flugdauer T, die Flugweite (horizontal geeen) owie die Gechwindigkeit und den Auftreffwinkel β, wobei C o α 60 it. β C c) In D hat der Körper die Gechwindigkeit D 4,47. erechne darau und die Flugzeit für D. Welche Koordinaten hat der Punkt D (Urprung in, -Ache nach recht, -Ache nach unten)? d) Zeichne die Flugbahn o, daß 1 c entpricht. erechne dazu ahnpunkte i Zeitabtand 0,. Nr. 6 Auf der Strecke A gilt die Reibungzahl f 0,. In A wird ein Körper on einer Feder (blau) it A 7 abgechoen. Er erreicht nach. E it h 0 und b 4,5. a) erechne die Gechwindigkeit i Punkt und die Länge der Strecke A. b) Nach welcher Flugzeit T chlägt er in C gegen die Wand? Wie tief liegt C gegenüber de Nieau A? Mit welcher Gechwindigkeit trifft er in C auf die Wand und unter welche Winkel β? A h b β D C c) In eine zweiten Veruch hat der Körper in eine geringere Gechwindigkeit und trifft daher in D auf den oden de Schachte auf. Man ißt D 0,1. erechne darau und die Koordinaten on D. d) Zeichne die Flugbahn au Teilaufgabe b) de waagerechten Wurfe. 1 entpreche 1 c. erechne die ahnpunkte i Zeitabtand 0,3. Trage den Gechwindigkeitektor zu t 0,6 ein ( 1 0,5c).

12 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 10 Nr. 1 LÖSUNGEN Ein Körper fliegt waagerecht on einer Tichplatte weg. Er chlägt auf de oden it der Gechwindigkeit unter 45 auf. erechne der Reihe nach die Startgechwindigkeit, die Flugdauer T, die Falltiefe h und die Flugweite. Löung Zunächt die ewegunggleichungen: In -Richtung (gleichförig): 0 (1) 0 t () In -Richtung (freier Fall): g t (3) 1 gt (4) Für die ahngechwindigkeit gilt: Für die Flugrichtung gilt: + (5) tan γ (6) Gegeben it nun und γ 45 alo it tan γ tan45 1 Au (6) folgt daher Setzt an die in (5) ein, folgt:. (7) 1 + X Nach aufgelöt: 1, 41 Wegen (7) gilt: Au (3) folgt daher 1,41. 1, 41 g 10 g t T 0,14 Die ergibt it (4) die Falltiefe 1 ( ) h gt 5 0,14 0,098 9,8 c und it () die Flugweite T 1,41 0,14 0,0

13 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 11 Einchub: Verzögerte ewegung durch Reibung Für die folgenden Aufgaben brauchen wir die reerzögerung al Folge der Gleitreibung. Nach Newton gilt: F a alo F a. (1) Die bei der Reibung wirkende Kraft it die Reibungkraft FR f N f G f g Die No0ralkraft drückt den Körper enkrecht gegen die Unterlage und it für die Reibung erantwortlich. I Fall einer horizontalen Ebene it diee Noralkraft genau die Gewichtkraft G g. Au (1) folgt daher für die reerzögerung: f g a f g Dait kann an nun gie gleichäßig erzögerte rebewegung berechnen.

14 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 1 Nr. Ein Fahrzeug wird durch eine gepannte Feder auf einer waagerechten Tichplatte in ewegung geetzt. Die Gechwindigkeit bei Verlaen der Feder beträgt A 10. Die Reibungzahl auf der Tichfläche beträgt f 0, und der Weg on der Feder bi zur Tichkante beträgt 9. a) Mit welcher Gechwindigkeit erläßt da Fahrzeug den Tich? b) Da Fahrzeug chlägt 1,0 nach Verlaen de Tiche unten auf. Wie weit it e hinaugeflogen und wie tief it e gefallen? Unter welche Winkel und it welcher Gechwindigkeit trifft e auf? c) Nun wird die Fahrbahnunterlage erändert, wodurch da Fahrzeug nur noch 6 weit fliegt. Wie groß war jetzt die Abprunggechwindigkeit o Tich? Wie groß war bei gleicher Startgechwindigkeit A 10 bei der Feder die Reibungzahl auf der Unterlage? Löung: a) erechnung der reerzögerung: f g a f g 0, 10 ewegunggleichungen: A a t (1) 1 A () t at Gegeben ind erwenden: 1 und 9. Dait kann an die Gleichung () t 1 t 1 t 10 t+ 9 0 : d.h. t 10 t+ 9 0 WISSEN: Die allgeeine quadratiche Gleichung b± b 4ac hat die Löung 1, a Alo folgt: t 1, ± ± ± Wie an bei rebewegungen gelernt hat (haben ollte), gilt in o eine Fall ier die kleinere Zeit. (Die größere kann an o deuten: Läßt an da Fahrzeug bi zu Halten fahren und dann rückwärt bechleunigen, dann kot e nach 9 an der Wegarke 9 an!) Au (1) folgt dann a + b + c 0 { 1

15 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 13 b) Da Fahrzeug chlägt 1,0 nach Verlaen de Tiche unten auf. Wie weit it e hinaugeflogen und wie tief it e gefallen? Unter welche Winkel und it welcher Gechwindigkeit trifft e auf? Nun benötigt an die 4 ewegunggleichungen de waagerechten Wurfe: In -Richtung (gleichförig): 0 (1) 0 t () In -Richtung (freier Fall): g t (3) 1 gt (4) Mit der gegebenen Flugdauer T 1 kann an alle Daten leicht berechnen: Flugweite: ( ) Falltiefe: ( t) gt Gechwindigkeitkoponenten: ahngechwindigkeit nach 1 : 9 0 g t ,5 Auftreffwinkel: 10 γ γ. tan 48,0 9 c) Nun wird die Fahrbahnunterlage erändert, wodurch da Fahrzeug nur noch 6 weit fliegt. Wie groß war jetzt die Abprunggechwindigkeit o Tich? Wie groß war bei gleicher Startgechwindigkeit A 10 bei der Feder die Reibungzahl auf der Unterlage? Da offenbar an der Falltiefe nicht erändert wurde (da ind räuliche fete Gegebenheiten), it auch die Flugdauer it 1 kontant geblieben! Au der neuen Flugweite 6 folgt dann: 6 ( in -Richtung liegt eine gleichförige ewegung or! ) t Startgechwindigkeit an der Feder: 10 ewegunggleichungen für die rebewegung: A und A a t 1 A. t at

16 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 14 Wir etzen ein: 6 10 a t (1) 1 Und 9 10 t at () Die reerzögerung a it nicht bekannt und ebenowenig die Zeit für die ewegung auf de Tich on der Feder bi zur Abwurfkante. Hier arbeitet an z.. it diee TRICK: Ich löe (1) nach a t auf und etze die in () ein, denn e it ja 1 at 1 t ( at)!! Auf diee Weie wird a eliiniert und wir können t betien: Au (1): a t 4 (3) 1 Au (): at 10 t 9 1 d.h. ( ) t at 10 t 9 1 ( ) t 4 10 t 9 ergibt t 10 t 9 und 9 10 t t alo 8 t und oit t 1, Eingeetzt in (3): a 3,6 1,15 Für die reerzögerung gilt nun Alo erhält an die Reibungzahl a F f g f g R a 3,6 f 0,36. g 10

17 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 15 Nr. 3 Auf einer Tichkante liegen nebeneinander zwei gleiche Körper. Durch eine geeignete Startorrichtung werden ie gleichzeitig horizontal abgechoen. Die Tichhöhe ei 1, Körper 1 erhält eine Startgechwindigkeit on Körper da doppelte, alo 4. 0,, 0,1 Ertelle eine Wertetafel für die graphiche Dartellung der Flugbahnen i Maßtab 1:10 und berechne ahnpunkt i Zeitabtand 0,1. Trage in dieen Punkten auch die Gechwindigkeitpfeile ein! LÖSUNG: eginnen wir wie ier it den ewegunggleichungen für den waagerechten Wurf: In -Richtung (gleichförig): 0 (1) 0 t () In -Richtung (freier Fall): g t (3) 1 gt (4) Für die ahngechwindigkeit gilt: Für die Flugrichtung gilt: + (5) tan γ (6) Au der Tichhöhe, die ja die Falltiefe dartellt, errechnet an ier die Flugdauer. Au (4) folgt nälich h h g g. 1 h gt T T 0,447 E uß klar werden, daß die Flugdauer nur on der Falltiefe abhängt, nicht on der Startgechwindigkeit in -Richtung. eide Körper befinden ich alo (wenn ie zugleich abgechoen werden) tet in der gleichen Tiefe und treffen folglich auch gleichzeitig unten auf!! Wir benötigen nun eine große Wertetafel zur Auflitung der Punktkoordinaten nach t 0,1 ; 0, ; 0,3 ; 0,4 und 0,447 (Aufprall). In diee Tabelle tragen wir auch die Gechwindigkeitkoponenten (die ja kontant bleibt) und ein owie die dort aktuelle ahngechwindigkeit und den Winkel für die Flugrichtung.

18 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 16 ewegunggleichungen für Körper 1: für Körper : 4 t t 10 t 10 t 5 t 5 t T 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,447 t 0 0, 0,4 0,6 0,8 0,89 Flug on Körper 1 5 t 0 0,05 0, 0,45 0,8 1!! 10 t ,47 +,3,83 3,61 4,47 4,9 α au tan α 0 6, ,3 63,4 65,9 T 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,447 4 t 0 0,4 0,8 1, 1,6 1,79 Flug on Körper 5 t 0 0,05 0, 0,45 0,8 1!! t , ,1 4,47 5,0 5,67 6,0 α au tan α ,6 36, , Die ergibt folgende Diagra:

19 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 17 Flugdiagra beider Körper. Die Stückelung der zweiten Flugkure recht war nötig, weil ich da Diagra nicht breiter al 17 c ertellen ließ! Die negatien Koordinaten an der -Ache koen daher, daß die -Ache i Grafikprogra, it de diee Parabeln ertellt worden ind, nach oben zeigt. Da wir die -Ache in Wirklichkeit nach unten rechnen, ollten ie poiti ein.

20 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 18 Nr. 4 Ein Körper wird in A durch eine Feder auf die Gechwindigkeit A 1 bechleunigt. Dann gleitet er unter Reibung bi und erläßt dort nach it 6 die horizontale Fläche. A C a) erechne die Reibungzahl f für die Strecke A und deren Länge. b) Der Körper chlägt nach 1, in C auf. erechne Falltiefe, Flugweite, Auftreffgechwindigkeit und Auftreffwinkel. c) Welche Gleichung hat die ahnkure? Zeichne die ahnkure i Maßtab 1:100 ittel Wertetafel i Abtand 0,. d) In welche ahnpunkt beträgt die Flugrichtung 45? Wie groß it dort? e) Wir groß üßte ein, dait er in C unter 45 auftreffen würde? Löung FR f g a a) Nach Newton gilt: a f g f. g Die reerzögerung a uß alo zuert berechnet werden. Dazu kennen wir die Gechwindigkeiten bei A und : A 1, 6. Und wir kennen die für die Strecke A benötigte Zeit t. Eine ehr wichtige Forel für bechleunigte ewegungen it 1 6 Mit ihr erhalten wir a 3 a 3 Alo folgt f 0,3. g 10 a. t Die Länge der Strecke A folgt au de Weg-Zeit-Geetz für erzögerte ewegungen: () 1 1 t t at !!! A b) Nun die ewegunggleichungen für den waagerechten Wurf: -Richtung 0 (1) ahngechwindigkeit: 0 t () + (5) -Richtung g t (3) Flugrichtung: 1 gt (4) tan γ (6)

21 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 19 Gegeben it die Flugdauer T 1,. Darau folgt der Reihe nach: Au (4) die Falltiefe: 1 gt 5 ( 1,) 7,, au () die Flugweite: t 6 1, 7, au (3) die -Gechwindigkeitkoponente: g t 10 1, 1, au (5) die Auftreffgechwindigkeit: ( ) ( ) und au (6) der Auftreffwinkel: c) Gleichung der ahnkure: E gilt 0 t t und Ugetellt: Mit Zahlen: 1 gt 1 g ,4 1 tan γ 6 γ 63,4. g ( ) Die Einheit i Nenner it notwendig, dait nach de Einetzen für auch die Koordinate die Einheit erhält! T 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 6 t 0,4 3,6 4,8 6,0 7, Wurfweite 5 t 0 0,8 1,8 3, 5,0 7, Falltiefe ahnkure de waagerechten Wurfe. Weil da Grafikprogra die -Ache nur nach oben zeichnen konnte, haben die -Werte hier negatie Koordinaten.

22 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 0 d) Die Flugrichtung oll nun 45 betragen. Wir benötigen diee Foreln: tan γ und Da +. tan 45 1 it, folgt: Wir kennen die tet kontante Gechwindigkeit 6 Mit g t t 0,6. g 10 Dort it dann X ,5 e) Dait der Körper in C unter 45 auftrifft, uß dort ein. C wird nach 1, in 7, Tiefe erreicht. Dort it g t 10 1, 1 Alo uß auch 1 betragen!

23 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 1 Nr. 5 Auf der Strecke A gilt die Reibungzahl f 0,. Der in A on einer Feder (blau) abgechoene Körper hat in noch die Gechwindigkeit. A a) Der Körper erreicht nach 3. erechne eine Startgechwindigkeit owie die Länge der Strecke A. A b) Der Körper trifft in C in 5 Tiefe auf die Schräge auf. erechne die Flugdauer T, die Flugweite (horizontal geeen) owie die Gechwindigkeit und den Auftreffwinkel β, wobei C o α 60 it. α β D C c) In D hat der Körper die Gechwindigkeit D 4,47. erechne darau und die Flugzeit für D. Welche Koordinaten hat der Punkt D (Urprung in, -Ache nach recht, -Ache nach unten)? d) Zeichne die Flugbahn o, daß 1 c entpricht. erechne dazu ahnpunkte i Zeitabtand 0,. LÖSUNG a) Auf der Strecke A wird gleichäßig gebret it FR f g a f g 0, 10 ewegunggleichungen dazu: ( t) A a t (1) und ( t) t 1 at () A Für die Strecke A benötigt der Körper laut Angabe 3, alo gilt: ( ) 3 a t Alo gilt: + a t A A A. 1 Und weiter folgt: ( ) b) Aufprall in 5 Tiefe ergibt die Flugdauer T durch 10 gt T 1 T 1 1 g 10

24 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf Die Flugweite: Gechwindigkeiten: t 1 (kontant) g t , Flugrichtung bei Aufprall: 10 γ γ. tan 5 78,7 Die it gegen die Horizontale geeen. Da die Auftreff-Fläche u 60 geneigt it, ergibt ich der Winkel βγ α 78, ,8 β α γ c) In D hat der Körper die Gechwindigkeit D 4,47. Die it die ahngechwindigkeit, für die diee Forel gilt: C + Da wir kennen (diee Koponente bleibt kontant), können wir die Gleichung nach utellen: + 4,47 4 Diee Gechwindigkeit erreicht er in dieer Zeit: 4 g t t 0,4. g 10 Nach dieer Zeit hatte eine Poition D diee Koordinaten: t 0,4 0,8 1 gt 5 0,16 0,8

25 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 3 c) ewegunggleichungen für den waagerechten Wurf: -Richtung (1) t () -Richtung 10 t (3) (4) 5 t Wertetafel für die Parabelbahn: T 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 t 0 0,4 0,8 1, 1,6,0 5 t 0 0, 0,8 1,8 3, 5,0 Gleichung der Flugparabel: t und 5 t ergeben t und daher 5 d.h. 5 4 Die -Ache zeigt leider au technichen Gründen nach oben, und daher haben wir auch nach unten negatie Werte.

26 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 4 Nr. 6 Auf der Strecke A gilt die Reibungzahl f 0,. In A wird ein Körper on einer Feder (blau) it A 7 abgechoen. Er erreicht nach. E it h 0 und b 4,5. a) erechne die Gechwindigkeit i Punkt und die Länge der Strecke A. b) Nach welcher Flugzeit T chlägt er in C gegen die Wand? Wie tief liegt C gegenüber de Nieau A? Mit welcher Gechwindigkeit trifft er in C auf die Wand und unter welche Winkel β? A h b β D C c) In eine zweiten Veruch hat der Körper in eine geringere Gechwindigkeit und trifft daher in D auf den oden de Schachte auf. Man ißt D 0,1. erechne darau und die Koordinaten on D. d) Zeichne die Flugbahn au Teilaufgabe b) de waagerechten Wurfe. 1 entpreche 1 c. erechne die ahnpunkte i Zeitabtand 0,3. Trage den Gechwindigkeitektor zu t 0,6 ein ( 1 0,5c). LÖSUNG: a) Eine erzögerte ewegung hat die Gleichungen (t) A a t () 1 t t at A FR f g wobei gilt: a f g 0, 10 E folgt: ( ) 7 3 A und ( ) b) Die Gleichungen für den waagrechten Wurf lauten: -Richtung 3 (1) 3 t () -Richtung 10 t (3) (4) 5 t Au der Flugweite folgt die Flugdauer: b 4,5 b T T 1,5 3 ( ) 5 1,5 11,5 Falltiefe: g t 10 1, ,3 C

27 MECHANIK 911 Waagerechter Wurf 5 Flugrichtung bei Auftreffen in C: 15 3 tanα 5 α 78,7 β Alo folgt: β 90 α 11,3 α c) ei Auftreffen in D betrug die Falltiefe h 0. Darau folgt die Flugdauer: 0 5 t t 5 Und dait erhält an auch die Gechwindigkeitkoponente g t 10 0 Die Auftreffgechwindigkeit it it 0,1 bekannt, darau folgt D D D Und weil die horizontale Gechwindigkeitkoponente bei waagrechten Wurf ier gleich groß bleibt, it die auch :. Nun noch die Koordinaten on D: Flugweite: t 4 Alo folgt: D40 ( ). d) T 0,3 0,6 0,9 1, 1,5 3 t 0,6 1,8,7 3,6 4,5 5 t 0,45 1,8 4,05 7, 11,5 g t C