10 Gravitation. Planet. Aphel. Perihel Sonne. W. Stark; Berufliche Oberschule Freising

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1 0 Gavitation 0. Da geozentiche Weltbild: Aitotele (4- v. Ch.) entwickelte die phäentheoie. Danach uchließen die fete de de Reihe nach die phäen de Wae, de Luft, de Feue, de onde, de eku, de Venu, de onne, de a, de Jupite, de atun und de Fitene. Dabei dehen ich die phäen von onne ond und Planeten einal täglich auf eine feten Keibahn und it kontante Gechwindigkeit u eine fete Ache. (Poble: Planetenbewegungen konnten o nicht hineichend eklät weden.) Ptoleäu (5-0 n. Ch.) chuf die pizykeltheoie. Dabei bewegen ich die Planeten auf Keien ( pizykeln ), deen ittelpunkte auf Keibahnen ( Defeenten ) liegen. ycho Bahe (54-0) it de letzte bedeutende Vefechte de geozentichen Weltbild. 0. Da heliozentiche Weltbild: De giechiche Philooph Aitach (0 v. Ch.) hatte die evolutionäe Idee, da die onne de ittelpunkt de Weltyte it und die de ich u die onne bewegt. ( gelangen ih auch Abchätzungen übe die ntfenung- und Gößenvehältnie von de, ond und onne) Nikolau Kopeniku (47-54) hat da heliozentiche Weltbild neu begündet. Die Becheibung de Planetenbewegung wude daduch tak veeinfacht. otzde hechte zwichen Rechnung und Beobachtung keine Übeeintiung. Johanne Keple (57-0) wetete die eegebnie von ycho Bahe bezüglich de abahn au und folgete, da ich de a auf eine llipenbahn u die onne bewegt. De weiteen folgete e noch weitee Geetzäßigkeiten (iehe päte) Newton fand da Gundgeetz, da die Dynaik de Hielbewegung eklät. Galileo Galilei (54-4) konnte it Hilfe eine Beobachtungen (duch ein Fenoh) da heliozentiche Weltbild tützen und weitee Hielentdeckungen achen (Jupiteond, Phaenwechel de Venu). Die katholiche Kiche kannte da heliozentiche Weltbild et i Jahe 99 an. 0. Die Keple chen Geetze. Keple che Geetz: Die Planetenbahnen bewegen ich auf llipen, in deen geeinaen Bennpunkt die onne teht. Planet Peihel onne Aphel W. tak; Beufliche Obechule Feiing

2 . Keple che Geetz: De von de onne zu Planeten gezogene Otvekto übeteicht in gleichen Zeiten gleich Flächen. (Flächenatz) Folgeung: I onnennächten Punkt (Peihel) bewegt ich ein Planet chnelle al i onnenfenten Bahnpunkt (Aphel) Planet t onne t. Keple che Geetz: Die Quadate de Ulaufzeiten zweie Planeten vehalten ich wie die ditten Potenzen de goßen Bahnhalbachen. a C Keplekontante a a a a Planet onne Planet a Beechne die Keplekontante fü da yte onne-de und da yte de-ond! onne-de: 5, d ; A 49, 0 k de-ond: 7, d ; 5, C, , 0 5,4 0 k 7, C 9, 0,4 0 W. tak; Beufliche Obechule Feiing

3 Aufgaben:. Übepüfe die Gültigkeit de. Keple chen Geetze anhand de Daten folgende abelle eku Venu de a Jupite Ulaufzeit in d 7,97 4,70 5,,9 4,7 Radiu in 0 k 57,9 0, 49, 7,94 77, C in 0 9 Die Keplekontante C it fü alle Planeten in unee onnenyte gleich goß.. Beechne die Ulaufdaue de atun, wenn deen ittlee Bahnadiu 9,54 A betägt. ( A Atonoiche inheit it die ntfenung de de von de onne und betägt 49, 0 k ). Beechne die Bahngechwindigkeit de Pluto, wenn eine Ulaufdaue 4 a betägt. W. tak; Beufliche Obechule Feiing

4 0.4 Da Gavitationgeetz Betachtet an nun die Bewegung de de u die onne und idealiiet deen Bahn nahezu al Keibahn, o wikt auf die de eine Zentipetalkaft. gilt alo: 4 FZ Fü die Ulaufdaue folgt au de. Keple chen Geetz: it etzt an in ein, o folgt: C C Z C C F Diee Kaft wid alo vo Zentalgetin (onne) auf den ukeienden Köpe (de) augeübt. Nach de. Newton chen Geetz übt abe diee eine ebeno goße, abe entgegengeichtete Kaft auf da Zentalgetin au. Daau chlo Newton, da in de Gleichung de Kaft auch die ae de Zentalgetin enthalten ein u. Dazu eweitet an die echte eite de Gleichung it de ae de Zentalgetin. F 4 Z C Da die Zentipetalkaft bei de Planetenbewegung und die Kaft, die einen fallenden tein bechleunigt die gleich Uache haben (beide Köpe ziehen ich auf Gund de Wechelwikungpinzip gegeneitig an), nennt an diee Kaft auch Gavitationkaft F G. gilt: F G G (Gavitationgeetz von Newton ()) 4 it de Gavitationkontanten G,7 0 C kg t 70 Jahe nach Newton od konnte Heny Cavendih (7-0) i Jah 79 epeientell die Gavitationkontante eitteln. (Cavendih-Dehwaage) Newton beechnete alleding zunächt die Zentalbechleunigung a de onde auf eine Bahn u die de a 0,440 0, 70 7, 400 Da it abe geade de 00te eil de Fallbechleunigung, alo g a g g g g W. tak; Beufliche Obechule Feiing 4

5 dabei it de ittlee Abtand de-ond. oit folgt: F a g g Alo: F wa auch i Gavitationgeetz chon gilt. Veallgeeineung de Gavitationgeetze auf beliebige aen und i Abtand ( it dabei de ittelpunktabtand de Köpe it den aen und ) F G F G o F it die Kaft de ae auf die ae. F it die Kaft de ae auf die ae (Gegenkaft). 0.5 Anwendung de Gavitationgeetze 0.5. Beechnung de ae und de ittleen Dichte de de Nachde Cavendih die Gavitationkontante G betit hatte, konnte e auch die dae beechnen. Die Gewichtkaft eine beliebigen Köpe auf de de it gleich de Gavitationkaft, it de die de dieen Köpe auf de dobefläche anzieht. Da die de al aenpunkt betachtet wid, it de dadiu de Abtand beide Köpe. gilt: Gewichtkaft Gavitationkaft g G g 9,, ,97 0 kg G,7 0 kg Beechnung de ittleen Dichte: 4 5,97 0 kg kg 5,50 5,5 4 V 4,7 0 kg d W. tak; Beufliche Obechule Feiing 5

6 0.5. Beechnung de ae de onne Da die Bewegung de de u die onne nahezu eine Keibahn it, u auf die de eine Zentipetalkaft al eultieende Kaft wiken. Diee Zentipetalkaft wid duch die Gavitationkaft de onne ezeugt. F F Z G G 4 G , 0 G,70 5,400 kg 0,9 0 kg Beekung: De Abtand onne-de kann au de. Keple chen Geetz eittelt weden, wenn die Ulaufdaue de de bekannt it. Kennt an nun die ae de onne, o baucht an lediglich noch den Radiu de onne u den Otfakto de onne zu beechnen. De onnenadiu betägt 95, 0 Gewichtkaft onne Gavitationkaft g G G g... 7 Fü die ittlee Dichte de onne folgt:,40 kg d 0.5. atellitenbahnen Welche Gechwindigkeit u ein atellit haben, dait e ich in eine Höhe h übe de dobefläche auf eine Keibahn bewegt. F F Fü eine Ulaufdaue folgt dann: Z v G G G v v G h v v h h h v G h W. tak; Beufliche Obechule Feiing

7 atelliten, die ich jedezeit übe de gleichen Ot auf de de bewegen nennt an geotationäe atelliten. Diee befinden ich in de Äquatoebene, haben eine Ulaufdaue von 4h und die gleiche Rotationichtung wie die de. Welche Höhe gegenübe de dobefläche haben diee atelliten? h h G h G 4 G 4 G 4 eine Gechwindigkeit betägt: h... 5,9 0 k k v, Wüde an einen atelliten an de dobefläche keien laen, o üte diee nach it h 0 die Gechwindigkeit G v... 7,9 haben. Diee Gechwindigkeit nennt an auch die. koiche Gechwindigkeit. k Zeige, da fü die. koiche Gechwindigkeit auch gilt: v g An de dobefläche gilt: etzt an nun in ein, o folgt: Gewichtkaft Gavitationkaft g G v g G g. koiche Gechwindigkeit Ode auch (einfache): F v Z F G g v g Wie lange dauet e bi die ae einal u die de geflogen it? W. tak; Beufliche Obechule Feiing 7

8 It v v g, dann fällt de Flugköpe auf eine Paabelbahn zu de. Fü k k 7,9 v, ukeit e die de auf eine llipenbahn. Hat ein Flugköpe die k Gechwindigkeit v,, dann velät e auf eine Hypebelbahn den Anziehungbeeich de de. k Die Gechwindigkeit v, heißt dehalb auch Fluchtgechwindigkeit ode zweite koiche Gechwindigkeit Gavitationfeie Punkt zwichen zwei Köpe I Rahen de Apollo-Poga wa e Ziel de aeikanichen Raufahtbehöde NAA al ete Nation enchen auf den ond zu bingen. Dazu ute abe eine Raufähe auf ihe Weg von de de zu ond indeten den Punkt eeichen ab de dann die Anziehungkaft de ond göße al die Anziehungkaft de de it. In welche ntfenung von de de befindet ich de Punkt, in de ich die Gavitationwikungen, die beide Hielköpe aufeinande auüben, geade aufheben? Dieen Punkt nennt an den gavitationfeien Punkt. Fde 0 Fond Fü die Betäge de Käfte i gavitationfeien Punkt gilt: F G F G 0 0 de ond Da beide Käfte gleich ein üen, folgt oit: de ond F F G G W. tak; Beufliche Obechule Feiing

9 it: 4 dae : 5,97 0 kg ondae : 7,50 kg ittlee ntfenung de ond, ,97 0 kg 5,97 0 kg 7,50 kg 4, 0, ,97 0 kg 7,50 kg,4 0 Die ete Löung liefet einen Abtand, de göße it al die ittlee ntfenung zwichen de und ond. oit liegt diee Punkt echt vo ond. Hie ind zwa die Käfte gleich goß abe auch beide gleich geichtet. Die zweite Löung it hie die geuchte Löung: De gavitationfeie Punkt befindet ich alo bei,4 0, hie it die eultieende Gavitationkaft, die auf den Pobeköpe wikt null. De gavitationfeie Punkt befindet ich oit knapp 00k übe de ondobefläche und k übe de dobefläche. Beechnen ie den gavitationfeien Punkte zwichen onne und de: 0 onnenae :,99 0 kg 4 dae : 5,97 0 kg ittlee ntfenung onne de :, ,99 0 kg,99 0 kg 5,97 0 kg,499 0, ,99 0 kg 5,97 0 kg, 490 Rechneich etwa chnelle geht auch folgende Ufoung: F F de ond G G 0 0 W. tak; Beufliche Obechule Feiing 9

10 Da hie nu die poitive Löung de quadatichen Gleichung phyikalich innvoll it, lautet die Löung: Aufgaben: 4. in Wetteatellit oll die de in eine ag genau -al ukeien. In welche Höhe u e fliegen? 5. Welche Gechwindigkeit u eine ondfähe habe, wenn ie den ond nahe de ondobefläche ukeien oll?.0 Wähend de ondlandung de Landefähe ukeite de Koandoteil von Apollo k den ond it de Gechwindigkeit, i Abtand 0 k von de ondobefläche.. Beechne die ae und die Dichte de onde.. Beechne die Höhe übe de ondboden, in de die Gavitationkaft nu noch halb o goß it wie an de ondobefläche. 7.0 Bei gewien Neutonentenen (tenübeete au ete vedichtete ateie) konnte nachgewieen weden, da ie in eine Zeit von,0 ein al u ihe Ache otieen. 7. Beechnen ie, welche Dichte ein olche ten indeten haben u, dait die ateie an eine Obefläche bei diee chnellen Rotation nicht davonfliegt..0 I Jah 999 wude de Kleinplanet Ida entdeckt. eine Abeungen betagen ca. 5k 4k k. wid von eine winzigen kugelföigen ond (Duchee d,5k ) in eine ntfenung von R 00k it eine Ulaufzeit von h uundet.. Beechnen ie die Dichte de Kleinplaneten Ida und vegleichen ie diee it de Dichte de onde. Wa lät ich daau folgen!? 9.0 Atonoen gehen heute davon au, da ich i Zentu unee ilchtaße ein chwaze Loch befindet. ine Fochungguppe gelang e, einen ten auzuachen, de in eine Zeit von 5a u diee Zentu keit. Die goße Halbache eine Ulaufbahn betägt in etwa d 0,0LJ (Lichtjahe). 9. Beechnen ie au den Bahndaten diee ten die ae de chwazen Loch und vegleichen ie diee it unee onnenae. 0.0 I Fühjah 000 tatete fü 5 Jahe da Chap-Pojekt. Ziel diee Pojekte it e, ittel atelliten die Geoidfo de de auf einige Zentiete genau zu betien. Gleichzeitig weden auch eungen zu Gavitation- und agnetfeld owie zu elektichen Feld de de duchgefüht. Zu Beginn de eungen wid de atellit in eine Höhe von h 470 k übe de dobefläche gebacht. 0. Beechnen ie die Bahngechwindigkeit v de atelliten in de Höhe h. 0. itteln ie die Zeit, die de atellit fü eine volle Ukeiung de de benötigt Duch die Reibung an de dünnen Atophäe veliet de Chap-atellit ie eh an Höhe. Diee Höhenvelut chadet de Pojekt alleding nicht. Nach 5 Jahen hat de atellit ie noch eine Höhe von h 00 k. 0.. Beechnen ie fü die neue Bahn die Bahngechwindigkeit v und die Ulaufzeit. W. tak; Beufliche Obechule Feiing 0

11 0.. Vegleichen ie die beiden Bahngechwindigkeiten und finden ie eine kläung fü diee Phänoen..0 Da Hubble-pace-elekop ukeit die de in eine ittleen Höhe von h 59k.. Beechnen ie die Zeit id (ideiche Ulaufzeit) fü eine volltändige Uundung de de.. in Beobachte eblickt enkecht übe ich da Hubble-pace-elekop. Beechnen ie die Zeit yn (ynodiche Ulaufzeit), die veteicht bi de Beobachte den atelliten eneut enkecht übe ich eblickt. Hinwei: Die de benötigt fü eine 0 -Dehung u ihe Ache eine Zeit von.4. Da elekop hat die gleiche Dehichtung wie die de und de Beobachte befindet ich in de Keibahnebene de atelliten. W. tak; Beufliche Obechule Feiing