Grundlagen der Physik Lerneinheit 3. Einführung in die Mechanik

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1 Gundlagen de Phyik Leneinheit 3 Gundlagen de Phyik Leneinheit 3 Einfühung in die Mechanik De tengucke (Cal pitzweg ) Diete Banget eptebe 5 3

2 Inhaltvezeichni Leneinheit 3 - Gundlagen de Phyik - Inhaltvezeichni Leneinheit 3 - Gundlagen de Phyik - Vowot 5 Mechanik de Maenpunkte und taen Köpe 6. Einfühung 6 Gundbegiffe de lineaen Bewegung 7. Gechwindigkeit bei gleichföige und ungleichföige Bewegung 7.. Gleichföige Bewegung 8.. Ungleichföige Bewegung 9. Bechleunigung.. Gleichäßig bechleunigte Bewegung.. Ungleichäßig bechleunigte Bewegung 4..3 Beechnung de Wegfunktion (t) 4 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft 7 3. Täge Mae 7 3. Ipul Newtonche Axioe Käfte, Wechelwikungen und ihe Uachen 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte Hafteibung Gleiteibung olleibung Anwendungbeipiel: Been i taßenvekeh ahwidetand Gechwindigkeitabhängige eibungkäfte 37 4 Abeit, Enegie und Leitung 4 4. Hubabeit und potentielle Enegie i chweefeld de Ede 4 4. Bechleunigungabeit und kinetiche Enegie edekaft und edepannabeit Leitung Ipulehaltung Zentale toßpozee aketenantieb und tahltiebwek Konevative Käfte und Enegieehaltung 57 5 Dehbewegungen 6 5. Kineatik de otation Zentipetalkaft und Zentifugalkaft Dehoent Maentägheitoent Dehipul Dynaiche Gundgeetz de otation otationenegie Vefahentechniche Anwendung: Zentifugen chleuden und Kippen i taßenvekeh chleuden 88 4

3 Inhaltvezeichni Leneinheit 3 - Gundlagen de Phyik Kippen ekupeation 95 6 Wiedeholungtet Tetfagen Löungen de Tetfagen 99 7 Zuaenfaung 8 Übungen 4 8. Übungaufgaben 4 8. Löungen de Übungaufgaben 6 Anhang A Giechiche Alphabet 3 A oelzeichen 4 A3 Liteatuauwahl 5 5

4 Vowot Vowot Nicht weil e chwe it, fangen wi nicht an, onden weil wi nicht anfangen, it e chwe. eneca (4 v. Ch. 65 n. Ch.) Die voliegende Leneinheit tellt eine eleentae Einfühung in die Mechanik fü tudieende de Witchaftingenieuween da, die Phyik al Hilfwienchaft beteiben. I Vodegund teht eine aufühliche Behandlung de phyikalichen Gundbegiffe de Kineatik und Dynaik. Ziel diee Leneinheit it da Vetautweden it echanichen Phänoenen. Dabei oll die Einicht in phyikaliche Geetzäßigkeiten vetieft weden. o geütet oll da Elente handlungoientiet zu Beabeitung phyikaliche Pobletellungen genutzt weden. Die elbtändige Löung von phyikalichen Aufgaben tellt eine übe da Leen und Nachvollziehen de voliegenden Texte hinaugehende etigkeit da. Die dazu notwendige Poblelöungkopetenz u ich jede angehende Ingenieu eigeninitiativ eabeiten. Da Qualifizieungkonzept dafü it einfach: Intellektuelle Taining duch Bechäftigen, Aueinandeetzen und ie wiede Üben. Die Becheibung de Gundbegiffe de lineaen Bewegung it da Thea von Kapitel. Daan anchließend liefet Kapitel 3 einen Übeblick übe Käfte und ihe Eigenchaften. Kapitel 4 bechäftigt ich it den Begiffen Abeit, Enegie und Leitung. In Kapitel 5 efolgt abchließend eine Behandlung de Dehbewegungen. Den fü die Ingenieupaxi wichtigen Phänoenen de chwingungen und Wellen it eine eigentändige Leneinheit gewidet. Vebeeungvochläge, ehleeldungen und ontige Koentae ode Hinweie ind ewüncht. Bitte ichten ie diee an folgende -Adee: banget.diete@fh-wf.de Mabug, eptebe 5 Diete Banget 6

5 . Einfühung Mechanik de Maenpunkte und taen Köpe. Einfühung Diee Kapitel liefet unte Vezicht auf Volltändigkeit eine Einfühung in die Pinzipien und Gundbegiffe de Mechanik. Die Mechanik al ältete Teilgebiet de Phyik baiet auf eine akokopichen Betachtung de Mateie. Ihe Geetzäßigkeiten ind auch fü andee Teilbeeiche de Phyik von Bedeutung. o füht die Anwendung de echanichen toßgeetze auf de Ebene de Atoe und Moleküle zu kinetichen Theoie de Wäe und zu tatitichen Mechanik, die eine ikokopiche Ekläung de phänoenologichen Theodynaik eöglicht. In Kapitel efolgt eine Einfühung in die Kineatik von einfachen Bewegungvogängen in au und Zeit. Zentale Thea von Kapitel 3 it die Dynaik. Dot weden die Käfte unteucht, welche die Uache alle Bewegungändeungen datellen. Nachde in Kapitel 4 die Begiffe Abeit, Enegie und Leitung vogetellt wuden, wid chließlich in Kapitel 5 eine fü die Technik wichtige Klae von Bewegungen bechieben, nälich die Dehbewegungen. Die Eigenchaften ateielle Objekte weden i ahen de Mechanik anhand zweie idealiiete Modellköpe dikutiet: Maenpunkt und tae Köpe. Die Bewegung eine Köpe it dann volltändig bechieben, wenn die Bewegung alle eine Teile angegeben weden kann. De einfachte all liegt vo, wenn die Abeungen de Köpe klein gegen die bei eine Bewegung zuückgelegten Entfenungen ind, oda an ich auf die Betachtung de Bewegung eine einzigen Punkte bechänken kann. Dazu idealiiet an den betachteten Köpe duch einen ateiellen Punkt, den o genannten Maenpunkt, de keine äuliche Audehnung beitzt und den an die Mae de betachteten Köpe zuweit. o kann beipielweie die Bewegung de Ede bei ihe Ulauf u die onne al Maenpunkt behandelt weden. Die it jedoch nicht öglich, wenn die Dehung de Ede u ihe eigene Ache behandelt weden oll. Hie kann von de Audehnung de Ede nicht abgeehen weden. Weden bei eine feten Köpe oändeungen augechloen, o kann e al tae Köpe idealiiet weden, de in allen einen Teilen von abolut unveändeliche Getalt it. Ein tae Köpe kann dahe al ein yte von Maenpunkten aufgefat weden, deen gegeneitige Abtände ich nicht veänden. 7

6 Gundbegiffe de lineaen Bewegung Gundbegiffe de lineaen Bewegung Die Lehe von den Bewegungen de Köpe i au wid al Kineatik bezeichnet. Weg, Gechwindigkeit v und Bechleunigung a tellen vektoielle Gößen da, fü deen volltändige Becheibung die Angabe von Betag und ichtung efodelich it. Die allgeeinte o eine Bewegung efolgt auf eine geküten aukuve i deidienionalen au. Bei den Bewegungfoen, die ein Köpe i au aufühen kann, wid zwichen Tanlationen, otationen und au Tanlation und otation zuaengeetzten Bewegungen untechieden. Bei eine Tanlation efolgt eine Vechiebung alle Punkte de bewegten Köpe auf konguenten Bahnen gleiche o und Göße. Bei eine einen otation becheiben alle Punkte de augedehnten Köpe konzentiche Keie it untechiedlichen adien. ü den pezialfall de lineaen Bewegung, bei de die Bewegungichtung duch die Lage eine Geaden definiet it, können Weg, Gechwindigkeit und Bechleunigung veeinfachend duch kalae Gößen bechieben weden. Die lineae Bewegung efolgt geadlinig und it daduch auf eine audienion bechänkt. ie it eindienional und tellt die einfachte Bewegungat da. Die folgenden Aufühungen beziehen ich auf dieen ondefall de lineaen Bewegung. De otationbewegung it ein eigentändige Kapitel gewidet.. Gechwindigkeit bei gleichföige und ungleichföige Bewegung Zu analytichen Becheibung von Bewegungvogängen wude die Diffeenzialechnung etal duch Iaac Newton (643 77) eingefüht. Diee atheatiche Konzept oll a Beipiel de feien alle eine Maenpunkte nähe eläutet weden. Ein egentopfen falle au eine Wolke eibungfei unte de Einflu eine kontanten chwekaft enkecht nach unten. Die quantitative Becheibung diee geadlinigen Bewegung efolge ithilfe eine vetikalen Zahlengeade, it welche de Ot de egentopfen in Abhängigkeit von de Zeit t angegeben weden kann. Die unktion (t) gibt dabei Aukunft daübe, an welche telle ich de Topfen zu Zeitpunkt t befindet. De Ot könnte auch duch die Otkoodinate x bezeichnet weden. ü die zeitabhängige Otfunktion ehielte an dann x(t) tatt (t). Al analytiche Maß fü eine oentane Otveändeung wid die Gechwindigkeit v de Topfen definiet. De egentopfen hat dann zu jede Zeitpunkt t eine wohldefiniete Gechwindigkeit v(t). Befindet ich de Topfen zu Zeit t a Ot und zu eine päteen Zeit t a Ot, dann hat e i Zeitintevall t = t t den Weg = zuückgelegt. eine ittlee Gechwindigkeit v it dann: 8

7 . Gechwindigkeit bei gleichföige und ungleichföige Bewegung ( t ) ( t v = t t ) = t (.) I Zähle und Nenne diee Auduck tehen jeweil Diffeenzen. Die ittlee Gechwindigkeit v wid al Quotient diee Diffeenzen, d. h. al Diffeenzenquotient definiet. Die feie allbewegung unte de Einflu eine kontanten chwekaft it eine gleichäßig bechleunigte Bewegung, bei de die allgechwindigkeit tändig zunit. oll die Moentangechwindigkeit v(t) zu Zeitpunkt t betit weden, zu de de Topfen die Poition (t) einnit, o it nach Veteichen eine infiniteial kuzen Zeitpanne t, d. h. zu Zeitpunkt t + t eine eneute Poitionbetiung (Wegeung) notwendig. De Topfen wid ich u weitebewegt und die neue Poition (t) + eingenoen haben. Eine ie beee Appoxiation de Moentangechwindigkeit zu Zeitpunkt t ehält an nun daduch, da an die Zeitpanne t ie kleine wählt. Al Moentangechwindigkeit v(t) wid dann de Genzwet de Diffeenzenquotienten it t definiet. v(t) = (t + t) (t) li = t t li t t (.) Diee Genzwet de Diffeenzenquotienten heißt Diffeenzialquotient. Au hitoichen Günden weden Diffeenzialquotienten nach de Zeit duch einen Punkt übe de ybol de zu diffeenzieenden Göße bezeichnet: li = t t d (t) = (t) & = v(t) (.3).. Gleichföige Bewegung Wid de zuückgelegte Weg al unktion de Zeit t in eine echtwinkligen Koodinatenyte aufgetagen, o lät ich de Bewegungablauf gafich in eine Weg-Zeit-Diaga datellen. Ein Läufe befinde ich zu Zeitpunkt t an eine Ot. Aufgund eine Bewegung eeicht e zu eine päteen Zeitpunkt t den Ot. E hat ich oit von de Ot zu Ot bewegt und dabei die Wegtecke = zuückgelegt. Die fü die zuückgelegte Wegtecke benötigte Zeitpanne it t = t t. Diee ach- vehalt it in Abb. kizziet. 9

8 Gundbegiffe de lineaen Bewegung t t t t Abb. : Weg-Zeit-Diaga eine gleichföigen Bewegung Eine Bewegung heißt gleichföig, wenn in gleichen Zeitintevallen t gleiche Wegtecken zuückgelegt weden. Die gleichföige Bewegung efolgt it kontante Gechwindigkeit v = v. E it: v = ode v t t = Die Gechwindigkeit v it eine abgeleitete phyikaliche Göße. Ihe I - Einheit it [ v] =... Ungleichföige Bewegung Bei de ungleichföigen Bewegung it die Gechwindigkeit v nicht kontant, onden eine unktion v = v(t) de Zeit t (Abb.). (t) i t t t i t t Abb. : Weg-Zeit-Diaga eine ungleichföigen Bewegung

9 . Gechwindigkeit bei gleichföige und ungleichföige Bewegung Die Duchchnittgechwindigkeit ode ittlee Gechwindigkeit v wid duch den Diffeenzenquotienten v = t t = t (.4) dagetellt. Die Duchchnittgechwindigkeit wid häufig auch duch da ybol < v > gekennzeichnet. Die Moentangechwindigkeit v wid duch den Genzwet de Diffeenzenquotienten, d.h. duch den Diffeenzialquotienten betit: v(t) = li t = t d (t) = (t) & (.5) & (t) becheibt atheatich die. Ableitung de Wegfunktion (t) nach de Zeit t. I Weg-Zeit-Diaga egibt ich die Moentangechwindigkeit v(t i ) zu Zeitpunkt t al teigung de Tangente i Punkt ( i i, t ) i an die Bahnkuve (t). Allgeein gilt: Eine zeitliche Ändeung de Gechwindigkeit kann, da die Gechwindigkeit eine vektoielle Göße it, owohl duch eine Ändeung de Gechwindigkeitbetage al auch duch eine Ändeung de ichtung de Gechwindigkeit bei kontante Gechwindigkeitbetag veuacht weden. Die Gechwindigkeit v tellt nälich einen polaen Vekto da. aupiegelung füht zu Ukeh de Bewegungichtung, d. h. bewegt ich ein Köpe beipielweie von link nach echt, o zeigt da piegelbild eine Bewegung von echt nach link. Matheatich wid die aupiegelung duch Anwendung de Paitätopeato P auf den Gechwindigkeitvekto v augedückt. E gilt dabei: d v = (.6) ü den Otvekto ehält an bei piegelung: P = und P d = d Daau folgt: P v = P d d = = v

10 Gundbegiffe de lineaen Bewegung Duch aupiegelung keht ich da Vozeichen von polaen Vektoen u, e findet eine Ukehung de Bewegungichtung tatt.. Bechleunigung U Ändeungen de Gechwindigkeit wähend de Bewegungvogange becheiben zu können, füht an den Begiff de Bechleunigung ein. Die Gechwindigkeit becheibt die Ändeung de zuückgelegten Wegtecke it de Zeit, und die Bechleunigung wid definiet al Ändeung de Gechwindigkeit it de Zeit. ü die Duchchnittbechleunigung a gilt v a =. (.7) t Die Duchchnittbechleunigung a it da Vehältni au de Ändeung de Gechwindigkeit v = v v zwichen zwei Oten und und de zu Zuücklegen de tecke = benötigten Zeitintevall t = t t. ü die Moentanbechleunigung a(t) folgt: a(t) = v dv li = = t t d d d ( ) = =&& (t). (.8) & &(t) becheibt atheatich die zweite Ableitung de Wegfunktion (t) nach de Zeit t. Die I-Einheit de Bechleunigung a it [ a] =. Diee kalae cheibweie it nu bei geadlinige Bewegung zuläig. I allgeeinen all de kulinigen Bewegung it de Vektochaakte de Gechwindigkeit zu beückichtigen und an ehält d a = v. (.9) Unte diee vektoiellen Definition de Bechleunigung it olgende zu vetehen: Die Poition eine ich i deidienionalen au bewegenden Maenpunkte wid zu jede beliebigen Zeitpunkt t duch eine vektowetige Wegfunktion (t) = ( x (t), y (t), z (t))

11 . Bechleunigung bechieben, deen Koponenten die Koodinaten de Maenpunkte datellen, die iheeit eelle unktionen de Zeitvaiablen t ind. ü die Gechwindigkeit de Maenpunkte folgt dann: v = d (t) = ( d x (t), d y (t), d z (t)) = (v x (t), v y (t), v (t)). Die Bechleunigung it dann ebenfall eine vektowetige unktion und e gilt: a = d v = ( d v x (t), d v y (t), d v (t)) = (a z x (t),a y (t),a z z (t)). De Vekto a v enthält dabei owohl die Ändeung de Betage al auch de ichtung von v ; e weit in ichtung von dv, fällt alo i Allgeeinen nicht it de Bahnichtung zuaen. E gilt: Jede kulinige Bewegung it ie eine ungleichäßig bechleunigte Bewegung. I olgenden efolgt eine Bechänkung auf geadlinige Bewegungen, bei denen keine ichtungändeung auftitt und oit nu Ändeungen de Gechwindigkeitbetage betachtet weden üen... Gleichäßig bechleunigte Bewegung Eine Bewegung heißt gleichäßig bechleunigt, wenn die Bechleunigung a kontant it, d.h. unabhängig von de Zeit ie denelben Wet beitzt. Da Gechwindigkeit-Zeit-Diaga fü die gleichäßig bechleunigte Bewegung hat die in Abb.3 dagetellte o. Zu Anfangzeitpunkt (t = ) beitzt de Köpe die Anfanggechwindigkeit v. v v v i v v t v t t i t t Abb. 3: Gechwindigkeit-Zeit-Diaga eine gleichäßig bechleunigten Bewegung 3

12 Gundbegiffe de lineaen Bewegung Die gleichäßig bechleunigte Bewegung it eine Bewegung it kontante Bechleunigung a. ü eine bechleunigte Bewegung it die Bechleunigung a poitiv (a > ), wähend fü eine vezögete Bewegung (Abbeung) a negativ (a < ) it. I olgenden wid it a de Betag de Bechleunigung bezeichnet. E it dann: a = a Da Gechwindigkeit-Zeit-Geetz fü die gleichäßig bechleunigte Bewegung lautet dann: v ( t) v ± at = Da poitive Vozeichen gilt fü die bechleunigte Bewegung, bei de i Laufe de Zeit die Gechwindigkeit linea zunit. Bei eine vezögeten Bewegung, bei de die Gechwindigkeit tetig abnit, gilt da negative Vozeichen i Gechwindigkeit-Zeit-Geetz. De feie all tellt ein Beipiel fü eine gleichäßig bechleunigte Bewegung it poitive Bechleunigung a = g da. Da Weg-Zeit- Geetz de feien all au de uhelage it kontante Bechleunigung g lautet: (t) = g t (.) Die Popotionalitätkontante g it dabei die o genannte Edbechleunigung. Da zugehöige Gechwindigkeit- Zeit-Geetz de feien all ehält an duch Bildung de Diffeenzialquotienten. v(t) = (t + t) (t) li t t v(t) = li t g(t + t) t gt (t + t) = li g t t t v(t) = li t g(t + t) = gt Die Moentangechwindigkeit linea it de allzeit t zu. v (t) = g t nit bei feien all v It peziell a =, o it wegen a = = auch v = und dait it t die Gechwindigkeit v = v kontant. ü beliebige Zeiten t und t gilt dann: v (t ) = v(t ) = v. Die Bewegung it eine von de 4

13 . Bechleunigung Zeit unabhängigen Gechwindigkeit v efolgt gleichföig ohne Bechleunigung (Abb. 4). v v a= v(t) t t t Abb. 4: Gechwindigkeit-Zeit-Diaga eine gleichföigen Bewegung.. Ungleichäßig bechleunigte Bewegung Ändet ich de Betag ode die ichtung de Bechleunigung, o nennen wi die Bewegung ungleichäßig bechleunigt. E gilt a = a(t). In Abb. 5 ind zwei Beipiele fü ungleichäßig bechleunigte Bewegungen dagetellt. Die Kuve de unktion v (t) tellt eine poitiv bechleunigte Bewegung (a(t) > ) da. Die Kuve de unktion v (t) becheibt eine negativ bechleunigte Bewegung (Abbeung) it a(t) <. Die jeweilige Moentangechwindigkeit v ( ) bzw. v ( ) it dann eine nichtlineae unktion de Zeit. v t t v a > a < v (t) v (t) t Abb. 5: Gechwindigkeit-Zeit-Diaga fü zwei ungleichäßig bechleunigte Bewegungen 5

14 Gundbegiffe de lineaen Bewegung..3 Beechnung de Wegfunktion (t) au Gechwindigkeit v(t) und Bechleunigung ü eine Bewegung it kontante Bechleunigung a gilt dv = a. (.) Daau egibt ich: dv = a t dv = t a v(t) v(t = ) = a t ü v(t=) wid abküzend v geetzt. Dait folgt da Gechwindigkeit-Zeit-Geetz fü die gleichäßig bechleunigte Bewegung: v (t) = a t + (.) v Dabei gilt: d = v(t) und d = v(t) ode d = (a t + v ). ü den zuückgelegten Weg al unktion de Zeit t ehält an: t d = t ( a t + v ) (t) (t = ) = a t + v t Wid fü (t=) abküzend geetzt, o folgt daau da Weg-Zeit- Geetz fü die geadlinige, gleichföig bechleunigte Bewegung (t) = + v t + a t. (.3) Je nach At de Bewegung kann die kontante Bechleunigung a > ode a < (Abbeung) ein. Weden zu Zeitpunkt t = die Anfangbedingungen = und v = gewählt, o ehält an fü Bewegungen i chweefeld de Ede it de kontanten Edbechleunigung a = g au de Weg-Zeit-Geetz da allgeetz fü den feien all au de uhelage 6

15 . Bechleunigung (t) = gt. Da allgeetz elaubt ithilfe de Meung von alltecke und allzeit t eine zu Anfangzeitpunkt uhenden Köpe die expeientelle Betiung de allbechleunigung ode Edbechleunigung, die üblicheweie duch da ybol g bezeichnet wid. g = (.4) t In Abb. 6 it da Beechnungvefahen zu Eittlung de Wegfunktion (t) au eine gegebenen Bechleunigungfunktion a ( t) = a ittel atheatiche Integation owie die Betiung de Bechleunigungfunktion a(t) au eine gegebenen Wegfunktion (t) ithilfe de Diffeenziation gafich dagetellt. Hiezu wude eine gleichäßig bechleunigte Bewegung gewählt. (t)= a t²+v t+ (t) (t)= a t²+v t+ t (t)= v(t) t v(t) v(t)=a t+v v(t) = d(t) =(t) v v t v(t)= a(t) t a(t) dv(t) d²(t) a(t)= = = (t) ² a a a(t)=a a(t)=a t Abb. 6: Weg-Zeit-, Gechwindigkeit-Zeit- und Bechleunigung- Zeit-Diagae Die Datellung in Abb. 6 gilt fü eine poitive Bechleunigung. Bei eine Bebewegung unte de Einwikung eine kontanten eibungkaft titt eine Vezögeung auf. I Gechwindigkeit-Zeit- Geetz und i Weg-Zeit-Geetz titt dann ein Minuzeichen vo de Bechleunigung a auf. Diee achvehalt wid i Unteabchnitt detailliet bechieben. 7

16 Gundbegiffe de lineaen Bewegung It v = v(t) die Gechwindigkeit eine Köpe zu Zeitpunkt t und v = v( t = ) die Anfanggechwindigkeit zu Anfangzeitpunkt t =. Dann folgt fü den zuückgelegten Weg = (t) bei eine gleichäßig bechleunigten Bewegung: = v + v t Und fü den pezialfall it v = folgt: v = t ü eine vezögete Bewegung folgt fü den zwichen de Anfangzeitpunkt t = und de aktuellen Zeitpunkt t zuückgelegten Weg : = ( t) = v v t v = v(t) it dabei wiede die aktuelle Gechwindigkeit zu Zeitpunkt t. Bei eine Bevogang wid al Beweg bezeichnet. etzt de Abbevogang zu Anfangzeitpunkt t = ein und ei t B die Bedaue, nach deen Ablauf de bewegte Köpe zu uhe gekoen it, dann it v ( t = t B ) =. ü den Beweg folgt dann: v = t B Die Kineatik de fü die technichen Anwendungen wichtigen Dehbewegung (otation) wid in Kap. 5 anhand de gleichföigen Keibewegung i Detail behandelt. 8

17 3. Täge Mae 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft 3. Täge Mae Die Mae it eine Baigöße de I-yte it de Baieinheit Kiloga. Die Mae eine Köpe it Uache fü ein Behaungveögen gegenübe Veuchen, einen Bewegungzutand zu änden. ie it oit Auduck fü die Tägheit de Köpe. ie tellt einen Bechleunigungwidetand da und wid auch al täge Mae bezeichnet. Die Mae it oit ein Mengenbegiff, duch den ein quantitative Maß fü die Tägheit gegeben it. 3. Ipul De Ipul p eine Köpe wid al da Podukt de kala Mae it eine Gechwindigkeitvekto v definiet. p = v (3.) De Ipul it dait ein Vekto, de in ichtung de Gechwindigkeitvekto weit. ü die Einheit de Ipule folgt kg [ p] = [] [v] =. 3.3 Newtonche Axioe Da ein ich bewegende Köpe zu tilltand kot, behaupteten die Giechen, e ei eine Kaft nötig, u einen Köpe in Bewegung zu halten. Da wa die Auage de Natulehe de giechichen Philoophen Aitotele (384-3 ), die ja auch it de alltäglichen Efahung übeein zutien cheint. Galileo Galilei owie Iaac Newton behaupteten dagegen, da de bewegte Köpe zu tilltand kot, it die olge eine auf den Köpe einwikenden eibungkaft. oll diee Auage in eine Veuch expeientell übepüft weden, o tellt ich heau, da die beende eibungkaft nicht völlig augechaltet weden kann, abe ie kann klein gehalten weden, und je kleine die eibung wid, deto weite bewegt ich de Köpe, bevo e zu uhe kot. 9

18 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft E it dahe venünftig anzunehen, da i Genzfall vechwindende eibung de Bewegungzutand unveändet bleibt, wie e da. Newtonche Axio beagt. Da. Newtonche Axio, da auch al Galileiche Tägheitatz bezeichnet wid, becheibt, wie fei bewegliche Köpe ich bewegen, wenn keine Käfte auf ie einwiken. Köpe heißen fei beweglich, wenn ie keinen Zwangbedingungen untewofen ind.. Newtonche Axio: Wiken auf einen fei beweglichen Köpe keine Käfte, o vehat e i Zutand de uhe (v = ) ode de gleichföigen Bewegung ( v = kont.). Die Kaft, die auf einen Köpe wikt, it an ihe Auwikung ekennba. Dehalb picht an oft auch tatt von Käften von Wechelwikungen. Die Kaft füht, wenn de Köpe beweglich it, zu Ändeung eine Bewegungzutande, andeenfall zu eine Defoation.. Newtonche Axio: Die Einwikung eine Kaft auf einen fei beweglichen Köpe uft eine Ändeung eine Bewegungzutande, d.h. eine Bechleunigung (ode Vezögeung), hevo. Die Göße de Kaft it gegeben al zeitliche Ändeung de Ipule v = d p d v = ( ). (3.) ü Köpe, deen Maen ich nicht it de Zeit änden (wie die z.b. wegen de Benntoffvebauch bei eine akete de all wäe), d.h. fü einen Köpe it kontante Mae egibt ich: v d v = ( ) = dv = a v. (3.3) Da. Newtonche Axio becheibt, wie ich die Gechwindigkeit eine Köpe unte de Einflu von Käften ändet. E wid wegen eine Bedeutung auch al Gundgleichung de Mechanik bezeichnet. Dabei tellt die Bechleunigung a die zeitliche Ändeung de Gechwindigkeit v da. Die Mae it ein kala, die Bechleunigung a it eine vektoielle Göße. Die Kaft al da Podukt von Mae und Bechleunigung it dait ein Vekto, de in ichtung de Bechleunigungvekto a weit. Die Kaft i. Newtonchen Axio it ie eine eultieende Kaft, d.h. die Vektoue alle Käfte, die auf einen Köpe einwiken.

19 3.3 Newtonche Axioe ü die Einheit de Kaft gilt [ ] = [] [a] = kg = N (Newton). (3.4) E zeigt ich, da da. Newtonche Axio nu einen pezialfall de. Newtonchen Axio datellt. It nälich =, dann it auch a = und daau folgt v = kontant. Au d = p folgt duch Multiplikation it : = dp Integation übe die Zeitpanne zwichen eine Anfangzeitpunkt t und eine Endzeitpunkt t egibt da Zeitintegal übe die Kaft A B, da auch al Kafttoß bezeichnet wid. t t E E = dp = p(t ) p(t ) (3.5) E A t A t A De Kafttoß it oit gleich de duch ihn bewikten Ipuländeung p = p(t ) p(t ). E 3. Newtonche Axio: actio = eactio A Da 3. Newtonche Axio wid auch al da Pinzip de Gleichheit von actio (Kaft) und eactio (Gegenkaft) bezeichnet. Übt ein Köpe auf einen Köpe eine Kaft au, o zeigt die Efahung, da de Köpe auf den Köpe it eine Kaft wikt, die von gleiche Betag, abe entgegengeetzt geichtet it. = (3.6) d p d = p (3.7) Mit de 3. Newtonchen Axio hat Newton eine egel, d.h. eine allgeeine Eigenchaft de Käfte fouliet. Dazu oll ein Laufchienenexpeient betachtet weden, bei de zwei uhende Wagen gleiche Mae duch eine elatich gepannte ede iteinande vebunden ind (Abb. 7). Lät an die ede ich entpannen, weden die Wagen in entgegen geetzte ichtungen bechleunigt, oda ie ich auf de chiene it entgegengeetzt gleiche Gechwindig-

20 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft keit voneinande fotbewegen. E it =. Die Auwetung de Expeiente liefet a a =. Dahe it =. Abb. 7: Laufchienenexpeient Die Bedeutung de 3. Newtonchen Axio (actio gleich eactio) oll an einigen Beipielen deontiet weden. Beipiele: a) Die Gewichtkaft = g Ein 5 kg chwee Untenehenbeate, de i 5. tockwek eine Büohochhaue an eine cheibtich itzt, fällt infolge eine Gewichtkaft nicht duch die Decke de Boden nach unten (entpechende Tagfähigkeit de Decke ei voaugeetzt), da diee Gewichtkaft geäß de 3. Newtonchen Axio duch eine gleich goße abe entgegengeetzt geichtete Gegenkaft = g kopeniet wid. Nach längee itzen acht ich diee Gegenkaft übigen chezhaft beekba. b) Da Mond-Ede-yte Die Ede übt auf den Mond eine Anziehungkaft au. Infolge diee Kaft bewegt ich de Mond u die Ede. Diee Kaft it ein pezialfall de Newtonchen Gavitationkaft, die in Abchnitt 3.5 nähe bechieben wid. Nach de 3. Newtonchen Axio übt de Mond eine gleich goße abe entgegengeetzt geichtete Anziehungkaft auf die Ede au. Da die Edae al chwee al die Mondae it, bewegt ich die Ede nicht u den Mond. Bei genauee Betachtung zeigt ich, da ich de Mond und die Ede geeina u den Maenchwepunkt de Mond-Ede-yte bewegen, de ich alleding noch innehalb de Edkugel befindet. c) Da Paadoxon vo Elch und de Bauta

21 3.3 Newtonche Axioe J. Balif und W. Dibble beichten in ihe Buch Anchauliche Phyik (. 8) von folgende abel. Ein Elch oll vo einen Bauta gepannt weden, u einen gefällten ta zu ziehen. In de otwitchaft wid diee Abeit al ückeabeit bezeichnet, wounte an da Heauziehen de täe au de Betand hin zu eine geeigneten Abfuhplatz veteht. De gebildete Elch weiget ich abe und zitiet Iaac Newton ditte Axio und chließt daau, da, wie käftig e auch den ta ziehen öge, de ta ihn ie it de gleichen Kaft zuückzieht. "Alo", agt e, "it e völlig nutzlo, da ich veuche, den ta zu ziehen (ode igendeinen andeen Gegentand), denn jede Kaft, die ich auf den Bauta auübe, u ihn zu bewegen, wid genau augeglichen duch die Kaft, it de de ta zuückzieht". Diee Aguentation beuht jedoch auf eine Tugchlu. Wid de ta übe den Boden gezogen, o geift an de ta eine beende eibungkaft an. ie it al beende Kaft de Bewegungichtung de ziehenden Elche entgegengeichtet. Daneben geift die Zugkaft de Elche an de ta an, die, ofen ie die eibungkaft übewiegt al eultieende Kaft den ta in ichtung de ziehenden Elche bechleunigt. Da die Bewegung de tae hoizontal efolgt, können alle vetikalen Käfte ignoiet weden. oll de Elch den ta it kontante Gechwindigkeit weiteziehen, nachde e einal in Bewegung it, u e auf den ta eine Kaft auüben, deen Betag gleich de Betag de eibungkaft auf den ta it. Die eultieende Kaft it in diee all null. De ta wid ich dann geäß de Galileiechen Tägheitatz (. Newtonche Axio) it kontante Gechwindigkeit weitebewegen. Bei diee Aguentation wude die Kaft de tae auf den Elch nicht ewähnt. Diee Kaft wikt nicht auf den ta; ie beeinflut zwa die Bewegung de Elche, abe nicht die Bewegung de tae. Obwohl die Wechelwikung zwichen de Elch und de ta au zwei Käften beteht, wikt nu eine von ihnen auf den ta. U Mivetändnie bei de Anwendung de 3. Newtonchen Axio auzuchließen it olgende zu beachten: Die beiden betagäßig ie gleich goßen abe entgegengeetzt geichteten Käfte (Aktionkaft und eaktionkaft) wiken nieal beide auf daelbe Objekt ein. Ein vetiefte tudiu de Natu de Käfte zeigt: Da 3. Newtonche Axio gilt nu bei eine Bechänkung auf nichtelativitiche Phänoene. E it oit kein allgeein gültige Natugeetz, da e de elativitätpinzip widepicht, nachde alle Natugeetze in allen nicht bechleunigten Bezugyteen, den o genannten Inetialyteen, gleich ein ollen. Geäß de Auage actio = eactio üen nälich die beiden Käfte und zu gleichen Zeit t iteinande veglichen weden. Die Definition de Gleichzeitigkeit beeitet jedoch chwieigkeiten, da ie vo jeweili- 3

22 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft gen Bezugyte abhängig it. Zwei von eine Bezugyte au gleichzeitig egitiete Eeignie, ind nälich nicht notwendigeweie gleichzeitig, wenn ie von eine andeen Bezugyte au beobachtet weden, da ich elativ zu Eten bewegt. 3.4 Käfte, Wechelwikungen und ihe Uachen Käfte ind vektoielle phyikaliche Gößen, d.h. Vektoen it zu ihe Göße popotionalen Längen. Ein Köpe befindet ich i tatichen Gleichgewicht, wenn e keine eultieenden Geatkaft augeetzt it, die ihn andenfall in Bewegung etzen wüden. In diee all bilden die Käfte ein gechloene Vieleck, d.h. die Käfte, die iheeit alle von null vechieden ind, addieen ich nach den egeln de Vektoaddition zu eine eultieenden Vektoue it de Betag Null. Dabei üen die Käfte nicht notwendigeweie in eine Ebene liegen, ie können vieleh i deidienionalen au in jede beliebige ichtung weien. Auf einen fei beweglichen abe uhenden Köpe ollen beipielweie dei nicht paallele Käfte, und einwiken (Abb. 8) Abb. 8: Käftegleichgewicht von dei nicht paallelen Käften Ein Käftegleichgewicht bezüglich Tanlationbewegungen liegt ie dann vo, wenn vechiedene Käfte, die an eine Punktae angeifen ein gechloene Vieleck (Polygon) bilden. 4

23 3.4 Käfte, Wechelwikungen und ihe Uachen Abb.9: Käftegleichgewicht von fünf nicht paallelen Käften In Vektocheibweie gilt dann: n = (,, ) = = x y z n i= i = (3.8) De Vektochaakte de Käfte füht zu de inteeanten Egebni, da die ue untechiedliche Käfte, die alle vo Nullvekto vechieden ind, zu eine vechwindenden eultieenden ( = ) füht. In Koponentencheibweie kann diee Vektogleichung duch dei kalae Gleichungen eetzt weden: = = = x,x,x 3,x i,x i= n = = y,y,y 3,y i,y i= = n = = z,z,z 3,z i,z i= = n Da. Newtonche Axio = a kann al eine At Definition de Kaft angeehen weden. Die Auage diee Axio geht abe übe eine eine Definition hinau. Eineeit it die At und Weie, wie ich ateielle Objekte unte de Einflu von Käften vehalten, völlig unabhängig von igendeine Wahl von Definitionen. Andeeeit it da. Newtonche Axio al phyikaliche Geetz unvolltändig, denn die auf de linken eite de Gleichung = a tehen- de Kaft it noch nicht nähe betit. Eine Kaft u dahe zuätzlich zu. Newtonchen Axio noch einige unabhängige Eigenchaften aufweien, welche die jeweilige Kaft genaue pezifizieen. Eine de wichtigten phyikalichen Eigenchaften jede Kaft it dabei, da ie einen ateiellen Upung hat. Maen und elektiche Ladungen al die wichtigten qualitativen Eigenchaften de Mateie und ihe Kontituenten in o de Eleentateilchen können dahe al die gundlegenden Quellen de Käfte angeehen weden. Die age wa it eine Kaft?" wid beipielweie i alle de Wechelwikung zwichen den beiden Maen und M, die einen Abtand voneinande haben duch da von Newton 666 5

24 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft fouliete Gavitationgeetz beantwotet. ü den Betag Gavitationkaft gilt: G de M = G (3.9) G Die Gavitation it eine langeichweitige Wechelwikung, die nicht abchiba it, da e nu Maen eine Vozeichen gibt. Wid die Mae M in den Upung eine Koodinatenyte gelegt, dann weit de Otvekto zu Mae. Mithilfe de in ichtung de Otvekto weienden adialen Einheitvekto e = kann die Anziehungkaft, die eine Mae M auf eine punktföige Mae i Abtand auübt in vektoielle o gechieben weden: G M = G e. (3.) geift in an und weit nach M. Die ichtung de Kaft wid dabei duch den zu paallelen Einheitvekto e chaakteiiet. Die Kaft, it de die Mae geäß de 3. Newtonchen Axio auf die Mae M einwikt, untecheidet ich nu duch ein poitive Vozeichen. Die it in de folgenden Abbildung a Beipiel de Ede-Mond-yte dagetellt. De Mond übt eine Gavitationkaft M auf die Ede au. Die Ede übt eine gleich goße E entgegengeetzt geichtete Gavitationkaft auf den Mond E M au. Diee Auage egibt ich au de 3. Newtonchen Axio: M E = E M (3.) M M E E M M E Abb. : Gavitationwechelwikung Die Popotionalitätkontante G, die o genannte Gavitationkontante, die etal 798 duch Heny Cavendih (73-8) expeientell betit wude, hat den Zahlenwet 6

25 3.4 Käfte, Wechelwikungen und ihe Uachen G = 6,67 N kg. (3.) Die Gavitation infolge de Edae M nennen wi die chwekaft, Gewichtkaft ode Edanziehungkaft. Die chwekaft E ode Gewichtkaft eine Mae auf de Edobefläche, d. h. i Abtand E vo Edittelpunkt egibt ich zu: M E = G g. (3.3) G = E Die Ede vehält ich dabei o, al ei ihe geate Mae i Edittelpunkt veeinigt. Diee Tatache liefet eine echtfetigung fü die idealiieende Modellannahe de Punktechanik: Maen können al atheatiche Punkte aufgefat weden, denen zuätzliche phyikaliche Eigenchaften zugewieen weden. ü die chweebechleunigung de Ede, die kuz al Edbechleunigung g bezeichnet wid, folgt: M g = G. (3.4) E E Mit den Zahlenweten fü die Edae M = 5,974 kg und E de ittleen Edadiu = 6,37 ehält an fü die E Edbechleunigung: 6 4 g = 9,8. (3.5) Die o de Ede it nicht ta, onden eine dynaichen Veändeung untewofen. ie tellt in gute Näheung ein otationellipoid da it eine Äquatoialadiu von eine Poladiu von = E,Ä Äquatoialadiu E,P E,P 6 E,Ä = 6,378 und = 6,357. Die Abplattung betägt zuzeit in eine Phae de Zunahe de = k. Die Abplattung und die Zentifugalkaft infolge de Edotation fühen dazu, da ein Gegentand a Pol chwee it al a Äquato. Abweichend von de auf Meeeniveau definieten tandadwet de Edbechleunigung von g = 9,8665 /, it an a Pol einen gößeen Wet von etwa g = 9,83 /, wähend an a Äquato einen kleineen Mewet von etwa g = 9,78 / egitiet. 6 7

26 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft Die Gavietie it ein Mevefahen, da i ahen de Lagetättenkunde die genaue Meung de lokalen Edbechleunigung g aunutzt, u beipielweie Auagen übe ögliche Edölvokoen zu achen. Obeflächennahe Geteine it Untechieden in de Dichte beeinfluen da chweefeld de Ede und dait den Betag de Edbechleunigung. o it beipielweie die lokale Edbechleunigung übe eine dichten Ezvokoen etwa göße, übe alztöcken it geinge Dichte etwa kleine al de Noalwet. Wähend upünglich zu Meung de Edbechleunigung Pendelveuche eingeetzt wuden, beuhen odene Gaviete auf de Pinzip de edewaage. An eine pialfede it eine betite Mae aufgehängt. Duch Ändeung de Edbechleunigung ändet ich die Gewichtkaft = g und dait die Länge de ede. edewaagen-gaviete liefen chweeuntechiede it eine 7 Genauigkeit von ± /. Gundlage it da Hookeche Geetz de Elatizität, da de Phyike obet Hooke (635-73) i Jah 679 auftellte. Die Dehnung eine chaubenfede it denach de wikenden Kaft diekt popotional. Ein Kaftgeetz it de gleichen atheatichen tuktu, da die Göße de Kaft zwichen elektich geladenen Objekten it den C Ladungen q und q, die ich i Abtand voneinande befinden becheibt, entdeckte Chale Augutin Coulob (736-86). Diee Geetz kann betagäßig folgendeaßen gechieben weden: q q = k. (3.6) C E Die Kopplungkontante k becheibt die täke de Coulobchen Kaft, die auch al elektoagnetiche Wechelwikung E bezeichnet wid. ü k gilt: E k = (3.7) πε E 4 ε heißt elektiche eldkontante. Ih Wet it A ε = 8,854. Die ichtung de Coulobchen Kaft hängt V davon ab, ob die elektichen Ladungen gleiche ode ungleiche Vozeichen haben. Die expeientelle Beobachtung zeigt nälich: Gleichnaige elektiche Ladungen toßen ich ab, ungleichnaige elektiche Ladungen ziehen ich an. 8

27 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte ü die Anziehungkaft, it de i Waetoffato da Elekton it de elektichen Ladung = e an da Poton it de Ladung q = +e gebunden it folgt: q C e =. (3.8) 4πε Duch diee Coulobche Kaft weden Poton und Elekton i Waetoffato zuaengehalten. 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte Unte ealen Bedingungen wid die Bewegung von Köpen duch eibung beeinflut. Abe auch bei tatichen Pobleen de Mechanik pielt die eibung eine hevoagende olle. Ohne eibungkäfte wüde kein Knoten halten und kein Nagel in de Wand bleiben. Auch panende Wektückbeabeitung (Bohen, äen, Dehen) wäe ohne eibung unöglich. Uache de Bewegungändeung duch eibung it die eibungkaft. ie it de Bewegungichtung, d.h. de Moentangechwindigkeit v de Köpe tet entgegengeichtet und wikt da- he beend auf den Bewegungablauf. Die eibungkäfte haben ihen Upung in den zwichen den Atoen/ Molekülen eine Köpe und den Atoen/Molekülen de ugebenden Mediu wikenden Anziehungkäfte (Adhäion). Diee Käfte wiken nu auf kleine Entfenungen und ind elektoagnetiche Natu. Je nach At de ugebenden Mediu untecheidet an zwichen: - etköpeeibung - eibung in lüigkeiten und Gaen. Die etköpeeibung wid auch al äußee eibung ode auch al Coulobche eibung bezeichnet; ie titt nu bei de elativbewegung zweie vechiedene fete Köpe gegeneinande auf. Ein beondee Kennzeichen de äußeen eibung it ihe weit gehende Unabhängigkeit von de Gechwindigkeit de elativbewegung. Bei de etköpeeibung untecheidet an zwichen: - Hafteibung - Gleiteibung - olleibung 9

28 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft Die eibungkäfte können unabhängig von de genauen Kenntni de zwichenolekulaen Pozee veeinfachend duch epi- ich gewonnene egeln näheungweie bechieben weden. ie haben die folgende atheatiche tuktu: = µ (3.9) N it die Noalkaft, d.h. die Koponente de chwekaft, die N enkecht auf die jeweilige Untelage al Bewegungebene de Köpe wikt. Die etköpeeibung hängt dabei von de Obeflächenbechaffenheit de eibenden Köpe ab, die duch einen eibungkoeffizienten µ beückichtigt wid. Untechiedliche Obeflächenbechaffenheit füht z.b. dazu, da zwei plan poliete Glaplatten fete aneinande haften al zwei aufgeaute. Die eibung in lüigkeiten und Gaen wid al innee eibung ode auch al Newtonche eibung bezeichnet. ie titt bei elativbewegungen von Molekülen/Atoen ein und deelben Köpe wie z.b. bei töungen in eine lüigkeit auf und it gechwindigkeitabhängig. Eine weentliche Eigenchaft de inneen eibung it ihe augepägte Abhängigkeit von de Gechwindigkeit de elativbewegung. Die eibungkäfte in lüigkeiten und Gaen weden i ahen eine Einfühung in die luiddynaik behandelt Hafteibung Unte Hafteibung veteht an die eibung zwichen uhenden Köpen. ie it i eigentlich inne keine eibung da, denn die aneinande haftenden Köpe eiben ich nicht, da keine elativbewegung vohanden it. Die Hafteibung tellt vieleh einen Haftwidetand ode eine Haftkaft da. ie lät ich duch die auhigkeit de ich beühenden Obeflächen aufgund de Vezahnung de auigkeitgebige ekläen. 3

29 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte N A B Abb. : Obeflächenauigkeit al eibunguache Auch eine poliete ebene läche it keine ideale Ebene. ie beitzt aufgund von Polieungenauigkeiten eine Mikoauigkeit, deen Einhüllende ich al akokopiche Abweichungen von de ittleen Obefläche (oll-ebene h = ) beekba acht (Abb. ). h Einhüllende Mikoauhigkeit ittlee Obefläche Abb. :Mikoauigkeit eine polieten ebenen läche Ein auf eine chiefen Ebene uhende Köpe etzt ich et dann in Bewegung, wenn die Hangabtiebkaft die eibungkaft T H übecheitet (Abb. 3). T ϕ H N ϕ Abb. 3: etköpeeibung 3

30 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft Au de in Abb. 3 dagetellten chiefen Ebene egibt ich fü die wikenden Käfte: = + N T it dabei die Noalkaft, ie it die Koponente de chwe- N kaft, die enkecht auf die jeweilige Untelage wikt. = g it de Betag de chwekaft. I olgenden weden nu die Betäge de eibungkäfte betachtet. ü die etköpeeibung gilt da epiich gefundene Coulobche eibunggeetz: Die eibungkaft it popotional zu Noalkaft. ü die Hafteibungkaft acht an dahe in Übeeintiung it de Efahung den H Anatz = µ. (3.) H H N [ ] H N [ µ ] = = = (3.) H [ ] N N Die dienionloe Zahl µ H heißt au hitoichen Günden Hafteibungzahl ode üblicheweie Hafteibungkoeffizient. Bei päzie pachgebauch üte e Haftkaftkoeffizient genannt weden. De eibungkoeffizient tellt eine o genannte Mateialkontante da. E becheibt eine toffpezifiche Eigenchaft von Köpen, nälich die täke de eibungkaft. ene ind = coϕ (3.) N = in ϕ. (3.3) T Die Bewegung auf de chiefen Ebene etzt ein fü H = T ode betagäßig µ co ϕ = in ϕ. H Ein Köpe it eine Mae bleibt in uhe, olange de Neigungwinkel ϕ de chiefen Ebene kleine al ein Genzwinkel it. Bei ϕ = ϕ beginnt Köpe auf de chiefen Ebene zu gleiten. H Diee Winkel ϕ heißt Hafteibungwinkel und e gilt H µ = tan ϕ H H. (3.4) ϕ H 3

31 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte H H = It peziell ϕ = 45, dann egibt ich fü den Hafteibungkoeffizienten µ. o hindelich die eibung bei vielen technichen Anwendungen it, o u doch eindeutig fetgetellt weden, da die Hafteibung eine bewegungfödende Kaft it. o wid z.b. ein Pkw duch die Hafteibung de eifen vowät getieben Gleiteibung It die Hafteibung übewunden, o gleitet de Köpe übe die Auflagefläche. Die eibungkaft nit dabei ab. chon Leonado da Vinci (45 59) ekannte, da owohl die Haft- al auch die Gleiteibung bei haten Obeflächen nicht von de Göße de Auflagefläche, onden nu von de Gewichtkaft enkecht zu Untelage abhängig it. Bei Autoeifen tifft die jedoch nicht zu. o beitzen beite eifen eine gößee Haft- und Gleiteibung. Auf ikokopiche Ebene it nälich die eibungkaft popotional zu effektiven Beühungfläche und dait von de Anzahl de atoaen ode olekulaen Paawechelwikungen de vohandenen Kontakttellen abhängig. Die Gleiteibungkaft it entgegengeetzt gleich de G Kaft, die dann efodelich it, u die Bewegung de Köpe auf kontante Gechwindigkeit zu halten. E gilt = µ. (3.5) G G N Die eibungkaft it unabhängig von de Göße und de o de Beühungfläche. µ heißt Gleiteibungzahl ode Gleiteibungkoeffizient. E it µ <. Bei goßen Gechwindigkeiten G zeigt µ G H ich fene eine Gechwindigkeitabhängigkeit de Gleiteibungzahl µ = µ G G (v). Dabei beobachtet an it wachende Gechwindigkeit eine Abnahe de Gleiteibungzahl µ. Ugekeht nähet ich G bei abnehende Gechwindigkeit de Gleiteibungkoeffizient de Hafteibungkoeffizienten an. µ µ G v H (3.6) G Bei eh kleinen Gechwindigkeiten efolgt da Gleiten uckweie. Man picht dann von eine lip-tick-poze, de auch die Gundlage fü die Tonezeugung von teichintuenten datellt. Die eibungkoeffizienten laen ich nicht ikokopich au den Eigenchaften de Atoe de beiden elativ zueinande bewegten Köpe und den zwichen ihnen wikenden Käften ableiten. Duch Vewendung von chieitteln, welche die ich beühenden Obeflächen benetzen, lät ich µ eheblich veingen. Diee chieitteleibung it von goße techniche Bedeutung. Denn übeall 33

32 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft wo Köpe aufeinande gleiten teten infolge von eibungkäften auch Vechleißecheinungen auf, die zu eine Mateialabieb fühen. Die chieitteleibung it keine etköpeeibung. ie tellt eine innee eibung de an beiden etköpeobeflächen haftenden lüigkeitchichten da. Die Tibologie, ein Teilgebiet de Wektoffwienchaften, bechäftigt ich it den wektofftechnichen Maßnahen zu Vechleißindeung und Enegieeinpaung duch eduzieung de eibung olleibung Zu Becheibung de eibungeffekte bei ollvogang füht an die olleibung ein. ie it kleine al die Gleiteibung, da bei Abollen viele Unebenheiten infolge de Mikoauigkeit ohne abbeende Wikung übebückt weden können. Voauetzung fü die ollbewegung it alleding die Hafteibung, ohne die eine Kugel ode ein ad nicht ollen wüde, onden nu gleiten. Bei ollen eine Kugel haftet die oentane Auflagefläche infolge de Hafteibung fet an de Untelage. Die olleibung hat ihe Uache dain, da bei ollen eine Dehbewegung abläuft und de ollende Köpe (Kugel, ad ode Zylinde) und Untelage wegen de kleinen Auflagefläche bei Abollen vefot weden können. N = g E Abb. 4: Defoation de Untelage bei ollvogang Duch die Defoation de Obefläche u die Beühunglinie wid Defoationabeit (Walkabeit) veichtet, die teilweie in Wäe diipiet wid. De Laufwidetand bei Abollen eine ade ohne Achkugellage auf eine Untelage hängt abe nicht nu von de elatichen Vefoung de Untelage duch die Noalkaft owie vo adduchee ab, onden auch von de Gleiteibung in den Achlagen, nälich an den Beühungflächen von Achzapfen und adnabe. Die die ollbewegung heende eibungkaft wid analog zu Haft- und Gleiteibung popotional zu Noalkaft angeetzt. E gilt: = µ. (3.7) N 34

33 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte µ = it die dienionloe olleibungzahl. N U den Betag de olleibungkaft abchätzen zu können, ind al Anwendungbeipiel die beiden folgenden Zahlenwete fü µ aufgefüht. ü Eienbahnäde gilt µ,,3 und fü Pkw- äde liegt die olleibungzahl i Beeich µ, -,5. Die Efindungen von ad und Wälzlagen, zu denen neben de Kugellage auch da Zylindeollenlage gehöt, waen die Voauetzung fü den Tanpot von Laten auf de Landwege übe goße Entfenungen. Die aufzuwendende eibungenegie wude dabei duch die geingee olleibung gößenodnungäßig u den akto eduziet. Da Kugellage beteht au zwei ingen: Außen- 3 ing (Lageing) L und Innening (Käfiging) K. De Innening K wid nach Ewäung auf die Ache A aufgechupft und itzt nach de Abkühlen fet auf de otieenden Ache A, welche duch den Lageing L gehalten wid. De Käfiging K hat die Aufgabe, die Kugeln auf feten eitlichen Abtand zu halten und eine unittelbae Beühung zu vehinden. Bei otation de Ache A ollen die Kugeln zwichen de Innen- und Außening und eduzieen daduch die eibung. Da Lage it it chietoff gefüllt und wid duch nicht eingezeichnete Dichtung- und Deckcheiben i Lage gehalten, die zugleich da Eindingen von edköpen (Vechutzung) vehinden. ü die Aufnahe goße adiale Laten weden bevozugt Zylindeollenlage eingeetzt, da diee wegen ihe gößeen Kontaktfläche it de äußeen und inneen Lageing bei gleiche Belatung einen i Vegleich zu Kugellage kleineen Duck hevoufen. L K K : Käfiging A 5: Kugellage in cheatiche Datellung 35

34 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft In Tabelle ind einige Zahlenbeipiele fü die Koeffizienten de Haft- bzw. Gleiteibung fü vechiedene Mateialkobinationen aufgefüht. Wektoffpaaung µ H µ G tahl tahl,7,6 Gui Aphalt - tocken - na ohne Waefil,9,,5,6,85,5,4 Gui - Beton,7,,5,6 Gui Ei,5,5 Aluiniu (Al) Al,,8, Diaant - Diaant,,8 Teflon - Teflon,4,4 Gla-Gla,9,4 Nickel - Nickel,6,7 andpapie - andpapie 5,5 3 Tab. : Haft- und Gleiteibungzahlen Die genauen Wete hängen tak von de jeweiligen Obeflächenbechaffenheit (Beabeitungzutand) und de einheit de Obeflächen ab. Die genannten Zahlenwete können chwanken und tellen dahe nu ichtwete da Anwendungbeipiel: Been i taßenvekeh Ein auf ebene tecke fahende Auto it de Mae = 5 kg und de Gechwindigkeit v = 44 k/h wid duch Blockieen alle äde gebet. Die Gleiteibungzahl zwichen Autoeifen und taßenbelag betage µ =,855. a) Wie goß it die beende eibungkaft? G b) Wie lang it de Beweg? B a) ü die Gleiteibungkaft G G gilt: G = µ G N = µ G g =,855 5kg 9,8 / = N = kn G b) Geäß de. Newtonchen Axio gilt fü alle Käfte: = a = G 36

35 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte Mit a = µ G g. = g folgt fü den Betag de Bechleunigung a G µ G Da e ich u einen Abbevogang handelt, it die Bechleunigung a in kalae cheibweie alleding negativ. a = li t v t v t v = li < t t Denn bei Abbeung gilt fü t > t : v = v(t ) < v = v(t ) Dann it v = v v < und dait a negativ. Da Weg-Zeit-Geetz und da Gechwindigkeit-Zeit-Geetz eine unte kontante Bechleunigung vezögeten Bewegung eine Abbevogange, de duch da negative Vozeichen i Bechleunigungte gekennzeichnet it, lautet: (t) = a t + v t + d (t) v (t) = = (t) = - a t + v a it dabei de Betag de Bechleunigung ( ( a > ) ). Da Betagzeichen kann auch weggelaen weden, wenn de obige achvehalt kla it. De Bevogang etze zu Zeitpunkt t = ein und de Nullpunkt de Wegeung ei o gewählt, da (t=) = = gilt. Nach Ablauf de Abbezeit t B it dann de Beweg B = (t ) B = a t B + v t B. Zu Zeitpunkt t = t it da ahzeug zu tilltand geko- B en ( v(t B ) = ). Au de Gechwindigkeit-Zeit-Geetz v(t) = v at folgt: = v at B t B = v a Dait folgt fü den Beweg: 37

36 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft B = v t B at B = v a - a v a = v a Mit a = µ g egibt ich fü : G B v B = µ Gg = tbv (3.8) Duch Einetzen de Daten diee Beipiel ehält an fü die Länge de Bewege da Egebni =. B Die quadatiche Abhängigkeit de Bewege von de Auganggechwindigkeit v it fü vechiedene Gleiteibungkoeffi- B zienten µ in Abb. 6 gafich dagetellt. G B µ =, G,4,6,8, v (k/h) Abb. 6: Beweg al unktion de Anfanggechwindigkeit ahwidetand An den äden von ahzeugen wikt nicht nu die olleibungkaft a Ufang de ade, onden zuätzlich noch jeweil die eibungkaft in eine Achlage. Diee beiden bewegungheenden Käfte weden oft zu ahwidetandkaft zuaengefat und duch eine ahwidetandzahl µ gekennzeichnet. ü den ahwidetand gilt dann: = µ (3.9) N 38

37 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte ü eine hoizontale taße it die Noalkaft gleich de Gewichtkaft de ahzeug und wegen N = g gilt dann = µ g Gechwindigkeitabhängige eibungkäfte eale luide, die Köpe utöen, üben Widetandkäfte W auf diee au. Bewegt ich ein Köpe de Mae duch Luft ode ein andee vikoe Mediu, o wikt auf ihn eine de Bewegungichtung entgegen geichtete eibungkaft. Die theoetiche Beechnung diee Widetandkaft gelingt nu in einfachen pezialfällen. Anonten üen diee Käfte in töungveuchen (z.b. in Windkanälen) expeientell eittelt weden. Al Beipiele gechwindigkeitabhängige eibungkäfte weden i ahen de luiddynaik die tokeche eibungkaft = 6πηv (3.3) und die Luftwidetandkaft W = c Aρv (3.3) w detailliet behandelt. Da diee eibungkäfte von de elativgechwindigkeit v de Köpe zu fluiden Mediu abhängig ind, acht an folgenden allgeeinen Anatz: W (v) = Bv Dv (3.3) Die Minuzeichen weien daauf hin, da die eibungkaft W (v), die hie betagäßig angegeben it, eine beende Kaft it, die entgegengeetzt zu Bewegungichtung geichtet it. Die eibungkoeffizienten B und D ind poitive Kontanten, die von de Göße und geoetichen o de utöten Köpe owie von den toffpezifichen Eigenchaften de fluiden Mediu abhängen. Detail zu eibungphänoenen in fluiden Medien weden in de Leneinheit luiddynaik behandelt. Bei geingen Gechwindigkeiten it de zweite Te Dv klein i Vegleich zu eten Te Bv. De zweite Te kann dann venachläigt weden und an ehält eine gechwindigkeitpopotionale eibungkaft. Bei gößeen Gechwindigkeiten doiniet de zweite Te Dv, und de lineae Te Bv kann weggelaen weden. Diee all it typich fü Bewegungen unte de Einflu de Luftwidetandkaft. In de folgenden Betachtung ollen jedoch beide Tee beückichtigt weden. Dabei oll die Gechwindigkeit-Zeit-unktion v(t) fü einen Köpe it de Mae und de Anfanggechwindigkeit v unteucht weden, welche de alleinigen Wikung eine eibungkaft 39

38 3 Dynaik: Mae, Ipul und Kaft W (v) augeetzt it. Geäß de zweiten Newtonchen Axio = a lautet die Bewegunggleichung fü diee Bewegung: dv a = = Bv Dv (3.33) ode dv / =. Bv + Dv Unbetite Integation übe die Zeit t liefet: = dv / Bv + Dv dv / t = = + dv v(b Dv) v(b + Dv) Die Aufühung de Integation efolgt ithilfe de Methode de Patialbuchzelegung. Die Patialbuchzelegung de Integanden liefet: A A = + v(b + Dv) v B + Dv A v = A + B + Dv B + Dv Mit v = folgt: Mit v = folgt: A = B D A = B Dait folgt fü die Patialbuchzelegung: A A = + = v(b + Dv) v B + Dv Bv D t = dv = ( )dv v(b Dv) B + v B + Dv D D = ( ) B(B + Dv) B v B + Dv t = [ ln v ln(b + Dv) ] + C. (3.34) B Zu Anfangzeitpunkt t = hat de Köpe voauetzunggeäß die Auganggechwindigkeit v () = v. Dait folgt fü die Integationkontante C: C = B [ ln v ln(b + Dv )] 4

39 3.5 Coulobche und Newtonche eibungkäfte olglich it: t = B [ ln v ln(b + Dv) ] + [ ln v ln(b + Dv )] B = v (B + Dv) ln B v(b + Dv ) Nach Multiplikation it B/ und Exponentation zu Bai e folgt: e Bt / v (B + Dv) =. (3.35) v(b + Dv ) Auflöung diee Gleichung nach v(t) egibt chließlich die geuchte Gechwindigkeit-Zeit-unktion Bv e v(t) =. (3.36) Bt / B + Dv ( e ) Bt / 4

40 4 Abeit, Enegie und Leitung 4 Abeit, Enegie und Leitung Den Jägen und alen de teinzeit tand neben de eue nu die enchliche Abeitkaft zu Vefügung. Die ändete ich al in de neolithichen evolution de Übegang zu Ackebau und Viehzucht tattfand und daduch auch die Mukelkaft de Hautiee genutzt weden konnte. Et i Mittelalte wuden Wae- und Windühlen al Antiebachinen, die beeit eit de Antike bekannt waen, yteatich zu Mechaniieung de Abeit eingeetzt. Mit ihnen konnten it Hilfe von Taniionäden und -ieen echaniche Leitungen zu Betieb von Hae- und ägeweken owie von Entwäeungpupen i Begbau übetagen weden. De Begiff de Enegie (g. enegeia: Wikungveögen) wude von Thoa Young (773-89) in die Natuwienchaften eingefüht. Wähend alleding de Kaftbegiff beeit duch Newton definiet wude, gelang e et infolge de expeientellen Unteuchungen von Juliu. Maye (84-878) übe die Äquivalenz von Wäe und Abeit den abtakten Enegiebegiff zu päziieen. In diee Abchnitt ollen die Begiffe Abeit, Enegie und Leitung au de icht de Mechanik nähe eläutet weden. Eine Eweiteung de Enegiekonzepte auf die Wäeecheinungen efolgt in eine epaaten Leneinheit i ahen eine Einfühung in die Theodynaik. 4. Hubabeit und potentielle Enegie i chweefeld de Ede Wenn auf einen beweglichen Köpe eine äußee Kaft einwikt, o ändet ich de Bewegungzutand de Köpe. De Köpe oll in diee Abchnitt al Maenpunkt aufgefat weden. oll beipielweie ein Köpe entgegen de nach unten geichteten chwekaft = g u da Wegtück d enkecht nach oben angehoben weden, o u eine Gegenkaft = aufgewan weden, die den Einflu de chwekaft aufhebt. Hiebei it ein kateiche Koodinatenyte zugunde gelegt, deen poitive z-ache in ichtung de Einheitvekto k enkecht nach oben weit. Duch die Kaft wid gegen die chwekaft läng eine Wege d eine Hubabeit dw = d = d veichtet. Die von de Kaft geleitete Abeit dw wid übe da "Innee Podukt" ode "kalapodukt" de Vektoen und d definiet. Beteht zwichen den Vektoen de Kaft und de Vechiebungichtung d ein Winkel α, o it die veichtete Abeit (Abb. 7) gleich de Podukt au de Kaftkoponente paallel zu Wegichtung und de zuückgelegten tecke d. dw = d = co α d = d coα = d (4.) 4