d zyklische Koordinaten oder Terme der Form F(q, t) dt

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1 6 Woche.doc, "Reep" u Lösung von Bewegungspoblemen mi Hilfe de Lagange- Gleichungen II.. Beispiele 1. Wähle geeignee ( Zwangbedingungen, Smmeie) veallgemeinee Koodinaen ( 1,,..., f ) n (, ) n. Dücke die kineische und die poenielle Enegie duch und aus und besimme die Lagange-Funkion L(,, ) T(,, ) U(,) d Enhäl L (,, ) klische Koodinaen ode Teme de Fom F(, )? d L L 3. Leie die Bewegungsgleichung 0 i i, i 1,, f ab. 4. Löse die Bewegungsgleichung (une Beücksichigung de Inegale de Bewegung), besimme die Inegaionskonsanen und diskuiee die Lösung. (nichelaivisische)bewegung eines geladenen Teilchens ( m, ) im elekomagneischen Feld 1. Wi wählen () und () Smmeien ekennba, da keine Zwangbedingungen/Bewegungsbeschänkungen ode m. Behaupung: L(,, ) φ(,) (,) 1

2 Einschub: Mawell sche Gleichungen des elekomagneischen Feldes div B(, ) o E(, ) 0 B(, ) div D(, ) o H(, ) ρ(, ) j(, ) D(, ) D ε ε 0 E B μ μ 0 H Die beiden linken Gleichungen enhalen wede die Ladungsdiche (Quellen des elekischen Feldes), noch die Somdiche (Quelle des magneischen Feldes). Die ese bedeue, dass es keine magneischen Ladungen gib. Sie kann duch den Lösungsansa o (,) B(,) Definiion des Vekopoenials (,) idenisch efüll weden. us de weien Gleichung, dem Faada schen Indukionsgese folg dann 0 B(, ) (, ) o E(, ) o E(, ). Da sich ein wibelfeies Feld als Gadien eines skalaen Feldes dasellen läss, kann diese Mawell sche Gleichung duch den nsa (, ) E(, ) gadφ(, ) Definiion des skalaen Poenials φ(,) efüll weden. bleiung de Bewegungsgleichung (keine klischen Vaiablen ode df(, ) neile) komponenenweise: L d L m, m d L φ

3 3 ddiee "nahhafe Null" 0 φ Nue ) ( d d.h. ) ( d B o ) B ( d ) ( ) ( φ φ 13 us 0 L L d folg gad E wegen E ) B ( E B) ( d d m φ φ naloge Vogehensweise fü die - und die -Komponene füh schließlich auf B) ( E m Loen-Kaf Wi ehalen also die ichige Bewegungsgleichung, d.h. wi sind von de ichigen Lagange- Funkion ausgegangen. Beache: Fü den veallgemeineen Impuls finden wi m p : L, wobei de Tem den Impulsübeag vom elekomagneischen Feld auf das geladene Teilchen bescheib. Fü die Enegie egib sich dann

4 m L (m ) m φ(, ) (, ) L φ(, ) : E. φ(, ) is die poenielle Enegie des Teilchens in Übeeinsimmung mi de Tasache, dass das Magnefeld keine bei am Teilchen veiche. De Zusaem im Teilchenimpuls muss beücksichig weden, wenn die Lagange-Funkion nach de "Regel" L T U besimm wid. Eichansfomaion und Eichinvaian Die Tansfomaion (, ) '(, ) (, ) gadχ(, ), χ(, ) φ(, ) φ'(, ) φ(, ) wobei χ (, ) beliebig, heiß Eichansfomaion. Une de Eichansfomaion änden sich die Felde E und B nich, wie man leich übepüfen kann. Diese Invaian de Felde heiß Eichinvaian. Une de Eichansfomaion ' gadχ, φ ' φ χ / ansfomie sich die m Lagange-Funkion L(,, ) φ(, ) (, ) wie folg: L'(,, ) m χ φ ( gadχ ) m χ φ gad 14 χ L(,,) dχ(,) d also dχ(, ) L'(,, ) L(,, ) 4

5 die ansfomiee Lagange-Funkion enhäl einen einigen Zusaem, nämlich die vollsändige bleiung nach de Zei de Funkion χ (, ). Diese Tem spiel keine Rolle bei de bleiung de Bewegungsgleichung: m (E B) is eichinvaian. Bewegung eines elaivisischen Teilchens ( Ruhemasse m 0, Ladung ) im elekomagneischen Feld (Übungsbla). L(,,) 1 m0 c φ(,) (, ) c Im nichelaivisischen Genfall << 1 folg die Lagange-Funkion fü die c nichelaivisische Bewegung im elekomagneischen Feld m L(,, ) φ(, ) (, ). Bei de bleiung de Bewegungsgleichung egib sich völlig analog u Vogehensweise im nichelaivisischen Fall das ewaee Resula d (m ) ( E B) mi m : m 0 elaivisische Masse 1 c Die Enegie des Teilchens is L L m0 c φ m c φ : 1 c E. 5

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7 poenielle Enegie: U mg mg cosα m Lagange-Funkion: L ( ϕ sin α) mg cosα L(,, ϕ ) ϕ is klische Koodinae, also is p ϕ L m ϕ ϕ sin α : L cons (H1) Inegal de Bewegung Dehimpulsehalung. Gund: Roaionssmmeie - Poenial und Zwangbedingung sind oaionsinvaian. L is nich eplii eiabhängig Enegieehalung m T U ( ϕ sin α) mg cosα : E cons (H) 3. Lagange-Gleichungen L L 0 ϕ ϕ d d (m ϕ sin α) 0 L d L 0 m m ϕ sin α mgcosα 0 (H3) 4. Lösung de Lagange-Gleichungen une Beücksichigung de Inegale de Bewegung, Besimmung de Inegaionskonsanen, Diskussion de Lösung nsa die DG. Odnung (H3) u inegieen, vewenden wi (H1) in (H), da diese Gleichungen nu bleiungen ese Odnung de gesuchen Funkionen () und ϕ() m m L enhalen. us E sin α mg cosα folg m sin α ( ) 7

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