Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

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1 Das elekische Poenial und die elekische Spannung Die Bewegung eine Ladung in einem elekischen Feld is mi bei vebunden. Kaf auf eine posiive Pobeladung P: F P E s Veichee bei enlang des Wegsückes : W F s E s n inhomogenen Felden: W n P i E i s i bzw.: W P E ds P Enegieehalung: De beisaufwand um eine Ladung vom Punk zum Punk zu bingen is unabhängig vom Weg!

2 Definiion: Elekisches Poenial W ϕ p E ds Elekisches Poenial am O in Bezug auf den O. Wahl: ϕ im nendlichen ϕ E ds Einhei: J/ V (Vol) bei um die Ladung W, P P vom O zu dem O zu bingen: W, W, W, W ϕ, W, W, P Es gil: ϕ und mi folg: W, W, W, ϕp ϕp P ϕ ( ϕ ) Die bei häng von de Poenialdiffeenz ab und is unabhängig von de Wahl des Nullpunkes! Definiion: Elekische Spannung: E ds E ds E ds ϕ ϕ

3 Poenial im bsand von eine posiiven Punkladung: E ϕ e 4πε E ds E d Mi und ( ) folg: ϕ Ed ϕ d πε 4πε 4 E ds 4 πε llgemein: Poenial eine Punkladung im bsand : ϕ( ) 4πε Eine fei bewegliche posiive Pobeladung beweg sich von Oen höheen Poenials zu Oen niedigeen Poenials. Eine fei bewegliche negaive Pobeladung beweg sich von Oen niedigeen Poenials zu Oen höheen Poenials. Poenielle Enegie de posiiven Pobeladung: E po P ϕ Poenielle Enegie de negaiven Pobeladung: E po P ϕ Eine feie Pobeladung veschieb sich imme so, dass ihe poenielle Enegie abnimm.

4 Beispiel: Plaenkondensao - Kaf auf das gelöse Elekon: F ee bei, die das elekische Feld am Elekon veiche: W F d eed ndeeseis: W e ϕ e - d E d

5 Beispiel: Welche bei muss aufgebach weden, um den Dipol um 8 zu dehen? Dipol: q, l 4cm B - s,8m s ϕ ( ) 6 7 ϕ ( ) B 4πε 4πε ( s l / ) ( s l / ),7,8 4 4 V V W q( ϕ B ϕ ) ( q)( ϕ ϕ B ) q( ϕ B ϕ ),54 6 J Ode: W W B q ( q) E ds ( q) E ds q E ds q E d 4πε q 4πε B B q 4πε B B B B q( ϕ ϕ ) B d

6 Elekisches Feld und Poenial Enlang de elekischen Feldlinien nimm das Poenial ab. ds Eine Pobeladung wid in einem Feld um veschoben: d ϕ E ds E ds dϕ Daaus folg: E ds Veko, de die ichung de gößen Ändeung eine skalaen Funkion anzeig: Gadien ϕ ϕ ϕ E gadϕ ( x, y, z) ϕ( x, y, z),, x y z Beispiel: ϕ (V/m ) x (V/m ) yz Elekisches Feld am O (m, m, m)? E x E y E z ϕ 4V/m x ϕ V/m y ϕ V/m z x z y E(m,m,m) 8V/m e V/m e V/m e x y z

7 Übungen. Das elekische Poenial in einem aumgebie sei übeall konsan. Welche ussage is ichig? E Das elekische Feld is homogen mi E. Das elekische Feld is adialsymmeisch.. ichig ode Falsch? Wenn das el. Feld in einem aumgebie Null is muss das el. Poenial do ebenfalls Null sein. Die elekischen Feldlinien zeigen imme zu Gebieen mi niedigeem Poenial. Die Obefläche eines beliebig gefomen Leies is in de Elekosaik imme eine Äquipoenzialfläche. Wenn das Poenial an einem aumpunk ewa V beäg bewegen sich do vohandene Ladungen imme.

8 3. Ein Poenial sei gegeben mi: ϕ( x ) V (5V/m)x Das elekische Feld E beäg: E E E (5V/m) e x (5V/m) e x Vxe (5V/m) x x e x

9 Kapaziä und Kondensaoschalungen Expeimen: Veschiedene Kondensaoen weden bei veschiedenen Spannungen aufgeladen. esula: ~ Popoionaliäskonsane: Kapaziä, Einhei: F (Faad) ε E ε ε d d Fü einen Plaenkondensao gil: gleichsezen: und E d Die Kapaziä eines Kondensaos häng von dem zwischen den Plaen befindlichen Maeial (Dielekikum) ab. Oienieungspolaisaion Veschiebungspolaisaion

10 Die Dielekiziäszahl ε gib an um wie viel das Dielekikum die Kapaziä gegenübe dem Vakuum vevielfach. ε ε d Kondensaoschalungen. Paallelschalung ges 3 ges ges 3 ges 3

11 . eihenschalung: 3 ges ges ges 3 3 ges 3 Enegie und Enegiediche des elekischen Feldes Ein Kondensao wid mi eine Spannungsquelle aufgeladen, dann von de Spannungsquelle geenn und die Plaen weden auseinande gezogen: d Es gil: E ε und ε d ε, d.h. ( ~ d Zusäzliche feldefülle aum: V d d ) Die zugefühe mechanische bei wid im elekischen Feld gespeiche.

12 Vosellung: Eine Ladung wid in kleinen Poionen d auf die Plaen eines Kondensaos gebach und die bei beechne. Gesamabei: W max d Die wähend des Ladevogangs am Kondensao anliegende Spannung is: W mi max max max max max d d Die in einem Kondensao, im aum zwischen den Plaen, gespeichee Enegie is also: W Enegiediche w: w W V d ε d d ε d ε E

13 Übungen:. Ein lufgefülle Plaenkondensao is an eine Baeie mi konsane Spannung angeschlossen. Wie ände sich die in dem Kondensao gespeichee Enegie, wenn de bsand de Kondensaoplaen bei weiehin angeschlossene Baeie vedoppel wid? Die Enegie veviefach sich. Die Enegie vedoppel sich. Die Enegie bleib unveände. Die Enegie fäll auf die Hälfe. Die Enegie fäll auf ein Vieel.. Wie ände sich die in dem obigen Kondensao gespeichee Enegie, wenn diese von de Spannungsquelle geenn wid, bevo de bsand de Plaen vedoppel wid. Die Enegie veviefach sich. Die Enegie vedoppel sich. Die Enegie bleib unveände. Die Enegie fäll auf die Hälfe. Die Enegie fäll auf ein Vieel.

14 3. Zwei zunächs ungeladene Kondensaoen mi den Kapaziäen und weden übe eine Baeie in eihe geschale. Welche de folgenden ussagen is ichig? De Kondensao mi de Kapaziä wid mi eine doppel so goßen Ladung geladen wie de Kondensao mi de Kapaziä. Die Spannungen übe beiden Kondensaoen sind gleich. Die in beiden Kondensaoen gespeicheen Enegien sind gleich. Keine de ussagen is ichig. 4. Wie goß is die Gesamkapaziä? 6 i ges i ) ( ) ( ges ges ) ( ) ( ) ( ges 6

15 Maeie im elekischen Feld Wid de aum, in dem sich ein elekisches Feld befinde, mi einem Dielekikum gefüll, so geh in allen Gleichungen in übe. ε ε ε Beispiele: F 4πε F 4 πε ε E 4πε E 4 πε ε ϕ ϕ 4πε 4πε ε Ψ ε E d Ψ ε ε E d Dielekische Veschiebungsdiche (ode Elekische Flussdiche ode elekische Veschiebung) D ε ε E ε : elaive Dielekiziäskonsane, Bsp.: Ψ D d Vakuum: ε

16 Gleichsomkeise: De elekische Som d d S o m s ä k e : d: Ladungsmenge, die in de Zei d duch die Fläche i. Einhei de Somsäke: (mpèe) /s Jede Fluss von elekischen Ladungen is ein Som: Elekonen in einem Dah posiive und negaive onen in einem Elekolyen Poonensahl in einem Beschleunige Elekonensahl in eine Fensehöhe Konvenion: Die posiive Somichung is die Flussichung posiive Ladungsäge. Die Elekonen im Dah bewegen sich also engegen de Somichung!

17 Bewegung de Elekonen in einem Dah: Ohne Spannung: Es is kein elekisches Feld vohanden. hemische, saisische Bewegung in alle ichungen Mi angelege Spannung: Elekonen weden duch die Kaf beschleunig und es efolgen Söße. F ee Es egib sich eine konsane Difgeschwindigkei v D gegen die ichung des elekischen Feldes. q v D v D V v D n: nzahldiche de Ladungsäge Somsäke: n vd q n q v D

18 Beispiel: Wie goß is die Difgeschwindigkei de Elekonen in einem Kupfedah mi dem adius,85 mm, in dem ein Som von fließ? Kupfe: Leiungselekon po om 3 Diche: ρ 8,93g/cm molae Masse: M 63,5g/mol vogadokonsane: N 3 6, mol 9 Elemenaladung: e,6 nzahldiche de ome (und Elekonendiche) : Difgeschwindigkei: v D n e 5 m 3,5 π n e s mm,4 s n ρ N M Themische Geschwindigkei fü Elekonen bei Zimmeempeau: v Th 3kT m el Z km s 8,47 cm 3

19 Widesand und Ohmsches Gesez Elekisches Feld im nneen eines Leies Kein elekosaisches Gleichgewich! E ϕ ϕ a b E l ϕa l ϕb Fü viele Maeialien gil: ~, Popoionaliäskonsane: Leiwe G, Einhei S (Siemens) Elekische Widesand:, Einhei Ω (Ohm) G Ohmsches Gesez: G nichohmsche Widesand Kein allgemeingüliges Naugesez! Widesand eines Dahes: ρ : spezifische Widesand σ : spezifische Leiwe ρ ρ l ohmsche Widesand

20 Die Somdiche E Somdiche : j ϕa l ϕb l E G σ j σ E l j σ E Mi und folg: bzw.: llgemeine Fom des Ohmschen Gesezes Elekisches Feld is nich homogen übe den gesamen Leie: j d

21 Tempeauabhängigkei des Widesandes De spezifische Widesand häng in gue Näheung linea von de Tempeau ) ( ) ab: ρ ϑ ρ [ α ] ( ( ϑ ) ϑ α : Tempeaukoeffizien des Widesandes (abellie) Beispiel: 3 Pozenuale Widesandsändeung von Kupfe ( 3,9 K ), wenn die Tempeau von auf 3 seig: ρ 3 ρ 3 α(3 ) 3,9 K K ρ ρ 3 ρ 3,9 3,9% ρ α

22 Elekische Leisung ϕ l ϕ m Zeiinevall fließ die Ladung duch die Fläche in den bschni hinein. poenielle Enegie de Ladung: W ϕ m Zeiinevall fließ die Ladung duch die Fläche aus dem bschni hinaus. poenielle Enegie de Ladung: bnahme de poeniellen Enegie: ( ) W W ϕ W ( ϕ ϕ) W Elekische Leisung P : Joulesche Wäme: Wämeenegie, die duch elekische Veluse in einem Leie ezeug wid. Beispiel: Ein Som von 3 fließ duch einen Ω P Ω 9 Wie goß is die elekische Velusleisung? Widesand. 8W

23 Die Kichhoffschen egeln Ese Kichhoffsche egel ode Knoenegel: n i i 3 Die Summe alle Söme, die zu einem Knoen hinfließen, is gleich de Summe de Söme, die von diesem Knoen wegfließen. Ladungsehalung Zweie Kichhoffsche egel ode Maschenegel: n m i j i j 3 Beim Duchlaufen eine Masche in einem willkülich fesgelegen mlaufsinn is die Summe alle Spannungen gleich Null. Enegieehalung

24 Widesandsschalungen. eihenschalung 3 ges 3 ges ges 3 ( 3) ges (Maschenegel) 3. Paallelschalung 3 ges 3 3 (Knoenegel) ges 3

25 Beispiel: Wie goß is de Widesand zwischen den Punken und B? 5Ω 4Ω 4Ω Ω B. Schi: 4 3Ω 4Ω Ω Ω 3Ω. Schi: 3. Schi: B 3Ω 5Ω 8Ω 4 B 6Ω 8Ω 4Ω 4Ω 6Ω De Esazwidesand zwischen und B beäg 6Ω.

26 Übungen:. Zwei Widesände und weden paallel geschale. Es gil: >>. Wie goß is ungefäh de Esazwidesand de Schalung? Null nendlich. Zwei Widesände und weden hineeinande geschale. Es gil: >>. Wie goß is ungefäh de Esazwidesand de Schalung? Null nendlich

27 3. Eine eihenschalung zweie idenische Widesände is an die Klemmen eine Spannungsquelle angeschlossen, die dabei eine Leisung von P W abgib. Welche Leisung gib die Spannungsquelle ab, wenn dieselben Widesände paallel geschale sind? 5 W W W 4 W 8 W

28 Beispiel: Beechnung de Somsäke a 5Ω b a b: i Ω V V g f 3 4Ω 5Ω c d e i 4V Ω b c: c d: d e: e f: f g: g a: i 3 i Maschenegel: i 3 i 3 i i V 4V 5Ω 5Ω 4Ω Ω Ω 8V 6Ω,5

29 Poeniale an den Punken a bis g: a 5Ω b i Ω V V g f 3 4Ω 5Ω c d e f: g: a: b: c: d: e: f: i 4V Ω ϕ ϕ V ϕ V -,5 Ω V -,5V,5V ϕ,5v -,5 5Ω,5V -,5V 9V ϕ 9 V -,5 5Ω 9V -,5V 6,5V ϕ 6,5V - 4V ϕ ϕ,5v,5v -,5 Ω,5V -,5V V V -,5 4Ω V - V V

30 Leisungsbilanz: a 5Ω b i Ω V V g f 3 4Ω 5Ω c d e i 4V Ω uellenspannung de esen Baeie: P V,5 6W Velusleisung am nnenwidesand de Baeie: i i die ese Baeie gib eine Leisung von 5,75 W ab. P,5W i Velusleisung in den Widesänden bis 3 : ( ) (,5) 4Ω 3,5W P ( Las ) 3 n die zweie Baeie eingespeise Leisung: P ( ) (6,5V V),5,5W ϕ ϕ c e P i,5w P (,5) Ω Davon weden i am nnenwidesand in Wäme umgesez, de es als chemische Enegie gespeiche.

31 -Keise: Schalungen, die einen Widesand und einen Kondensao enhalen. Enladen eines Kondensaos: Schale offen: Bei wid de Schale geschlossen. nfängliche Somsäke: Die Ladung auf dem Kondensao nimm ab. Som im Zeiinevall d: Maschenegel: Tennung de Vaiablen und negaion: d nfangsbedingungen : d e ( ) d d ln d d ( ) e e d d e e e d d e τ, τ e chaakeisische Zeikonsane τ

32 Laden eines Kondensaos: Maschenegel: Tennung de Vaiablen und negaion: nfangsbedingungen : d d ln( ) d max e d e Schale offen, Kondensao ungeladen. Bei wid de Schale geschlossen. nfängliche Somsäke: d, d d d e e max e τ e e d d e e

33 Enladen eines Kondensaos: ( ) e ( ) e Laden eines Kondensaos: Max max e ( ) e