9 Elektrizitätslehre Kraftgesetz. 9.1 Elektrostatik. = Coulomb-Gesetz. As Vm. r 2. F r r 1. 4πε. r 1

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1 9 Elekiziäslehe 9. Elekosaik bescheib die Wechselwikung zwischen Ladungen Kafgesez Zwischen geladenen Köpen wiken Käfe: gleichnamige Ladungen soßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. 39 Einhei de Ladung: Coulomb [C] Maeie is aus posiiven und negaiven Ladungsägen aufgebau: F Säke de Kaf (fü punkfömige Ladungen): F F qq 4πε CoulombGesez Poonen Elekonen Ladung.6* 9 C Ladung.6* 9 C Nomaleweise is die Zahl de Poonen und Elekonen gleich Maeie is ungeladen (neual) q q F F q q q, q : Ladungen : bsand ε : Dielekiziäskonsane (nfluenzkonsane) ε 8.85* s Vm Laden von Maeie geschieh duch Ladungsennung, veusach duch: Reibung (z.b. Kazenfell und Kunssoffsab) chemische Reakionen (z.b. Baeie) elekomagneische Käfe (z.b. Dynamo) Die Richung de Kaf is paallel zu Vebindungsachse: F qq 4πε mi F

2 Elekisches Feld Visualisieung des Felds duch Feldlinien (Linien, die übeall paallel zu den elekischen Feldvekoen velaufen). Die CoulombWechselwikung is addiiv: q 5 q 4 q q 3 q Ladungen Kaf auf Ladung q F q q i n i i 4πε Die Veeilung de Ladungen ezeug ein elekisches Feld () die Kaf auf eine Ladung q is dann: E() F( ) qe( ) 3 i is ein Vekofeld; fü jeden Punk im Raum is ein Veko definie. Eine Punkladung ezeug das elekische Feld: Beag: E( ) q E( ) 4πε 3 q E( ) 4πε nimm mi dem uada des bsands ab! E() E E() Beispiel: Feld eines Dipols (Einhei aus posiive und negaive Ladung) E() Eigenschafen: Beispiel: E je säke das Feld, deso diche die Feldlinien jede Feldlinie beginn und ende in eine Ladung d Kondensao (paallele Plaen) außen (fas) feldfei Fläche Säke des elekischen Felds: E ε (unabhängig vom Plaenabsand d!)

3 Poenial Bewegung eine Ladung in einem elekischen Feld efode bei: W Fds q s s E( ) ds mkehung de negaion: φ φ φ φ (die aufgebache Kaf is de Feldkaf engegengesez) Hiebei wid eine poenielle Enegie E po W ezeug. Definiion: elekisches Poenial φ( ) E( ) ds Dann gil fü die poenielle Enegie: E po ( ) qφ( ) Die Poenialdiffeenz zwischen zwei Oen heiß Spannung: φ( ) φ( ) E( ) ds Einhei des Poenials (und de Spannung): Vol [V] [V] [J/C] Das elekische Feld is de negaive Gadien des elekischen Poenials. Einhei des Felds: [V/m] Bemekung: n einem Maeial mi fei beweglichen Ladungsägen (z.b. Meall) is die elekische Feldsäke Null ein zusammenhängende Leie (in welchem kein Som fließ) ha an jedem Punk das gleiche Poenial leiende Flächen sind Äquipoenialflächen 9..5 Kapaziä n einem Plaenkondensao is die Feldsäke: E d E ε

4 44 45 Dami is die Poenialdiffeenz zwischen den Plaen: φ φ Eds Ed ε Plae ha gegenübe Plae eine Spannung von ε (das posiive Vozeichen gil fü eine posiive Ladung) Definiion: Kapaziä eines Kondensaos C Die Kapaziä is das Vehälnis zwischen Ladung und angelege Spannung. Einhei: Faad [F] d d [F] [C/V] Die Kapaziä des Plaenkondensaos is dami: C ε d Die Kapaziä is umso göße, je göße die Plaen sind und je kleine ih bsand. mgekeh gil: die Spannung am Kondensao fü gegebene Ladung is: C d ε Die Spannung nimm mi d zu! Enegie eines Kondensaos ufzubingende bei fü Plaenabsand d: W Ed ( ½E is die Kaf zwischen den Plaen; de Fako ½ üh dahe, dass hie eine Plae das Feld ezeug, wähend die andee als Tesladung fungie) Die gespeichee Enegie is dami: W C C

5 Dielekika Soff aus omen mi fes gebundenen Elekonen: Maeie im elekischen Feld wid polaisie. ome bilden Dipole Meall E esulieende Obeflächenladung E fei bewegliche Elekonen elekische Feldsäke is im nneen Null! E esulieende Obeflächenladung (schwäch das elekische Feld ab!) E Mealle schimen elekische Felde komple ab! Fü das Feld im Köpe gil: Dielekikum E i E ε (falls die Genzfläche senkech zum Feld seh) om im elekischen Feld Elekonen omken E E Elekonenwolke veschieb sich om bilde Dipol Typische Wee von ε : ε : Dielekiziäszahl (dimensionslos) Glas 5 Gummi 3 Wasse 8 (8 C)

6 48 49 Kondensao mi Dielekikum d Feldsäke im Maeial E ε ε Spannung zwischen den Plaen dami Ed d ε ε 9. Ladungsanspo Elekische Som: po Zeieinhei anspoiee Ladungsmenge Zeichen: Einhei: mpee [] [] [C/s] [C/s] 6.4* 8 Elemenaladungen po Sekunde Ladungsäge Kapaziä: C ε ε ε d C in Meallen und Halbleien: Elekonen in Elekolyen: onen in Gasenladungen: Elekonen und onen Die Kapaziä ehöh sich um die Dielekiziäszahl des eingebachen Maeials! Fü die Spannung bei gegebene Ladung gil: Die Ladungsäge uneliegen eine Reibung im Maeial; ohne äußees Feld bewegen sie sich (im Miel) nich. Som fließ nu zwischen Oen mi uneschiedlichem Poenial (d.h. bei angelege Spannung) C ε C Definiion: Widesand R Einhei Ohm [ Ω] [Ω] [V / ] Die Spannung eniedig sich um ε! Es gil: R Ohm sches Gesez

7 5 5 De fließende Som is popoional zu angelegen Spannung und zum ezipoken Widesand. 9.. Veschalung von Widesänden Reihenschalung: Schalkeis zum Ohmschen Gesez: R Widesand R R Leiungen Fü den gesamen Widesand de Kee gil (de Widesand de Zuleiungen wid venachlässig): R ges R R Spannungsquelle Definiion: spezifische Widesand ρ Einhei [Ωm] Fü einen homogenen Sab gil: l l R ρ ρ is maeialspezifisch, häng abe von de Tempeau ab: Mealle: Halbleie: ρ seig mi T ρ sink mi T R ges R i (bei n Widesänden: ) n i Bei angelege Spannung fließ de Som: R R R ges n den Widesänden fäll dabei die Spannung ab: Dabei gil: R R R R R R R R

8 5 53 Paallelschalung: R R 9.. Elekische Leisung Beweg man eine Ladung zwischen zwei Oen mi Poenialuneschied, so veände sich die poenielle Enegie de Ladung um E po hie gil: R ges R R (bei n Widesänden: ) n Rges i R Bei angelege Spannung fließ de Som: R ges De Som eil sich auf die Widesände auf (an beiden lieg die gleiche Spannung an): R Dami gil fü den Gesamsom: i R ( ) R R R R R ges Diese Enegieuneschied muss als bei aufgewende weden (ode wid feigesez). Geschieh dies in de Zei, so egib sich eine Leisung von W P Elekische Leisung is also Spannung mal Som! Einhei Wa [W] [W] [J/s] [V] Beispiel: die an einen Widesand angeleg Spannung füh zu einem Som ; die Leisung is hie P R R R R Die Leisung is quadaisch im fließenden Som bzw. in de angelegen Spannung! (die Leisung wid als Wäme an den Widesand abgegeben)

9 54 55 daaus folg: in eine Reihenschalung wid de Widesand mi dem höchsen We am säksen ewäm (da alle vom gleichen Som duchflossen weden) in eine Paallelschalung wid dejenige mi dem kleinsen We am säksen ewäm (da an allen die gleiche Spannung anlieg) 9.3. Ezeugung von Magnefelden B( Das Magnefeld is ein Vekofeld ) Einhei: Tesla [T] [T] [ Vs/m ] Magnefelde weden von elekischen Sömen ezeug 9.3 Elekomagneismus Somduchflossene Leie ezeugen ein Magnefeld; dieses üb Käfe auf andee somduchflossene Leie aus. F F Dabei gil: paallele Söme ziehen sich an B el. Somdiche Rand (Weg) j B Fläche Es gil: Bds µ jd µ Das Weginegal des Magnefelds auf einem geschlossenen Weg is gleich dem negal de elekische Somdiche übe die eingeschlossene Fläche (dies egib den gesamen duch diese Fläche fliessenden elekischen Som) F F anipaallele Söme soßen sich ab µ : ndukionskonsane µ π* Vs 7 4 m Zwischen zwei Leien im bsand von m, in denen ein Som von fließ, wik eine Kaf von * 7 N po m Länge. Meke: das Magnefeld is echshändig (in Richung des Soms gesehen umkeisen die Magnefeldvekoen den Som im hzeigesinn) (dies dien als die eigenliche Definiion des mpee!)

10 56 57 s das Magnefeld auf dem Weg übeall gleich sak und paallel zum Weg ausgeiche, is das Weginegal einfach die Muliplikaion mi de Weglänge: Bds Bds BL Dami egib sich: BLµ N Bµ N L Magnefeld in eine langen Spule B Beispiel: geade lange somduchflossene Dah B us Symmeiegünden muss das Magnefeld angenial auf Keisen um den Dah liegen. Dami gil Bds B π µ µ B π Das Magnefeld nimm mi zunehmenden bsand zum Dah ab (und zwa umgekeh popoional: doppele bsand heiss halbes Magnefeld). Windungszahl po Länge Som duch den Dah 9.3. Kafwikung von Magnefelden uf eine bewege Ladung im Magnefeld wik die Kaf: F qv B LoenzKaf Beispiel: lange Spule Weg fü negal N Windungen auf Länge L B m nneen homogenes BFeld, aussen Null Dann gil: Bds BL Gesamsom duch die vom Weg eingeschlossene Fläche: ges N Beispiel: Elekon im Magnefeld B e F v Keisbahn: Zenipealkaf Loenzkaf v m evb mv eb Bahnadius

11 58 59 L Söme sind bewege Ladungen auf somduchflossene Leie im BFeld wiken Käfe B Som: F Bewegen sich die Ladungsäge mi Geschwindigkei v duch den Leie, duchlaufen sie die Länge L in de Zei L/v mgekeh gil: Bewegung eines Leies im Magnefeld ezeug einen Som im Leie B v e F Kaf: Kafwikung wie bei elekischem Feld mi F ev B F ee E v B Dami gil: L/ v v L Bewegung im BFeld ezeug EFeld! Bewege Leieschleife im BFeld Die Kaf auf den Leie is dann: vekoiell: F vb LB F L B homogenes BFeld B E v ezeuges EFeld is übeall gleich goß de Poenialuneschied übe die Leieschleife is Null Dami is die Kaf zwischen zwei paallelen Leien: F F µ F LB L π µ L π (Lm,, m F * 7 N ) inhomogenes BFeld B v E sak schwach das ezeuge EFeld is ebenfalls inhomogen füh zu Poenialuneschied übe die Leieschleife (ndukion)

12 6 6 Bei de Bewegung im inhomogenen Magnefeld veände sich de magneische Fluß duch die Schleife. Je inhomogene das BFeld, deso höhe die induziee Spannung, deso höhe abe auch die Ändeung des Magnefeldflusses duch die Schleife. llgemein: die in eine Leieschleife induziee Spannung is popoional zu zeiliche Ändeung des Magnefeldflusses duch die Schleife. Fläche Einneung: genauso: Eds Somdiche j Bd & De Gesamsom duch eine Fläche is: jd magneische Fluß duch eine Fläche j fü homogenes j j fü j φ B d zeiliche bleiung: φ& B & d ndukionsgesez Jede zeiliche Ändeung des magneischen Flusses duch eine Leieschleife induzie eine Spannung (bei offene Schleife) ode einen Som (bei geschlossene Schleife) De induziee Som is so geiche, dass das von ihm ezeuge Magnefeld de sache engegenwik. Lenz sche Regel De magneische Fluss duch die Leieschleife kann geände weden duch: Ändeung des Magnefelds Ändeung de Fläche de Schleife Ändeung des Winkels zwischen Fläche und Magnefeld Beispiel: Dynamo B oieende Spule (Fläche, n Windungen) Magne () nωb nωb Roaion: B Bcosω nduziee Spannung: d n ( B) nbωsinω d Wechselspannung (mpliude seig mi de Fequenz)

13 Tansfomao Dividieen de Gleichungen egib: ufbau aus zwei Spulen: B () Spule ~ Spule Duch Spule fließ ein Wechselsom cosω und ezeug ein zeiabhängiges Magnefeld. n n Spannungsvehälnis am Tansfomao Das Spannungsvehälnis enspich dem Vehälnis de Windungszahlen! Eine Wechselspannung kann also mi einem Tansfomao vesäk ode abgeschwäch weden! n Spule induzie dieses Magnefeld eine Spannung d n Bd d n auch in Spule wid eine Spannung induzie (Selbsindukion): n φ& (hie geh de gleiche magneische Fluß ein; dies gil, wenn die Spulen gleich goß sind und einen kleinen bsand haben) Diese Spannung muss aufgebach weden, um den Som aufechzuehalen (eine Spule wik bei Wechselsom wie ein Widesand). Dami gil fü die Spannungen am Tansfomao: n & φ nφsinω n & φ nφ sinω φ& Jez mi nschluss eines Vebauches: ~ Spule B () Spule Mi obigem Egebnis also: R n n bgesehen von (geingen) Velusen muss die elek. Leisung ehalen bleiben: P P uch de Som kann vesäk ode abgeschwäch weden (und zwa umgekeh popoional zu Spannung)

14 64 65 Bemekung: asächliche ufbau eines Tansfomaos B () ~ Spule Spule Elekoechnische nmekungen m Haushal: 3 V Wechselspannung, 5 Hz () 35 V mpliude: 35 V Eisenken: vesäk und füh das BFeld 35 V ms nwendung von Tansfomaoen: Somanspo Geneao Leiung mi Widesand R L Velusleisung in de Leiung: V L RL P R Vebauche L P P Velus is umgekeh popoional zum uada de Spannung; dahe is ein Tanspo bei hohe Spannung seh voeilhaf! schemaisch: 38 V 3 V 3 V Tansfomao Tansfomao Ezeug am ohmschen Vebauche die gleiche Leisung wie eine Gleichspannung von 3 V: Kabel: τ P ( ) ( ) d τ τ cos R τ τ τ cos( ω) R ( ω) d R eff 3V baun blau gelb/gün Phase Null Ede eff R cos( ω) d

15 66 67 Vebauche weden mi Phase und Null vebunden; Ede dien ausschließlich zum Schuz! Dehsom: 3 Phasen () 35 V R S T mpliude: 35 V Wibelsom Die Bewegung eines ausgedehnen Leies in einem inhomogenen Magnefeld ezeug Keisöme B induziee v Söme Kabel: 35 V baun schwaz schwaz blau gelb/gün max. Diffeenz: Phase R Phase S Phase T Null Ede 3 *35V 56V Dehsom elaub höheen Som und höhee Spannungen (wichig fü sake Vebauche)! Magne Die Söme ezeugen Wäme bei de Beweung wid bei geleise zwischen Leie und Magne wik eine Reibungskaf Technisch wid diese Kaf in Wibelsombemsen genuz Selbsindukion B () ~ φ is popoional zum Som: ( γ häng von de Spule ab) Ein zeiabhängige Som duch eine Spule ezeug ein zeiabhängiges Magnefeld; dieses ezeug in de Spule eine Gegenspannung L nφ& φ γ

16 68 69 nγ& L& Beispiel: lange Spule Hie is also n n& φ nµ & L& l L Selbsindukion L: ndukiviä Einhei: Heny [H] [Ωs] bzw. n φ B µ l Lµ n l weiehin und dami C C & C & C C Beides eingesez in die Gleichung fü die Spannungen: L&& C Schwingkeis Schalung aus Kondensao und Spule && LC Diffeenialgleichung fü die Somsäke im Schwingkeis C C L L n einem geschlossenen Keis addieen sich alle Teilspannungen zu Null: n i i Vegleich mi hamonischem Oszillao Die Diffeenialgleichung laue: && x x( x ω und ha die Lösung ) cos( ) D x m ; ω D m Hie: C L und dami auch: Es is und dami & & C L L L& & L& L Fü den Schwingkeis laue die Lösung also ( ) cos( ω) ; ω LC De Som oszillie; die Fequenz is umso kleine, je göße L ode C is!

17 7 7 Fü die Spannung an de Spule gil: L L& L( ω sin( ω)) sin( ω) uch die Spannung oszillie, abe phasenveschoben gegenübe dem Som: () () τ π LC Ein Schwingkeis is das elekomagneische nalogon zum mechanischen hamonischen Oszillao! Elekomagneische Wellen Jedes zeiabhängige Magnefeld ezeug ein elekisches Feld. Genauso ezeug ein zeiabhängiges elekisches Feld ein Magefeld. Heleiung: beachen einen Kondensao E B B B Elekisches Feld im Kondensao: E ε Zeiliche bleiung: umgefom: & E& ε ε ε E& nnahme: de Som im Kondensao ezeug das gleiche Magnefeld wie de Som in den Zuleiungen: Bds µ E& µ ε Dami ha man einen dieken Zusammenhang zwischen dem Magnefeld und de zeilichen Ändeung des elekischen Felds.

18 7 73 Zusammenfassend: fü die elekischen und magneischen Felde gil: Bds ε E& Eds B& µ veeinfache Maxwell sche Gleichungen (gil fü homogene Felde und ) Weiee Veeinfachung de Gleichungen: das EFeld zeige nu in eine Richung und vaiiee senkech dazu in seine Säke E E x negaionsweg l E ; B Hie gil fü das Ringinegal: Eds E l El ( E E) l El Dami laue die Gleichung El B& Die Fläche des negaionswegs is gegeben duch: Fü beliebig kleine x wid dies: nalog gil: Dami gil auch Gleichsezen egib: nalog gil: δe δb δx δ δb δe µ ε δx δ δ E δ B δδx δ δ B δ E µ ε δx δxδ δ B δ µ ε δ E δx δ B δδx δ B δx δ B δ E µ ε δxδ δ (das negaive Vozeichen lieg an de elaiven usichung de Vekoen) Dami: El xlb& xl E x B& und dami: δ E δ µ ε δ E δx

19 llgemein: Wellengleichung elekomagneische Wellen δ δ δ δ δ B x, ) µ ε ( δx δ E x, ) µ ε ( δx B( x, ) E( x, ) (fü ebene Welle in xrichung) 74 Elekomagneische Wellen sind ansvesal: die elekischen und magneischen Feldvekoen sehen senkech zu usbeiungsichung! 9.3. Ezeugung von elekomagneischen Wellen Ezeugung fas imme duch schwingende Dipole ( nennen ) 75 B ( x B kx ω Lösung:, ) cos( ) Geschwindigkei de Welle: E ( x, ) E cos( kx ω) ω c k µ ε mi und E B; E E c B, B m s c nenne ~ Nahfeld E E E E λ/ abgelöse Wellen: Fenfeld in goßem bsand fas ebene Wellenfonen nennen: bsahlung (und Empfang) sind opimal, wenn die nennenlänge de halben Wellenlänge de Sahlung enspich c l λ op f Dasellung: B E c Wee: f 5 MHz λ. m, l op.6 m f 4 MHz λ.5 m, l op 6.5 cm (Sende in de Volesung) f 3 khz (Radio, Mielwelle) λ m, l op 5 m f 8 MHz λ6.6 cm, l op 8.4 cm (Handy)

20 76 77 Expeimenelle nmekung: Nachweis des elekischen Felds eine Welle: nenne E Glimmlampe, zünde bei 9 V 5 cm 9.3. Polaisaionsfile Von eine nene ezeuge elekomagneische Wellen sind polaisie : das EFeld zeig nu in eine Richung (paallel zu nenne; das BFeld seh senkech dazu) Polaisaionsfile absobieen ode eflekieen Wellen abhängig von de EFeldRichung Leuchende Lampe zeig, dass das elekische Feld säke is als: 9 V V E 8 5cm m Nachweis des magneischen Felds eine Welle: Dahschleife B Glühbine Beispiel: MeallRos Meallobeflächen schließen EFelde kuz ; paallel zu Obefläche is die EFeldsäke Null el.magn. Wellen weden eflekie Voaussezung: gue Leifähigkei in Richung des EFelds Ros d gue Leifähigkei in Richung de Säbe; keine senkech dazu! Die Ändeung des magneische Felds induzie einen Som in de Schleife; diese wid duch die leuchende Bine angezeig E EFeld de Welle: wid eflekie Meallsäbe E wid duchgelassen hine dem Polaisaionsfile is die Welle senkech zu den Säben polaisie.

21 9.3. Opik mi Radiowellen Meallflächen können als Spiegel eingesez weden Enegieanspo duch el.magn. Wellen Enegiediche eines elekomagneischen Felds: ρ ( E εe B ) µ Einhei: [J/m 3 ] 79 Spiegel Nomale Dipol: bsahlung in fas alle Richungen Reflekion an Ebene: sehende Welle λ/ EFeld Dipol mi Refleko: geichee bsahlung ( Paabolanenne ) Welle n de Obefläche is das Feld imme Null: Schwingungsknoen Vo dem Spiegel een in egelmässigen bsänden Beeiche auf, wo die Feldsäke Null is! Übelageung zwischen einlaufende und auslaufende Welle Bei eine Welle gil: ε E B µ (gleiche neil de Enegie im E und BFeld!) ρ ε also cos ( ) Räumlich gemiel: Dami: E E εe k ρ E εe dv εe V V ρ E εe B µ Enegiediche eine el.mag. Welle Die Welle beweg sich mi Geschwindigkei c; de Enegiefluß is dami: φ E cρ E cεe µ c B Einhei: [J/m s Die von de elekomagneischen Welle anspoiee Enegie is popoional zum uada de Feldsäke!

22 Spekum elekomagneische Wellen Die nachweisbae Sahlung eseck sich übe meh als Gößenodnungen in de Fequenz! hp://commons.wikimedia.og/wiki/file:elecomagneic_specum_c.svg