Integralrechnung III.Teil

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Dominic Hase
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1 Inegalechnung III.eil 1 Inegalechnung III.eil ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

2 Inegalechnung III.eil Inhalsvezeichnis 1. Mielwee peiodische Signale 1.1 Deiniion des aihmeischen Mielwees 1. Deiniion des Gleichichmielwes 5 1. Deiniion des Eekivwees 5 1. Kenngößen nich sinusömige Wechselgößen Beispiele ugaben 19 ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

3 Inegalechnung III.eil 1. Mielwee peiodische Signale Veeinbaung: Mielwee peiodische Signale () (+) sind ses Mielwee übe eine ganze Peiodendaue des Signals. () 1.1 Deiniion des aihmeischen Mielwees Gundgedanke: Man wandel den Flächeninhal une dem Gaphen von () übe eine Peiodendaue in ein lächengleiches Recheck um. De aihmeische Mielwe is gleich de Höhe des lächengleiches Rechecks. () () () d 1 d (1.1) Wegen de Peiodiziä von kann das Inegaionsinevall beliebig veschoben weden. Wichig is nu, dass die Länge des Inegaionsinevalls genau beäg. ()d a+ a ()d (1.) ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

4 Inegalechnung III.eil Spezialälle: Is eine geade Funkion g, d.h. eüll sie g ( ) g () und is dami zu y chse symmeisch, so gil: Beispiel: () () () d d d (1.) g g g () Is eine ungeade Funkion u, d.h. eüll sie u ( ) u () und is dami zum Uspung symmeisch, so gil: De aihmeische Mielwe jede ungeaden mi peiodischen Funkion is Null: Beispiel: () () u d u d (1.) () ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

5 Inegalechnung III.eil 5 1. Deiniion des Gleichichmielwes In de echnik inde auch noch de Gleichichmielwe Vewendung. Hie wid das Signal vo de Mielwebildung gleichgeiche, was mahemaisch bedeue, dass man den aihmeischen Mielwe übe den Beag () des Signals bilde. 1 () d (1.5) Speziell ü sinusömige Signale u u sinω gil: () 1 u uˆ sin d uˆ sin d ω ω 1 [ ] ˆ [ ] uˆ cosω u cosω + cos ω ω 1 uˆ [ cosπ+ cos] uˆ uˆ π π π u uˆ,67 uˆ π 1. Deiniion des Eekivwees De Eekivwe eines mi peioischen Signals is die Wuzel aus dem quadaischen Mielwe: e 1 () d (1.6) Wegen de Peiodiziä von is auch ² mi peiodisch. Dahe kann das Inegaions inevall beliebig veschoben weden. Wichig is nu, dass die Länge des Inegaions inevalls genau beäg. ( Siehe duchgeechnee Beispiele ) ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

6 Inegalechnung III.eil 6 Spezialälle: Das Quada eine geaden Funkion is wiede eine geade Funkion. Dami gil olgende Veeinachung bei de Beechnung des Eekivwees: g g g () () () d d d (1.7) Weies gil, dass das Quada eine ungeaden Funkion ebenalls eine geade Funkion dasell. Dami gil dieselbe Veeinachung bei de Beechnung des Eekivwees auch ü ungeade Funkionen: u u u () () () d d d (1.8) Speziell ü sinusömige Signale u u sinω gil: () ˆ uˆ 1 u uˆ ue ( uˆ sin ) d uˆ sin d ω ω d.h., die von eine Wechselpannungsquelle umgeseze milee Leisung is geade halb so goß wie die Leisung eine Gleichspannungsquelle mi eine Quellenspannung, die so goß is wie de Scheielwe de Wechselspannung. Fü beliebige Kuvenomen von Wechselgößen gil: De Eekivwe is ses kleine ode gleich dem Scheielwe. HINWEIS: Fü die Dimensionieung von ohmschen Bauelemenen nach de Wämebelasung is de Eekivwe de Spannung ode des Soms zu beücksichigen. Bei de uswahl de Duchschlagsspannung von Kondensaoen ode de Spespannung von Halbleiem muss descheiewe beücksichig weden. ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

7 Inegalechnung III.eil 7 1. Kenngößen nich sinusömige Wechselgößen De Scheielako k s is das Vehälnis zwischen Scheielwe u und Eekivwe Ue eine Wechselgöße beliebige Kuvenom. De Fomako k bezieh den Eekivwe au den Gleichichwe. k k s û (1.9) U e U û e (1.1) Scheiel- und Fomako sind Kennwee zu goben Bescheibung de Kuvenon eine Wechselgöße. Je sumpe - die Kuvenom is, deso meh nähe sich de Fomako (von oben) dem We 1. Die abelle zeig einige Scheiel- und Fomakoen. Kuvenom k s k Sinus 1,1 1,111 Deieck 1,7 1,155 Recheck (1:1 gleichspannungsei) 1, 1, Sägezahn 1,7 1,155 Einweggleichichung, 1,571 Doppelweggleichichung 1,1 1,111 Deiphasengleichichung 1,19 1,17 nwendung: De usschlag von Dehspul Messinsumenen mi Gleichichebücke is dem Gleichichwe des Wechselsoms popoional. Deheisen-Insumene zeigen dagegen den Eekivwe an. Die Skalen de Insumene weden in beiden Fällen au den Eekivwe des sinusömigen Soms kalibie. Bei nichsmusömigen Spannungen ode Sömen komm es bei Dehspulinsumenen dahe zu eine veälschen nzeige, die duch den Fomako (bei bekanne Kuvenom) koigie weden kann. ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

8 Inegalechnung III.eil Beispiele Beispiel () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine geade Funkion ü <. () ü 1 1 ihmeische Mielwe: () d 1 Eekivwebeechnung: e () d Beechnen wi zues das Inegal: () d () d d + d d Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e 1 1 ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

9 Inegalechnung III.eil Beispiel () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine geade Funkion (). ü < ü ihmeische Mielwe: Eekivwebeechnung: 1 1 () d 1 e () d Beechnen wi zues das Inegal: () () d d d + d Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: [ ] d e 1 Fü ehalen wi dann genau das Egebnis von Beispiel 1. ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

10 Inegalechnung III.eil Beispiel () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine geade Funkion. () + ü < ihmeische Mielwe: Eekivwebeechnung: 1 1 () d 1 e () d Beechnen wi zues das Inegal: 1 () d () d + 1 d ( 1) + + Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e 1 1 ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

11 Inegalechnung III.eil Beispiel Funkionsbescheibung: () 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine ungeade Funkion ü <. () ü < 1 ihmeische Mielwe: () d Geomeisch emiel. Eekivwebeechnung: Beechnen wi zues das Inegal: 1 e () d Bemekung: Das Quada eine ungeaden Funkion is eine geade Funkion () d () d () d d + ( ) d 6 6 Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

12 Inegalechnung III.eil Beispiel: () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). ü < () ü Dieses Signal is wede geade noch ungeade. ihmeische Mielwe: () d + Geomeisch übeleg! Eekivwebeechnung: 1 e () d Beechnen wi zues das Inegal: () d () d d + d Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

13 Inegalechnung III.eil Beispiel () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). () ü ü Dieses Signal is wede geade noch ungeade. ihmeische Mielwe: 1 1 () d Geomeisch übeleg! 1 Eekivwebeechnung: e () d Beechnen wi zues das Inegal: () () d d d + d ( ) ( ) d+ d () ( ) + ( ) + ( ) ( ) ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

14 Inegalechnung III.eil 1 ( ) Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e 1 Beache: Das Egebnis is von de Wahl von unabhängig! De Eekivwe von jedem Deiecksignal beäg dahe. ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

15 Inegalechnung III.eil 15 () Beispiel Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ) / / / /. ( ) () d.h. is eine geade Funkion + ü <. () ü < 1 1 ihmeische Mielwe: () d 1 Eekivwebeechnung: e () d Beechnen wi zues das Inegal: () d () d + d + d 1 d Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e 1 Fü den Spezialall ehalen wi genau das Egebnis von Beispiel. ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

16 Inegalechnung III.eil Beispiel () Funkionsbescheibung: 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine geade Funkion. () sin ω 1 ihmeische Mielwe: () d 1 Eekivwebeechnung: e () d Beechnen wi zues das Inegal: () () () d d d sin ω d Une Vewendung de igonomeischen Fomel n x ( 1 cos x) ehalen wi: si und 1 ω π 1 1 ( 1 cosω ) d ( 1 cosω ) d sinω ω 1 ω 1 ω ω sin sinπ Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: e 1 Dieses Egebnis gil soga ü alle sinusömige Signale. alle gleichgeicheen sinusömige Signale () () sin( ω +ϕ) ( ) sin ω +ϕ. und auch ü ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

17 Inegalechnung III.eil Beispiel ppoximaion eine gleichgeicheen Kosinusunkion duch eine Paabel.Odung Funkionsbescheibung: () 1. () ( + k ). ( ) () d.h. is eine geade Funkion. () + ü ihmeische Mielwe: 1 1 () d () d () d + d + 1 d Eekivwebeechnung: e () d Wegen de goßen Ähnlichkei mi de Funkion () cosω ewaen wi ein seh ähnliches Egebnis wie im voigen Beispiel. Beechnen wi zues das Inegal: ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

18 Inegalechnung III.eil 18 () () () d d d + d + 1 d + 1 d + 1 d d Fü den Eekivwe ehalen wi dahe: ndes geschieben: Da e e is, weich de oben beechnee Eekivwe von dem eine 8 8 Sinusunkion nu wenig ab (,% ). ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

19 Inegalechnung III.eil ugaben Beechnen Sie den Eekivwe des olgenden Signals mi Hile de Inegalechnung. Geben Sie zues eine genaue Signalbescheibung an. Bei de Rechnung sind evenuelle Veeinachungsschie genau zu dokumenieen. Zeichnen Sie in die ngabe auch den Velau von ² ein. () Τ/8 Τ/8 Τ/ Τ/ Τ/8 Τ/ Τ/8 Τ/ Τ/ Τ Lösung: e () / /6 / /6 / / Lösung: e ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

20 Inegalechnung III.eil () -/ / -/ /8 / /8 5/8 1 Lösung: e () 5 Lösung: e 1 / / -/ /16 /16 / 5/8 () 1 Lösung: e Τ/ Τ/8 Τ/ Τ/8 Τ/8 Τ/ Τ/8 Τ/ 5Τ/ Τ/ Τ ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle

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