Rotation, Trägheits- und Drehmoment

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Ingelore Margarete Bieber
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1 Weihnachskolloquium Prof. Dr. Hanns Ruder Uniersiä Tübingen Dunkle Maerie, dunkle Energie (finsere Gedanken) Moderne Enwicklungen in der Kosmologie 9:5 Uhr, AudiMax Ulmensraße Roaion, Trägheis- und Drehmomen

2 Bogenmaß und Raumwinkel Dreidimensional l Zweidimensional r Θ rad 36 rad 57.3 π rad.59 re.75 rad Oberfläche der Einheiskugel 4πr ² 4π ².57 r Θ Eine Verschiebung engegen dem Uhrzeigersinn is posii, eine im Uhrzeigersinn negai l dimensionslose Einhei Seradian (sr)

Winkelgeschwindigkei ΔΘ Θ, Θ, ΔΘ Θ Θ milere

Winkelgeschwindigkei über die Änderung des Winkels

3 Winkelgeschwindigkei ΔΘ Θ, Θ, ΔΘ Θ Θ milere Winkelgeschwindigkei ΔΘ Ferrari Pink Panher Da die Winkelgeschwindigkei über die Änderung des Winkels besimm wird roier jeder Punk auf dem Rad mi derselben Winkelgeschwindigkei! insanane Winkelgeschwindigkei lim Δ ΔΘ d d Θ Einhei der Winkelgeschwindigkei [rad/s] 3

4 Winkelgeschwindigkei Zusammenhang zur linearen Geschwindigkei r r Obwohl Winkelgeschwindigkei für jeden Punk auf dem Rad idenisch is, änder sich die lineare Geschwindigkei mi dem Absand zum Zenrum. Das besäig unsere ägliche Erfahrung! O Δl ΔΘ r P dl d x l Θr Δl rδθ ΔΘ dθ r r d r in Einheien on rad Definiion dθ Θ& d rθ& 4

5 Graphische Darsellung Winkel Θ() Roaion im Uhrzeigersinn Winkelgeschwindigkei () > Drehung im Uhrzeigersinn Zei Zei < Drehung engegen dem Uhrzeigersinn 5

6 Winkelbeschleunigung, Δ, milere Winkelbeschleunigung Δ α Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der Winkelgeschwindigkei definier is, erfähr jeder Punk auf dem Rad derselben Winkelbeschleunigung insanane Winkelgeschwindigkei α lim Δ d d Einhei der Winkelgeschwindigkei [rad/s²] 6

7 Winkelbeschleunigung Zusammenhang zur linearen Beschleunigung a R a an P a an Tangeniale Komponene Δ rδ r a rα an d d r & Θ && d Θ d Definiion d & d d dθ d d O d & d Vekoraddiion r r r a an + a R a Radiale Komponene Zenripedalbeschleunigung ( r) ² a R ² r r r Zenripedalbeschleunigung wächs mi dem Absand r zur Drehachse Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an. r a R ²r a an rα 7

8 Anglerglück Winkelbeschleunigung rad/ s² für Sekunden (Radius 5 mm) Anzahl der Drehungen der Rolle Θ + α rad Θ + ( s) rad s² re Θ rad 3.8 re π rad 5 mm Winkelgeschwindigkei + α rad + s² (.5 m) ( s) rad s rad s Geschwindigkei der Angelschnur r m s 8

9 mm) 7 re/s Transfer MB/s a Soiel Plaz brauch eine nformaionseinhei auf der

9 nformaionspeicherung auf Fesplaen re s π π rad Frequenz s f f π Einhei der Frequenz f [ Hz re/ss - ] T f Periode r3 cm Fesplae 3,5 Zoll (88.9 mm) 7 re/s Transfer MB/s a Soiel Plaz brauch eine nformaionseinhei auf der Fesplae R πf r r² l Bi π rad 7 re/min re 6s/min rad 74 s (.3m) (.3m) rad 74 s m. s rad s.m/s < nm 8 bi/s m s² 9

10 Zusammenfassung ( ) ² ² ² α α α α + Θ Θ + Θ Θ Θ + + Θ Θ + ( ) ( ) ² ² ² a x x x x x x a a x x a Roaionsbewegung Lineare Bewegung α Θ a x Θ α Θ Θ α unbekanne Variable x x a unbekanne Variable x a

11 Reche-Hand-Regel Die Drehachse einer roierenden Scheibe definier einen Vekor, der den Geschwindigkeisekor der Drehbewegung repräsenier Drehrichung Der Vekor zeig nich in Richung der Bewegung. Deshalb is die Noaion ewas gewöhnungsbedürfig. Sa dessen roier der Körper um die Vekorachse. Richung des Geschwindigkeisekors Die Länge on is ein Maß für die Größenordnung der Winkelgeschwindigkei Reche Hand Regel Zeig der Daumen der rechen Hand in Richung on, dann zeigen die Finger die Drehrichung an.

12 Sind die Winkelgrößen Vekoren? r r a + b r b + r a O Θ r x Sowohl der Vekor der Winkelgeschwindigkei () als auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die Regeln der Vekoraddiion. Richung OK r r a + b / r b + r a Berag OK Dies gil nich für den Winkel Θ!

Kineische Energie der Roaion Kineische Energie der Translaion eines massien Körpers n KE L m i i i Ansaz: Man erseze die linearen Größen durch die ensprechenden Größen bei der Beschreibung der Roaion

13 Kineische Energie der Roaion Kineische Energie der Translaion eines massien Körpers n KE L m i i i Ansaz: Man erseze die linearen Größen durch die ensprechenden Größen bei der Beschreibung der Roaion EK R n n mi i i i ( r ) m r i i Dieser Term gib an, wie die Masse des Roaionskörpers ereil is EK Kineische Energie der Roaion eines massien Körpers Zusammenhang zu den linearen Größen m i m i r i i ² Definiion Trägheismomen n i m i r i koninuierliche Massenereilung z.b. Bumerang r² dm 3

Berechnung on Trägheismomenen Homogener Ring mi Masse M auf dem Radius R r dm R dm ² MR Drehachse z Scheibe mi Masse M gleichmässig ereil bis Radius R Wähle Ringe mi Masse dm auf dem Ring mi

14 Berechnung on Trägheismomenen Homogener Ring mi Masse M auf dem Radius R r dm R dm ² MR Drehachse z Scheibe mi Masse M gleichmässig ereil bis Radius R Wähle Ringe mi Masse dm auf dem Ring mi Radius r mi Dicke dr Erwarung: das Trägheismomen is geringer Fläche der Scheibe A πr Drehachse z dm M A da M A πrdr Fläche eines Rings da πrdr R M M R M 4 r² dm r² πrdr π r³ dr R 4 MR A πr R 4

15 Trägheismomene erschiedener Körper Vergleiche Roaion um unerschiedliche Achsen Gleiches Trägheismomen für beide Drehachsen L + 6R L 6R R L 3 4 D MR + ML MR 4 ML D + + C MR MR L 6R 5

16 Noch mehr Trägheismomene Fliehkrafregler Beim Fliehkrafregler nuz man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewiche auf einen größeren Radius gebrach werden Resula: Das Trägheismomen ergrößer wird. 6

Form on Lich erlier der Sern Roaionsenergie om Pulsar beleuchees Gas

17 Kosmische Leuchürme Pulsare sind schnell roierende Neuronenserne.44 bis 3 Sonnenmassen Durchmesser km, re/s Durch Absrahlung on Energie in Form on Lich erlier der Sern Roaionsenergie om Pulsar beleuchees Gas Pulsar im Krebsnebel NS NS R ρ NS NS NS.44 5 km kg m³ MR kg 37 4 ( m) kg m² 7

18 Körper auf schiefer Ebene Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper? s Scheibe h mgh m + mgh ² m + R² Θ mgh as m + R² a mg sin Θ m + R² D R a R R Reifen mr² g sin Θ geringere Beschleunigung, da Masse außen R as Scheibe S mr² as g sin Θ 3 Lösung unabhängig on Masse und Radius 8

Drehmomen Wichig, wo Kräfe angreifen Hier resulier die Krafanwendung nich in einer Drehung der Scheibe Wenn die Kräfe hier angreifen dreh sich die Scheibe Definiion des Drehmomens τ Fl F r sin Θ i i

19 Drehmomen Wichig, wo Kräfe angreifen Hier resulier die Krafanwendung nich in einer Drehung der Scheibe Wenn die Kräfe hier angreifen dreh sich die Scheibe Definiion des Drehmomens τ Fl F r sin Θ i i i i l wird Hebelarm genann Beispiel: Öffnen einer Tür F > F Aufzuwendende Kraf Nur die Komponene die senkrech zur Roaionsbewegung wirk erzeug ein Drehmomen. Die parallele Komponene würde nur eine erikale Verschiebung bewirken 9

20 Bizeps τ Fr 7 N.5 m 35 Nm τ Fr 7 N.5 m sin(6 ) 3 Nm Uner einem solchen Winkel kann der Muskel ein geringeres Drehmomen erzeugen Affen sind eigenlich gar nich so sark wie der Mensch. Für einige Bewegungsabläufe zahl es sich aber aus, dass der Ansazpunk des Muskels deulich weier om Drehpunk enfern is

21 Zweies Newonsches Gesez Roaionsbeschleunigung ergib sich aus der Summe aller angreifenden α res τ Drehmomene einzelnes Teilchen a an Newon im linearen Fall F ma rα angeniale Beschleunigung F mrα rf mr² α τ mr² α τ τ ( mr² ) α ( mr + mr + m3r3...) τ α Zweies Newonsches Gesez für die Roaion α

Ulrazenrifugen MR² ( 36 kg)(.38 m) 9.64 kg m² www.esdeices.com As an example, a roor weighing 7 kg and haing a diameer of 76 cm and spinning a 4, rpm has an energy equialen of. x 7 Joules.

22 Ulrazenrifugen MR² ( 36 kg)(.38 m) 9.64 kg m² As an example, a roor weighing 7 kg and haing a diameer of 76 cm and spinning a 4, rpm has an energy equialen of. x 7 Joules. To pu ha number in perspecie, i is equialen o a 8, lb racor railer raeling a 75 mph. magine he damage should ha ruck run ino a barrier in is pah. A large SUV raeling a 8 mph would only represen % of his energy. This kind of roaional energy is comparaie o he power of some bombs. Wihin his conex i is easy o see why a burs of a high speed roaing par is no somehing ha a manufacurer would wan o hae happen in serice. Een small roors spinning a high speed can be exremely damaging during a burs. re rad min 4 π min re 6 s 466 rad/s KE ² ( 9.64 kg m² )( 466rad/s). 7 J in Roaionsenergie gespeicher

Drehimpulsekor zeig in Richung der Winkelgeschwindigkei Drehimpuls r p r m Definiion analog zum linearen mpulsekor r L Definiion des Drehimpulsekors S Einhei [kg m²/s] Pirouee

23 Drehimpulsekor zeig in Richung der Winkelgeschwindigkei Drehimpuls r p r m Definiion analog zum linearen mpulsekor r L Definiion des Drehimpulsekors S Einhei [kg m²/s] Pirouee wenn Trägheismomen konsan τ α Δ bekann α ΔL Δ τ τ α Zweies Newonsches Gesez F τ Δp ΔL Wenn keine Drehmomene angreifen änder sich der Drehimpuls nich! Erhalung des Drehimpulses 3

24 Drehimpulserhalung Gesamdrehimpuls bleib erhalen, da kein äußeres Drehmomen Bei Roaion des Rads um +/-9 änder sich der Drehimpuls des Suhls um den Drehimpuls des Rades (-/+ L) LSuhl + LRad cons 4

n einem ersen Tak zieh das rücklings fallende Tier die Vorderbeine eng an den Leib und sreck die Hinerbeine rechwinklig on der Körperlängsachse weg.

25 3.5.7 Kazensprünge Simm es, dass eine fallende Kaze immer auf ihren ier Pfoen lande? Der Trick Durch Aussrecken bzw. Anziehen der Beine ha der Vorderkörper ein anderes Trägheismomen als der Hinerkörper bei der Roaion um die Körperachse. n einem ersen Tak zieh das rücklings fallende Tier die Vorderbeine eng an den Leib und sreck die Hinerbeine rechwinklig on der Körperlängsachse weg. Wenn jez die Kaze den Vorderkörper rasch um 8 Grad dreh, is die Gegendrehung des hineren Körpereils iel langsamer und der Drehwinkel ensprechend klein. Dann sreck das Tier die orderen Beine om Körper weg und drück die hineren an das Fell, und das Hinereil ollzieh die Drehung des Vorderkörpers nach, mi nur geringem Gegenschwingen der orderen Körperhälfe. τ Durch mehrmaliges Wiederholen dieser Übung komm die Drehung zusande. fron fron &r r ΔΘ & fron fron fron back back fron & & back & fron & back back ΔΘ τ back back 5

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