2 Kinematik der Massenpunkte

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1 4 Kinemaik der Massenpunke Die Kinemaik is die Lehre on den Bewegungen der Körper (Griechisch: Kinema Bewegung). Dabei werden die Ursachen der Bewegungen, d.h. die beeiligen Kräfe, und die Wirkungen der Bewegungen auf andere Körper nich unersuch. Die Kinemaik is eine rein mahemaische Disziplin und berechne Bahnkuren, Geschwindigkeien und Beschleunigungen. Ruhe und Bewegung sind relaie Begriffe. Für einen im Zug reisenden Beobacher is eine neben ihm sizende Person in Ruhe, für einen draußen am Bahnseig sehenden Beobacher hingegen is diese Person in Bewegung. Deshalb haben die Begriffe Ruhe und Bewegung nur dann einen eindeuigen Sinn, wenn das Bezugssysem angegeben wird, auf das sie sich beziehen. Wenn nichs anderes ereinbar wird, is in der Physik und in der Technik ses ein mi der Erde fes erbundenes Bezugssysem zugrunde geleg.. Idealisierungen Bei der Berechnung on Bewegungen is es of zulässig und sinnoll, on der Ausdehnung des Körpers abzusehen und den Körper als Punkmasse auch Massenpunk genann zu idealisieren. Dies ha den Voreil, dass der Körper sich nich drehen kann alle auf den Körper einwirkenden Kräfe in einem Punk angreifen. Obwohl es in Wirklichkei keine Massenpunke gib, is die Näherung erschwindender Ausdehnung in der Theorie of zweckmäßig und erlaub, wenn die Bahnabmessung wesenlich größer is als die Ausdehnung des Körpers (siehe z. B. die Bewegungen der Planeen im Sonnensysem). Darüber hinaus werden wir in Unerkapiel 6. sehen, dass sich Punkmassen wie die Schwerpunke ausgedehner Körper bewegen. Danach simmen die für Massenpunke berechneen Bewegungen mi den Schwerpunkbewegungen ausgedehner Körper überein, falls die Massen und die Summe aller Kräfe in beiden Fällen gleich groß sind. Ganz allgemein werden Idealisierungen, die die Wirklichkei nich exak beschreiben, sondern besimme Eigenschafen und Sacherhale bewuss und geziel außer ach lassen, sehr häufig in der Physik mi großem Erfolg orgenommen. Die Vernachlässigung unerwünscher Nebeneffeke und die Konzenraion auf das Wesenliche sind so ypisch für die Arbeisweise des Physikers, dass wir kurz über Zulässigkei und Nuzen on Idealisierungen bzw. Vernachlässigungen sprechen müssen. Die Zulässigkei on Idealisierungen häng on dem unersuchen Objek und der Aufgabensellung ab. Dazu drei Beispiele: ) Bei einer fallenden Sahlkugel kann die Lufreibung ernachlässig werden, bei einer fallenden Feder nich. ) Bei der Berechnung der Planeenbahnen können die Planeen als punkförmig angesehen werden, in der Weerkunde nich.

2 . Geschwindigkei 5 3) Im Maschinenbau dürfen die Corioliskräfe der Erdroaion ernachlässig werden, in der Weerkunde aber spielen sie eine ganz enscheidende Rolle. In jedem einzelnen Fall is zu enscheiden, ob die orgesehenen Idealisierungen zu olerierbaren Ungenauigkeien führen oder nich. Die exake Beschreibung der Vorgänge in Naur und Technik is in nahezu allen Fällen unmöglich. Deshalb müssen Randeffeke außer ach gelassen und dafür kleine el. sogar ernachlässigbare Ungenauigkeien in Kauf genommen werden. Viele Vernachlässigungen sind sehr gebräuchlich und wei erbreie. Kein Maschinenbauer käme auf die Idee, relaiisische Massenänderungen oder Corioliskräfe der Erdroaion zu berücksichigen. Auch Reibungskräfe werden of nich in Berach gezogen. Zulässige Idealisierungen sind sinnoll, wenn man dadurch den Rechen- oder Arbeisaufwand gering halen oder den Blick auf das Wesenliche richen kann. Es komm nich darauf an, ob Idealisierungen auch in der Wirklichkei realisier werden können. Sei Galileo Galilei arbeie die Wissenschaf of mi fikien Modellen, die wenig Bezug zur Wirklichkei haben, aber leich überschaubar sind und sich auf das Wesenliche, auf die zu unersuchende Frage konzenrieren. Wir nehmen im Folgenden an, dass die beracheen Körper punkförmig sind. Punkmassen können sich nich drehen und ihre zeiabhängige Posiion wird durch den sog. Orsekor r( ) beschrieben, der om Ursprung des Koordinaensysems zum Or der Punkmasse reich.. Geschwindigkei Wir definieren die Geschwindigkei und berachen zuers den einfachsen Fall, die gleichförmige Bewegung. Daruner erseh man eine geradlinige Bewegung, bei der der Quoien aus zürückgeleger Srecke x und benöiger Zei für alle Zeien gleich groß is. Der konsane Quoien x wird Geschwindigkei der gleichförmigen Bewegung genann: x : für gleichförmige Bewegungen (. ) Die Einhei der Geschwindigkei is nach dieser Gl. m/s. Häufig wird auch die Einhei km/h erwende. Zwischen diesen beiden Einheien gib es folgende Umrechnung 3,6 km h m (. ) s Wenn eine gleichförmige Bewegung zur Zei im Punk x ( ) : x beginn, so gil x ( ) x ( ) x ( ) x x ( ) x + nur für gleichförmige Bewegungen mi cons (. 3)

3 6 Kinemaik der Massenpunke Das sog. Ors-Zei-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung is eine Gerade (siehe Abb.. ) mi der Seigung. Als nächses berachen wir ungleichförmige Bewegungen auf einer Geraden. Jez werden in gleich großen Zeiinerallen nich mehr gleich große Srecken zurückgeleg, so dass das Ors-Zei-Diagramm in Abb.. eine gekrümme Kure is. Man nenn den Quoienen x x x m : (. 4) Abb.. Ors-Zei-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung milere Geschwindigkei oder Durchschnisgeschwindigkei in dem Inerall, ]. [ In Physik und Technik und beim Auofahren ineressier man sich aber gewöhnlich nich für die milere, sondern für die momenane Geschwindigkei (). Vor der Einführung der Radarechnik wurden momenane Geschwindigkeien im Verkehr mi zwei Lichschranken ermiel. Lichschranken messen genaugenommen die milere Geschwindigkei m. Wenn aber der Absand der Lichschranken so klein is, dass ein Fahrzeug seine Geschwindigkei auf der kurzen Messsrecke kaum ändern kann, dann sag man: Die gemessene Geschwindigkei is in genügend guer Näherung die momenane Geschwindigkei. Diese Aussage is umso genauer, je kleiner der Absand der beiden Lichschranken is. Daraus ergib sich die Definiion der momenanen Geschwindigkei wie folg: Die momenane Geschwindigkei lim x (. 5) oder genauer wenn wir die Zei deulich in die Definiion einbeziehen Abb.. Für geh die Seigung der Sekane über in die Seigung der Tangene. Die Seigung der Tangene is lau Definiion die momenane Geschwindigkei ( ). x x d x ( ) : lim ( + ) ( ) ( ) x&( ) d (. 6) is die zeiliche Ableiung des Ores x(). Es is allgemein üblich, die zeiliche Ableiung nich durch einen Srich, sondern durch einen Punk zu kennzeichnen.

4 .3 Einführung in die Inegralrechnung 7 Bisher waren alle Bewegungen geradlinig. Nun wollen wir auch krummlinige Bahnen berachen. Die zeiabhängige Lage des Massenpunkes wird durch den sog. Orsekor r( ) beschrieben, der om Ursprung des Koordinaensysems zum Or des Teilchens zeig (siehe weier unen Abb..5 ). Der Orsekor läss sich mi seinen drei karesischen Koordinaen x( ), y( ), z( ) und den sog. Basisekoren e x, e y, e z, die die Länge Eins haben und auf den drei Koordinaenachsen liegen, als eine Linearkombinaion schreiben: r( ) x( ) e + y( ) e + z( ) e x y z x( ) y( ) z( ) (. 7) Bemerkung: Die Orsekoren dürfen im Gegensaz zu den Vekoren in der Mahemaik nich parallel erschoben werden. Die Orsekoren sind orsfes; ihr Anfang lieg immer im Koordinaenursprung. (Nach einer Parallelerschiebung würde das Ende der Orsekoren nich mehr auf den Or der Teilchen zeigen.) Vekoren werden komponenenweise differenzier und inegrier. Daher ergib sich der Geschwindigkeisekor ( ) durch die zeiliche Ableiung der drei Koordinaen: x( ) x& ( ) x( + ) x( ) ( ) y ( ) y( ) lim y( ) y( ) & + ( ) z( ) z( ) z( ) z & + (. 8).3 Einführung in die Inegralrechnung Nach Unerkapiel. ergib sich die momenane Geschwindigkei () durch Ableien des Ores x() nach der Zei. Wir wollen nun die umgekehre Aufgabe lösen: () is gegeben z. B. durch den Fahrenschreiber eines LKWs und x() is gesuch. x() is die Sammfunkion on (). Wir fangen wie üblich mi dem einfachsen Fall an, mi der gleichförmigen Bewegung, für die ( ) cons : gil. Im Geschwindigkeis-Zei-Diagramm is () eine Gerade parallel zur Abszisse. Die Inegraion is hier besonders einfach: Nach Gl. (. 3) wird in dem Zeiinerall [, ], dessen unere Grenze fes und dessen obere Grenze ariabel is, folgender Weg zurückgeleg: x( ) x( ) ( ) Der Zuwachs x ) x( ) der Samm- ( Abb..3 Die graue Fläche im Geschwindigkeis- Zei-Diagramm is gleich dem zurückgelegen Weg.

5 8 Kinemaik der Massenpunke funkionen is gleich der Fläche uner der Kure ( ) im Inerall [, ]. Hier deue sich schon der Zusammenhang zwischen Fläche und Inegral an. Der Zuwachs is die graue Fläche in Abb..3. Mi c : x( ) folg: x( ) + c für ( ) cons (.3 ) Dami is die Sammfunkion x() einer konsanen Geschwindigkei ( ) besimm. Als nächses unersuchen wir eine beliebige ungleichförmige Bewegung auf der x-achse. Da die Geschwindigkei () nich konsan is, kann der in dem Zeiinerall [, ] zurückgelege Weg nich so ohne weieres als Produk ( ) ( ) geschrieben werden zumal man überhaup nich wüsse, welche Zei in einzusezen wäre. Wir müssen deshalb anders orgehen und daon ausgehen, dass die Geschwindigkei in genügend kleinen Zeiinerallen nahezu konsan is. Der in dem kleinen Zeiinerall [ ˆ, ˆ + ] zurückgelege Weg is daher näherungsweise x x($ + ) x($) ( ) mi beliebige Zei aus [, ˆ + ] ˆ. Welche Zei man aus dem Zeiinerall wähl, is nich enscheidend, da sich ( ) in dem sehr kleinen Zeibereich kaum änder. Mi dieser Überlegung können wir nun den in der Zei [, ] zurückgelegen Weg berechnen: Wir unereilen das Zeiinerall [, ] in n gleich große Teilineralle der Breie n (.3 ) und berechnen die Geschwindigkeien [ + ( i ) ] zu Beginn der Teilineralle ( i,... n ). Dann is der im Gesaminerall zurückgelege Weg gleich der Summe der in den Teilinerallen zurückgelegen Wege: n [ ( ) ( ) ] x ( ) x ( ) x + i x + ( i ) i n ( ) + ( i ) (.3 3) i mi ( )/ n. (Der Leser kann sich am besen on der Richigkei dieser Gl. überzeugen, indem er i, danach i usw. einsez und die einzelnen Summanden so inerpreier.) Die leze Summe in Gl. (.3 3), die wir Zwischensumme nennen wollen, is gleich der grauen Fläche uner der Sufenfunkion in Abb..3. Genauso gu häe man die Geschwindigkeien am Ende der Teilineralle oder irgendwo innerhalb der Teilineralle berechnen können, weil die n Teilineralle sehr klein sind und sich die Geschwindigkei daher innerhalb eines Teilineralles kaum änder.

6 .3 Einführung in die Inegralrechnung 9 Abb..3 Der gesame zurückgelege Weg is die Summe der in den Teilinerallen zurückgelegen Teilwege. Für kleine is jeder Teilweg ungefähr gleich der Geschwindigkei am Anfang des Teilweges mal. Wir lassen nun die Zahl n der Teilineralle größer und größer werden. Dabei wird die Breie ( ) / n der Teilineralle immer kleiner. Je schmaler wird, deso weniger änder sich die Geschwindigkei () innerhalb der Teilsrecken und deso genauer beschreib die Zwischensumme den zurückgelegen Weg x x( ) x( ). Für n sreb die Zwischensumme gegen einen Grenzwer, den man das Inegral der Funkion () nenn: x( ) x( ) lim + ( i ) : ( ) d n n n i n (.3 4) Das Inegral is einerseis gleich der Fläche zwischen der Funkion () und der Abszisse im Inerall, und andererseis gleich dem Zuwachs x ( ) x ( ) der Sammfunkion. Wenn wir x( ) in Gl. (.3 4) auf die reche Seie bringen, erhalen wir den Or des Teilchens zur Zei bei gegebener Geschwindigkei (): x( ) x( ) + ( ) d (.3 5) x() is die Sammfunkion des sog. Inegranden (). In Verallgemeinerung dieser Aussagen auf andere Funkionen erhalen wir die folgenden Inegraleigenschafen, die on zenraler Bedeuung für die Mahemaik und Physik sind: Das Inegral n i f ( ) d : lim f + ( i ) n n n

7 Kinemaik der Massenpunke is gleich der Fläche, die on der Funkion f () und der Abszisse im Inerall [, ] eingeschlossen wird. Das Inegral über eine Funkion f () is gleich der Änderung F( ) F( ) f ( ) d der Sammfunkion des Inegranden im Inegraionsbereich. Daraus folg insbesondere (.3 6) d d d f ( ') d' [ F( ) F() ] f ( ) d.4 Beschleunigung Im Gegensaz zum alläglichen Sprachgebrauch werden in Physik und Technik nich nur Bewegungen mi zunehmendem Geschwindigkeisberag, sondern auch solche mi abnehmendem Geschwindigkeisberag beschleunig genann. Darüber hinaus werden sogar Bewegungen mi konsanem Berag, aber eränderlicher Richung on beschleunig genann. Ein Beispiel dafür is die gleichmäßige Kreisbewegung: Nach dem zweien Newonschen Axiom F m a is die Beschleunigung bei der gleichförmigen Kreisbewegung gleich der Zenripealkraf diidier durch die Masse. Auch jez berachen wir zuers wieder den einfachsen Fall, die geradlinige Bewegung, bei der wir skalar rechnen dürfen. Im Folgenden werden fas dieselben Überlegungen angesell wie bei der Definiion der Geschwindigkei. Der wesenliche Unerschied is nur der, dass wir jez nich mehr im Ors-Zei-Diagramm arbeien, sondern im Geschwindigkeis-Zei- Diagramm. Vom Auofahren is bekann, dass Beschleunigung als Geschwindigkeisänderung pro Zei definier is. Daher definieren wir die Seigung der Sekane in Abb..4 Abb..4 Die Seigungen der Sekane und Tangene im Geschwindigkeis-Zei-Diagramm sind lau Definiion die milere und die momenane Beschleunigung. am : (.4 ) als milere Beschleunigung oder Durchschnisbeschleunigung im Inerall [, ]. Die Einhei der Beschleunigung is danach m/s.

8 .4 Beschleunigung Bei der Definiion der momenanen Beschleunigung a () zur Zei gehen wir genauso or wie bei der Definiion der momenanen Geschwindigkei: Danach is die momenane Beschleunigung die milere Beschleunigung im Grenzübergang : a( ) : lim ( + ) ( ) (.4 ) Die Beschleunigung is die einmalige Ableiung der Geschwindigkei nach der Zei oder die zweimalige Ableiung des Ores nach der Zei. d ( ) d x( ) a( ) : x( ) d d && (.4 3) Ein besonders wichiger Spezialfall is die gleichförmig oder gleichmäßig beschleunige Bewegung; hier is die Beschleunigung konsan. Der reibungsfreie Fall im homogenen Schwerefeld is die bekannese gleichförmig beschleunige Bewegung. Wegen a( ) &( ) is die Geschwindigkei die Sammfunkion der Beschleunigung. Die Geschwindigkei ergib sich nach Gl. (.3 6) durch Inegraion über die konsane Beschleunigung: ( ) a d' a ( ) + a nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen (.4 4) Eine weiere Inegraion liefer den Or des Teilchens x( ) x ( ) d + a x ( ) x + + a nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen (.4 5) Bemerkung: Immer wieder schreiben Sudenen für die Beschleunigung die Gl. a / auf. Man kann gar nich of genug beonen, dass diese einfache Beziehung nach Gl. (.4 4) nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen und nur für gil. Für a( ) cons gil nach Gl. (.4 3) a( ) &( ) und nich a /. Schnellkäfer erreichen im Tierreich die größe Beschleunigung: Beim Hochspringen können sie mi a 4 g beschleunigen. Die größen Beschleunigungen in der Naur erreichen einige Pilzaren, die ihre Sporen mi einer 5 Beschleunigung on bis zu,8 g (!) abschießen. Jepiloen müssen nach der Auslösung des Schleudersizes sehr kurzfrisig eine Beschleunigung on 7 g aushalen. Dabei wird die Wirbelsäule so sark gesauch, dass die Piloen ewa,5 cm kleiner werden. Nach zwei Noaussiegen im Schleudersiz werden Bundeswehrpiloen in den orzeiigen Ruhesand ersez.

9 Kinemaik der Massenpunke Tabelle.4 Die für den Menschen maximal errägliche Beschleunigung häng on der Körperhalung und on der Dauer der Beschleunigung ab und is wichig für die bemanne Raumfahr, Miliärjes und Kraffahrzeuge. Bei Crash-Versuchen mi Dummies darf die kurzzeiige Kopfbeschleunigung höchsens 8 g und die Brusbeschleunigung höchsens 6 g beragen. Halung Errägliche Beschleunigung für 5 sec. Dauer Errägliche Beschleunigung in sizender Halung Kopf nach unen 4 g sec 3 g sizende Halung 7 g 5 sec 7 g Bauchlage 3 g sec 6 g Rückenlage 5 g 6 sec 4 g Beispiel.4 Bremsweg. Ein Auo fähr mi der Geschwindigkei und mach dann eine Vollbremsung mi konsaner Beschleunigung a, 5 g bis zum Sillsand. Berechne den Bremsweg s. Lösung: Die Gln. (.4 4) und (.4 5) lauen für x : a ( ) + a x ( ) + Die Zei für die Abbremsung sei T. Am Ende des Bremsorganges is (T) und x(t) s. ( T) + a T Wir lösen die Gl. (.4 6) nach T auf und sezen T in Gl. (.4 7) ein: a x( T ) s T + T (.4 6/7) a s s a für a cons und Ende (.4 8/9) Konrolle und Veranschaulichung: Die Einheien sind richig. Für km/h 7,8 m/s ergib sich der realisische Bremsweg s 37,5 m. s. In der Fahrschule lern man, dass der Bremsweg proporional is zum Geschwindigkeisquadra. Beispiel.4 Konsane Verzögerung. Ein PKW erringer durch gleichmäßiges Bremsen seine Geschwindigkei on 7 km/ h auf 36 km / h und leg dabei die Srecke s m zurück. a) Wie groß is die (negaie) Beschleunigung a? b) Wie groß is die Bremszei T? Lösung: a) Mi x lauen die Gln. (.4 4) und (.4 5) für alle Zeien T : ( ) + a x ( ) + a

10 .4 Beschleunigung 3 Wir lösen die erse Gl. nach auf und sezen in die zweie Gl. ein: [ ] x ( ) ( ) ( ) + a a x( ) [ ( ) ] nur für a cons (.4 ) a Für T erhalen wir mi x(t) s m (T) m/s m/s a ( ),5 m s s b) T m m s s a,5 m / s 6,6 s Bemerkung: Folgendermaßen häe man die ganze Aufgabe einfacher und schneller rechnen können: Die milere Geschwindigkei während des Abbremsens beräg m 5 m/s. Die Bremszei is daher T x( T) m 5 m / s m 6, 666 s a ( T ),, g T 5 m 53 s Beispiel.4 3 Gefährliche Geschwindigkeisüberschreiung Ein Auo fähr in der Sad mi 5 km/ h. Plözlich läuf ein Kind auf die Sraße. Nach der Reakionszei T R s mach der Fahrer eine Vollbremsung mi a g und komm im lezen Augenblick unmielbar or dem Kind zum Sehen. Mi welcher Endgeschwindigkei E häe er das Kind angefahren, wenn er mi der Geschwindigkei 6 km/ h gefähren wäre und wenn das Kind in gleicher Enfernung wie oben auf die Sraße gelaufen wäre? Lösung: Für den Absand s, in dem das Kind or dem Auo auf die Sraße läuf, gelen folgende zwei Gln.: und s s T R mi a Gl. (.4 ) T R 3 E + a Gleichsezen dieser beiden Gln. liefer a g E a ( ) T + R km 4,5 h Konrolle und Veranschaulichung: ) E seig mi zunehmender Reakionszei T R, weil der nach der Schrecksekunde noch zur Verfügung sehende Bremsweg mi wachsender Reakionszei abnimm. ) Für T R s/ folg erwarungsgemäß E.

11 4 Kinemaik der Massenpunke.5 Kreisbewegung Die Kreisbewegung is eine besonders wichige Bewegung: Maschineneile, die um eine raumfese Achse roieren, führen solche Bewegungen aus. Ein Massenpunk m läuf in der x, y-ebene auf einer Kreisbahn mi Radius r im posiien mahemaischen Sinn, d. h. im Gegenuhrzeigersinn. Wir berachen zuers wieder den einfachsen Fall, eine gleichförmige Kreisbewegung. Hier werden in gleichen Zeiabsänden gleiche Winkel ϕ übersrichen. Der konsane Quoien ϕ/ wird in Analogie zur Geschwindigkei x / als Winkelgeschwindigkei ω bezeichne: Abb..5 Kreisbewegung in der x,y-ebene. ω ϕ : ω ha die Einhei für gleichförmige Kreisbewegungen s und is gleich π mal Drehzahl. Mi ϕ ( ) : ϕ gil (.5 ) ω ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) ϕ ϕ( ) ϕ + ω für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 ) (Beache die Übereinsimmung mi Gl. (. 3).) Der om Fahrsrahl übersrichene Winkel ϕ( ) wächs linear in der Zei. Für ungleichförmige Kreisbewegungen ( ϕ / cons ) gib die Gl. ϕ ωm : (.5 3) die milere Winkelgeschwindigkei im Inerall an. Die momenane Winkelgeschwindigkei ω( ) zur Zei is definier als ϕ ϕ ω( ) : lim ( + ) ( ) ϕ& ( ) (.5 4) Bemerkenswer und wichig is die Fessellung, dass die milere und die momenane Winkelgeschwindigkei in öllig gleicher Weise definier werden wie die milere Geschwindigkei m und die momenane Geschwindigkei (). (Vergleiche die Gln. (. 4 und 6) mi den Gln. (.5 3 und 4).) Dies zeig sehr deulich, dass es in der Physik Gedanken, Überlegungen und Rechnungen gib, die immer wieder in ähnlicher Form aufreen. Die zweie Ableiung on ϕ( ) ergib die Winkelbeschleunigung α( ) ω& ( ) ϕ&&( ).

12 Die momenane Bahn- oder Umfangsgeschwindigkei des Teilchens beräg.5 Kreisbewegung 5 s r ϕ ( ) lim lim r ω( ) (.5 5) Dabei folg die Gl. für den Kreisbogen s r ϕ mi dem Dreisaz aus der Gl. für den Kreisumfang U r π. Nach Gl. (.5 5) muss ω unbeding im Bogenmaß und nich im Winkelmaß angegeben werden; denn nur im Bogenmaß is s r ϕ. Für gleichförmige und auch für ungleichförmige Kreisbewegungen gil also: ( ) r ω ( ) (.5 6) Nachdem die Winkelgeschwindigkei ω( ) und Bahngeschwindigkei ( ) als Skalare definier bzw. berechne wurden, müssen beide Größen noch zu Vekoren erweier werden. Der Berag on r ω( ) wird durch die Gl. (.5 4) gegeben. Die Richung on ω( r ) r wird wie folg definier: ω( ) seh senkrech auf der Bahnebene und weis in die Richung, in die sich ein Korkenzieher beweg, der im Umlaufsinn der Masse gedreh wird. ω( r ) is also lau Definiion parallel zur Drehachse. Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung is nur die Richung der Winkelgeschwindigkei konsan. Abb..5 Die Winkelgeschwindigkei r ω seh senkrech auf der Kreisbahn und fäll daher mi der Drehachse zusammen. Der Geschwindigkeisekor () is die Zeiableiung des Orsekors r (). Der Orsekor r() geh om Koordinaenursprung zum Or des Teilchens und laue nach Abb..5 : r( ) x( ) y( ) z( ) r cos ϕ( ) r sin ϕ( ) (.5 7) sin ϕ( ) sin ϕ( ) ( ) r&( ) r & ( ) cos ( ) r ( ) cos ( ) ϕ ϕ ω ϕ (.5 8) Dabei liefere die Keenregel die innere Ableiung ϕ& ( ) ω( ). Konrolle und Veranschaulichung: Die Einheien sind richig.

13 6 Kinemaik der Massenpunke () ha in Übereinsimmung mi Gl. (.5 5) die Länge ( ) r ω( ) sin ϕ ( ) + cos ϕ ( ) r ω( ) () lieg in der x, y-ebene und seh senkrech auf r(), da das Skalarproduk r() () is. Behaupung: () läss sich als Vekorproduk schreiben r ( ) ω( ) r() (.5 9) Beweis: In Koordinaendarsellung laue das Vekorproduk on a, b a b a a a x y z b x a b by a b bz a b a b a b a b y z z y z x x z x y y x Wir berechnen die reche Seie der Gl. (.5 9): r cos ϕ( ) ω( ) r sin ϕ( ) r ω ( ) r( ) r sin ( ) ( ) r cos ( ) ϕ ω ϕ ( ) ω( ) Gl. (.5 8) Die zweie Ableiung des Orsekors r() nach der Zei liefer die Beschleunigung a ( ) sin ϕ( ) r ω& ( ) cos ϕ( ) cos ϕ( ) r ω ( ) sin ϕ( ) ω ) & ( ) ω( ) ( ω ( ) r( ) (.5 ) Der erse Term is parallel zur Geschwindigkei () und beschreib die Beschleunigung, die bei einer Änderung on ω in angenialer Richung aufri. Beim Berachen einer Kreisbahn, deren Winkelgeschwindigkei sich plözlich sark änder, wird dieser Term ersändlich. Er ha den Berag r ω & ( ) und erschwinde bei gleichförmigen Kreisbahnen. Der zweie Term ω ( ) r ( ) is die sog. Zenripealbeschleunigung. Sie is proporional zum Radius r und proporional zu ω und weis zum Kreismielpunk. Für &ω folg: a( ) ω r( ) nur für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 ) Auf ein Teilchen, das eine gleichförmige Kreisbewegung mach, wirk die Zenripealkraf m a m ω r

14 .5 Kreisbewegung 7 Bei den Planeen, deren Ellipsenbahnen nur wenig on Kreisbahnen abweichen, is die Zenripealkraf die Anziehungskraf der Sonne. Bei einem Teilchen, das on einem Faden gehalen auf einer Kreisbahn umläuf, wird die Zenripealkraf durch den Faden aufgebrach. Der Berag der Beschleunigung gleichförmiger Kreisbewegungen is ω / r a ω r ω nur für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 ) r Bemerkungen: ) Die Gln. (.5 ) gelen auch für ungleichförmige Kreisbewegungen, beschreiben dann aber nur die Komponene der Beschleunigung in radialer Richung, also nur den Berag der Zenripealbeschleunigung. ) Der Leser muss sich die drei wichigen Gln. (.5 ) nich unbeding merken. Er muss nur wissen, dass sich a in einfacher Form durch Muliplikaion und Diision der drei Variablen ω, und r ergib und dass a die Einhei m s ha. Dann erhäl man zwangsläufig die Gln. (.5 ). Andere einfache Gln. für a können bei Beachung der Einhei nich mi ω, und r aufgesell werden. Beispiel.5 Kreisender Saelli Ein Saelli kreis in km Höhe einmal in 88,45 min um die Erde. Der Erdradius beräg 638 km. Wie groß sind ω,, a? Lösung: π ω,839 s 88,45 6 s ω r,839 6,58 m / s 779 m / s 845 km/h a / r 9, m / s Erdbeschleunigung in km Höhe Bemerkung: Nach dem Graiaionsgesez (siehe Aufgabe 4 6) is die Erdanziehungskraf auf einen Körper im Absand r zum Erdmielpunk proporional zu /r. Daher beräg die Erdbeschleunigung in km Höhe g m 9,8 s m 9, s Hiermi beenden wir die Kinemaik, die eine rein mahemaische Disziplin is und daher ohne die physikalischen Größen Masse und Kraf auskomm. Ein kleiner Rückblick sei gesae: Wir haben die drei kinemaischen Funkionen x(), (), a() eingeführ und wissen nun, dass sie durch Differenzieren und Inegrieren ineinander umgerechne werden können. Außerdem wurde die Kreisbewegung on Massenpunken behandel. Die Bedeuung on Ableiungen und Inegralen wurde an Hand physikalischer Probleme ausführlich besprochen. Weiere mahemaische Hilfsmiel und mahemaische Theorien werden im Buch nich mehr erläuer, so dass wir uns ab jez auf die Physik konzenrieren können.

15 8 Kinemaik der Massenpunke.6 Noch einmal in Kürze ) Momenane Geschwindigkei () und Beschleunigung a( ) sind wie folg definier: x x d x ( ) : lim ( + ) ( ) ( ) x&( ) d d a( ) : lim ( + ) ( ) ( ) &( ) &&( x ) d (. 6) (.4 ) ) Besonders wichig sind gleichförmig beschleunige Bewegungen. Zweimalige Inegraion der Gl. a cons führ auf ( ) + a x ( ) x + + a (.4 4/5) 3) Bei Kreisbahnen wird die momenane Winkelgeschwindigkei wie folg definier: ϕ ϕ ϕ ω( ) : lim ( + ) ( ) d ( ) ϕ& ( ) d (.5 4) Die Richung des Vekors der Winkelgeschwindigkei is lau Definiion parallel zur Drehachse; der Richungssinn wird mi der Korkenzieher-Regel fesgeleg. 4) Für Kreisbewegungen lauen die Geschwindigkei und die Zenripealbeschleunigung r ω a ω r r ω (.5 6/).7 Aufgaben Leich Überholorgang Ein LKW fähr mi konsaner Geschwindigkei L 36 km / h an einem sehenden PKW orbei. Wenn sein Vorsprung s m beräg, sare der PKW und fähr mi gleichförmiger Beschleunigung a, m / s hinerher. a) Wie iel Zei T benöig der PKW, um den LKW einzuholen? b) Welche Srecke s leg der PKW dabei zurück? Leich Beschleuniger Zug a) Welche Beschleunigung a ha ein Zug, der in 5 s die Geschwindigkei on 36 km/h auf 54 km/h erhöh? b) Welche Srecke s leg er dabei zurück? 3 Miel Beschleuniger Rennwagen Abb..7 Zur Zei sare ein Rennwagen an der Selle x mi konsaner Beschleunigung a. Zur Zei fähr er in eine 75 m lange Mess-Srecke ein, die er s späer wieder erläss. Beim Durchfahren der Mess-Srecke wird die Geschwindigkei erdoppel. Besimme die ier Unbekannen, x,, a.

16 .7 Aufgaben 9 Abb..7 Der beschleunige Rennwagen durchfähr eine Mess-Srecke mi den angeführen Daen. 4 Miel Känguruh-Sprünge Abb..7 Ein Känguruh mach beim Rennen 6 m weie und,5 m hohe Sprünge. Wie groß is die konsane horizonale Geschwindigkei des Känguruhs? Hinweis: Die horizonale Bewegung is gleichförmig, die erikale Bewegung is gleichförmig beschleunig mi a g 9,8 m/s. Abb..7 Das Känguruh mach 6 m weie und,5 m hohe Sprünge. 5 Miel Nobremsung Zwei idenische Auos fahren im Nebel senkrech auf eine Wand zu. Der erse Wagen fähr mi 54 km/h und beginn m or der Wand mi einer Vollbremsung (blockierende Räder). Er komm im lezen Augenblick unmielbar or der Wand zum Sehen (Absand Auo Wand m). Der zweie Wagen fähr mi 7 km/h und beginn 6 m or der Wand mi einer Vollbremsung. Mi welcher Geschwindigkei prall er gegen die Wand? 6 Miel Brunneniefe Ein Sein fäll mi der Anfangsgeschwindigkei in einen iefen Brunnen. Nach der Zei hör man den Bodenaufprall. Wie groß is die Brunneniefe? Hinweise: Reibungskräfe beim Fall des Seines sollen außer ach gelassen werden. Die Zei für die Schallausbreiung is zu berücksichigen. Die Schallgeschwindigkei beräg c 34 m/ s. 7 Schwer Maximale Drehzahl Abb..7 3 Ein dünnes Holzbre mi Masse Breie m 9 kg, Höhe h m und b, m is an eine erikale Achse angekleb, die mi der konsanen Winkelgeschwindigkei ω roier. Der gleichmäßig über die Höhe h ereile Kleber kann insgesam eine Zugkraf on.5 kn aufnehmen. Gewichskraf und Reibungskräfe in der Luf sollen ernachlässig werden. Welche Winkelgeschwindigkei is maximal zulässig, wenn der Kleber nich reißen soll? Abb..7 3 Das dünne Bre is an eine roierende Achse angekleb.