Friedhelm Kuypers Physik får Ingenieure und Naturwissenschaftler

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3 Friedhelm Kuypers Physik får Ingenieure und Naurwissenschafler

4 Beachen Sie bie auch weiere ineressane Tiel zu diesem Thema Thomsen, C. Physik får Ingenieure får Dummies 011 ISBN: Råsch, T. Mahemaik der Physik får Dummies 011 ISBN: Chrisman, J. R., Derringh, E. Halliday Physik 880 LÇsungen 008 ISBN: Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Halliday Physik Bachelor-Ediion 007 ISBN:

5 Friedhelm Kuypers Physik får Ingenieure und Naurwissenschafler Band 1: Mechanik und Thermodynamik 3., Åberarbeiee und erweiere Auflage

6 Auor Prof. Dr. Friedhelm Kuypers Hochschule Regensburg PrÅfeninger Sraße Regensburg 3., Åberarbeiee und erweiere Auflage 01 Alle BÅcher von Wiley-VCH werden sorgfålig erarbeie. Dennoch Åbernehmen Auoren, Herausgeber und Verlag in keinem Fall, einschließlich des vorliegenden Werkes, får die Richigkei von Angaben, Hinweisen und Raschlågen sowie får evenuelle Druckfehler irgendeine Hafung. Bibliografische Informaion der Deuschen Naionalbibliohek Die Deusche Naionalbibliohek verzeichne diese Publikaion in der Deuschen Naionalbibliografie; deailliere bibliografische Daen sind im Inerne Åber hp://dnb.d-nb.de abrufbar. c 01 Wiley-VCH Verlag & Co. KGaA, Boschsr. 1, Weinheim, Germany Alle Reche, insbesondere die der Ûbersezung in andere Sprachen, vorbehalen. Kein Teil dieses Buches darf ohne schrifliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form durch Phookopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren reproduzier oder in eine von Maschinen, insbesondere von Daenverarbeiungsmaschinen, verwendbare Sprache Åberragen oder Åbersez werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonsigen Kennzeichen in diesem Buch berechig nich zu der Annahme, dass diese von jedermann frei benuz werden dårfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingeragene Warenzeichen oder sonsige gesezlich geschåze Kennzeichen handeln, wenn sie nich eigens als solche markier sind. Druck und Bindung Umschlaggesalung bez-druck GmbH, Darmsad Bluesea Design, McLeese Lake, Canada ISBN: Prined in he Federal Republic of Germany Gedruck auf såurefreiem Papier

7 V Vorwor Dieses Buch is der erse Band eines zweibändigen Werkes der Physik und beschäfig sich mi Mechanik und Thermodynamik. Der zweie Band enhäl die Elekriziä, Opik und Wellenlehre. Für das Versändnis werden nur elemenare Grundkennnisse der Differenialund Inegralrechnung vorausgesez. Das Buch unerscheide sich in den inhallichen Schwerpunken und vor allem im didakischen Konzep von anderen Büchern. Im Folgenden werden die Besonderheien aufgezähl: Soffbeschränkung: Of wird in Vorlesungen Soff unerriche, der so schwierig is, dass dazu keine sinnvollen, d. h. von Sudenen lösbaren Klausuraufgaben exisieren. Ich meide allzu schwierige Inhale ganz bewuss und behandele nur den Soff, den die Sudierenden in den ersen beiden Semesern versehen und daher auch in Klausuren bearbeien können. Die Themen werden behusam erarbeie sowie durch viele Beispiele und vollsändig gelöse Aufgaben verdeulich. Angesichs der nachdrücklichen Soffbeschränkung mag die gesame Seienzahl der beiden Bände (knapp 900) hoch erscheinen; aber nach meiner Einschäzung kann ein wirkliches Versändnis der Physik wohl kaum auf 500 Seien vermiel werden. Beispiele und 187 Aufgaben werden sorgfälig in den Lehrsoff eingearbeie. Die Beispiele werden durch einen grauen Balken markier. Bei jeder Aufgabe wird der subjekiv geschäze Schwierigkeisgrad leich, miel, schwer angegeben. 157 Aufgaben enhalen ausführliche Lösungen am Ende des Buches. Zu den 30 übrigen Aufgaben, neben deren Überschrifen das rechs dargeselle Maus-Icon seh, werden am Ende des Buches nur die Endergebnisse genann; ihre ausführlichen Lösungen finden Sie frei zugänglich auf der Webseie zum Buch uner Bei der Auswahl der Beispiele und Aufgaben waren drei Krierien maßgebend: 1: Die Beispiele und Aufgaben sollen die Theorie verdeulichen und veranschaulichen, Rechenmehoden und physikalisches Denken einüben sowie ein Gefühl für Größenordnungen in Physik und Technik geben. : Am liebsen lösen Sudenen Aufgaben aus dem Allagsleben und aus der indusriellen Praxis. Kann man auf dem Mond wirklich sechsmal so hoch springen wie auf der Erde? Welche Bewegungen machen Kinder auf der Schaukel und warum? Was is eine Resonanzkaasrophe? Wie regel der Körper die Bluzufuhr? Warum bilde sich beim Öffnen einer Bierflasche Nebel über der Flüssigkei? Wie groß sind die maximalen Wirkungsgrade von Windrädern, Verbrennungsmooren und Wärmepumpen? 3: Die meisen Beispiele und Aufgaben sind ehemalige Klausuraufgaben. Konrolle und Veranschaulichung: Of wird beklag, dass viele Sudenen Rechnungen und Ergebnisse völlig ungeprüf und kriiklos übernehmen. Jeder Suden solle sich angewöhnen, Rechnungen immer zu überprüfen. In diesem Buch werden Resulae regelmäßig geese und zugleich veranschaulich, indem sie auf bereis bekanne Spezialfälle angewen-

8 VI Vorwor de, Abhängigkeien von Parameern und Anfangsbedingungen unersuch, Zahlen eingesez und Einheien konrollier werden. Hinweise auf ypische Fehler: Fehler, die in Übungen und Klausuren immer wieder gemach werden, Fallen und häufige Missversändnisse werden ausdrücklich genann. So kann der Leser nich nur aus den eigenen Fehlern, sondern auch aus den klassischen Fehlern anderer Sudenen lernen. Zusammenfassung: Am Ende jedes Kapiels werden die wichigsen Gleichungen, Säze und Aussagen nochmals in Kürze zusammengefass. Zusammenfassungen bieen eine Übersich des behandelen Soffes und können daher auch vor dem Sudium eines Kapiels gelesen werden. Unerkapiel, deren Überschrif mi einem Sern * markier sind, können beim ersen Lesen übergangen werden. Die drie Auflage wurde vollsändig überarbeie und gesraff. Einige Kapiel, die für Sudierende im ersen und zweien Semeser nur schwer zu versehen sind, wurden gesrichen. Neu hinzu gekommen is das Unerkapiel 4.4 Erneuerbare Energien. Hier werden auf 10 Seien wichige Daen, der momenane Sand der erneuerbaren Energieprodukion und die zukünfigen Erwarungen an Solarzellen, Wasserkrafwerke, Windkrafanlagen, Solarhermische Krafwerke und Flachkollekoren dargesell. In den Unerkapieln 8.8 und 15.6 werden Windkrafanlagen und Wärmepumpen ausführlich besprochen und ihre maximalen Wirkungsgrade berechne. Abschließend möche ich allen danken, die zur Ensehung dieses Buches beigeragen haben. Prof. Dr. K. Heif ha eine gründliche Fehlersuche in Teil A Mechanik durchgeführ. Prof. Dr. P. Dao ha den größen Teil der Thermodynamik kriisch gelesen und zahlreiche Verbesserungsvorschläge gemach. Besonders danken möche ich Prof. Dr. A. Deuz, mi dem ich sei vielen Jahren unzählige physikalische und didakische Probleme besprochen habe. Sein Ineresse und seine sändige Bereischaf, mi mir über Fragen und Räsel der Physik zu diskuieren, haben mir sehr beim Schreiben dieses Buches geholfen. Allen Lesern, die durch Anregungen, Bemerkungen oder auch durch Fragen zur Verbesserung des Buches beiragen, bin ich auch weierhin sehr dankbar. Meine -Adresse laue: friedhelm.kuypers@hs-regensburg.de Regensburg, im Juni 01 Friedhelm Kuypers

9 VII Inhal A Mechanik 1 Einführung Einleiung Messung und Maßeinhei... Kinemaik der Massenpunke Idealisierungen...4. Geschwindigkei Einführung in die Inegralrechnung Beschleunigung Kreisbewegung Noch einmal in Kürze Aufgaben Newonsche Axiome und Kräfe Das erse Newonsche Axiom Das zweie und drie Newonsche Axiom Lösung einfacher Bewegungsgleichungen Reibungskräfe Noch einmal in Kürze Aufgaben Arbei, Leisung und Energie Arbei Leisung Energie Erneuerbare Energien * Noch einmal in Kürze Aufgaben...68

10 VIII Inhal 5 Impulssaz und Drehimpulssaz Impulssaz Drehimpulsssaz für Massenpunke Noch einmal in Kürze Aufgaben Bewegungen sarrer Körper Schwerpunksaz Trägheismomene Drehungen um raumfese Achsen Ebene Bewegungen sarrer Körper Kineische Energie ebener Bewegungen Unwuchkräfe Präzession und Nuaion Noch einmal in Kürze Aufgaben Lineare Schwingungen Freie Schwingungen Erzwungene Schwingungen Mechanische und elekrische Schwingungen * Gekoppele Pendel Noch einmal in Kürze Aufgaben Srömungslehre Grundlagen Die Bernoulli-Gleichung Laminare Srömungen Turbulenzbildung und Reynolds-Zahl Turbulene Rohrsrömungen * Srömungswidersand umsrömer Körper Modellechnik * Windkrafanlagen * Noch einmal in Kürze Aufgaben...08

11 Inhal IX B Thermodynamik 9 Einführung in die Thermodynamik Temperaur Definiion der Temperaurskala Thermische Ausdehnung Temperaurmessung Noch einmal in Kürze Aufgaben Ideale Gasgleichung Naurkonsanen Aufsellung der idealen Gasgleichung Noch einmal in Kürze Aufgaben Kineische Gasheorie Definiion des idealen Gases Grundgleichung der kineischen Gasheorie Geschwindigkeisvereilung Noch einmal in Kürze Aufgaben Erser Haupsaz der Thermodynamik Wärme Erser Haupsaz der Thermodynamik Wärmeübergang Volumenänderungsarbei Gleichvereilungssaz und Wärmekapaziä Adiabaische Zusandsänderungen Noch einmal in Kürze Aufgaben...68

12 X Inhal 14 Zweier Haupsaz der Thermodynamik Formulierungen von Clausius und Kelvin Reversible und irreversible Prozesse Wirkungsgrad reversibler und irreversibler Prozesse Carnoscher Kreisprozess Noch einmal in Kürze Aufgaben Phasenumwandlungen Umwandlungswärmen und -emperauren Verdampfung und Kondensaion p,t-diagramme Zusandsgleichung realer Gase * Verflüssigung von Gasen * Kälemaschinen Noch einmal in Kürze Aufgaben Wärmeüberragung Wärmeleiung Konvekion Wärmesrahlung Wärmeausausch durch Srahlung Noch einmal in Kürze Aufgaben Lösungen Lösungen: Kinemaik der Massenpunke Lösungen: 3 Newonsche Axiome und Kräfe Lösungen: 4 Arbei, Leisung und Energie Lösungen: 5 Impuls- und Drehimpulssaz Lösungen: 6 Sarrer Körper...38 Lösungen: 7 Lineare Schwingungen Lösungen: 8 Srömungslehre Lösungen: 10 Temperaur...40 Lösungen: 11 Ideale Gasgleichung Lösungen: 1 Kineische Gasheorie...407

13 Inhal XI Lösungen: 13 Erser Haupsaz Lösungen: 14 Zweier Haupsaz...41 Lösungen: 15 Phasenumwandlungen Lösungen: 16 Wärmeüberragung...44 Regiser..433

14 1 A Mechanik 1. Einführung 1.1 Einleiung Die Physik beschäfig sich mi der Naur und versuch ihre Geseze zu enräseln. Sie ha die Aufgabe, Eigenschafen und Aufbau der Maerie und die Wechselwirkungen der Grundbauseine zu versehen und daraus alle naürlichen Phänomene und Beobachungen der unbeleben (und eilweise auch beleben) Naur abzuleien. Die Physik is daher die grundlegendse aller Naurwissenschafen. Sie ha sarke Verbindungen zu den anderen Naurwissenschafen und den Ingenieurwissenschafen. Die Physik sell den anderen Wissenschafen aber nich nur grundlegende heoreische Erkennnisse zur Verfügung; sie enwickel auch Mehoden und Arbeisgeräe, die auf fas allen Gebieen der angewanden und reinen Forschung benuz werden. Erinner sei hier nur an die Geräe in der Medizin (vom Röngengerä bis zum Compueromographen) oder an die Archäologie (Lufbildaufnahmen im nich-sichbaren Bereich und Alersbesimmungen mi der Radio-Carbon-Mehode). Der physikalische Forschri vollzieh sich durch eine wechselseiige Befruchung von Theorie und Experimen. Am Anfang sehen in der Regel Beobachungen und Messungen der Experimenalphysiker. Der heoreische Physiker schläg daraufhin ein Modell vor, das auf Axiomen (Posulaen) beruh, die nich bewiesen, also nich mahemaisch aus anderen Gesezen abgeleie werden können, sondern nur von der Erfahrung ausgehen (Indukive Mehode). Wenn das Modell die bereis bekannen experimenellen Befunde richig beschreib, werden weiere, evl. noch nich bekanne Vorhersagen mahemaisch aus dem Modell hergeleie und experimenell überprüf (Dedukive Mehode). Uner Umsänden muss man das Modell dann modifizieren oder erweiern oder besimme Güligkeisgrenzen secken; evl. is das Modell auch völlig zu verwerfen. Die gegenseiige Verknüpfung von Theorie und Experimen is für den ungeheuren Forschri der modernen Wissenschaf veranworlich. Die ers zu Beginn der Neuzei von Galileo Galilei eingeführe Experimenelle Naurwissenschaf verlang die Überprüfung jeder neuen Theorie an der Wirklichkei, am Experimen. Neben der Forderung nach der inneren Widerspruchsfreihei und dem Wunsch, dass die Modelle und Geseze möglichs einfach und schön aussehen sollen, is die Übereinsimmung mi der Realiä das enscheidende Krierium, das über Annahme oder Ablehnung eines Modells enscheide. Diese Arbeisweise war

15 1 Einführung den alen Griechen, die sich inensiv mi den Naurgesezen beschäfig und viele bedeuende Gelehre hervorgebrach haben, völlig fremd. Für sie war die Erforschung der Naur keine Wissenschaf in unserem Sinn, sondern Philosophie; ihre Gedanken und Modelle waren reine Spekulaionen, die zwar auch widerspruchsfrei und möglichs einfach sein sollen, aber nich an der Wirklichkei überprüf wurden. Dies is der Haupgrund dafür, dass die Naurwissenschafen in der Anike und im Mielaler nur relaiv wenige Erfolge aufzuweisen haen. Mehr als jeder andere Wissenschafler arbeie der Physiker quaniaiv, also mi Zahlen und Gleichungen. Man kann durchaus sagen, dass der Physiker eine Beobachung oder eine Informaion ers dann richig versanden ha, wenn er sie in eine Gleichung gefass ha. Die Mahemaik is die Sprache der Physik; ohne sie sind physikalische Theorien nur sehr unvollsändig zu beschreiben. 1. Messung und Maßeinhei Physikalische Erkennnisse und Zusammenhänge werden durch physikalische Größen dargesell. Daruner verseh man messbare Eigenschafen physikalischer Objeke, Zusände oder Vorgänge wie z. B. Die Länge eines Sabes Objek Die Särke eines elekrischen Feldes Zusand Die Dauer einer Schwingung Vorgang In der Mechanik gib es drei unabhängige Grundgrößen: MASSE, LÄNGE, ZEIT. Alle anderen Größen der Mechanik werden aus diesen drei fundamenalen Größen abgeleie. Z. B. Geschwindigkei Länge Zei Beschleunigung Geschwindigkei Zei Kraf Masse Beschleunigung Neben den drei Grundgrößen der Mechanik gib es vier weiere unabhängige Grundgrößen: In der Elekriziäslehre wird eine weiere unabhängige Grundgröße benöig: Die Sromsärke mi der Einhei Ampere. In der Thermodynamik sind die Temperaur mi der Einhei Kelvin oder Grad Celsius und die Soffmenge mi der Einhei mol zwei weiere Grundgrößen. In der Opik komm schließlich die Lichsärke mi der Einhei Candela hinzu. Die Messung einer physikalischen Größe erfolg durch den Vergleich mi einer Einhei. Einheien sind inernaional fesgelege, reproduzierbare Größen, die durch einen Prooyp (wie früher beim Kilogramm) oder durch eine Mess- oder Zählvorschrif definier werden. Einheien brauchen nur für die Grundgrößen fesgeleg werden. Die Einheien der abgeleieen Größen erhäl man dann mi den Definiionsgleichungen dieser (abgeleieen) Größen. Die drei Einheien der Mechanik sind wie folg definier:

16 1. Messung und Maßeinhei 3 Das KILOGRAMM is die Einhei der Masse. Das Kilogramm is die Masse eines Prooypes, der in der Nähe von Paris aufbewahr wird und eine Legierung mi 90% Plain und 10% Iridium is. Neuerdings definier man ein Kilogramm als die Masse von 5, Aomen des Kohlensoff-Isoops 1 6 C mi sechs Proonen und 1 Nukleonen. Das METER is die Einhei der Länge. Das Meer is die Länge der Srecke, die das Lich im Vakuum während der Dauer von 1/ Sekunden zurückleg. 1 Die SEKUNDE is die Einhei der Zei. Die Sekunde is der 1/ , 975 Teil der Dauer des ropischen Jahres Heue definier man die Sekunde lieber durch aomare Eigenschafen. Danach is eine Sekunde das fache der Periodendauer der Srahlung, die beim Übergang zwischen den beiden Hyperfeinsrukurniveaus des Grundzusandes des Isoops Cs aufri. Die Einhei, in der eine physikalische Größe ausgedrück wird, muss of gewechsel werden. Dabei muliplizieren wir die ursprüngliche Größe mi einem Umrechnungsfakor (Quoienen aus zwei Maßeinheien), der gleich eins is. Wir nennen zwei Beispiele: 60 s 5,5 min 5,5 min 1 min 735 W 1, PS 1, PS 1 PS 330 s 88 W 1 Hiermi erhäl die Lichgeschwindigkei im Vakuum einen fesen Wer zugeordne, nämlich m/s.

17 4 Kinemaik der Massenpunke Die Kinemaik is die Lehre von den Bewegungen der Körper (Griechisch: Kinema Bewegung). Dabei werden die Ursachen der Bewegungen, d.h. die beeiligen Kräfe, und die Wirkungen der Bewegungen auf andere Körper nich unersuch. Die Kinemaik is eine rein mahemaische Disziplin und berechne Bahnkurven, Geschwindigkeien und Beschleunigungen. Ruhe und Bewegung sind relaive Begriffe. Für einen im Zug reisenden Beobacher is eine neben ihm sizende Person in Ruhe, für einen draußen am Bahnseig sehenden Beobacher hingegen is diese Person in Bewegung. Deshalb haben die Begriffe Ruhe und Bewegung nur dann einen eindeuigen Sinn, wenn das Bezugssysem angegeben wird, auf das sie sich beziehen. Wenn nichs anderes vereinbar wird, is in der Physik und in der Technik ses ein mi der Erde fes verbundenes Bezugssysem zugrunde geleg..1 Idealisierungen Bei der Berechnung von Bewegungen is es of zulässig und sinnvoll, von der Ausdehnung des Körpers abzusehen und den Körper als Punkmasse auch Massenpunk genann zu idealisieren. Dies ha den Voreil, dass der Körper sich nich drehen kann alle auf den Körper einwirkenden Kräfe in einem Punk angreifen. Obwohl es in Wirklichkei keine Massenpunke gib, is die Näherung verschwindender Ausdehnung in der Theorie of zweckmäßig und erlaub, wenn die Bahnabmessung wesenlich größer is als die Ausdehnung des Körpers (siehe z. B. die Bewegungen der Planeen im Sonnensysem). Darüber hinaus werden wir in Unerkapiel 6.1 sehen, dass sich Punkmassen wie die Schwerpunke ausgedehner Körper bewegen. Danach simmen die für Massenpunke berechneen Bewegungen mi den Schwerpunkbewegungen ausgedehner Körper überein, falls die Massen und die Summe aller Kräfe in beiden Fällen gleich groß sind. Ganz allgemein werden Idealisierungen, die die Wirklichkei nich exak beschreiben, sondern besimme Eigenschafen und Sachverhale bewuss und geziel außer ach lassen, sehr häufig in der Physik mi großem Erfolg vorgenommen. Die Vernachlässigung unerwünscher Nebeneffeke und die Konzenraion auf das Wesenliche sind so ypisch für die Arbeisweise des Physikers, dass wir kurz über Zulässigkei und Nuzen von Idealisierungen bzw. Vernachlässigungen sprechen müssen. Die Zulässigkei von Idealisierungen häng von dem unersuchen Objek und der Aufgabensellung ab. Dazu drei Beispiele: 1) Bei einer fallenden Sahlkugel kann die Lufreibung vernachlässig werden, bei einer fallenden Feder nich. ) Bei der Berechnung der Planeenbahnen können die Planeen als punkförmig angesehen werden, in der Weerkunde nich.

18 . Geschwindigkei 5 3) Im Maschinenbau dürfen die Corioliskräfe der Erdroaion vernachlässig werden, in der Weerkunde aber spielen sie eine ganz enscheidende Rolle. In jedem einzelnen Fall is zu enscheiden, ob die vorgesehenen Idealisierungen zu olerierbaren Ungenauigkeien führen oder nich. Die exake Beschreibung der Vorgänge in Naur und Technik is in nahezu allen Fällen unmöglich. Deshalb müssen Randeffeke außer ach gelassen und dafür kleine evl. sogar vernachlässigbare Ungenauigkeien in Kauf genommen werden. Viele Vernachlässigungen sind sehr gebräuchlich und wei verbreie. Kein Maschinenbauer käme auf die Idee, relaivisische Massenänderungen oder Corioliskräfe der Erdroaion zu berücksichigen. Auch Reibungskräfe werden of nich in Berach gezogen. Zulässige Idealisierungen sind sinnvoll, wenn man dadurch den Rechen- oder Arbeisaufwand gering halen oder den Blick auf das Wesenliche richen kann. Es komm nich darauf an, ob Idealisierungen auch in der Wirklichkei realisier werden können. Sei Galileo Galilei arbeie die Wissenschaf of mi fikiven Modellen, die wenig Bezug zur Wirklichkei haben, aber leich überschaubar sind und sich auf das Wesenliche, auf die zu unersuchende Frage konzenrieren. Wir nehmen im Folgenden an, dass die beracheen Körper punkförmig sind. Punkmassen können sich nich drehen und ihre zeiabhängige Posiion wird durch den sog. Orsvekor r( ) beschrieben, der vom Ursprung des Koordinaensysems zum Or der Punkmasse reich.. Geschwindigkei Wir definieren die Geschwindigkei und berachen zuers den einfachsen Fall, die gleichförmige Bewegung. Daruner verseh man eine geradlinige Bewegung, bei der der Quoien aus zürückgeleger Srecke Δ x und benöiger Zei Δ für alle Zeien Δ gleich groß is. Der konsane Quoien Δx Δ wird Geschwindigkei v der gleichförmigen Bewegung genann: v x : Δ Δ für gleichförmige Bewegungen (. 1) Die Einhei der Geschwindigkei is nach dieser Gl. m/s. Häufig wird auch die Einhei km/h verwende. Zwischen diesen beiden Einheien gib es folgende Umrechnung 3,6 km h 1 m s (. ) Wenn eine gleichförmige Bewegung zur Zei 0 im Punk x ( 0) : x0 beginn, so gil x ( ) x ( 0 ) x ( ) x0 v 0 x ( ) x + v nur für gleichförmige Bewegungen mi v cons (. 3) 0

19 6 Kinemaik der Massenpunke Das sog. Ors-Zei-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung is eine Gerade (siehe Abb.. 1) mi der Seigung v. Als nächses berachen wir ungleichförmige Bewegungen auf einer Geraden. Jez werden in gleich großen Zeiinervallen nich mehr gleich große Srecken zurückgeleg, so dass das Ors-Zei-Diagramm in Abb.. eine gekrümme Kurve is. Man nenn den Quoienen x x1 Δx v m : (. 4) Δ 1 Abb.. 1 Ors-Zei-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung milere Geschwindigkei oder Durchschnisgeschwindigkei in dem Inervall, ]. [ 1 In Physik und Technik und beim Auofahren ineressier man sich aber gewöhnlich nich für die milere, sondern für die momenane Geschwindigkei v (). Vor der Einführung der Radarechnik wurden momenane Geschwindigkeien im Verkehr mi zwei Lichschranken ermiel. Lichschranken messen genaugenommen die milere Geschwindigkei v m. Wenn aber der Absand der Lichschranken so klein is, dass ein Fahrzeug seine Geschwindigkei auf der kurzen Messsrecke kaum ändern kann, dann sag man: Die gemessene Geschwindigkei is in genügend guer Näherung die momenane Geschwindigkei. Diese Aussage is umso genauer, je kleiner der Absand der beiden Lichschranken is. Daraus ergib sich die Definiion der momenanen Geschwindigkei wie folg: Die momenane Geschwindigkei Abb.. Für geh die Seigung der Sekane über v lim Δ 0 Δx Δ (. 5) oder genauer wenn wir die Zei deulich in die Definiion einbeziehen 1 in die Seigung der Tangene. Die Seigung der Tangene is lau Definiion die momenane Geschwindigkei v ( 1 ). x x dx v ( ) : lim ( + Δ ) () () x () Δ 0 Δ d (. 6) is die zeiliche Ableiung des Ores x(). Es is allgemein üblich, die zeiliche Ableiung nich durch einen Srich, sondern durch einen Punk zu kennzeichnen.

20 .3 Einführung in die Inegralrechnung 7 Bisher waren alle Bewegungen geradlinig. Nun wollen wir auch krummlinige Bahnen berachen. Die zeiabhängige Lage des Massenpunkes wird durch den sog. Orsvekor r( ) beschrieben, der vom Ursprung des Koordinaensysems zum Or des Teilchens zeig (siehe weier unen Abb..5 ). Der Orsvekor läss sich mi seinen drei karesischen Koordinaen x( ), y( ), z( ) und den sog. Basisvekoren e x, e y, e z, die die Länge Eins haben und auf den drei Koordinaenachsen liegen, als eine Linearkombinaion schreiben: r() x() e + y() e + z() e x y z x () y () z () (. 7) Bemerkung: Die Orsvekoren dürfen im Gegensaz zu den Vekoren in der Mahemaik nich parallel verschoben werden. Die Orsvekoren sind orsfes; ihr Anfang lieg immer im Koordinaenursprung. (Nach einer Parallelverschiebung würde das Ende der Orsvekoren nich mehr auf den Or der Teilchen zeigen.) Vekoren werden komponenenweise differenzier und inegrier. Daher ergib sich der Geschwindigkeisvekor v( ) durch die zeiliche Ableiung der drei Koordinaen: vx() x () x ( +Δ) x () 1 v() vy () y() lim y( ) y() + Δ Δ 0 Δ v () z() z( ) z() z +Δ (. 8).3 Einführung in die Inegralrechnung Nach Unerkapiel. ergib sich die momenane Geschwindigkei v() durch Ableien des Ores x() nach der Zei. Wir wollen nun die umgekehre Aufgabe lösen: v() is gegeben z. B. durch den Fahrenschreiber eines LKWs und x() is gesuch. x() is die Sammfunkion von v(). Wir fangen wie üblich mi dem einfachsen Fall an, mi der gleichförmigen Bewegung, für die v () cons : v0 gil. Im Geschwindigkeis-Zei-Diagramm is v() eine Gerade parallel zur Abszisse. Die Inegraion is hier besonders einfach: Nach Gl. (. 3) wird in dem Zeiinervall [ 1, ], dessen unere Grenze 1 fes und dessen obere Grenze variabel is, folgender Weg zurückgeleg: x () x ( ) v ( ) Der Zuwachs x ) x( ) der Samm- ( 1 Abb..3 1 Die graue Fläche im Geschwindigkeis- Zei-Diagramm is gleich dem zurückgelegen Weg.

21 8 Kinemaik der Massenpunke funkionen is gleich der Fläche uner der Kurve v ( ) v 0 im Inervall [ 1, ]. Hier deue sich schon der Zusammenhang zwischen Fläche und Inegral an. Der Zuwachs is die graue Fläche in Abb Mi c: x( 1) v0 1 folg: x () v0 + c für v () v0 cons (.3 1) Dami is die Sammfunkion x() einer konsanen Geschwindigkei v () v 0 besimm. Als nächses unersuchen wir eine beliebige ungleichförmige Bewegung auf der x-achse. Da die Geschwindigkei v() nich konsan is, kann der in dem Zeiinervall [ 1, ] zurückgelege Weg nich so ohne weieres als Produk v( ) ( 1) geschrieben werden zumal man überhaup nich wüsse, welche Zei in v einzusezen wäre. Wir müssen deshalb anders vorgehen und davon ausgehen, dass die Geschwindigkei in genügend kleinen Zeiinervallen Δ nahezu konsan is. Der in dem kleinen Zeiinervall [ ˆ, ˆ + Δ ] zurückgelege Weg is daher näherungsweise Δx x( + Δ) x() v( ) Δ mi beliebige Zei aus [, ˆ + Δ ] ˆ. Welche Zei man aus dem Zeiinervall wähl, is nich enscheidend, da sich v ( ) in dem sehr kleinen Zeibereich Δ kaum änder. Mi dieser Überlegung können wir nun den in der Zei [ 1, ] zurückgelegen Weg berechnen: Wir unereilen das Zeiinervall [ 1, ] in n gleich große Teilinervalle der Breie Δ 1 n (.3 ) und berechnen die Geschwindigkeien v[ 1 + ( i 1) Δ ] zu Beginn 1 der Teilinervalle ( i 1,... n). Dann is der im Gesaminervall zurückgelege Weg gleich der Summe der in den Teilinervallen zurückgelegen Wege: n [ ( Δ ) ( 1 Δ )] x () x ( ) x + i x + ( i ) i 1 n ( 1 1 ) v + ( i )Δ Δ (.3 3) i 1 mi Δ ( 1 )/ n. (Der Leser kann sich am besen von der Richigkei dieser Gl. überzeugen, indem er i 1, danach i usw. einsez und die einzelnen Summanden so inerpreier.) Die leze Summe in Gl. (.3 3), die wir Zwischensumme nennen wollen, is gleich der grauen Fläche uner der Sufenfunkion in Abb Genauso gu häe man die Geschwindigkeien am Ende der Teilinervalle oder irgendwo innerhalb der Teilinervalle berechnen können, weil die n Teilinervalle sehr klein sind und sich die Geschwindigkei daher innerhalb eines Teilinervalles kaum änder.

22 .3 Einführung in die Inegralrechnung 9 Abb..3 Der gesame zurückgelege Weg is die Summe der in den Teilinervallen zurückgelegen Teilwege. Für kleine Δ is jeder Teilweg ungefähr gleich der Geschwindigkei am Anfang des Teilweges mal Δ. Wir lassen nun die Zahl n der Teilinervalle größer und größer werden. Dabei wird die Breie Δ ( 1 )/ n der Teilinervalle immer kleiner. Je schmaler Δ wird, deso weniger änder sich die Geschwindigkei v() innerhalb der Teilsrecken und deso genauer beschreib die Zwischensumme den zurückgelegen Weg Δ x x() x( 1 ). Für n sreb die Zwischensumme gegen einen Grenzwer, den man das Inegral der Funkion v() nenn: 1 1 x ( ) x ( 1) lim v 1 + ( i 1) : v ( ) d n n n i n 1 1 (.3 4) Das Inegral is einerseis gleich der Fläche zwischen der Funkion v() und der Abszisse im Inervall 1, und andererseis gleich dem Zuwachs x ( ) x ( 1 ) der Sammfunkion. Wenn wir x( 1 ) in Gl. (.3 4) auf die reche Seie bringen, erhalen wir den Or des Teilchens zur Zei bei gegebener Geschwindigkei v(): x () x ( ) + v ( ) d 1 1 (.3 5) x() is die Sammfunkion des sog. Inegranden v(). In Verallgemeinerung dieser Aussagen auf andere Funkionen erhalen wir die folgenden Inegraleigenschafen, die von zenraler Bedeuung für die Mahemaik und Physik sind: Das Inegral n 1 i 1 1 f( ) d : lim f + ( i 1) n n n 1 1

23 10 Kinemaik der Massenpunke is gleich der Fläche, die von der Funkion f () und der Abszisse im Inervall [ 1, ] eingeschlossen wird. Das Inegral über eine Funkion f () is gleich der Änderung F () F ( ) f( ) d 1 1 der Sammfunkion des Inegranden im Inegraionsbereich. Daraus folg insbesondere (.3 6) d d 0 d f (') d' [ F() F(0) ] f() d.4 Beschleunigung Im Gegensaz zum alläglichen Sprachgebrauch werden in Physik und Technik nich nur Bewegungen mi zunehmendem Geschwindigkeisberag v, sondern auch solche mi abnehmendem Geschwindigkeisberag beschleunig genann. Darüber hinaus werden sogar Bewegungen mi konsanem Berag v, aber veränderlicher Richung von v beschleunig genann. Ein Beispiel dafür is die gleichmäßige Kreisbewegung: Nach dem zweien Newonschen Axiom F ma is die Beschleunigung bei der gleichförmigen Kreisbewegung gleich der Zenripealkraf dividier durch die Masse. Auch jez berachen wir zuers wieder den einfachsen Fall, die geradlinige Bewegung, bei der wir skalar rechnen dürfen. Im Folgenden werden fas dieselben Überlegungen angesell wie bei der Definiion der Geschwindigkei. Der wesenliche Unerschied is nur der, dass wir jez nich mehr im Ors-Zei-Diagramm arbeien, sondern im Geschwindigkeis-Zei- Diagramm. Vom Auofahren is bekann, dass Beschleunigung als Geschwindigkeisänderung pro Zei definier is. Daher definieren wir die Seigung der Sekane in Abb..4 1 Abb..4 1 Die Seigungen der Sekane und Tangene im Geschwindigkeis-Zei-Diagramm sind lau Definiion die milere und die momenane Beschleunigung. am : v v 1 1 Δv Δ (.4 1) als milere Beschleunigung oder Durchschnisbeschleunigung im Inervall [, 1]. Die Einhei der Beschleunigung is danach m/s.

24 .4 Beschleunigung 11 Bei der Definiion der momenanen Beschleunigung a () zur Zei gehen wir genauso vor wie bei der Definiion der momenanen Geschwindigkei: Danach is die momenane Beschleunigung die milere Beschleunigung im Grenzübergang Δ 0: v v a ( ) : lim ( + Δ ) ( ) Δ 0 Δ (.4 ) Die Beschleunigung is die einmalige Ableiung der Geschwindigkei nach der Zei oder die zweimalige Ableiung des Ores nach der Zei. dv() d x() a (): x () d d (.4 3) Ein besonders wichiger Spezialfall is die gleichförmig oder gleichmäßig beschleunige Bewegung; hier is die Beschleunigung konsan. Der reibungsfreie Fall im homogenen Schwerefeld is die bekannese gleichförmig beschleunige Bewegung. Wegen a () v ( ) is die Geschwindigkei die Sammfunkion der Beschleunigung. Die Geschwindigkei ergib sich nach Gl. (.3 6) durch Inegraion über die konsane Beschleunigung: v () v ad' a 0 0 v () v0 + a nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen (.4 4) Eine weiere Inegraion liefer den Or des Teilchens x () x v ( ) d v a x () x + v a nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen (.4 5) Bemerkung: Immer wieder schreiben Sudenen für die Beschleunigung die Gl. a v/ auf. Man kann gar nich of genug beonen, dass diese einfache Beziehung nach Gl. (.4 4) nur für gleichförmig beschleunige Bewegungen und nur für v 0 0 gil. Für a () cons gil nach Gl. (.4 3) a () v ( ) und nich a v/. Schnellkäfer erreichen im Tierreich die größe Beschleunigung: Beim Hochspringen können sie mi a 400 g beschleunigen. Die größen Beschleunigungen in der Naur erreichen einige Pilzaren, die ihre Sporen mi einer 5 Beschleunigung von bis zu 1,8 10 g (!) abschießen. Jepiloen müssen nach der Auslösung des Schleudersizes sehr kurzfrisig eine Beschleunigung von 7 g aushalen. Dabei wird die Wirbelsäule so sark gesauch, dass die Piloen ewa 0,5 cm kleiner werden. Nach zwei Noaussiegen im Schleudersiz werden Bundeswehrpiloen in den vorzeiigen Ruhesand versez.

25 1 Kinemaik der Massenpunke Tabelle.4 1 Die für den Menschen maximal errägliche Beschleunigung häng von der Körperhalung und von der Dauer der Beschleunigung ab und is wichig für die bemanne Raumfahr, Miliärjes und Kraffahrzeuge. Bei Crash-Versuchen mi Dummies darf die kurzzeiige Kopfbeschleunigung höchsens 80 g und die Brusbeschleunigung höchsens 60 g beragen. Halung Errägliche Beschleunigung für 5 sec. Dauer Errägliche Beschleunigung in sizender Halung Kopf nach unen 4 g 1 sec 13 g sizende Halung 7 g 5 sec 7 g Bauchlage 13 g 10 sec 6 g Rückenlage 15 g 60 sec 4 g Beispiel.4 1 Bremsweg. Ein Auo fähr mi der Geschwindigkei v 0 und mach dann eine Vollbremsung mi konsaner Beschleunigung a 1, 05 g bis zum Sillsand. Berechne den Bremsweg s. Lösung: Die Gln. (.4 4) und (.4 5) lauen für x 0 0 : a v () v0 + a x () v0 + Die Zei für die Abbremsung sei T. Am Ende des Bremsvorganges is v(t) 0 und x(t) s. vt ( ) 0 v0 + at Wir lösen die Gl. (.4 6) nach T auf und sezen T in Gl. (.4 7) ein: 0 v0 a x( T) s v0 T + T (.4 6/7) v a s s a für a cons und v Ende 0 (.4 8/9) Konrolle und Veranschaulichung: Die Einheien sind richig. Für v 0 100km/h 7,8 m/s ergib sich der realisische Bremsweg s 37,5 m. s v 0. In der Fahrschule lern man, dass der Bremsweg proporional is zum Geschwindigkeisquadra. Beispiel.4 Konsane Verzögerung. Ein PKW verringer durch gleichmäßiges Bremsen seine Geschwindigkei von v 0 7 km/ h auf v 1 36 km/ h und leg dabei die Srecke s 100 m zurück. a) Wie groß is die (negaive) Beschleunigung a? b) Wie groß is die Bremszei T? Lösung: a) Mi x 0 0 lauen die Gln. (.4 4) und (.4 5) für alle Zeien T: v () v0 + a x () v0 + a

26 .4 Beschleunigung 13 Wir lösen die erse Gl. nach auf und sezen in die zweie Gl. ein: [ v v ] x v v () () v () 0 + a a 1 x( ) [ v ( ) v ] nur für a cons (.4 10) a Für T erhalen wir mi x(t) s 100 m v(t) v 1 10 m/s v 0 0 m/s a ( v v ) ,5 m s s b) T m m v1 v s s a 1,5 m / s 6,6 s Bemerkung: Folgendermaßen häe man die ganze Aufgabe einfacher und schneller rechnen können: Die milere Geschwindigkei während des Abbremsens beräg v m 15 m/s. Die Bremszei is daher T xt ( ) 100 m v 15 m / s m 6666, s a vt ( ) v 0,, g T 15 m 0153 s Beispiel.4 3 Gefährliche Geschwindigkeisüberschreiung Ein Auo fähr in der Sad mi v 1 50 km/ h. Plözlich läuf ein Kind auf die Sraße. Nach der Reakionszei T R 1 s mach der Fahrer eine Vollbremsung mi a g und komm im lezen Augenblick unmielbar vor dem Kind zum Sehen. Mi welcher Endgeschwindigkei v E häe er das Kind angefahren, wenn er mi der Geschwindigkei v 60 km/ h gefähren wäre und wenn das Kind in gleicher Enfernung wie oben auf die Sraße gelaufen wäre? Lösung: Für den Absand s, in dem das Kind vor dem Auo auf die Sraße läuf, gelen folgende zwei Gln.: und s v s v T 1 1 R mi a Gl. (.4 10) v T R 3 E v v + a Gleichsezen dieser beiden Gln. liefer a g v E a ( v v ) T + v v 1 R 1 km 4,5 h Konrolle und Veranschaulichung: 1) v E seig mi zunehmender Reakionszei T R, weil der nach der Schrecksekunde noch zur Verfügung sehende Bremsweg mi wachsender Reakionszei abnimm. ) Für T R s/v folg erwarungsgemäß v E v.

27 14 Kinemaik der Massenpunke.5 Kreisbewegung Die Kreisbewegung is eine besonders wichige Bewegung: Maschineneile, die um eine raumfese Achse roieren, führen solche Bewegungen aus. Ein Massenpunk m läuf in der x, y-ebene auf einer Kreisbahn mi Radius r im posiiven mahemaischen Sinn, d. h. im Gegenuhrzeigersinn. Wir berachen zuers wieder den einfachsen Fall, eine gleichförmige Kreisbewegung. Hier werden in gleichen Zeiabsänden Δ gleiche Winkel Δϕ übersrichen. Der konsane Quoien Δ ϕ/ Δ wird in Analogie zur Geschwindigkei v Δx / Δ als Winkelgeschwindigkei ω bezeichne: Abb..5 1 Kreisbewegung in der x,y-ebene. ω ϕ : Δ Δ ω ha die Einhei 1 für gleichförmige Kreisbewegungen s und is gleich π mal Drehzahl. Mi ϕ ( 0) : ϕ 0 gil (.5 1) ω ϕ() ϕ( 0) ϕ() ϕ 0 0 ϕ() ϕ 0 + ω für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 ) (Beache die Übereinsimmung mi Gl. (. 3).) Der vom Fahrsrahl übersrichene Winkel ϕ( ) wächs linear in der Zei. Für ungleichförmige Kreisbewegungen ( Δϕ / Δ cons ) gib die Gl. ϕ ωm : Δ Δ (.5 3) die milere Winkelgeschwindigkei im Inervall Δ an. Die momenane Winkelgeschwindigkei ω( ) zur Zei is definier als ϕ ϕ ω( ) : lim ( + Δ ) ( ) ϕ () Δ 0 Δ (.5 4) Bemerkenswer und wichig is die Fessellung, dass die milere und die momenane Winkelgeschwindigkei in völlig gleicher Weise definier werden wie die milere Geschwindigkei v m und die momenane Geschwindigkei v(). (Vergleiche die Gln. (. 4 und 6) mi den Gln. (.5 3 und 4).) Dies zeig sehr deulich, dass es in der Physik Gedanken, Überlegungen und Rechnungen gib, die immer wieder in ähnlicher Form aufreen. Die zweie Ableiung von ϕ( ) ergib die Winkelbeschleunigung α() ω () ϕ().

28 Die momenane Bahn- oder Umfangsgeschwindigkei des Teilchens beräg.5 Kreisbewegung 15 Δs r Δϕ v( ) lim lim r ω( ) Δ 0 Δ Δ 0 Δ (.5 5) Dabei folg die Gl. für den Kreisbogen Δs r Δϕ mi dem Dreisaz aus der Gl. für den Kreisumfang U r π. Nach Gl. (.5 5) muss ω unbeding im Bogenmaß und nich im Winkelmaß angegeben werden; denn nur im Bogenmaß is Δs rδϕ. Für gleichförmige und auch für ungleichförmige Kreisbewegungen gil also: v () rω() (.5 6) Nachdem die Winkelgeschwindigkei ω( ) und Bahngeschwindigkei v () als Skalare definier bzw. berechne wurden, müssen beide Größen noch zu Vekoren erweier werden. Der Berag von ω( ) wird durch die Gl. (.5 4) gegeben. Die Richung von ω() wird wie folg definier: ω( ) seh senkrech auf der Bahnebene und weis in die Richung, in die sich ein Korkenzieher beweg, der im Umlaufsinn der Masse gedreh wird. ω() is also lau Definiion parallel zur Drehachse. Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung is nur die Richung der Winkelgeschwindigkei konsan. Abb..5 Die Winkelgeschwindigkei ω seh senkrech auf der Kreisbahn und fäll daher mi der Drehachse zusammen. Der Geschwindigkeisvekor v () is die Zeiableiung des Orsvekors r (). Der Orsvekor r() geh vom Koordinaenursprung zum Or des Teilchens und laue nach Abb..5 : r( ) x () y () z () r cos ϕ( ) rsin ϕ( ) 0 (.5 7) sin ϕ( ) sin ϕ( ) v() r( ) r () cos ( ) r ( ) cos ( ) ϕ ϕ ω ϕ 0 0 (.5 8) Dabei liefere die Keenregel die innere Ableiung ϕ () ω(). Konrolle und Veranschaulichung: Die Einheien sind richig.

29 16 Kinemaik der Massenpunke v() ha in Übereinsimmung mi Gl. (.5 5) die Länge v() rω() sin ϕ () + cos ϕ () r ω() v() lieg in der x, y-ebene und seh senkrech auf r(), da das Skalarproduk r() v() 0 is. Behaupung: v() läss sich als Vekorproduk schreiben v ( ) ω( ) r() (.5 9) Beweis: In Koordinaendarsellung laue das Vekorproduk von a, b a b a a a x y z b x a b by a b bz a b a b a b a b y z z y z x x z x y y x Wir berechnen die reche Seie der Gl. (.5 9): 0 rcos ϕ( ) ω( ) rsin ϕ( ) ω () r() 0 rsin () () rcos () ϕ ω ϕ v() ω() 0 0 Gl. (.5 8) Die zweie Ableiung des Orsvekors r() nach der Zei liefer die Beschleunigung a( ) sin ϕ( ) r ω ( ) cos ϕ( ) 0 cos ϕ( ) r ω ( ) sin ϕ( ) 0 ω ) v( ) ω( ) ( ω ( ) r( ) (.5 10) Der erse Term is parallel zur Geschwindigkei v () und beschreib die Beschleunigung, die bei einer Änderung von ω in angenialer Richung aufri. Beim Berachen einer Kreisbahn, deren Winkelgeschwindigkei sich plözlich sark änder, wird dieser Term versändlich. Er ha den Berag r ω () und verschwinde bei gleichförmigen Kreisbahnen. Der zweie Term ω () r () is die sog. Zenripealbeschleunigung. Sie is proporional zum Radius r und proporional zu ω und weis zum Kreismielpunk. Für ω 0 folg: a() ω r() nur für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 11) Auf ein Teilchen, das eine gleichförmige Kreisbewegung mach, wirk die Zenripealkraf ma mω r

30 .5 Kreisbewegung 17 Bei den Planeen, deren Ellipsenbahnen nur wenig von Kreisbahnen abweichen, is die Zenripealkraf die Anziehungskraf der Sonne. Bei einem Teilchen, das von einem Faden gehalen auf einer Kreisbahn umläuf, wird die Zenripealkraf durch den Faden aufgebrach. Der Berag der Beschleunigung gleichförmiger Kreisbewegungen is ω v/ r v a ω r ω v nur für gleichförmige Kreisbewegungen (.5 1) r Bemerkungen: 1) Die Gln. (.5 1) gelen auch für ungleichförmige Kreisbewegungen, beschreiben dann aber nur die Komponene der Beschleunigung in radialer Richung, also nur den Berag der Zenripealbeschleunigung. ) Der Leser muss sich die drei wichigen Gln. (.5 1) nich unbeding merken. Er muss nur wissen, dass sich a in einfacher Form durch Muliplikaion und Division der drei Variablen ω, v und r ergib und dass a die Einhei ms ha. Dann erhäl man zwangsläufig die Gln. (.5 1). Andere einfache Gln. für a können bei Beachung der Einhei nich mi ω, v und r aufgesell werden. Beispiel.5 1 Kreisender Saelli Ein Saelli kreis in 00 km Höhe einmal in 88,45 min um die Erde. Der Erdradius beräg 6380 km. Wie groß sind ω, v, a? Lösung: π 1 ω 1, s 88,45 60 s 3 1 v 3 6 ω r 1, ,58 10 m / s 7790 m / s 8045 km/h a v / r 9,m/s Erdbeschleunigung in 00 km Höhe Bemerkung: Nach dem Graviaionsgesez (siehe Aufgabe 4 16) is die Erdanziehungskraf auf einen Körper im Absand r zum Erdmielpunk proporional zu 1 /r. Daher beräg die Erdbeschleunigung in 00 km Höhe g m 9,81 s m 9, s Hiermi beenden wir die Kinemaik, die eine rein mahemaische Disziplin is und daher ohne die physikalischen Größen Masse und Kraf auskomm. Ein kleiner Rückblick sei gesae: Wir haben die drei kinemaischen Funkionen x(), v(), a() eingeführ und wissen nun, dass sie durch Differenzieren und Inegrieren ineinander umgerechne werden können. Außerdem wurde die Kreisbewegung von Massenpunken behandel. Die Bedeuung von Ableiungen und Inegralen wurde an Hand physikalischer Probleme ausführlich besprochen. Weiere mahemaische Hilfsmiel und mahemaische Theorien werden im Buch nich mehr erläuer, so dass wir uns ab jez auf die Physik konzenrieren können.