Gymnasium / Realschule. Lineare Funktionen und Funktionenscharen. Klassen 8 bis Lösungen - Q x y folgt

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1 Gynasiu / Realschule Lineare Funkionen und Funkionenscharen Klassen 8 bis - Lösunen -. a) Ursprunseraden verlaufen durch den Punk O 0 0 ( des Koordinaensyses. Die Geradenleichun ha die alleeine For y < b) Die Seiun einer Geraden is ein Maß für die Neiun (Seilhei) der Geraden een die - Achse des KOS. Der Forelbuchsabe is eisens. Das Maß der Seiun kann durch zwei Punke der Geraden besi werden: z.b. aus ( der Quoien P y und ( y, y Χy < <, Χ Q y fol Seiunsdreieck: Ein rechwinklies Dreieck, dessen Hypoenuse auf der Geraden lie, und dessen Kaheen parallel zu den Koordinaenachsen verlaufen. c) Sei eine Gerade an (von links nach rechs berache) so is sie posiiv: = 0 Fäll die Gerade, so is sie neaiv: ; 0 d) Geradenbüschel Mehrere Geraden, die einen eeinsaen Schnipunk (Büschelpunk) haben. Jede dieser Geraden ha eine andere Seiun. Parallelenschar Mehrere Geraden i leicher Seiun. Jede dieser Geraden ha einen anderen y-achsenschnipunk. GM_LU0 (7)

2 e) Geradenleichunen der For y < sind keine Ursprunseraden. Sie schneiden die y- Achse i Absand vo Ursprun. f) Gleichunen der For y < oder y < sind Funkionsleichunen. Die Punke der jeweilien Gleichun lieen ier auf einer Geraden. Die durch die Gleichunen beschriebenen Funkionen heißen lineare Funkionen. ) Die Geradenleichun y < heiß Noralfor. Deeenüber nenn an die Gleichun a by c < 0 alleeine For der Geradenleichun. Man nenn die Schreibweisen auch y < eplizie For, a by c 0 < iplizie For; Voraussezun a,b,c ; a,b 0. a) y < b) < y <, <, c) y <,, <,, d),, y < 0 e) <, y < 0 <, 6 f) y, < 0 < GM_LU0 (7)

3 . Einsezen der Punke in die jeweilie Geradenleichun. a) : y 0, < i P, ; P, 0,6,,(,, < 0, 0, 0 P b) : y 0, 0,6,,, < 0, < i A 6 ( ; B,, ( P 0 < 0, 6 < 0, 0 A,,, < 0 B 0 < 0. a) A,, ( :, <, <,, y <,, b) B, 0(, : 0 <,, < 0 y < 0 c) C, :, < <, y <,. Ursprunserade: y < a) A 0,,7 (, A 0,6 0, ( :,7 < 0, < 9 A : y < 9 A : y < 0,9 0, < 0,6 < 0,9 B 0,8, B 0, 8 b) 0,8 < 0,,6 < 0, < < B : y < B : y < c) C 6 (, C, 6, ( < 6 < 0, C : y < 0, 6, <, 6 < 0, C : y < 0, GM_LU0 (7)

4 6. Funkion und Ukehrfunkion : y <, verausche y <, <,, : y :, y < 0 y <, verausche y <,y, : y < 7. Für die Seiunen von senkrech aufeinander sehenden Geraden il:, <, < Gerade : y, 0, < 0 y < 0, die zu senkreche Gerade: h : y <, 0, Gerade : 6 0y < 0 y <, die zu senkreche Gerade: h : y < GM_LU0 (7)

5 8. a) y 0, < b) y <, ( 6 c) y <,, 6, y <,, :, y <, 0, Schnipunke i der y-achse ( < 0): y <, 0,7,, y < 0 y < 0,7,, y < 0,7,, Sy 0 0,( Sy 0 ( Sy 0,,( Schnipunke i der - Achse ( y < 0): 0 <, 0, <, 0, 0 <, < 0 < 0,7,, <, ( S 0( S 0( S 0,0 9. a) Geeben:, < und S,, 7( Lösunswe : Lösunswe : Punk-Seiunsfor Geradenleichun in der Noralfor y <, y y < < und S 7( (, y <,,,, 7 y <,, 7,, einsezen:, < und S 7(, 7<,, <, 9,,, einsezen: auf die Noralfor brinen: <, und <, 9, einsezen in: y <, 7,, 7 y <,, 9, y < y <,, 9, GM_LU0 (7)

6 b) Geeben: <,, und A, 6 Einsezen der eebenen Were in die Noralfor: y < <,,, 6 <, 9, <, 7, <, 6 <, 6 <, 8 <, 8 und <, einsezen in die Noralfor: y < y <, 8,, 0. a) Lösunswe für A 0, ( und B, ( Seiun der Geraden besien und diesen Wer zusaen i den Koordinaen einer der beiden Punke einsezen in die Noralfor. Dadurch erhäl an zunächs den y-achsenabschni. Anschließend und in die Noralfor der Geradenleichun einsezen. Seiun der Geraden: yb, ya,, ( 7 ya, yb,,, 7 < < < oder < < <,,, 0,, 0,,,, B A A B Noralfor der Geradenleichun: y < < und die Koordinaen von A 0, ( einsezen, < 0 <, Gleichun der Geraden: y <, y <, GM_LU0 6 (7)

7 b) Lösunswe für P, 6, 7( und Q,, ( Seiun der Geraden besien und diesen Wer zusaen i den Koordinaen einer der beiden Punke einsezen in die Punk-Seiunsfor. Seiun der Geraden: yq, yp,,, 7( 9, yp, yq, 7,,, 9, < < < oder < < <,,,, 6,,, 6,, <,,9 Q P P Q Punk-Seiunsfor: y <, y,9 <, und die Koordinaen von Q,( ( y <,,9,,, y <,,9,,9, y <,,9, 8,, einsezen c) Lösunswe für S, ( und T 8,, ( Die Koordinaen beider Punke einsezen in die Zwei-Punkefor: y, y y, y <,, S T S S T S y,,,,,, <,, 8,, y,, <, (,, y < 0,7,, y < 0,7, 7, (. Die Gerade ha die Seiun Die Gerade h ha die Seiun y, y 0,, < < <, 0, 0 0 < 0, Die Seiun und die Koordinaen von B einsezen in: y < 0< 0, 0 <, Die Gerade ha die Gleichun: y, y,,,,, < < <, 8,,, 0, ( 9 <,, Die Seiun und die Koordinaen von P einsezen in: y < <,,, 0, < 0, Die Gerade h ha die Gleichun: : y < 0,, h : y <,, 0, GM_LU0 7 (7)

8 Schnipunk der Geraden i h: 0,, <,, 0,,9 <, :,9 < 7, einsezen in: y < 0,, S 7,, ( y < 0, 7,, y <, Schnipunke der Geraden h i den Koordinaenachsen: Weil der y - Achsenabschni den Wer +0, ha, is der Schnipunk von h i der y - Achse: y S 0 0, Der Schnipunk von h i der - Achse is nun: 0 <,, 0, < 6,8 S 6,8 0. a) Berechnun des Schnipunkes von f:y <, 0, i :y <,, :, 0, <,,, <, 6 < < einsezen in y <, 0, : y <, 0, y <, S, Zeichnun zu Abschni a) b) Die Gerade h ha die Seiun: h <, <, < ;, Soi: h: y < In die Gerade : y... <,,, < Soi: : y <, <, die Koordinaen von P, (, einsezen: GM_LU0 8 (7)

9 . a) Seiunsdreiecke einezeichne. Zeichnun zu Abschni a) Die Geradenleichunen lauen: :y <,, h:y < b) Weil die Gerade s parallel zu y <, 0, 6 verläuf, ha sie die leiche Seiun, nälich, 0,. Gerade s: y <, 0, Koord. von R,, ( einsezen:, <, 0,, <,,6 Die Gerade s ha die Gleichun: y <, 0,,,6 c) Die Gerade verläuf durch die beiden Punke S,, ( und T 0 (. Die Seiun der Geraden is: y, y 0,, ( < < < < 0,,,, Die Seiun und die Koordinaen von T einsezen in: y < 0< 0, <,, Die Gerade ha die Gleichun: y < 0,,,. a) G f : y < G : y <, y < erib y <, 0( <, 8. Der y-wer von P is i, 7, rößer als, 8 ; soi lie P oberhalb von G f b) Den -Wer von P, 0, 7,( einesez in GM_LU0 9 (7)

10 . Geeben is die Gerade i y,, < 0 in die Noralfor brinen. y <,, Schnipunk i der - Achse ( y < 0): 0<,, < < y < 0 S 0, 7 7 Seiun der Geraden h besien: <, h h <, <,,, h < 7 < und die Koord. von h 7 y <, y y <, h: y <, S 0 7 einsezen in die Punk-Seiunsfor: 6. Schnipunke der Geraden :y <, S 0 i der - Achse; y 0( i der y- Achse; 0( < : X < : Sy 0 ( Der Flächeninhal des rechwinklien Dreiecks is soi: A A Χ Χ < < 0 FE GM_LU0 0 (7)

11 7. a) Koordinaen des Punkes P 8 ( einsezen in die eeben Geradenleichun y <,, 8 <,, 8 < 8 (wahr) b) Für die Seiunen der senkrech aufeinander sehenden Geraden il: <, f f f <, <,, <, 0, f <, 0, und die Koordinaen von P einsezen in die Punk-Seiunsfor: y <, y y <, 0,, 8 f : y <, 0, 9,6 c) Schnipunk R: y <, 0, 9,6 <, R R y <, 0,, 9,6 R y < 0 R, 0 Schnipunk S: y <,, <, S S y <,,, S y <,, S,,, Dreiecksfläche: Grundlinie des Dreiecks is die Läne [RS]. Die Dreieckshöhe h is die Sue aus de -Wer des Punkes P und de Absand der Srecke [RS] von der y- Achse; soi sind [RS] =, LE und h = LE A A A Χ PRS Χ PRS Χ PRS < [RS]h <, LE LE < 6, FE GM_LU0 (7)

12 8. a) Schnipunk S der Geraden : y <, i, <, 8, < 9 < y <, y < S n: y <, 8: b) Der Punk A ha die - Koordinae A <, der Punk B ha die - Koordinae B <. Daraus fol: [AB] < B, A <. Der Flächeninhal des Dreiecks ABS is leich A ABh ΧABS < < A ΧABS <, FE 9. a) Geeben: :y <, () Spieelun an der -Achse: y <, () Spieelun an der y-achse: y < () Spieelun a Ursprun: y <,, () b) Das Viereck is eine Raue, bzw. es sez sich aus zwei leich roßen Dreiecken zusaen: A Raue < h < 9 < 7 c GM_LU0 (7)

13 0. a) Mene aller Punke S, 0, ( : y <, 0, Die Orslinie aller Punke S is eine Gerade (Seiun <, 0,, y-achsenabschni < ). b) Die Punke S werden i de θ, Vekor v <, parallel verschoben auf die Bildpunke T: τττθ τττθ θ OT < OS v τττθ, 0, OT <, 0,, 0, τττθ, OT <, 0,, T,, 0,,. Geeben is die Parallelenschar (a): y <, a ( i a a) Gleichun der Scharparallelen, die durch den Punk A 6,( Einsezen der Koordinaen von A in die eebene Gleichun:,<, 6, a a <, 9, a <,, einsezen in y <, a y <,,, y < 9,, eh. b) a < a <, 8 : y <, : y < 6 Der y-achsenabschni der Mielparallelen lie enau in der Mie zwischen, und 6 der y-achse. Die Mielparallele schneide die y-achse soi in. : y < a<, GM_LU0 (7)

14 . Geeben is die Gleichun einer Parallelenschar (): y <,. a) :, y < 0, y <,, :, y < () Die Gerade ehör nich zur Parallelenschar, weil die Seiun nich, is. b) Einsezen der eeben Punke A, ( und B, 8( der Parallelenschar y <, : <,, <, c) Geradenleichun Punk-Seiunsfor:, 8<,, <,, in die Gleichun PP durch die Punke P, ( und P ( y <, y i <, y, y y <, y i P,, P,, y, y,, y < ( PP 9 8 : y <,, PP (), da, 7 7 d) Für die Seiunen senkrech aufeinander sehender Geraden il: <, h(): y <,.. a) Geeben is das Geradenbüschel () : y <. Uforen in die Punk-Seiunsfor: y <, 0( Alle Geraden laufen also durch den (Büschel-) Punk Q 0 ( b) Geebene Punke einsezen in y < A 0, (: < 0, < 0 B (, : <, <, C,, :, <, <, GM_LU0 (7)

15 c) Geeben sind die Punke U ( und V, 0(. Die Gerade UV is dann eine Büschelerade, wenn der Büschelpunk Q 0 ( auf UV lie. Punk-Seiunsfor der Geraden UV : y <, y i <, y y i U, V 0, y, y y, y <,, y < 0,, (,, UV : y < Q 0 einsezen < 0 (wahr) d) Geeben is der Büschelpunk R ( eines zweien Geradenbüschels h(). Seine Gleichun kann i der Punk-Seiunsfor eriel werden: y <, ( y R ( einsezen h(): y <, e) Diejenie Gerade, die beiden Büscheln anehör, verläuf durch die Büschelpunke Q und R. Gerade QR besien: Zwei-Punkefor y, y y, y <,, y, y <, nach y auflösen y y Q 0 und R einsezen, y <,, 0(, 0 y < f) (): y <, h() : y <, y < GM_LU0 (7)

16 . Das Geradenbüschel () i y, < 0 und die Parallelenschar () i y,, < 0 sind eeben. a) y, < 0 y <,, y <,, B, b) c) Koordinaen des Urspruns 0< 0,, O 0 0 einsezen in <,, einsezen in y <,, y <,,,, y <,, y <,, : d) Die esuche Gerade aus de Geradenbüschel uss dieselbe Seiun wie die Parallelenschar haben, d.h. < : (): y <,, < y <,, y <, 9 GM_LU0 6 (7)

17 e) Eine Gerade, die zur Parallelenschar senkrech is, ha die Seiun (): y <, (, <, y <,, (, y <,, <, :. Geeben sind die Punke P 0 ( und Q k (,. a) Die alleeine Geradenleichun is: y < P 0 ( einesez erib: < 0 < Q k, ( und < einesez erib:, < k, < k <, f k() <, ; k \ 0 k k ζ Da alle Schareraden durch P verlaufen und P auf der y-achse lie, is P der y-achsenabschnispunk => = In der Funkionsleichun darf k nich Null werden. Hinweis: Wäre k 0 < und soi der Punk Q 0 (,, so würde die Gerade durch P und Q senkrech verlaufen. Eine senkreche Gerade is aber keine Funkion sondern eine Relaion. b) Schnipunk i der - Achse (y = 0): Schnipunk i der y- Achse ( = 0): 0 <, k f k() < y <, 0 k < y < k < k S k Sy 0 ( P 0 ( 0 ( c) Parallel zur - Achse bedeue, dass die Seiun < 0 is: y < Beründunsversuch: f ():y < li, < 0 < k k f ():y < bzw. k < Parallel zur Winkelhalbierenden des. und. Quadranen heiß, dass die Seiun < is: y < GM_LU0 7 (7)

18 d) Für die Seiunen der senkrech aufeinander sehenden Geraden il: <, h f,, <, k 6 <, k k <, 6 f, 6() <,, 6 f, 6() < Schniwinkel i der - Achse: e) Der eeinsae Schnipunk aller Geraden is der Punk P 0 (, denn eäß Aufabensellun üssen alle Geraden der Schar durch P ehen. 6. Geeben sind die Punke P und (die Nullselle) N 0 (. a) Punk-Seiuns-For der Geradenleichun: y, y y <, ( y i <, y < 0,, ( 0, y <, : y <, b) Neiunswinkel : an < an <, <, 6,87 bzw. <, an < <,0 c) Läe der Punk Q* enau auf der Geraden, würde elen: :y Q* <, i < y Q* <, y Q* < Q* Soi lieen alle Punke Q q ( unerhalb der Geraden für die q; is. GM_LU0 8 (7)

19 7. a) Parallelenschar Seiun aller Geraden is leich y-achsenabschni is variabel f () <, b) Geradenbüschel Seiun der Geraden is variabel y-achsenabschni is für alle Geraden leich f () < 8. Geeben: P und f () <, ; a) Lie der Punk auf einer Geraden der Funkionenschar, so uss er die Funkionsleichun erfüllen: 6 f () <, P einsezen <, <, < 6 f () <, 6 6 : y <, 6 b) h: y <, 8 Seiun von h(): h <, Seiun von f (): f <, Für die Seiunen der senkrech aufeinander sehenden Geraden il: <, h f,, <, :,, < 0,,, <, f () <, <, einsezen f () <,,, f () < 0, GM_LU0 9 (7)

20 c) Schnipunk S X i der - Achse ( y < 0): f () <,,, < 0 <, <, SX, 0 i \,, ζ Schnipunk f () <, S y i der y- Achse ( < 0): y <, 0 y y < S 0 f () <, d) Zwei Were für wählen, i und jeweils in die Ausansleichun einsezen; dai den Schnipunk besien: f () <, (Gl.) f () <, (Gl.) Gl.< Gl. :, <,, <,, <,, ( <,, (, ( : <, <, einsezen in die Ausansleichun: f () <, f (, ) <,, f (, ) <, y < Der eeinsae Schnipunk (Büschelpunk) aller Schareraden is unabhäni von : B, ( GM_LU0 0 (7)

21 e) Zeichnun i den Geraden aus a) und b) 9. Geeben: P (, und :y < k, k; k k a) Lie der Punk auf einer Geraden der Funkionenschar, so uss er die Funkionsleichun erfüllen: y < k, k P, einsezen, < k, k, < k, k <, y < k, k y<,,, : y <,, einsezen in die Scharleichun b) Parallel zur Winkelhalbierenden des. und. Quadranen uss die Seiun der Geraden < sein: k, < k < y < GM_LU0 (7)

22 c) Schnipunk S X i der - Achse ( y < 0):, k, < k Schnipunk y < k, 0 k y < k, k 0< k, k k S k <, X, 0 i k \ 0, k, k, S y i der y- Achse ( < 0): y y < k S 0k ζ () < k, k d) Ausansleichun: k Zwei Were für k wählen k,k i k k und jeweils in die Ausansleichun einsezen; dai den Schnipunk besien: () < k, k (Gl.) k () < k, k (Gl.) k Gl.< Gl. : k, k < k, k k, k < k, k k, k < k, k, ( <,, (, ( k k k k : k k <, 0, <, 0, einsezen in die Ausansleichun: y() < k, k y(, 0,) < k,, 0, k y(, 0,) <, k 0, k y(, 0,) < 0, Der eeinsae Schnipunk (Büschelpunk) aller Schareraden is unabhäni von k: B, 0, 0,( GM_LU0 (7)

23 0. Die Eckpunke des Dreiecks sind: A0y A(,B B 0 ( und Daraus fol für den Flächeninhal des Dreiecks: A Χ < B ya A 8 Χ < 8 < B y 6 < y B A A Weil y A der y - Achsenabschni der Schareraden is, kann an auch schreiben: 6 < B < 6 B Für die Seiun der Schareraden erhäl an: <, B Erib zusaenefass: <, <, 6 B B Einsezen in die Geradenleichun: f() < f() <, 6 6 B B O 0 0. Sa B kann an die Variable auch k nennen. Dai erhäl an: f 6 6 k() <, k k GM_LU0 (7)

24 . In die Geradenleichun P 7,, 7, 6< 0, 7, 6< 0 8, 6 < < 0 (f) 6, y 6< 0 jeweils einsezen: P 0, 0 6 < 0, 0 8 < 0 0 < 0 (w) P lie nich auf der eebenen Geraden.. Weil die Höhe h [AB] i der Geraden zusaenfäll, seh die Dreiecksbasis [AB] auf der Geraden senkrech. Soi il für die Seiunen der Geraden und AB : <, [AB] (, ) <, [AB] [AB] < Gerade AB (Punk-Seiunsfor): [AB] ( H is der Schnipunk der Geraden i AB ζ H y <,, y <,,<,, <,, < einsezen in y < : y <, H,( y <, y A und < einsezen y <, ( [AB] : y < < : GM_LU0 (7)

25 . Geeben: i y 0 P,., < und Bei dieser Achsenspieelun seh die Gerade PP' senkrech auf der Spieelachse. Für ihre Seiunen il: [PP'] <, i :y <, [PP'] < <, Geradenleichun für PP' (Punk-Seiunsfor): y <, y <, und P, einsezen y <,,, PP': y <,,, Die Srecke PP' wird durch die Gerade i Punk M halbier. Besiun der Koordinaen von M: y <, y <,,,, <,,,,,, <,,,, <, 6,, 6 6 < < einesez in y <,,, : y <,,, y < M ττττθ τττθ Der Bildpunk P kann nun durch Vekorverleich eriel werden: MP' < PM,,, <, 9 <, 6 P' 6, y <,,,,, y, <,, y <,, GM_LU0 (7)

26 . Die Geraden und D 6 0 ( als auch < AB i A, 0( B 0 sowie, und < EF i E8 und F 9 sind eeben. < CD i C 0, ( y <, y : Erieln der Geradenleichunen - Punk-Seiunsfor y, y < <, 0 < :y < B A [AB] B, A 0, y, y < < 0 < :y <, 6 0 D C [CD] D, C, y, y < < 9, <, :y <, 8 F E [EF] F, E, GM_LU0 6 (7)

27 Die Gerade wird i de Vekor v θ parallel verschoben. Die Bilderade ' schneide in S. Der Vekor v θ is 6 c lan, seine Richun is parallel zu. Ween dieser Paralleliä verhalen sich die - und y-koponene von v θ wie die Seiun von : θ θ v y v < v vy v < 6 und <, v y <, v v 6 < v, v < v 9 6<, v v <,,6 v y <,,,6( <,8 Besiun der Parallelen ': ττττθ τττθ θ OP' < OP v ',,6 y' <,8, ' <,,6 < ',6 y' < ',6(,8 y ' <,8 y ' <,8 ':y < Der Punk S is Schnipunk von ' i : y < y < θ,,6 v <,8 <, <, < 0,6 < 0,6 einesez in : y < y < 0,6 y <, S 0,6,( τττθ kann T T( Mi TS τττθ θ TS < v 0,6, T,,6 <,, y T,8 <, T T T y besi werden: y <, 0,6 T,, 0,6 GM_LU0 7 (7)

28 . a) Für die Seiun der Geraden il: < an < an60 < (Forelsalun) Punk-Seiunsfor: y <, y < und P, 0, einsezen y < 0, y < 0, b) Schnipunk i der -Achse ( y < 0): Schnipunk i der y-achse ( < 0): 0 < 0, <,, 0,,, 0, < <,, 0, <,, 6 S,, 0 6 y < 0 0, y < 0, ( S 0 0, y c) Uner einer Nullselle verseh an den Schnipunk des Graphen i der - Achse ( y < 0). Punk-Seiunsfor: y <, y <, und S 0 einsezen,, 6 y <,,,, 0 6 y <, 6 h: y <,,, 0 GM_LU0 8 (7)

29 6. Die Seiun der Geraden : y <, is, Der Winkel zur Waaerechen berä soi, bzw.. Weil die esuchen Geraden h i Punk P jeweils 0 zu edreh sind, sind deren 0, 7,, 0 : Winkel zur Waaerechen,, ( bzw. h : < an, <, 0,68 all. Geradenleichun: y < 0,68 <, und <, 0,68 < 0,68 <,68 h : y <, 0,68,68 h : < an, 7 <,,7 P einsezen: all. Geradenleichun: y <,7 <, und <,,7 <,7 <,7 h : y <,,7,7 P einsezen: 7. Der andere Achsenabschnispunk T befinde sich auf der y - Achse. Es ib dafür die zwei Mölichkeien T bzw. T (vl. Skizze). Nach de Saz des Pyhaoras il: y < T y < 6 T y < T T 0 ( ; T 0, ( Geradenleichunen: : y < : y <,, GM_LU0 9 (7)

30 8. Geeben is die Scharfunkion f () <, ; ; D < a) Berasfreie Funkionsleichun:, für = 0 f () < für ; 0 Dai erhäl an die Nullsellen: 0<, : 0< : 0 <, 0 < < <, N 0( für = 0 f N, 0 für ; 0 b) Zwei Geraden aus der Schar schneiden sich enau dann auf der y- Achse, wenn wenn der y-achsenabschni I I leich is; also <,. (Schnipunke i der y-achse: T 0 II( 9. Geeben is die Scharfunkion () < a a; a ; D < a a) Berasfreie Funkionsleichun: a a für a = 0 a() <, a a für a ; 0 Dai erhäl an die Nullsellen: a a< 0 :a, a a< 0 :a < 0, < 0 <, N, 0( für a= 0 < N 0 für a; 0 b) Zwei Geraden aus der Schar sind enau dann parallel, wenn deren Bera von a leich is bzw. wenn die Seiun IaI leich is ( a <, a ). GM_LU0 0 (7)

31 0. Geeben is die Scharfunkion () <, ; ; D < a) Geeinsae Nullselle y < 0( : 0<, : 0 <, < N0 für b) Sehen Geraden senkrech aufeinander, so is das Produk Ihrer Seiunen: <,, i < erhäl an <, Alle Geraden laufen durch den Punk N0 Die esuche Dreiecksfläche kann in zwei Teilflächen zerle werden: A I < h< II AII < h< II A I II < A II < II Die Berassriche für sind erforderlich, weil das Dreieck auch spieelbildlich aufreen kann und weil die unere Fläche sons einen neaiven Zahlenwer häe. Gesafläche des Dreiecks: II A() < A I AII < II A() II < II c) Ween der Winkelsue i Dreieck is der Winkel zwischen der - Achse und der Geraden 60 bzw., 60 bei der spieelbildlichen Geraden Die Seiun der Geraden berä soi: < an60 oder < < an, 60 <, Gleichun der Geraden: y <, oder y <, GM_LU0 (7)

32 . Die beiden Achsenschnipunke seien: S 0 ( und N 0. Die Seiun der Geraden is <, ; an kann auch schreiben: <,, bzw. N, 0 Mi de Saz v. Pyhaoras erhäl an i Dreieck ONS den Zusaenhan: NS NS 0 und < < <,, < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 0 < Den y-achsenabschni einsezen in die all. Geradenleichun: y < 0 0 f() < f () < f () <, 0 GM_LU0 (7)

33 . Geeben sind die Punke A,, ( B, ( ;, ( C Definiionsene für :, Lösunswe : Der Winkel φ kann i Hilfe der Vekorrechnun besi werden. Die Vekoren sind: τττθ,, AC <,,, τττθ AC <, τττθ, τττθ, BC < BC <,,, (, Winkel zwischen den Vekoren: θ θ a b a b ay by cos φ < θ δ θ < (all. Forel) a b a a b b cos φ< y y (, (, (, ( (, (, (, ( cos φ< 6 6 9,,, 8 6, 6, 9, 8 6, 6, 9 cos φ< 8 6, 8 0 6,, 8 0 6, Nenner ausuliplizieren 8 6, cos φ< 0 6,, cos φ<,8 0,6, 6,, Für jedes innerhalb der Definiionsene erhäl an denselben Winkel φ <, (ohne Beweis) GM_LU0 (7)

34 Lösunswe : Eine weiere Mölichkei is die Aufeilun des Dreiecks ABC in zwei Teildreiecke. Der Winkel φ wird zerle in φ und φ : an an,,, y, y,,,, C A φ < < < C A,,, y, y,,,, C B φ < < < C B φ < arcanφ arcanφ φ < arcan arcan,,, Die Berassriche sind nowendi, weil der zweie Ter auch neaive Were annehen könne. Für jedes innerhalb der Definiionsene erhäl an denselben Winkel φ <, (ohne Beweis) Lösunswe : Die Punke A, B und C lieen auf eine Kreis i Mielpunk M(0/0) und Radius r < LE. Nach de Randwinkelsaz (Ufanswinkelsaz) is der Ρ ACB ses leich und auch unabhäni von der Lae des Punkes C. Für < erib sich ein rechwinklies Dreieck bei B. Der Winkel φ kann über die Winkelfunkion berechne werden: anφ < AB < 8 BC 6 φ <, GM_LU0 (7)

35 . a) Parallel zur Winkelhalbierenden des. Quadranen: < < b) Für die Seiunen senkrech aufeinander sehenden Geraden l: <, i < <, <, <, c) Wenn eine Gerade i der - Achse einen Winkel von 60 einschließ, is deren Seiun < an60 < < d) Die Nullsellen der Funkion y < 0( : 0 <, :, <, 0 <, N, 0 Wenn die Nullselle vo Ursprun O 0 0 ( enfern sein soll, uss der -Wer der Nullselle sein: quadrieren, < < 8 <, < < <, e) Für die -Were der Nullsellen il Durch Uforun erhäl an: <, ; 0 0 < <. Für sehr roße Were für erhäl an: li < < Es ib keine Nullsellen auf der -Achse i Bereich, GM_LU0 (7)

36 f) Für < sind die Achsenschnipunke y 0; 0( N, 0 N, 6 0 sowie ( T 0 T 0 6 < < : Mi de Saz von Pyhaoras erib sich der Absand NT < 6 6 NT < 0, ) Die Achsenschnipunke sind alleein: N 0 Pyhaoras: NT < und T 0 ( NT < NT < ( NT < < < < NT < NT < h) NT < < <, 0 <, 0 <, < GM_LU0 6 (7)

37 i) f () < Zeichnun der zu ζ 0; 0,; 0,; ; ehörenden Graphen GM_LU0 7 (7)