Grundlagen der Elektrotechnik 3

Transkript

1 Grundlagen der Elekroechnik 3 Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms und Prof. Dr.-Ing. Adalber Beyer und basierend auf dem Scrip von Prof. Dr.-Ing. Ingo Wolff Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

2 Grundlagen der Elekroechnik 3 Inhal Einleiung Grundlagen der Signalheorie deerminierer Signale 3 Schalvorgänge 4 Orskurven 5 Nezwerksäze Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

3 Lieraur Lieraur zur Vorlesung: R. Paul Elekroechnik, Grundlagenbuch Nezwerke Springer-Verlag, Heidelberg 994 I. Wolff Grundlagen der Elekroechnik Band Verlag Dr. Wolff, Aachen 5 Weierführende Lieraur : W. Ameling Grundlagen der Elekroechnik II G. Bosse Grundlagen der Elekroechnik IV B.I. Wissenschafverlag Mannheim, Wien Zürich 996 R. UnbehauenGrundlagen der Elekroechnik I Springer-Verlag, Heidelberg 994 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

4 Einleiung GE3 enhäl überwiegend heoreische Grundlagen zu informaionsechnischen Fragesellungen Informaionsechnik: Ensanden aus Informaik (I- Verarbeiungsechnik) und Nachrichenechnik (I- Übermilungsechnik) I: Effiziene Daenverarbeiung, Speicherung und ranspor I beinhale 4 Gruppen: Grundlagen und echnologien (G) Srukuren, Verfahren, Programme (G) Geräe, Einrichungen, Anlagen (G3) Anwendungen (G4) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

5 Einleiung G: heoreische Grundlagen, Mehoden, SW- und HW-echnologien, Physiologische Grundlagen G: Rechensyseme, Sofwaresyseme, Archiekuren, Aufnahme-, Wiedergabe und Speicherung, Vermilungsund Überragungsverfahren G3: Rechenanlagen, Einrichungen zu Ein- und Ausgabe, End- und Meßeinrichungen, Einrichungen zur Auomaisierung, Vermilung und Überragung, G4: Kommerzielle, adminisraive, indusrielle Anwendungen, Prozeßdaen, echnisch/wissenschafliche Anwendungen, Kommunikaion, Orung und Navigaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

6 Grundlagen der Signalheorie deerminierer Signale Kapielübersich:. Vorbemerkungen Modell für die Informaions-Überragung Signalklassen. Beschreibung nichsinusförmiger, periodischer Zeivorgänge Approximaion von Funkionen mi Fourier-Reihe Anwendungen auf Nezwerke.3 Beschreibung aperiodischer Zeivorgänge Das Fourier-Inegral in verschiedenen Formen Beispiele dazu Eigenschafen der Fourier-ransformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

7 . Vorbemerkungen Sörer Quelle Sender Kanal Empfänger Senke Bereich der elekrischen ors- und zeiabhängigen Signale Signale: räger der Informaionen Signalklassen: Deerminiere, sochasische Signale Werkoninuierlich, Werdiskre Zeikoninuierlich, zeidiskre Periodisch, aperiodisch Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

8 . Vorbemerkungen coninuous ime-(space-) domain discree s s k od. k Analog signal Analog signal sequence Werebereich s s k od. k signal wih discree values Digial signal Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

9 .. Das Exponenialsignal jω s() = e = cosω+ jsinω Für Spannungen gil: ( + u ) jω { } { } u ( ) = uˆ cos( ω+ ϕ ) = Re uˆ e = Re u e where u= uˆ e Für anseigende/abfallende Signale gil: u j ω ϕ jϕ u e = e e = e ( σ+ j ω ) σ j ω p Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

10 .. Die Dirac Funkion Definiion: + Φ ( ) = δ ( ) Φ( ) d Eigenschafen: δ ( a) = δ ( ) a Für a = gil: δ ( ) = δ ( ) + s() = δ ( τ ) s( τ) dτ Folg aus der Definiionsgleichung. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

11 .. Die Dirac Funkion + δτ ( ) dτ= s() = mi δτ ( ) für τ δ () = lim rec δ ( τ ) τ Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

12 ..3 Die Sprungfunkion for < ε() = for ε() = δτ ( ) dτ ε () Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

13 ..4 Periodische Signale Allgemeine Formel: s ( ) = s ( + n) where n=,...,, +,..., + Beispiele: + s () = s ( n ) n= + s () = c s ( n ) n n= Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

14 ..4 Periodische Signale s ( ) = rec n + s() = rec n= + = rec n n= s () n = n = n = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

15 ..5 Impulsarige Signale rec( x) for x = for x > rec( x) x Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

16 ..5 Impulsarige Signale s () = ( / ) e s( ) 3 3 / Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

17 ..5 Impulsarige Signale for > s ( ) = sign ( ) = for = for < sign() Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

18 ..5 Impulsarige Signale s () für =Λ = sons s () =Λ Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

19 ..5 Impulsarige Signale () = cos( ω ( )) s e s () 3 4 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

20 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Fall: Kompression & Dehnung s() = a s b Beispiel: s() = u rec Fall : Verschiebung s = s ν () ( ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

21 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Beispiel: s () = rec s() = u s = u rec u rec( x) s () x Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

22 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Fall 3: Spiegelung (b = -) s () = s ( ) Beispiel: s () = ε() s () = s ( ) = ε( ) s () Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

23 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Dehnung & Verschiebung: s() = rec s() = rec 3 ν s3() = s( ν ) = rec 3 s3 ( ) 3 v Verschiebung & Dehnung: s = s ν () ( ) s3( ) = as Ersezung von mi in s( ) b b = as ν b Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

24 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Beispiel: s( ) = rec ; a = u ; b= () ν ν s = rec = rec ν ν s3() = arec = urec b u s () 3 v Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

25 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Spiegelung & Verschiebung: s () = s ( ) s ( ) = s ( ) = s ( ( )) = s ( ) 3 ν ν ν Neue Abfolge: Verschiebung & Spiegelung: s4 = s ν () ( ) s () = s ( ) = s ( ) s () 5 4 ν 3 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

26 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Beispiel mi der Rampenfunkion r(): r = () ε () s = r s() = s( ) = r s () s () 3 s () ν s3() = s( ν ) = r v Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

27 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen ν s4() = s( ν ) = r ν s5() = s5( ) = r s5 ( ) s4 ( ) v v Es gib 4 Fälle: ± ± v Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

28 ..6 Anpassung von Zei- und Frequenz Funcionen Alle o.a. Mehoden können auch auf Frequenzfunkionen angewende werden: f( x) = f( y) mi y = f3( x) f ( x) = f ( f ( x)) 3 Beispiel: f ( ω) ω ω = rec ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

29 . Beschreibung nichsinusförmiger, periodischer Zeivorgänge.. Approximaion von Funkionen Moivaion: Kennfunkionen, Exrakion von Kenndaen Daenkompression Ansaz: Gegeben sei f() Gesuch is g(),die f() im Inervall approximier mi n g() = αigi() bei Vorgabe der gi( ) i= g() f() Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

30 .. Approximaion von Funkionen - Anforderung: Möglichs kleiner Fehler der Approximaion - Definiion Fehlerfunkion: Φ () = f() g() - Milerer Fehler: Φ = [ f () ()] m min - Milerer absoluer Fehler : g d min Φ = f () g() d ma min min Φ = f () g() d mq min - Milerer Quadraischer Fehler : [ ] - Voreile/Nacheile der Fehlermaße Aufheben der Fehler möglich bei milerem Fehler Absol. Fehler ergib Unseigkeien (beim par. Differenzieren) Quadr. Fehler is häufigse Anwendung min Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

31 .. Approximaion von Funkionen Besimmung der Koeffizienen Hieraus folgen die unen angegebenen Schrie: φ mq = i =,,..., n α i α υ αi n f() α jg j() d = j= n ( ) ( ) ( ) f α jg j gi d = j= n f() gi() d = gi() α jg j() d j= Dies ensprich einem Gleichungssysem, das nach den Koeffizienen aufgelös werden kann Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

32 .. Approximaion von Funkionen = α + α + + α ν α ν + + n f g() d g () d g() g() d... g() g() d... g() g() d n f () g () d = α g () g () d + α g () g () d α g () g () d α g () g () d ν ν n n... f() g () d = α g () g () d+ α g () g () d α g () g () d α g () g () d n n n ν ν n n n n Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3

33 .. Approximaion miels orhogonaler Funkionensyseme Definiion orhogonaler Funkionen in Inervall (, ) miels reeller Funkionen g(). Diese Funkionen sollen seig im Inervall sein. Dabei wird Chronecker sche Delafunkion benuz: Ansaz für die Approximaion: δ µν g () g () d = δ h µ ν µν µ und geeigneem h für µ ν = für µ = ν () = n g αigi() i= µ Dami folg für die Koeffizienen (infolge Wegfalls aller Inegrale je Zeile bis auf zwei Inegrale): α = i f g() d g i i () d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 33

34 .. Approximaion miels orhogonaler Funkionensyseme Man erhäl orhonormale Funkionensyseme miels der Feslegungen g () g () gν () gn() G ( ) =, G ( ) =,..., Gν ( ) =,..., Gn ( ) = h h h h ν n Für diese gil dann: G () G () d µ ν µν für µ ν = δ = für µ = ν Dami läss sich eine Funkion f() im Inervall mi Hilfe von geeigneen Koeffizienen in eine Reihe von orhonormalen Funkionen enwickeln. Das Ergebnis der Approximaion is dann eine Funkion G(). Zusammenfassend gil: Die Koeffizienen A sind die sog. verallgemeineren Fourierkoeffizienen: f() G() AG () A i n = i= = f() Gi() d i i Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 34

35 ..3 Approximaion von periodischen, nichsinusförmigen Funkionen Beispiel einer Funkion mi der Periodendauer. Diese Funkion is als nich endende Wiederholung einer Periode inerpreierbar. f() Für eine periodische Funkion gil: f( ) = f( ± ν) ν =,,,..., Nach Fourier kann eine beliebige Funkion, die die Dirichle schen Bedingungen erfüll, u.a. in der folgenden rigonomerischen Form dargesell werden: a f () = + [ aν cos( νω) + bν sin( νω) ] ν = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 35

36 .. Approximaion von periodischen, nichsinusförmigen Funkionen (Fourier-Reihe) Dirichle sche Bedingungen (in der Praxis erfüll) Funkion f() is im Inervall enweder seig oder ha endlich viele Unseigkeissellen Endliche Grenzwere von f() exisieren, wenn von rechs oder von links gegen die Unseigkeisselle sreb Das Inervall läss sich derar in eile zerlegen, so dass dor f() monoon is Saz von Dirichle Bei Erfüllung der Dirichle schen Bedingungen konvergier die Fourierreihe im gesamen Inervall Der Wer der Fourier-Reihe is idenisch mi Funkion f() an seigen Sellen An Unseigkeissellen is der Wer gleich:.5 f( + ) + f( ) [ ] An Endpunken des Inervalls is der Wer gleich: [ f + + f ].5 ( ) ( ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 36

37 ..3 Fourier Reihe Analogie zur Reihenenwicklung orhogonaler Funkionen Für die Reihenenwicklung gil bei orhogonalen Funkionen Für die benuzen Funkionen läß sich die Orhogonaliä zeigen: Ansonsen gil wie o.a. : Dadurch is gesicher, dass Fourier- Reihe die besmögliche Approximaion im quadraischen Miel is (auch bei abgebrochener Reihe) g () g () d = δ h µ ν µν µ () = n g αigi() i= mi = + = + sin( µω)sin( νω ) d = cos( µω)cos( νω) d = δµν = = α = i f g() d g i i () d a f a b () = + ν cos( ) + ν sin( ) ν = [ νω νω ] Es sind Koeffizienensäze nöig, dami gerade und ungerade Funkionsaneile dargesell werden können. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 37

38 ..3 Fourier Reihe Dami gil für die Besimmung der Fourier-Koeffizienen der rigonomerischen Form: a = + = = = = + = f() d d = + = f() d Dies is der Gleichaneil (arihm. Mielwer) = + f()cos( µω) d = + = aν = = ()cos( ) = + f µω d = µω d = cos ( ) = + f()sin( µω) d = + = bν = = ()sin( ) f µω d = d = + sin ( µω ) = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 38

39 ..4 Die Polar-Form der Fourier Reihe (Fourier-Cosinus-Reihe) Miels der Beziehung A x B x A B x B A cos( ) + sin( ) = + cos( arcan( / )) läss sich die rigon. Fourier-Reihe umschreiben von a f( ) = + [ aν cos( νω) + bν sin( νω) ] zu ν = f() = d + dν cos( νω+ ψν) mi d = a und ν = d = a + b b ν ν ν ν ; ψν = arcan ( + / π für negaive aν ) aν Darüber hinaus is obige Formel auch in der Version der Fourier-Sinus- Reihe bekann: f( ) = e + e sin( νω+ ϕ ) mi e = d sowie ϕ = π / + ψ ν = ν ν ν ν ν ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 39

40 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkionen B: f() is eine gerade Funkion mi f ( ) = f( ) und f() -f() f() -/ - / aν = f ()cos( νω) d bν = f()sin( νω) d = = Die Fourier-Reihe ha dami die Form: Grund: Darsellbarkei gerader Funkionen nur durch andere gerade Funkionen a f a () = + ν cos( νω ) ν = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

41 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkionen B: f() is eine ungerade Funkion mi f () = f( ) und -/ - f() f() -f() / a = a ν = Somi resulier: 4 bν = f ()sin( νω) d f() = bν sin( νω) ν = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

42 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mi symmer. Funkion B3: f() is vollsymmerische Funkion mi f()= - f( + /) f() +/ f(+/) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 4

43 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mi symmer. Funkion Es gil dafür : aν = f()cos( νω) d oder nach Aufeilung des Inervalls: für ν = k gil: aν = f()cos( νω) d f()cos( νω) d + o ak = f( )cos( kω) d f( )cos( kω) d + = o 4 sowie für ν = k + : a = k + f ()cos( [ k ) ω] d + Grund: Geradzahlige k ergeben sich nach / wiederholende cos-funkionen. Auslöschung der erme wegen zu / negaiven und sich wiederholendem f()! Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 43

44 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkion - Auf ähnlicher Weise läß sich die Güligkei folgender Aussagen einsehen (auch sin-funkion wiederhol sich für gerade k nach /): 4 b k = und b = k + f()sin [(k ) ω] d + - Es kommen daher in dieser Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor, für die ν = k + gil: k = { k+ [ ω ] k+ [ ω ]} f () = a cos(k+ ) + b sin (k+ ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 44

45 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mi symmer. Funkion B4 : Funkion is vollsymmerisch mi f() = f( + / ). Daraus folg dann: f() 8 # 4 ak f()cos( kω) d = und a + = k / +/ 4 b k f()sin( kω) d = und b + = Grund: Nach / erfolg Wiederholung der cos/sin-funkionen mi den Indizes k. Cos/sin-Funkionen mi Indizes k+ haben bei / Absand jeweils andere Halbwelle! Die Fourier-Reihe von f() ha dann eine Form mi allein geradzahligen Koeffizienen: a f ( ) = + { ak cos [( k) ω] + bk sin [( k) ω] } k = k Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 45

46 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkion B5 : f() is gerade und vollsymmerisch [ f() = - f( + /) ] : Resula: Nur ungeradzahlige Kosinusschwingungen kommen vor f() / a Somi laue die ensprechende Fourier-Reihe hier: k = ( ) f () = ak + cos k+ ω = a = und b ν = k 4 8 a = k + f ()cos[( k ) ω] d + Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 46

47 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkion B6 : f() is ungerade und vollsymmerisch [ f() = -f( + /) ] : Hier reen in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Sinuschwingungen auf f() / a = = und b = a ν 4 8 b = k + f()sin[( k ) ω] d + k Für die Fourier-Reihe läß sich hier schreiben : k = ( ) f() = bk + sin k+ ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 47

48 ..5 Beispiele zur Berechnung der Fourier- Reihe mi symmer. Funkion B7: f() wird auf der Zeiachse verschoben : Beräg die Verschiebung ± dann gil mi ' = ± a g f a b ( ') = ( ± ) = + ν cos[ ( ± )] + ν sin[ ( ± )] ν = { νω νω } Ein einfacherer Ausdruck resulier für die kompl. Koeffizienen: f c e m jvω ( ± ) ergib { n } Dieser Ausdruck ermöglich es, die Fourier-Reihenenwicklung für den neuen Koordinaenursprung zu ermieln. Es is of von Voreil, den Koordinaenursprung zu verschieben, z.b. wenn sich dami symmerische Eigenschafen der Funkion ergeben. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 48

49 ..6 Fourier-Analyse Es beseh die Möglichkei, eine periodische nich-sinusförmige Funkion hinsichlich ihres Informaionsgehales auf zwei Aren darsellen: ) Im Zeibereich ( s. folgendes Bild) f() d -/4 / /4 3/4 -A ) Im Spekralbereich (Frequenzbereich): Darsellung der Ampliuden aν, b bzw. der cos-ampliude d ν und der Phase ψν in Abhängigkei von der Frequenz. ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 49

50 ..6 Fourier-Analyse Weiere Beispiele Beispiel: Fourier-Analyse der rapezfunkion Diese is gerade und vollsymmerisch (s. B5) mi 4 a, = a = = 8 k b ν und a = k + f()cos[( k ) ω] d + Für f() gil in der ersen Vierelperiode: A = cons für < d 4 f() = A für d < + d d Dami resulier: d 4 4 a 8 + = A cos[( k A k + ) ω ] d + ( )cos[( + ) ] 4 k ω d d d 4 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

51 ..6 Fourier-Analyse Als Endergebnis ergib sich (nach par. Inegraion ec.): a 4A a = k cos[(k ) ω( d)] + π(k+ ) ωd + 4 bzw. nach Auflösung des Argumens im cos in zwei Ausdrücke und Umschreiben des dami resulierenden erms cos (x-y) in cos und sin Produkerme: 4Asin[(k+ ) ωd] π = sin[( k+ ) ] π(k+ ) ωd k + Die Fourier-Reihe der rapezfunkion laue dami: 4A f( ) = [sin( ωd)cos( ω) sin(3 ωd)cos(3 ω) + sin(5 ωd)cos(5 ω) ) πωd 9 5 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

52 ..6 Fourier-Analyse Sonderfall der rapezfunkion : Die Dreiecksfunkion (d = /4) : f() d A -/4 /4 / 3/4 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 5

53 π /..6 Fourier-Analyse Dafür ergib sich das folgende Ampliuden und Phasenspekrum: d v 8A = π ² v² π ϕ v 3 7 ν π 5 7 Koeffizienen der Sinus-Reihe erfordern ν = k + π Endergebnisse : Phase von: 8A 8A π ak =, b, k = dk =, ϕ k =, ψk = + π (k+ ) + π (k+ ) ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 53

54 ..6 Fourier-Analyse Sonderfall der rapezfunkion : Recheckfunkion mi d f() A d -/4 /4 / 3/4 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 54

55 ..6 Fourier-Analyse Bildung des Grenzüberganges miels der Regel von Bernoulli- L Hospial: c v c v 4A = vπ π v ' sin[(k + ) ωd] { sin[(k + ) ωd] } lim = lim = lim si((k + ) ωd) = si() = d ' (k + ) ωd d d (k + ) ωd π { } ϕ v v Dami folg: k+ 4 A π a = sin[(k + ) ], bk = π (k + ) 4 A π π dk+ =, ϕk+ =± sin[(k + ) ], ψ k+ = π (k + ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 55

56 ..7 Die komplexe Form der Fourier- Reihe Allgemein gil für die Fourierreihen-Darsellung a f a b () = + ν cos( ) + ν sin( ) ν = [ νω νω ] Ausserdem gil: cos( νω) jνω jνω e + e = sin( νω) = e e j jνω jνω a e + e e e und dami : f() = + aν bν + ν = j jνω jνω jνω jνω bzw. a a + jb a jb = + + ν = ν ν jνω ν ν jνω f() e e Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 56

57 ..7 Die komplexe Form der Fourier- Reihe Nunmehr werden auch negaive Were für ν einbezogen. a c =, Mi den Abkürzungen aν jbν cν = für posiive ν aν + jbν cν = für negaive ν erhäl man Paare von Koeffizienen. Also: c ν = c * ν Dies lassen sich in der sehr kompaken Darsellung der Fourier-Reihe in ihrer komplexen Form schreiben: f() j c e νω ν ν = = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 57

58 ..7 Die komplexe Form der Fourier- Reihe Es gil außerdem: a = R ( c ) b = I( c ) > Für die komplexen Koeffizienen resulieren dami die Besimmungsgleichungen: + a c = = (), f d ν ν ν ν ν + + aν jbν jνω cν = = ( )[cos( ) sin( )] = ( ), f νω j νω d f e d c ν + jνω = f( ) e, ν =,,,... Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 58

59 ..8 Inerpreaion der Fourier-Koeffizienen Es werden dami folgende Darsellungen der Fourier-Reihe benuz: a f a b () = + ν cos( ) + ν sin( ) ν = oder f() = oder ν = c e ν ν = [ νω νω ] jνω f() = d + d cos( νω+ ψ ) ν Verabredung ab hier: c sa c ν ν ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 59

60 ..8 Inerpreaion der Fourier-Koeffizienen - a Gleichaneil des Signals : = c = d - Scheielwere oder Ampliuden der Fourier-Komponenen: a, b, c und d - Nullphasenwinkel (Phase) der cosinusförmigen Schwingungen: ψν - Grundschwingung: d cos( ω+ ψ ) ν ν ν ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

61 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Nezwerk Bei cosinus-förmiger Spannung u () = uˆ cos( νω+ ϕu ) wird üblicherweise ein j u j komplexer Scheielwer uˆ ue ˆ ϕ ω = mi u( ) = Re{ ue ˆ } zugeordne. Nun kann man für jede periodische Funkion ansezen: Auch bei elekrische Nezwerken nuz man die Darsellung (der Spannungen und Sröme) in Kosinusform: u () = ue jνω mi ν = v u () = u + uˆ cos( νω+ ϕ ) ν = i () = i + iˆ cos( νω+ ϕ ) ν = v v * uˆ v, für ν uv = u für ν = uˆ v für ν iν uν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

62 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Nezwerk Beispiel-Nezwerk: Reihen-Schwingkreis u () i() u () u () L R û C / Hier is gegeben : u () u sin( ω) mi ω= π/ ˆ = Daraus folg: Zu berechnen sind : i () und u () uˆ 4uˆ u () = cos( kω) (4 ) π k = π k L Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 6

63 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Nezwerk Lösungsansaz : - Verwendung der Impedanz für jede Frequenz kω : - Angabe der Fourier-Reihe zu u () 4uˆ in komplexer Form mi: uˆ k = π (4k ) u () = k= π k ˆ u e (4 ) jkω Z k uˆ = k iˆ k Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 63

64 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Nezwerk Impedanz bzw. Srom des Reihen-Schwingkreises für eine besimme Frequenz kω : Zk = R+ jx mi k Xk = kωl k ω C Dann gil für den Srom : und i = u / Z uˆ i () = ik =. π (4k ) R+ jx jkω e k= k= k Mi der Euler schen Formel resulier: uˆ i ( ) =..[cos( kω) + jsin( kω)] π k R+ jx k = (4 ) k k k k Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 64

65 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Nezwerk Nach einer Umformung (per konjugier komplexer Erweierung des Nenners) ergib sich : uˆ Rcos( k ) Xksin( k ) Rsin( k ) Xk cos( k ) i () ω + ω j ω ω = + k= π (4k ) R + Xk R + Xk Werden die Eigenschafen der Funkionen ( cos, sin ) für +/- k ausgenuz, so gil mi X k = Xk (mi Wegfall der Imaginäreils!): i () = 4uˆ Rcos( kω) + X sin( kω) k k = π (4k ) R + Xk Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 65

66 ..9 Anwendung der Fourier-Reihe bei Die Spannung an der Spule erhäl man über: einem Nezwerk u L () = () di() ul = L d 4uˆ kωl[ Rsin( kω) Xk cos( kω)] π (4k ) R + X k = k Die Ergebnisse lassen sich auch in Polarform darsellen: 4uˆ kωl R ul( ) =. cos[( kω) + arcan( )] π (k ) + X k = R Xk k 4uˆ k ( ) =. cos[( kω) arcan( )] k = π (k ) R + X R k i X Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 66

67 .. Formulierung der Parseval schen Gleichung - Berache werden zwei im allgemeinen nich-sinusförmige periodische Funkionen f () und f () mi gleicher Periodendauer : - Die ensprechenden Fourier-Reihen lauen: + jνω jνω () = ν ν = () ν = f C e mi C f e d und + jµω jµω () = µ µ = () µ = f D e mi D f e d - Für das Produk beider Funkionen gil : und zugleich da periodisch : jνω jµω ν µ ν = µ = f () f () C e. D e = + jkω jkω () () = k mi k = () () k = f f E e E f f e d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 67

68 .. Formulierung der Parseval schen Gleichung Weierhin gil: + jνω jµω jkω Ek = Cν e. Dµ e e d ν = µ = + j( ν + µ k) ω Ek = Cν Dµ e d ν = µ = bzw. + j( ν + µ k) ω Ek = CI ν mi I= Dµ e d ν = µ = Man kann zeigen, dass I verschieden von Null is nur bei: (wg. Orhogonaliä von cos(nx) und sin(nx) ) ν + µ k = Dami wird der Inegrand idenisch mi und es gil: I= D = D µ= µ µ µ= Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 68

69 .. Formulierung der Parseval schen Gleichung die Fourier-Koeffizienen des Produkes f () f () E = C D = C D k ν µ ν k ν ν = µ = ν= infolge ν + µ k = bzw. µ = k v Besimmung des Gleichaneils (zeil. Mielwer) des Produkes f ( ) f ( ) über k = : E + E = f (). f () d = Cν. D ν = ν Es gib diverse Anwendungen dieser Beziehung (Besimmung des Inegrals im Zei- oder Frequenzbereich)! Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 69

70 .. Formulierung der Parseval schen Gleichung Alle komplexen Fourier-Koeffizienen besizen die Eigenschaf : * * C = C und D = D ν ν ν ν Dami läß sich die folgende Formel umschreiben von + E = f() f() d = CνD ν = CνD ν + CD + CνD v = zu: * * { ν ν} { ν ν} E = Re C D = Re C D ν= ν= ν= ν= * * C νdν CD CD ν v CD ( C νdv C vdv) ν= ν= ν= + + = + + = * ( ν v ( v v) ) Re ν v ν= ν= ν= Dies is die Parseval sche Gleichung { } = CD + C D + C D = CD + C D Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

71 .. Die Leisung bei nich-sinusförmigen periodischen Nezwerkgrößen Die elekrische Energie pro Periode (Wirkleisung) an einem ohmschen Widersand beräg: ()() () () PW = u i d u d R i d = = R Anwendung der Parseval schen Gleichung für diesen Sonderfall: f () = f () = f () und dami f f f () () = () ergib: + * E = f () d Re C C Re C e = = ν= ν= Cν C Cν ν= ν= = = + { } { j( C C )} ν ν ν v v Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

72 .. Die Leisung bei nich-sinusförmigen periodischen Nezwerkgrößen Mi a, aν jbν c = = C cν = Cν = ν folg: + a av + bv a av + bv f () d = c + cν = + = + 4 ν= ν= ν= Wenn f() Spannungs- oder Sromcharaker ha, werden die ensprechenden Spekralgrößen aν, bν und cν die Wirkleisungsverhälnisse des ensprechenden Nezwerkelemenes beschreiben. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 7

73 .. Die Leisung bei nich-sinusförmigen periodischen Nezwerkgrößen Berache wird nun ein Einor (nich nur ohmsch) mi nichsinusförmigen periodischen Nezwerkgrößen u() und i(): U() i() Für die Wirkleisung gil: Einor und + + u( ) = f ( ) = C e ν = i( ) = f ( ) = D e ν = ν = PW = uid ()() f() f() d CD Re C D = = + ν * { ν ν} = CD + Re ν = µ jν ω jvω * { CD ν ν } Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 73

74 .. Die Leisung bei nich-sinusförmigen periodischen Nezwerkgrößen Uner Berücksichigung der Zusammenhänge ensprechend S. 4 C = U ˆ, D = I, C = u, D = i ˆ folg : ν ν ν ν * * { ˆ ˆ } Re{ ˆ ˆ } P = U I + Re u i = U I + u i W v v v v ν= ν= Dami is die Gesamleisung über die Summe aller Einzelleisungen jeder Spekrallinie zu besimmen! Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 74

75 .. Die Beureilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funkionen Definiion des Effekivwers einer periodischen Funkion: + () eff = () f f d Die Parseval sche Gleichung gesae die Besimmung des Effekivwers über die Fourier-Koeffizienen (bzw. über die zugehörigen Effekivwere): f () eff = ν = c ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 75

76 .. Die Beureilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funkionen - Der Effekivwer für eine periodische Spannung u() beräg: uˆ ν eff ν ν= ν= Ueff = U + = U U û ν : Gleichaneil von u() : Scheielwer Ueff ν = uˆ ν / : Effekivwer der ν -en eilspannung (Frequenz: νω) - Der Effekivwer für einen periodischen Srom beräg sinngemäß: ˆ i ν eff ν ν= ν= I = Ieff = I + = I Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 76

77 .. Die Beureilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funkionen Bei reinen Wechselgrössen, also ohne Gleichaneil gil: a = Ansonsen is f() eine Mischgrösse (Gleichaneil und Wechselaneil der nich-periodischen Funkion f() is zugleich vorhanden). a Also gil für Mischgrößen: Dafür is der Schwingungsgehal s definier (Aneil AC am Gesamsignal): s Ueff ν Ueff ν ν= ν= = = U eff ν = U eff ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 77

78 .. Die Beureilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funkionen Die Abweichung vom sinusförmigen Ablauf kann durch den Grundschwingungsgehal g beschrieben werden: g U = = U eff eff eff U ν = U effν Der Oberschwingungsgehal k ( Klirrfakor ) beräg: k U eff ν U effν ν = ν = = = U eff ν = U effν g + k = Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 78

79 .. Die Beureilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funkionen Zusäzlich gib es weiere Definiionen mi Formfakor und Scheielfakor: Formfakor : k f = ν = U eff ν u ( ) d Scheielfakor für Signale ohne Gleichaneil: k a = u () ν = max U eff ν Bei rein sinusförmigen Verlauf erhäl man: π k f =, und ka = =, 4 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 79

80 ..3 Zusäzliche Eigenschafern der Fourier-Reihe Lineariä Zeiverschiebung k s( ) ergib Reihe mi k c v a s ( ) + b s () ergib Reihe mi a c + b c v v s ( ) ergib Reihe mi c e v jvω Spiegelung s( ) ergib Reihe mi c * v Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

81 Grundlagen der Elekroechnik 3 Kapiel.3 Beschreibung aperiodischer Zeivorgänge miels der Fourier-ransformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

82 .3. Vorbemerkungen Ansaz: Enwicklung der Fourier-ransformaion aus der Fourier-Reihe durch Überführung periodischer Funkion in aperiodischen Impuls Beispiel : Berache wird ein periodischer Recheckimpuls u() sei hier eine gerade Funkion f() U für < < = sons i i () u ρ ρ ρ - Es soll eine Fourier-Analyse dieses Signals durchgeführ werden Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 8

83 .3. Vorbemerkungen Lösung : c =+ i i = = U d = U i ν = i = sin( νω ) cos( νω ) νω i = aν jbν aν U cν = = = U d = b π mi ω = πv i πv i sin sin i sin νπ U Ui = = c ν νω i νπ i i Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 83

84 .3. Vorbemerkungen bzw: i sin νπ U = = U aν c = si νω i i i ν ( νω ) i Dami gil: U i = νπ e ν = ν = i () si u jνω C C C C 3 C 4 C 5 = C = sin( ν x) ν x C 5 =. 5 Skizze des Spekrums von u() für den Fall, ν i =, Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 84

85 .3. Das Fourier-Inegral Im folgenden wird weier die Fourier-Reihe einer periodischen Funkion f() unersuch. Die Periode sei hier: -o/ f() / f() Dabei sollen die nachsehenden Voraussezungen gemach werden : ) f() sei seig. ) In jeder endlichen Periodendauer möge die Funkion = c e jνω den Dirichle schen Bedingungen genügen 3 ) Bei beliebiger Periodendauer sei f() absolu inegrierbar ν = = π ω ν Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 85

86 .3. Das Fourier-Inegral Die folgende Darsellung geh aus von einem periodischem Signal welches in ein nich-periodisches Signals überführ wird. Ansaz: Vergrößerung der Periodendauer - also per: lim Jeder erm in komplexer Fourier-Reihe ensprich einer Linie im Spekrum. Die Linienabsände beragen: ω = π / In einem Inervall ω um einen beliebigen Frequenzpunk ω liegen m Linien mi der Anzahl: ω m = = ω ω π Bei genügend kleinem Inervall resulier dann nur geringer Unerschied der m einzelnen erme der komplexer Fourier-Reihe zueinander. Konsequenz: Zusammenfassung dieser erme is erlaub! Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 86

87 Für.3. Das Fourier-Inegral In jedem Inervall mi m Linien gil dami für dessen Beirag zur Reihe: jvω jvω m c ve = ω c ve π kann man dann die Inervalle infiniesimal klein wählen (wenn m unveränder bleiben soll) Dami ergib sich für den Beirag jedes Inervalls zur Reihe: jv ω mi daher: j ω dω c ve vω ω c ve dω π π Außerdem läß sich abkürzend schreiben: c v = F ( ω ) Insgesam resulier dami: + jω f () = ( ) F ω e dω π Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 87

88 .3. Das Fourier-Inegral Es gil also: + jω f() = F( ω) e dω π jνω mi c ν = f ( e ) d = + = Nunmehr folg wegen c ( ) und lim : v= Fω Das Fourierspekrum bzw. die Fourier ransformiere der Funkion f() kann auch dargesell werden über: F { } + jω ƒ( ) = F( ω) = f ( e ) d Das Symbol dazu: f() F( ω) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 88

89 .3.3 Die Fourier-Rückransformaion Die Funkion f() läß sich also miels ihres Fourierspekrums darsellen über: jω f () = ( ) F ω e dω π Die (Rück)ransformaion zwischen Bildbereich und Originalbereich kennzeichne man so: F( ω ) f () F ( ω ) Ampliude x Zei oder Ampliude Frequenz Die Exisenz des Fourier-Inegrals is dann gesicher wenn f() absolu inegrierbar is: Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 + ha nich Ampliudencharaker (wie bei F.-Reihe), sondern es is eine Ampliudendiche mi der Dimension : + f () d S = cons Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 89

90 .3.4 Inerpreaion und Zusammenfassung Berachung eines Signals s() aus dem per idealer BP-Filerung nur Aneile innerhalb eines besimmen Frequenzbandes exrahier werden. Die Filerung erfolge so schmalbandig, dass sich darin das Spekrum (und die Exponenialfunkion) nur unwesenlich änder. Für diesen exrahieren Aneil g() folg: + + jω jω jω g ( ) = S( ω) e dω S( ω) e dω S( ω) e dω π = π + π ω jω jω ( S( ω) e + S( ω) e ) π ω jω * = Re{ S( ω) e } wegen S( ω) = S ( ω) π ω ω = S ω e e = S ω ω+ S ω π π j S( ω) jω Re{ ( ) } ( ) cos( ( )) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

91 .3.4 Zusammenfassung und Inerpreaion Die Fourierransformaion is (uner gegebenen Vorr.) also uner Bezug auf die berachee Bandbreie und bei der beracheen Frequenz ein Maß für die Ampliude und die Phasenlage einer Signalaneils (Signalkomponene). Die Anwendung der Fourierransformaion erlaub: ) Ein im Zeibereich bekannes Signal gleichwerig im Frequenzbereich über die zugeordnee Fourierransformaion zu beschreiben ) Aus einer bekannen Fourier-ransformieren die Zeifunkion zurückzugewinnen Die Fourierransformaion is ein wichiges Werkzeug der Elekroechnik, Regelungsechnik, Physik ( Opik, Mechanik, ). Zugleich bilde diese die Grundlage der Laplace-ransformaion, Z- ransformaion und der diskreen Fourierransformaion incl. der FF. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

92 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Beispiel : ρ f() U ρ ρ ρ jω jω e jω ρ F( ω) = U e d = U = U e ρ jω jω e jω ρ ρ ρ sin ω ( ) F ω U U si ω ω ρ = ρ = ρ ρ Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 9

93 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Unersuchung der Hüllkurve von 9% der Impulsenergie innerhalb roen Bereichs F ( ω) U si ω ρ = ρ F ( ω ) 9% 9% F( ω).64 ρ π π ρ π ρ ρ π ω ρ π ρ π ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 93

94 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Beispiel : Der Diracimpuls ' A f () " A " ρ ' ρ δ () = lim rec( ) p A= A = A = = = = = ' '' ' '' ρ. ρ.... ' ρ '' ρ ρ ρ + + jω ( ω) = δ() = δ() = F e d ed p p A ρ Also gil: δ () ρ ' ρ " ρ ρ ρ " ' ρ ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 94

95 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion δ() ha diverse Namen: Soßfunkion, Dirac-Disribuion oder Diracimpuls ec. f ( x) x x x x x x + Weierhin gil: h = x x für x < ( x x) x x f x rec für x x x x x für ( x + x) < x + ( ) = ( ) = ( ) < < ( + ) x x x Normale Schreibweise: f ( xdx ) = f( x) = δ ( x x ) Ausserdem δ( x x ) g ( xdx ) = δ( x x) g ( x ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 95

96 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Beispiel 3 : f() für < = a e für < und endlichem a F { } + + jω jω a jω f() = F( ω) = f() e d = e d+ e e d ( a+ jω ) ( a+ jω ) e = e d = = ( a+ jω) a+ jω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 96

97 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Die Spekralfunkion in reeller Form laue dami für: jω F( ω) = f( ) e d = f( )(cos( ω) jsin( ω)) d= a( ω) jb( ω)! + a( ω) = f ( )cos( ω) d { F ω } = Re ( ) + b( ω) = f( )sin( ω) d { F ω } = Im ( ) Für die ransformiere auf der lezen Seie gil: a jω a ω F( ω) =. = j = a( ω) jb( ω) a+ jω a jω a² + ω² a² + ω² Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 97

98 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Die Spekralfunkion in reeller Form: a( ω) a( ω) b( ω) = = a a² + ω² ω a² + ω² a a b( ω) a ω ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 98

99 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Beispiel 4 : Sprungfunkion f () = ε () Hier gil nich: + f () d S = cons Daher besonderer Ansaz mi Grenzwerbildung zur Beschreibung der Sprungfunkion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 99

100 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Ansaz für die Sprungfunkion: für < f() = e a für < Die Sprungfunkion ergib sich dami zu : f() = ε () = lim { f() } a F ( ω ) F( ω ) = a + jω a ω = j a² + ω ² a² + ω ² Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

101 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion a ) Besimmung des Realeils der Fourier-ransformieren für den Einheissprung : a Re { F( f( )) } = a² + ω² a für ω = lim Re { F( f( )) } = lim = a a a² + ω² für ω Dies läß sich miels eines Diracsoßes beschreiben. Dazu Besimmung dessen Flächeninhales (Gewiches) A: a ω π π A= dω = arcan = = π a² + ω² a Dami gil : { F } + Re ( f ( )) = πδ( ω) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

102 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion b ) Besimmung des Imaginäreils der Fourier-ransformieren für den Einheisprung: ω Im { F( f( )) } = lim Im { F( f( )) } = lim = a a a² + ω² ω Dami gil: F{ } f() = πδ ( ω) j ω { F{ f }} Re ( ) πδ( ω) ω { F{ f }} Im ( ) ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S.

103 .3.5 Beispiele zur Fourierransformaion Beispiel 5 : α f() = f e für α > + jω F( ω) = f( ) e d + + a j ω a j ω j ω = f e e d = f e ( e + e ) d a jω a jω fe e fe e f f = + = + a jω a+ jω a+ jω a jω α f f α f () α F( ω) f 3f e α F( ω) = f a + ω a α 3 α 3 ω Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme S. 3