1. Signalbeschreibung im Zeitbereich

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1 . Signalbeschreibung im Zeibereich SiSy, Signal, - Inhalsverzeichnis. Signalklassen * Kapiel 3.4 (Energie und Leisung).2 Symmerie-Eigenschafen von Signalen.3 Verschiebung und Dehnung eines Zeisignals * Kapiel Elemenarsignale * Kapiel Harmonische Funkionen * Kapiel Mielwere Anhang A: Darsellung komplexer Zahlen * I. Renner, B. Bundschuh, Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie, Carl Hanser Verlag, 203.

2 . Signalklassen SiSy, Signal, -2 Periodische Signale wiederholen sich abschnisweise, sind wichige Hilfssignale für alle gil: x(+t 0 ) = x(), wobei kleinses T 0 die Periode is f 0 = /T 0 is die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz x() x(+nt 0 ) = x() für alle und Ineger n -2T 0 -T 0 T 0 2T 0 Nich-periodische Signale sind nich periodisch nach obiger Definiion, z.b. A A/e x() τ x() = A e -/τ für 0 0 sons

3 . Signalklassen SiSy, Signal, -3 Normiere Signalleisung und Signalenergie Momenanleisung p() = u() i() = R i 2 () = u 2 () / R Normierung auf R = Ω und auf V (bei einem Spannungssignal) => x 2 () is dimensionslos (milere) normiere Signalleisung Bezeichnung manchmal auch P n P lim T 2T T x() T 2 d (milere) normiere Signalenergie Bezeichnung manchmal auch E n (Energie = Leisung Zei) E x() 2 d

4 . Signalklassen SiSy, Signal, -4 Leisungssignale haben endliche normiere Signalleisung, d.h. 0 < P < bzw. unendliche normiere Signalenergie E = zeilich unbegrenze Signale ohne abklingende Ampliude periodischen Signale sind Leisungssignale (milere normiere) Leisung eines periodischen Signals P T x 0 T0 2 () d Inegral über Periode T 0 Effekivwer bzw. RMS-Wer eines periodischen Signals (is vom Scheielwer X p und von der Signalform (!) abhängig) X eff X rms T 0 T 0 x 2 () d P Roo-Mean-Square

5 2. Signalklassen SiSy, Signal, -5 Beispiel: s() = A sin(2πf 0 -φ) is ein Leisungssignal T 0 T 0 Flächen F gleich gross milere Leisung F F P = s 2 () d = A 2 /2 T E = 0 T0 Zeige dass das Signal x() = A sin(2π f 0 ) die Leisung P = A 2 /2 ha und dami den Effekivwer X rms = A/ 2 Benuze rigonomerische Umformung: sin 2 (α) = cos(2α) P =

6 . Signalklassen SiSy, Signal, -6 Energiesignale haben endliche normiere Signalenergie, d.h. 0 < E < bzw. verschwindende normiere Signalleisung P = 0 zeilich begrenze Signale (z.b. Einzelpuls) x() zeilich unbegrenzes Signal mi abklingender Ampliude d.h. ransiene Signale z.b. Ausschwingvorgänge τ Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x() Energie E = τ/2 ha x() = e -/ τ für 0 0 für < 0 E = /e = 0.37 τ je grösser τ, deso langsamer is der exponenielle Abfall der Ampliude bzw. deso grösser is die Signal-Energie E

7 . Signalklassen SiSy, Signal, -7 kausale Signale nehmen nur für 0 von Null verschiedene Were an spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mi kausalen Sysemen Kausaliä Ein kausales Sysem reagier ers dann mi einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anlieg. Die Sossanwor von kausalen Sysemen verschwinde für <0. Sossanregung kausale Sossanwor kausales Sysem Technisch realisierbare Syseme sind kausal!

8 . Signalklassen SiSy, Signal, -8 Komplexe Signale reelle Signale haben reellwerige Ampliuden komplexe Signale haben komplexwerige Ampliuden d.h. x() = x real () + j x imag () prakische Signale sind reell, aber manchmal ha die komplexe Darsellung Voreile Ix()I is die Umhüllende bzw. Enveloppe Beispiel: x() = e - e j2πf o wobei 0 und f 0 = Hz Ix()I Umhüllende reelles Signal Re{x()}

9 / V / V. Signalklassen SiSy, Signal, -9 Deerminisische Signale können exak vorhergesag und beschrieben werden ragen keine Informaion, sind aber wichige Hilfssignale sin(2πf 0 ) Sochasische Signale bzw. Zufallssignale können nur mi sochasischen Kenngrössen wie z.b. Mielwer und Varianz der Ampliude, Korrelaion usw. beschrieben werden ragen Informaion oder sellen Rauschen dar Muserverlauf (immer wieder anderer Verlauf)

10 . Signalklassen SiSy, Signal, -0 x() analoge Signale (zei- und Ampliudenwerkoninuierlich) x(nt s ) Abasung zeidiskree (werkoninuierliche) Signale ADC -T s T s = /f s f s : Abasrae [Samples/s], Abasfrequenz [Hz] T s : Abasperiode oder -inervall x[n] Quanisierung digiale Signale (zei- und werdiskre, Zahlenreihe) Ampliude quanisier

11 . Signalklassen SiSy, Signal, - Ein Bild is ein 2-dimensionales, digiales Signal 2-dimensionale Funkion f(x,y) der Orskoordinaen (x,y) z.b. quanisiere Inensiä (Helligkei) in Funkion des Ors 0 2 : N- y M- x Pixel (Bildelemen) Malab-Beispiel % Bild 6x6 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weiss X=[0*ones(8,8) 6*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)]; image(x) colormap(gray); 8x8 Pixel

12 .2 Symmerieeigenschafen SiSy, Signal, -2 Gerade bzw. symmerische Funkion wenn für alle gil: x(-) = x() Spiegelsymmerie zur verikalen Achse cos(.) is eine gerade Funkion x() 0 Ungerade bzw. ani-symmerische Funkion wenn für alle gil: x(-) = -x() Punksymmerie zum Ursprung sin(.) is eine ungerade Funkion x() 0 Achung: die meisen Signale sind weder gerade noch ungerade sind aber heoreisch in geraden und ungeraden Aneil zerlegbar d.h. x() = x g () + x u ()

13 .3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, -3 Originalsignal x() x(-2s) Zeiverschiebung um 2s nach rechs x(+s) Zeiverschiebung um s nach links 2 x() Skalierung (Versärkung) mi 2 Quelle: Dr. S. Wyrsch

14 .3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, -4 Originalsignal x() x(-) (Zei-) Spiegelung x(2) (Zei-) Sauchung mi Fakor 2 x(-(-2s)) (Zei-) Spiegelung und nachher (Zei-) Verschiebung um 2s nach rechs x(/3) (Zei-) Dehnung mi Fakor 3

15 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -5 Für die Sysembeschreibung wird die Reakion auf Tessignale ermiel. Sprungfunkion, Schri- oder Heaviside-Funkion (engl. uni sep) u() = für > 0 /2 für = 0 0 für < 0 u() u() wird of als Einschalfunkion verwende V = 0 x() R Sysem C y() x() = u(- 0 ) y() 0 Malab: heaviside()

16 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -6 Recheck-Funkion rec() rec() = für II < /2 0 sons Malab recpuls() - /2 /2 Beispiel Recheck-Puls der Breie τ r τ () = rec(/τ) r τ () = für II < τ/2 0 sons - τ/2 τ/2 Zusammenhang mi Sprungfunkion u(+τ/2) r τ () = u(+τ/2) - u(-τ/2) - τ/2 τ/2 -u(-τ/2)

17 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -7 Dreieck-Puls () 0 - Λ() Malab ripuls() Gauss-Impuls Γ() e π 2 Γ() Malab gauspuls() Fläche =

18 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -8 Dirac-Soss, Dirac-Impuls, Dirac-Delafunkion δ() is keine Funkion, sondern eine Disribuion Näherung als sehr kurzer Recheck-Impuls mi sehr hoher Ampliude Darsellung als Pfeil, allenfalls mi Gewich 2 r /2 () 2 Fläche = δ() = lim n r /n () n r () -/2 /2 δ() = 0 für 0 der Wer für =0 is nich definier, aber δ()d

19 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -9 Der Dirac-Impuls is die zenrale Tesfunkion für Syseme! Impulsanwor h() beschreib ein LTI-Sysem vollsändig d.h. wenn h() bekann is, kann y() für beliebige x() besimm werden, siehe späer x() = δ() y() = h() Sossanwor x() LTI- Sysem LTI: linear, ime-invarian y() Eigenschafen des Dirac-Impulses Sieb- bzw. Ausblendeigenschaf x() δ(- 0 ) x() δ( 0) d x( 0) Abasung x() δ(- 0 ) = x( 0 ) δ(- 0 ) Ableiung der Einheisschrifunkion δ() = du() / d

20 .4 Elemenarsignale SiSy, Signal, -20 keine Elemenarsignale, aber wichige Hilfsfunkionen Signum-Funkion sgn() = Malab: sign() für > 0 0 für = 0 - für < 0 sgn() - Beragsfunkion Beispiel: Ix()I = Icos(2π f 0 )I wobei f 0 = khz Ix()I = x() / sgn(x()) Malab: abs()

21 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -2 spielen eine zenrale Rolle in der Fourier-Spekralanalyse sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Sysemen Lösungen der Schwingungsgleichung Beispiel Feder-Pendel ungedämpf (hp://de.wikipedia.org/wiki/harmonischer_oszillaor) Kraf F = Masse m mal Beschleunigung d 2 x()/d 2! F = m d 2 x()/d 2 = - k x() Federkonsane k m d 2 x()/d 2 + k x() = 0 m Ruhelage Schwingungsgleichung: d 2 x()/d 2 + (ω 0 ) 2 x() = 0 wobei (ω 0 ) 2 = k/m Eine mögliche Lösung: x() = A sin(ω 0 +φ 0 ) x() und 2. Ableiung sind bis auf einen Fakor idenisch Demo: hp://de.wikipedia.org/wiki/schwingung

22 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -22 Sinus- und Kosinus-Funkionen x() = A sin(ω 0 +φ 0 ) A sin(φ 0 ) A Momenanwer T 0 A Ampliude auch Scheielwer x oder Peak-Wer X p genann ω 0 Kreisfrequenz in [rad/s], ω 0 = 2π f 0 wobei f 0 die Frequenz in Hz = /s bezeichne und T 0 = /f 0 = 2π / ω 0 die Periodendauer is φ 0 (Null-) Phase Zei-Verschiebung / -Offse Δ 0 = -φ 0 / ω 0 Δ 0 ^

23 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -23 Exponenialfunkion mi imaginärem Exponenen: x() = e jω o auch eine Lösung der (ungedämpfen) Schwingungsgleichung x() = e jω 0 = cos(ω 0 ) + j sin(ω 0 ) Umhüllende (Enveloppe) Ix()I =

24 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -24 Exponenialfunkion mi komplexen Exponenen x() = A e s Lösung der (gedämpfen) Schwingungsgleichung d 2 x()/d ξ ω 0 dx()/d + (ω 0 ) 2 x() = 0 wobei ξ: Dämpfungskonsane, ω 0 : Schwingkreisfrequenz Ampliude A = IAI e jφ 0, Frequenz s = σ + jω 0 Realeil von s besimm die Form der Signal-Enveloppe Ix()I = IAI e σ σ<0 gedämpfe Schwingung σ>0 angefache Schwingung σ=0 harmonische Schwingung Imaginäreil von s, d.h. ω 0 = 2π f 0, besimm die Frequenz x() = IAI e σ e jω 0+φ 0 = IAI e σ [cos(ω 0 +φ 0 ) + j sin(ω 0 +φ 0 )]

25 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -25 Beispiel komplexe Schwingung (selene Darsellung) Quelle: Dr. S. Wyrsch

26 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -26 Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darsellung) Quelle: Dr. S. Wyrsch

27 .5 Harmonische Funkionen SiSy, Signal, -27 sinc-funkion is eigenlich keine harmonische Funkion wichige Funkion in der Fourier-Analyse sinc f 0 sin(π () Malab: sinc() f 0 )/ (π f 0 ) 0 0 /(π f 0 ) Nullsellen bei Vielfachen von T 0 T 0 = /f 0

28 .6 Mielwerbegriffe SiSy, Signal, -28 Linearer Mielwer (Gleichaneil) bzw. "DC-Wer" eines Signals X 0 lim T T T/2 x() d T/2 = X eines periodischen Signals Quadraischer Mielwer (milere normiere Leisung P n ) eines Leisungs-Signals X 0 X 2 T 0 x() d T 0 lim T T Inegral über Periode T 0 T/2 x 2 () d T/2 eines periodischen Signals X 2 T 0 x T 0 2 () d

29 .6 Mielwerbegriffe SiSy, Signal, -29 Beispiele DC-Signal DC-Wer Leisung x() = A X 0 = A X 2 = A 2 Sinus-Signal x() = A sin(2π f 0 +φ) X 0 = 0 X 2 = A 2 /2 Sinus-Berag-Signal x() = A Isin(2π f 0 )I X 0 = (2/π) A X 2 = A 2 /2 X 0 = A

30 .6 Mielwerbegriffe SiSy, Signal, -30 Effekivwer engl. Begriff "Roo-Mean-Square-Value" beschreib die Berechnung periodisches Signal X eff T T/2 x T/2 2 ()d X 2 = P = X RMS Beispiele Sinus-Signal x() = A sin(2π f 0 +φ) X eff = X rms = A/ 2 Periodisches Rechecksignal X eff = X rms = A

31 .6 Mielwerbegriffe SiSy, Signal, -3 Varianz milere quadraische Abweichung vom Miel- bzw. DC-Wer periodisches Signal Var(x()) T 0 T 0 x() X 0 2 d Sandardabweichung σ = Var(x) Nüzliche Ideniä Var(x()) σ 2 X 2 X 2 0 Malab mean(), var(), sd()

32 Anhang A: Darsellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, -32 Karesische Darsellung z = a + j b z* = a - j b konjugier komplexe Zahl Real- und Imaginär-Teil von z a = Re{z} = (z + z*) / 2 b = Im{z} = (z - z*) / 2j Polardarsellung z = r e jφ Berag r = IzI = a 2 +b 2 Phase φ = arcan (b/a) a = r cos(φ) b = r sin(φ) j r r φ z = r e jφ = a+j b r j b a

33 Anhang A: Darsellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, -33 Polardarsellung, wenn r = j z = e jφ = a+j b z = e jφ z = a + j b wobei φ j b a = cos(φ) und b = sin(φ) a Euler-Formeln e jφ = cos(φ) + j sin(φ) cos(φ) = (e jφ + e -jφ ) / 2 sin(φ) = (e jφ - e -jφ ) / 2j Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = e jφ Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = e jφ

34 Anhang A: Darsellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, -34 Produk von komplexen Zahlen in Polarform z z* = r e jφ r e -jφ = r 2 = IzI 2 z z 2 = r e jφ r 2 e jφ 2 = r e jφ r = r r 2 φ = φ + φ 2 z /z 2 = r e jφ / (r 2 e jφ 2) = r e jφ r = r / r 2 φ = φ - φ 2 Beispiel z = +j = 2 e jπ/4 z 2 = -j = 2 e -jπ/4 z = z z 2 = 2 e jπ/4 2 e -jπ/4 = 2 z = z z 2 = (+j) (-j) = 2 -j 2 = 2 z z = z /z 2 = 2 e jπ/4 / ( 2 e -jπ/4 ) = e jπ/2 z = z /z 2 = (+j) 2 / [(-j)(+j)] z 2 = (+j) 2 /2 = 2j/2 = j