Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack S.1. Fourier-Reihen, und Maschinendynamik. Kuka. Schaublin

Transkript

1 .6.8 S. Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace-Transformaion und Maschinendynamik Kuka Schaublin

2 .6.8 S. Fourier-Reihe

3 .6.8 S.3 Allgemeine Fourier-Reihe K g ( ) ag( ), a = k k k k = R Minimierungsproblem: Mina k { F } F = z b ( ) ( ),,, g f g d Df > F = F HG I KJ z K f ( ) ak gk( ) d k = Fourier Reihe I

4 .6.8 Nowendige Bedingung: z F HG I KJ = K i {,,, K} f ( ) ak gk( ) d a i k = S.4 K K i {,,, K} f( ) a g ( ) f( ) a g ( ) d= k k k k k= a i k= i = a f ( ) i a i i F HG K k = k k I KJ = a g ( ) g ( ) i K i {,,, K} f( ) ak gk( ) gi( ) d= k = Fourier Reihe II

5 .6.8 S.5 z z k k i i {,,, K} f ( ) g ( ) d = a g ( ) g ( ) d In Marinoaion i K k = g ( )d gk ( ) g( )d a f( ) g( )d = g( ) gk( )d gk( )d f( ) gk( )d a K Fourier Reihe III

6 .6.8 S.6 pq, {,,, K} g ( ) g( ) d = z p q R S T z g ( ) d für p= q p sons z k {,,, K} a = k f ( ) g ( ) d z k g ( ) d Höhere Fourier-Terme können unabhängig von niederen berechne werden! Orhogonales erzeugendes Sysem k

7 .6.8 S.7 ( ) S { ( ) } gk φk R k N R k N Ck pq, {,,, K} φ ( ) φ ( )d= δ p q pq R S p= q δ pq = für T sons Normierung des orhogonalen erzeugendes Sysem

8 .6.8 S.8 Reelle rigonomerische Funkionen a s a k b sin k n n = + k = k cos + k π ak = f( )coskd π π π bk = f( )sink d π π Vollsändige erzeugende Syseme I

9 .6.8 S.9 Komplee rigonomerische Funkionen jk gk ( ) = e, k {,,,,,, } π Df [ X, X + π ] X Laguerresche Polynome k s s k gk ( ) = e ( ) k s s!, {,,, } s= D f [, ] Vollsändige erzeugende Syseme II

10 .6.8 S. Spalfunkionen F I π b g T T kt g k k ( ) = si, {,,, } HG KJ si F HG π I sinhg kt π b T kt g T KJ = π b T kt g F b gi KJ Vollsändige erzeugende Syseme III

11 z HG.6.8 F I F F = f ( ) a g ( ) d C z f K k = k k F = + H G I K J k k k k KJ = = ( ) f ( ) a g ( ) a g ( ) d k K K k S. z z K z = f ( ) d f ( ) a g ( ) d+ a a g ( ) g ( ) d k k k = p= q= K K p q p q K K K k k p q p q k= p= q= = f ( )d f( ) a g ( )d + a a g ( ) g ( )d Vollsändigkei I

12 .6.8 S. b f ( ) g ( ) d k =z def k z K K k k k = k = F = f ( ) d a b + a C b g + = a a b b b a b b k k k k k k k k k z K K b g ( ) k k k = k = F = f d+ a b b C k Vollsändigkei II

13 .6.8 S.3 z K K b g ( ) k k k = k = F = f d+ a b b C Terme der Summe posiiv Dieser milere quadraische Fehler is minimal, wenn die Koeffizienen a k gleich den Fourier-Koeffizienen b k sind. k b g K k k k k k = k a = b a b = Vollsändigkei III

14 .6.8 S.4 F = f d b C b g z K ( ) k k = Da der Fehler F C größer gleich null is, gil auch die Besselsche Ungleichung (Norm, Posiiv Defini) K k = K, > b f ( )d k z Vollsändigkei IV

15 .6.8 S.5 Def.: Vollsändigkei Das orhonormale Funkionensysem der Erzeugenden is vollsändig, wenn für jede quadraisch inegrable Funkion z > f ( )d< das Fehlermaß der verallgemeinere Fourier-Reihe null is. Hinreichend und nowendig hierfür is die Parsevalsche Gleichung: b = f ( )d Beweis, siehe Scrip k = k z Vollsändigkei V

16 .6.8 S.6 Jordanscher Saz: Die Fourier-Reihe einer in π periodischen Funkion von beschränker Variaion konvergier in jedem abgeschlossenen Inervall gleichmäßig gegen die Summe: f( + ) + f( ) Beweis, siehe Scrip Verhalen an Unseigkeissellen

17 .6.8 S.7 Bijekiviä der Fourier-Reihen vollsändiger orhonormaler Syseme: Die Zuordnung von verallgemeineren Fourier-Koeffizienen vollsändiger, orhonormaler erzeugender Syseme S und Fourier-Summenfunkion is für quadraisch inegrable Funkionen bijekiv. Beweis, siehe Scrip Eineindeuigkeissaz

18 .6.8 S.8 Periodisches Zeisignal Diskrees Spekrum φ k f () a k ff / T / -T / 3 4 ff / Berags- und Phasenspekrum periodischer Signale

19 .6.8 S.9 f( ) π für < < für = = π für < < π für =.35 S( ).5.5 K=.5 a k sin ( k) = 4, k {,3,5, } π k π. π Fourier-Summen der Recheckfunkion I

20 .6.8 S K=.5 S( ) K= S( ) π. π π. π Fourier-Summen der Recheckfunkion II

21 .6.8 S K=.5 S( ).44.5 K= π. π S( ) π. π Fourier-Summen der Recheckfunkion III

22 .6.8 S. Die Funkion f() kann eine beliebige Funkion sein, die physikalische Were repräsenier (Posiion, Pose, Kräfe, Momene, Spannung, Srom usw.). Die Variable kann die Zei, den Or oder eine beliebige unabhängige Variable repräsenieren. Diese Ansäze können auf Vekor- und Marifunkionen mi mehrdimensionalen unabhängigen Variablen erweier werden (Mechanik, Opik, Quanenphysik usw.). Verallgemeinerung

23 .6.8 S Phase.4 z j arcan y Re H( f ) H f = H f e f = f f R S T U k pv W Im kh( f ) p () (), (, ) y...4 Berag Orsfrequenzen

24 .6.8 S.4 Fourier-Transformaion

25 .6.8 S.5 T f ( ) -T / T / Mi einer gegen unendlich srebende Periode T ließen sich die Periodiziäsanforderung eliminieren, so dass aperiodische Signale erfass werden können. Idee des Fourier-Inegrals I

26 .6.8 S.6 f() jk = C e ω jk ω k = k Ck = f( ) e d ω = T T π T In diesem Fall würde ω gegen null sreben. Die einzelnen Harmonischen liegen also beliebig nahe beieinander, so dass sich ein Koninuum von Schwingungen ergib. Führ man formal die Größen so erhäl man: ω π = = T T ω π ein, Idee des Fourier-Inegrals II

27 .6.8 S.7 T ω f() = lim f() e d e T π ω k = T j j ω ω Bei der Ausführung des Grenzüberganges geh die Summaion in das besimme Riemannsche Inegral über. Mi der von Leibniz eingeführen Schreibweise ergib sich: jω jω f() = f() e d e dω π Idee des Fourier-Inegrals III

28 .6.8 S.8 Der in der Klammer sehende Ausdruck wird Bild-, Spekralfunkion oder Fourier-Transformiere genann. Die Spekralfunkion kann nur eine Funkion von jω sein, da über inegrier wird und die Inegrale uneigenliche Inegrale sind. { } ( ) ( ) ( ) ( ) j ω F jω I f jω = f e d { } j f() I F( jω) () = F( ω) e ω dω π Beweis, siehe Scrip Fourier-Inegral

29 .6.8 S.9 Original- bereich f( ) = lim f( + ) + f( ) ε { ε ε } f ( ) Hinransformaion ( ) ( ) j ω F jω = f e d Rückransformaion jω f() = F( ω) e dω π φ( ω) Spekral- bereich (koninuierliches Spekrum) Spekrum F( jω) F( jω) ω ω Fourier-Transformaion

30 .6.8 S.3 Gs () = T s + ϑ T s+ f s. j i. herz s i. herz ϑ T =,5 =, Hz. deg s jω Φ f s. j i 8. deg. herz s i. herz Berag und Phase der Fourier-Transformieren

31 .6.8 S.3 j Im{F( jω)} 6 5 3,,,3,4,5, Re{F( jω)} f / Hz Orskurve der Fourier-Transformieren

32 .6.8 T ω T sin für < rt (, ) = RT (, ω) = sons ω S r(,. ).6.4 R( ω,. ) π ω 6.. π Recheck- und Spalfunkion

33 .6.8 S.33 Disribuion, Falungssaz und Fourier-Inegral

34 Delafunkion.6.8 für k = δ ( k) =, k N sons Ausblendeigenschaf k Diskre f( k) δ ( k n) = f( n) f ( ) f ( ) / δ( - ) + δ () seig an S.34 Koninuierlich für < + lim δ ( ) =, R sons Disribuion (Vereilung; Auflösung) Idee der Disribuion I

35 .6.8 S.35 lim f( ) δ ( ) d = lim f( ) δ ( ) d + lim f( ) δ ( ) d + + lim f( ) δ ( ) d + + lim f( ) δ ( ) d = lim f( ) δ ( ) d + Idee der Disribuion II

36 .6.8 lim f( ) δ ( ) d = lim f( ) δ ( ) d + + = f( )lim δ ( )d + + S.36 = f( )lim δ ( )d = f( )lim d + ( ) = f( ) lim = f( ) lim + = f( )lim = f( ) Idee der Disribuion III

37 .6.8 S.37 Ausblendeigenschaf f( ) δ ( )d = f( ) Die Kommuaiviä der Grenzprozesse der Riemann-Summe bzw. des Riemann-Inegrals und der Delafunkion is hier nich mehr gegeben. Die Disribuion ha nur Sinn im Zusammenhang mi einem Inegral (Grenzprozess der Disribuion nach Inegraion). Diese Funkionenklasse sell eine Erweierung der Differenial- und Inegralrechnung dar (Analog der Erweierung der reellen zu den kompleen Zahlen). Disribuions-Theorie I

38 .6.8 S.38 Disribuionen: δ( ) = lim y(, α) α y (, α) e α π α y (, α) für α < α Disribuions-Theorie II

39 .6.8 S.39 Ihre Eigenschafen bzw. Aiome müssen widerspruchsfrei mi der Analysis fesgeleg werden. Eine Haupeigenschaf sell die Ausblendeigenschaf dar. Durch diese Erweierung werden analog zur kompleen Zahl (Eulerideniä) Zusammenhänge zwischen koninuierlichen und diskreen Beschreibungsformen sichbar, das Differenial nich seig differenzierbarer Funkionen (Sprünge) wird erschlossen und weieres mehr. Dies is für die Technik und Naurwissenschaf von zenraler Bedeuung, da ein derariges Signal- und Sysemverhalen in der Prais nich wegzudenken wäre (Sick-Slip, Schaler umlegen usw.). Nich zulez läss sich hierüber der Falungssaz linearer, zei/shifinvarianer Syseme herleien. Idee der Disribuion V

40 .6.8 S.4 Die Prais benöig eine geeignee durchaus anspruchsvolle Theorie. Häufig wird inuiiv genau umgekehr argumenier. Wenn wir nur genau hinsehen, dann wird deulich, dass diese Inuiion rügen kann. Prais und Theorie

41 .6.8 S.4 Ausblendeigenschaf der Disribuion + = k k k = k dτ k e () lim e( τ ) δ( τ )d τ e( τ) δ( τ)dτ k L sei ein linearer, homogener und zeiinvarianer Operaor e() Le { ()}() τ L{} Konvergenz y () = lim L e( τ k ) δ( τk)dτk k k dτ k y () = L lim e( τ k ) δ( τk)dτk k dτ k k + = L e( τ ) δ( τ )dτ Falungssaz I

42 .6.8 Lineariä und Homogeniä k dτ k k { } y () = lim e( τ k ) Lδ( τk) ()d τk S.4 Zei- bzw. Verschiebungsinvarianz + { } { } y () = e( τ ) Lδ() ( τ )d τ, mi g () = Lδ( τ ) () ( ) ( ) y () = L e( τ τ ) () = L e( τ) ( τ ) k dτ { } y () = lim e( τ ) Lδ() ( τ )dτ k k k k k Falungssaz II

43 .6.8 S.43 Lineariä, Homogeniä und Zeiinvarianz is eine hinreichende und nowendige Bedingung für die Eisenz des Falungssazes (Analog mulidimensional). Die Fourier-Transformaion überführ die Falung in ein Produk der Fourier-Transformieren + y () = g ( τ ) e( τ)dτ Beweis, siehe Scrip (Analog mulidimensional). Y( jω) = G( jω) E( jω) Falungssaz und Fourier-Transformaion

44 .6.8 S.44 Laplace-Transformaion

45 .6.8 S.45 Viele Vorgänge eisieren ers von einem besimmen Zeipunk an, den wir willkürlich zu = sezen. Jede echnische Apparaur muss ers konsruier werden. Sie eisier und nimm ihre Funkion ers von einem besimmen Zeipunk an auf. Beschränk man sich auf Vorgänge, die man kausal nenn, also auf Ursache und Wirkung beruhend, so läss sich ein Dämpfungsfakor e δ, δ > einführen. Dieser Fakor kann für eine erweiere Klasse von Funkionen die Konvergenz des Fourier-Inegrals erwirken (z.b. sin(.) und cos(.)-funkionen, die nur in Erweierung durch die Disribuionen-Theorie Fourier-Transformiere besizen). Moivaion I

46 .6.8 S.46 Muliplizier man eine beliebige Funkion mi der Sprungfunkion für < s ( ) = / für = sons, so erhäl man eine kausale Funkion. Moivaion II

47 .6.8 S.47 Fourier-Transformaion sδ { δ } F ( jω) =I f() s() e ( jω) ( δ ω) ( δ ω) + j + j = f( ) s() e d + f() s() e d = Inverse Fourier-Transformaion δ jω I { Fsδ j } = f s e = Fsδ j e π ( ω) () () () ( ω) dω ( j ) f( ) s( ) Fsδ ( j ) e δ + = ω ω dω π Von Fourier- zur Laplace-Transformaion I

48 .6.8 S.48 Differenial ds= jdω ds dω = j Inegraionsgrenzen s s = δ j = δ + j Im{ s} Inegraionsweg δ + jω Re{ s} Konvergenzebene δ - jω δ + j δ = I { sδ ω } = jπ δ j s f() s() e F ( j ) () F( s) e ds Von Fourier- zur Laplace-Transformaion II

49 .6.8 S.49 Laplace- und Fourier-Transformaion s sδ { } p F( p) = L f( ) s( ) ( p) = f( ) s( ) e d, p= δ + jω { δ } F ( jω) =I f( ) s( ) e ( jω) s δ δ { δ } lim F( p) = lim I f( ) s( ) e ( jω) = F( jω) f() quadraisch inegrabel s Fourier- aus Laplace-Transformiere I

50 .6.8 S.5 n d f n d () n n n () v v () v= s F s s f n ( jω) F( f).... n f( u) (d u) Fs () + n n v+ n f( u)du s v= v ( ) F( jω) + π F() δ( ω) jω n f s Fourier- aus Laplace-Transformiere II

51 R S T.6.8 für > s () = / für = für < jπ f s + πδ( π f ) S.5 für < / rec( ) = / für = / für > / si( π f ) = sin( π f )/ π f e a e a a a ( s+ a )( s+ a ) Korrespondenzabellen

52 .6.8 T + für T / riang( T, ) = T für T / + < Triangle-Puls ( T/ si( Tω/4)) T/ S.5 -T/ T/ 4π/T Recheck-Puls 8π/T ω für < T / rec( T, ) = / für= sons T si( ωt/) T -T/ T/ π/t 4π/T ω Signale I

53 .6.8 S.53 Sprung- oder Sep-Funkion für > s( ) = / für = sons jπ f s + πδ( π f ) s () ω Signale II

54 .6.8 S.54 Idealer Tiefpass f A si ( π f ) A für ω < ωa / rec( ωω, A ) = / fürω= sons f A f = f / B A - ω A / ω A / ω Signale III

55 .6.8 S.55 Ähnlichkeis- und Verauschungssäze

56 .6.8 S.56 Zur Enwicklung der Ähnlichkeissäze sei die I-Transformiere von f( k ), k R berache: Subsiuion: { } y I f( k ) ( y) = e f( k )d v= k dv= kd d= b a dv k kb yv yv k k I { f( k ) }( y) = e f( v)dv e = e k wv I { f( k ) }( y) = e f( v)dv k ka kb ka wv Ähnlichkeissäze I

57 .6.8 Srukurvergleich { f k } I ( ) ( y) kb wv e f( v)dv für k > k ka = kb wv e f( v)dv für k < k ka S.57 Mi der Fallunerscheidung erhäl man in beiden Fällen das gleiche Transformaionsinegral. Der Fakor /k ha die Eigenschaf der Beragsfunkion, so dass man kurz die Gleichung kb y wv I { f( k ) }( y) = I { f( ) }, mi I { f( ) }( w) = e f( v)dv k k ka erhäl. y w = k Ähnlichkeissäze II

58 .6.8 S.58 Ähnlichkeissäze s L { f( k) }( s) = L { f( ) }, k > k k { } jω I f( k) ( jω) = I{ f( ) } k k Ähnlichkeissäze III

59 .6.8 S.59 f () Fjω ( ) fk ( ) Fj ( ω/ k) / k ω ω Ähnlichkeissäze IV

60 .6.8 S.6 Schnelle Bewegungsvorgänge erfordern breibandige Regler und mechanische Überragungsglieder: a () = s () = jk C e P P k jkω ( ω ) { a() }( jω) ( jω) { s() }( jω) I = I { m a ()}( jω) mω { s ()}( jω) I = I k Massive Syseme sind Träge bzw. nur zu niederfrequenen Bewegungen in der Lage (Hochfrequener Flügelschlag des Kolibri und langsame Bewegungen von Elefanen). Inerpreaionen

61 .6.8 Für die Herleiung des Verauschungssazes geh man von den Fourier-Inegralen aus und überführ ω in und in ω (Symbolisch: ω und ω). Durch Subsiuion ω -v dω - dv ergib sich für die Fourier-Transformiere: jω jv jv F () = f( ω) e d = f( ve ) d v= f( ve ) dv Der srukurelle Vergleich mi dem Fourier-Inegral zeig, dass die Gleichung F ( ) =I f( j ) ( ) { π ω } gil, so dass man uner Berücksichigung des Ähnlichkeissazes erhäl. F( ) =I f( j ) ( ) { π ω } Verauschungssaz I S.6

62 .6.8 S.6 Geh man somi von einer bekannen Korrespondenz aus, überführ ω in - und in ω (Symbolisch: ω - und ω) und muliplizier f(jω) mi π, so erhäl man eine neue Zuordnung. Wegen der vorgenommen Verauschung der Symbole wird der Saz als Verauschungssaz bezeichne: F( ) =I f( j ) ( ) { π ω } Verauschungssaz II

63 .6.8 S.63 Fourier-Inegral, Fourier-Reihe, Falung und Abasung

64 .6.8 S.64 Digiale Lageregler von Maschinen Kuka Schaublin w () e () A/D T ekt ( ) ukt ( ) Digiales Sysem D/A u () Regelsrecke y () Analoge- und digiale Syseme

65 .6.8 S.65 Haleglied Abaser () δ( ) Π( ) T () δ( ) Π( ) T Abas- und Haleglied

66 .6.8 S.66 Man kenn somi zwei Zeifunkionen f () und f () und deren Laplace-Transformiere F (s) und F (s). Es sell sich nun die Frage, welcher Operaor im Zeibereich ϕ der Muliplikaion der Transformieren ensprich? Dami erhalen wir formal { { } } { } { } L ϕ gu (), f()()() u s = L g ()()L s f()() s = Gs () Fs () In der Noaion des speziellen Fredholmschen Inegrals (Fourierund Laplace-Inegrals): { ϕ { } } = { } { } I gu ( ), f( u) ( ) ( y) I g ( ) ( y) I f( ) ( y) Falungssaz I

67 .6.8 S.67 b y Ausgehend von I { f( ) }( y) = e f( )d, erhäl man das Produk zweier Transformierer { } { } y y I f( ) ( y) I g( ) ( y) = e f( )d e g( )d Was idenisch mi { } { } y vy I f( ) ( y) I g( ) ( y) e e f( ) g( v)ddv b a a b b = a a b b ( + v) y e f( ) g( v)ddv a a = b a Falungssaz II

68 .6.8 S.68 Koordinaenransformaion τ = + v v= u bzw. τ = + v = τ v= τ u v= u τ u obere Grenze: b + b b unere Grenze: a + a a Funkionaldeerminane v ( v, ) τ τ v v = = ( τ, u) v τ u u τ u u = ( ) = Falungssaz III

69 .6.8 S.69 aa ( v, ) ( τ, u) bb yτ I { f( ) }( y) I { g( ) }( y) = e f( τ u) g( u) dudτ bb yτ = e f( τ u) g( u)dudτ aa Der Kern der Inegralgleichung kann vor das innere Inegral gezogen werden, da er keine Funkion von u is, so dass man weier b b yτ I { f( ) }( y) I { g( ) }( y) = e f( τ u) g( u)du dτ a a erhäl. Falungssaz IV

70 .6.8 Da für die Inegraionsgrenzen a =, b oder a, b gil, is das äußere Inegral idenisch mi der I-Transformaion, sofern die Funkionen Quadraisch Inegrabel sind. Sind die Funkionen f und g kausal, so is das Produk der Funkionen nur für τ u τ u und u ungleich null. Insofern muss in diesem Fall das innere Inegral nur im Inervall [, τ ] ausgewere werden. b b Daher ergib sich: yτ e f( τ u) g( u)du dτ a a I { f( ) }( y) I { g( ) }( y) = mi b τ yτ e fs( τ u) gs( u)du dτ a a =, b a, b S.7 Falungssaz V

71 .6.8 S.7 Durch den srukurellen Vergleich mi der I-Transformaion erhäl man den gesuchen Operaor zu: Falungssaz b f( u) g( u)du a ϕ( ) = I = { I { f( ) }( y) I { g( ) }( y) }( ), mi fs( u) gs( u)du a =, b a, b Falungssaz VI

72 .6.8 S.7 L f( u) g()d u u () s = L { f()()l } s { g()() } s δ + j L { f( ) g( ) }( s) = F( s u) G( u)du jπ δ j I f( u) g( u)d u ( jω) =I{ f( ) }( jω) I{ g( ) }( jω) I{ f() g() }( jω) = F( j( ω u)) G( ju)du π Falungssäze

73 .6.8 S.73 lineares, homogenes shifinvarianes Sysem e () y () = g () g ( τ ) ( τ)dτ Es () Gs () Ys () = Gs () Es () Ej ( ω) Y( jω) = G( jω) E( jω) Sysemmodell

74 .6.8 kausales, lineares, homogenes shifinvarianes Sysem s () h () = g () g( τ )dτ S.74 /s Gs () Ys () = Gs ()/ s /( jω) + π δ( jω) Y( jω) = G( jω) ( /( jω) + π δ( jω) ) g ( ) = h ( ) Sprunganwor

75 .6.8 S.75 Idealer Tiefpass ĥ h() y () % 5% Wendepunk e Ma Kuka ε v = ĥ a Schaublin -ω B ω B ω % u a 5% Ma ε f B = a f B v v h ˆ fa 4 h ˆ Nur für Kenngrößen verwendbar. Sprunganwor des idealen Tiefpasses

76 .6.8 S.76 i A Gleichsrommoor R A k M u A i A u A L A k A M A M L ω u e J ϕ M A Kuka Schaublin ϕ ua s U s s 3 d φ() 3 A() Nur für Kenngrößen verwendbar. Tiefpassverhalen von Maschinen

77 .6.8 S.77 Elekromechanische Maschinen weisen ein Tiefpass- verhalen auf (Analog für mechanische Syseme) Die Bewegungen müssen bis zur drien Ordnung seig differenzierbar sein (Ruckverhalen; Ansonsen unphysikalische Bewegungen, die nich verwirklichbar sind) Massive Syseme sind räge und haben eine geringe Überragungsbandbreie (Kolibri und Elefan) Überragungsbandbreien wachsen proporional mi der Geschwindigkei und umgekehr proporional mi der Sprungweie (siehe auch Ähnlichkeissäze) Konsequenzen

78 .6.8 S.78 Disribuion rigonomerische Funkionen und Abasung

79 .6.8 { } jω I F( ω) ( ) = F( ω) e dω F( ω) = π δ( ω ω) π j j I { πδ( ω ω) }( ) = δ( ω ω) e ω dω= e ω S.79 ( ) { π δ ω ω δ ω ω } I + + ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) = + + jω δω ω δω ω e dω ( jω ) jω = e + e = cosω Disribuion, e- und rigonomerische Funkionen I

80 .6.8 S.8 ( ) { jπ δ ω ω δ ω ω } I + ( ) ( ) ( ) j j ω ( ( ) ( ) ) e d = δω+ ω δω ω ω ( jω ) jω = j e e = j jsinω = sinω Disribuion, e- und rigonomerische Funkionen II

81 .6.8 cosω sinω j e ω ( ( + ) + ( )) π δ ω ω δ ω ω ( ( + ) ( )) jπ δ ω ω δ ω ω πδ( ω ω ) S.8 Fourier-Reihe als Fourier-Transformiere jk Ck e ω Ck k k = π δ( ω ω ) k = Disribuion, e- und rigonomerische Funkionen III

82 .6.8 S.8 f () πδ( ω ) Fjω ( ) + ω πδ ω ( ω) T -ω ω ω cosω ( ( + ) + ( )) π δ ω ω δ ω ω jkω I Ck e ( jω) = π Ck δ( ω kω) k= k= Disribuion, e- und rigonomerische Funkionen IV

83 .6.8 S.83 Periodisches Signal als Fourier-Reihe f (, T ) C e ω A jk = k FA j T Ck k k= ( ω, ) = π δ( ω ω ) k= Periodische Abasung (Muliplikaion) f() fa(, T) π Ck F( j( ω u)) δ( u kω)du π k = = k π k = π C F( j( ω u)) δ( u kω )du = Ck F( j( ω kω)) k = Periodische Abasung I

84 .6.8 S.84 f () f (, T ) FA( jω,t ) A T ω ω ω Frequenzüberlappung Aliasing I { f() f (, T )}( j( ω) = C F( j( ω kω )) A k k = Periodische Abasung II

85 .6.8 S.85 Bandbegrenze Signale FA( jω,t ) ω ω B ω / ω ω I { f () }( jω ) B F = B ( jω) für ω < ω sons B Periodische Abasung III

86 .6.8 S.86 Aufgrund des Eineindeuigkeissazes der Fourier-Transformaion lassen sich bandbegrenze Signale eindeuig aus ihren diskreen Weren rekonsruieren (Shannonsches Abasheorem). Die diskreen Were repräsenieren das bandbegrenze Signal vollsändig (kein Informaionsverlus). Die Rekonsrukion erfolg über den idealen Tiefpass: G IT ( jω ) = für sons ω < ω Periodische Abasung IV

87 .6.8 S.87 Zwei- und Mehrdimensionale Signale (Fräsen von Flächen, Bildverarbeiung usw.)

88 .6.8 S.88 for < q / rec( q, ) = / for = q/ for > q / si( qπ f) = sin( qπ f ) qπ f rec-funcion rec - Funkion si-funkion si X / yy / 5 f / q π f / qy π Inegraion und Abasung I

89 .6.8 S.89 Inegraion Xz () f = a a a ( a f ) ( a f ) ( a f ) X ( f) Π 3 si π si π si 3π 3 Bandbreie (erse Nullselle) f = / B i a i Scanning X () X ( f n f, f n f, f n f ) z Πδ f = z Π n = n = n = 3 f = / T, i {,, 3} Aperur a f = a / T, i {,, 3} i i i i i i Inegraion und Abasung II

90 .6.8 S.9 MÜF / MÜF Ma / % fd y y f d Aperur % 66,6 33, Aperur 4% Aperur 8% Aperur 99% Dreiecksspekrum Inegraion und Abasung

91 .6.8 S.9 Signal Signalspekrum Spekrum Shannon Abasbedingung.5 X B () f n X() f für i= fi < fb i = fi / = sons f / f f y / fy i {,,..., n} f f i Bi Mulidimensionales bandbegrenzes Signal

92 .6.8 Räumlich abgeasees diskrees Signal Signal X rec-funkion rec-funcion S.9.5 f / f.5 Signalspekrum f y / fy Signalspekrum f f / f y / fy.5 f fy f / f / y Idealer Tiefpass

93 .6.8 S.93 Räumlich diskrees Signal abgeasees Signal X,, Y,,, Z, Z Aliasing

94 .6.8 S.94 Maschinendynamik und numerische Berechnungen Kuka Schaublin

95 .6.8 z F z F Maschinenfundamen Maschinengesell Werkzeug- Werksück z 3 F 3 S.95 c c m d m d m 3 m z d d z c c z F m z + d d + d d z + c c + c c z = F m 3 z 3 d d z 3 c c z 3 F 3 Gekoppele Massen mi drei Freiheisgraden

96 .6.8 m z d d z c c z F m z + d d + d d z + c c + c c z = F m 3 z 3 d d z 3 c c z 3 F 3 S.96 Syseme werden in CAD vom Menschen inerakiv definier und die Marizen werden von der Sofware vollauomaisch generier. My + Dy + Ky= f Eisenz von M + + = y M Dy M K y M f Zusandsmodell I

97 .6.8 S.97 y = M Dy M K y+ M f Neue Zusände ẏ z = Az+ f z y E y = + y M K M D y M f Die Dimension der Sysemmari A is von der Ordnung f f. Hierbei definier f die Freiheisgrade des Sysems. Die Mari is im Allgemeinen weder symmerisch noch ha sie eine Bandsrukur. Zusandsmodell II

98 .6.8 S.98 Ansaz: d z d = Az + fz Toales Differenial: d z = Azd + f z d z() d z = Azd + f d z z z() = Azd+ fz d+ z Inegraion des Zusandsmodells I

99 .6.8 S.99 Taylor-Reihenenwicklung: z( ) = z( ) + z ( )( ) + R(, ) i i i i i i i ( ) z( ) = z( ) + A( ) z( ) + f ( ) ( ) + R(, ) i i i i z i i i i i Anfangsbedingung: z( ) z ( ) z( i) = z( i ) + A( i ) z( i ) + f z ( i ) ( i i ) Numerische Inegraion des Zusandsmodells I

100 .6.8 S. Dabei sind die Zeidifferenzen i i so zu wählen, dass die Resglieder R( i, i ) hinreichend klein ausfallen. Eine Verbesserung dieser numerischen Inegraion läss sich mi den Runge-Kua-Verfahren verwirklichen. Hierbei wird das Zeiinervall in mehrere Inervalle zerleg, um eine verbessere Prädikion des Folgezusands zu erwirken. Für weiere Einzelheien zu den Runge-Kua-Verfahren und der Schriweienseuerung der numerischen Inegraion sei auf einschlägige Lieraur verwiesen. Numerische Inegraion des Zusandsmodells II

101 .6.8 S. = A Ansaz: = i mi e λ i Schwingungsmodi ( λ ) i mi e = A mi e λ i λ e = A λi i mi mi e λ i = λ i m i Am i ( λ ) λ A = E A = i mi mi i mi mi Eigenwere Eigenvekoren ( λi E A) = ( i ) m λ E A = i Eigenwere und Eigenvekoren I

102 .6.8 S. { } ( λ E A) = ( λ E A) de = Eigenwere ( λ E A) = Eigenvekoren ( λ E A) m = { } Charakerisische Gleichung ( E A) de λ = Eigenwere und Eigenvekoren II

103 .6.8 S.3 My + Dy + Ky= f Zeiinvariane Syseme/Marizen und verschwindende Anfangsbedingungen s MY() s + sdy() s + KY() s = F() s Y() s = s F() s M + sd+ K Eigenwere bzw. Pole charakerisieren das dynamische Verhalen des Sysems Laplace-Transformiere des Zusandsmodells