Informationstechnik. Script zur Vorlesung

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1 Informaionsechnik Scrip zur Vorlesung Prof. J. Waler Sand April Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

2 Einführung in die Informaionsechnik Was is Gegensand der Informaionsechnik? Die Leisung verschiedener Verfahren der Informaionsechnik mieinander zu vergleichen Die Chancen und Grenzen ihrer Leisungsfähigkei aufzuzeigen Die neuen Enwicklungen der Informaionsechnik zu sudieren und geeigne einzusezen. Die Auswirkungen der neuen Kommunikaionsformen und das Sudium der durch das BMBF erkannen Veränderungen. hp:// Das folgende Inhalsverzeichnis erklär sich aus dem nachfolgenden Blockschalbild für die Nachrichenüberragung. Jedes Kapiel verief beispielhaf ein Grundproblem innerhalb des Blockschalbildes. Die ersen Kapiel sind in klassischer Ar und Weise gehalen. Ab dem fünfen Kapiel werden bewuß neuere Informaionsechniken vorgesell. Dies insbesondere aufgrund der Inerdisziplinariä des Fachbereichs Mecharonik.. Einführung in die Informaionsechnik (dieses Kapiel) Zeig den Gegensand und die Abgrenzung der Informaionsechnik auf. Der Rahmen vom "Allgemeinenen Blockschalbild für die Informaionsechnik" bilde gewissermaßen die Abgrenzung gegenüber den anderen echnischen Wissenschafgebieen.. Signale und Syseme Zur Idenifikaion von Sysemen eignen sich besimme Signale. Eine Eineilung der einzelnen Signale in verschiedene Klassen, ermöglich den Zusammenhang, zu den mahemaischen Werkzeugen herzusellen. Sysemanalyse Sysemsynhese Sysemidenifikaion Abasheorem Beschreibung von Sysemen im Zeibereich und Frequenzbereich Koninuierliche Signale - Differenialgleichung / Fourierreihe / Fourierinegral diskree Signale Differenzengleichung DF/FF Fourier-ransformaion Laplace-ransformaion Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

3 Mechanisches Feder-Masse-Dämpfungssysem Polsellenunersuchung G(s) 3. Fourierransformaion; Anwendungen in der Informaionsechnik Die Fourierransformaion biee die Möglichkei koninuierliche Signale bzw. deren Informaionsgehal in einer anderen Ar darzusellen und zu beschreiben. Diese Darsellung ermöglich, wesenliche Signaleigenschafen besser zu erkennen und leicher Berechnungen durchzuführen. 4. Abassaz; Sample-and-Hold-Sufe Dieses Kapiel zeig, wie koninuierliche Signale in diskree Signale umgewandel werden können. Hierdurch enseh die Möglichkei die Signalverarbeiung und Überragung in digialer Form durchzuführen. Die Digialisierung dieser Signale kann im Schema der Nachrichenüberragung an verschiedenen Sellen safinden. Ebenso kann die Umwandlung vom diskreen Signal in ein koninuierliches Signal an den verschiedenen Schniselllen innerhalb der Blöcke des Schemas der Nachrichenüberragung safinden. 5. Numerische Verarbeiung digialer Signale Gläen, zweimaliges Gläen Kleinses Fehlerquadra Differenzieren numerisch Inegrieren numerisch rapezregel Kepler sche Fassregel, 3/8 Regel Newon Coes Formel Numerische Inegraion gewöhnlicher Diffenrenialgleichungen Homogene DGL, Inhomogene DGL Polygonzugverfahren nach Euler Explizies Polygonzugverfahren Grafische Darsellung des Polygonzugverfahrens Implizies Ploygonzugverfahren rapezverfahren nach Heun 6. Digiale Filer Z-ransformaion 7. Korrelaionsrechnung 8. Ampliudenmodulaion Für die Mehrfachausnuzung eines Überragungsweges und die ransponierung der Signale in Frequenzlagen, welche für die Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

4 Überragung günsig sind, wird im Sender modulier und im Empfänger demodulier. Haupsächlich wird in diesem Kapiel die Ampliudenmodulaion behandel. Die wesenlichen Unerscheidungsmerkmale zu den anderen Modulaionsaren werden kurz besprochen. Klassische Erklärung Informaionsechnik Zerlegen wir zu Beginn unseres Sudiums der Informaionsechnik das Wor "Informaionsechnik". Informaionsechnik in Informaion / echnik Informaion kann durch folgende Begriffe im üblichen Sprachgebrauch synonym ersez werden: a) Nachrich b) Meldung c) Bescheid d) Mieilung e) Auskunf f) Hinweis g) Angabe echnik kann durch folgende Begriffe synonym verwende werden: a) Handhabung b) Verfahren c) Mehode d) Wissenschaf e) heorie Diese Vieldeuigkei im üblichen Sprachgebrauch is für die Naurwissenschaf unbrauchbar. Um die Mehoden der Naurwissenschaf anzuwenden, müssen wir zuers das Problem "Informaionsechnik" klar formulieren bzw. darsellen und anschließend am Beispiel kriisch überprüfen. Eine mögliche Ar der Beschreibung is die Darsellung der "Informaionsechnik" als Blockschalbild: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

5 Bild : Allgemeines Blockschalbild für die Informaionsechnik Informaionsquelle: Diese erzeug die ursprüngliche Nachrich. Die Nachrich kann eine diskree Funkion oder eine koninuierliche Funkion der Zei oder des Ores sein. Beispiele für Informaionsquellen die eine diskree Funkion erzeugen:. Blinklich; Bremslich; Rückfahrleuche; ( Ja - Nein - Informaion ). PC bei PC - PC Kommunikaion über serielle oder parallele Schniselle 3. elex: Charakerisisch is hierbei die Unerscheidung von einzelnen, klar abgrenzbaren Zeichen. Beispiele für Informaionsquellen die eine koninuierliche Funkion erzeugen:. Plaenspieler ( Orsinformaion ). Sänger 3. Analoge Uhr 4. Benzinanzeige Sender: Der Sender wandel die Nachrich in eine für die Überragung geeignee Signalform um. Beispiele hierfür:. Simmbänder Signalform: Druckschwankungen. Radiosender: Signalform: Elekromagneische Wellen ( mi Modulaionseinrichung ) 3. USAR: Signalform: +- V ( 85 ) Bausein Überragungskanal: Der Überragungskanal überbrück die räumliche Enfernung zwischen Sender und Empfänger. Beispiele:. Elekrische Leiungen: ( PC-PC-Kommunikaion; elefon ). Luf ( Gespräch ) 3. Vakuum ( Elekromagneische Wellen ) Empfänger: Im Empfänger erfolg die Umsezung vom empfangenen Signal in die primäre Nachrich. Beispiele: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 5

6 . Ohr. Radioempfänger ( Demodulaion - Energieumsezung im Lausprecher ) 3. PC Informaionsverbraucher Is die Person oder Maschine, für welche die Nachrich besimm is. Überprüfung des Schemas für die Nachrichenechnik Um das aufgezeige Schema zu prüfen, sollen wir Beispiele von Nachrichenüberragungssysemen an dem Schema überprüfen.. Einfache Kommunikaion von Dozen - Suden Informaionsquelle Dozen Informaion "Noch is alles sehr absrak" Sender Simmbänder / Mund Signal Druckschwankungen Überragungskanal Luf Empfangssignal Druckschwankungen Empfänger Ohr Informaion "Noch is alles sehr absrak" Informaionsverbraucher Suden. Einfache Kommunikaion PC - PC Informaionsquelle Haupspeicher - Harddisk - Floppy-Disk Informaion "Vorlesung Nachrichenechnik" Sender USAR-Bausein ( 85 ) Signal Elekrisch +/-V Überragungskanal elekrische Leiung Empfangssignal + / - V Empfänger USAR-Bausein ( 85 ) Informaion "Vorlesung Nachrichenechnik" Informaionsverbraucher Haupspeicher - Harddisk - Floppy-Disk Welche Schwachsellen oder Grenzen ha das Allgemeine Schema der Nachrichenüberragung? Schwachselle : Informaionen können gesör sein. Sörungen können an jedem Block des Schemas aufreen. Im Allgemeinen geh die Nachrichenechnik jedoch von der ungesören Informaionsquelle, d.h. von einer ungesören primären Informaion aus. Ebenso sez man meis einen ungesören Informaionsverbraucher voraus. Sörungen reen also meis bei der Energieumwandlung im Sender - Empfänger und beim Überragungskanal auf. Diese Sörungen können sehr einfach im Modell ergänz werden Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 6

7 Bild : Allgemeines Schema der Nachrichenüberragung mi Sörquelle im Überragungskanal Grenzen: Inerpreaion der Informaion - Um die Informaion zu verbrauchen, muß eine gemeinsame Wissensbasis zwischen Informaionsquelle und Informaionsverbraucher vorhanden sein. Diese Verbindung zwischen Informaionsverbraucher und Informaionsquelle is nich Gegensand der Nachrichenechnik. Dies is Arbeisgebie der Linguisen und Philosophen. Bisher wurde ein sehr wichiges Wor in den Blockschalbildern großzügig übergangen. Signal physikalische Darsellung von Nachrichen oder Daen Signalaren y Wer / Ampliude x Zei/ Or Beispiel a koninuierlich koninuierlich Mikrofon b koninuierlich diskre S&H c diskre koninuierlich Ausseuerungsanzeige d diskre diskre A/D-Wandler Bild 3: Signalaren In den nachfolgenden Bildern sind die verschiedenen Signalaren dargesell Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 7

8 A wer- zeikoninuierlich A werkoninuierlich - zeidiskre a / x b / x A werdiskre - zeikoninuierlich A werdiskre - zeidiskre c Bild 4: Signalaren / x d / x Vorwiegend werden in der echnik analoge, d.h. wer- und zeikoninuierliche sowie digiale, d.h. wer- und zeidiskree Signale verwende. Signalklassen Eine weiere Eineilung der Signale bezieh sich nich auf die Ar der Signale, sondern auf die Eigenschafen der Signale. Die Eigenschafen legen fes, zu welcher Klasse die Signale gehören. analoge / digiale Signale sochasische Signale deerminisische Signale saionäre nich saionäre periodische Signale Signale Signale nich period. Signale harmonische Signale allgemeine Signale quasiperiodische Signale Übergangsvorgänge Bild 5: Signalklassen Beispiele für die Signalklassen Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 8

9 harmonisches Signal Nezspannung Sirene allgemeines periodisches Signal on einer Geige Ausschwingvorgang einer Giarrensaie quasiperiodische Signale Geräusch roierender eller Übergangsvorgänge Zupfen ( Anregung ) der Giarrenseie Ein- Ausschalvorgänge bei RC-Glied saionäre sochasische ( zufällige, nich vorhersagbare )Signale Geriebegeräusch Geräusch eines Oomoors Sprechen eines Vokals nich saionäre sochasische Signale Sprache Geräusch eines Oomoors bei Kolbenfresser Aufgrund der Signalklasse wird die mahemaische Beschreibungsform gewähl. Eineilung und Kenngrößen von Signalen Dieser eil soll einen Überblick über die wichigsen Bezeichnungen, Definiionen und Geseze aus dem Gebie der heoreischen Elekroechnik geben, sowei sie für die Informaionsechnik erforderlich sind. Die Darsellung ha einen mehr aufzählenden Charaker und dien zum Nachschlagen. Die Bezeichnungen sind alle nach DIN. Die mahemaische Formulierung der Kenngrößen erfolg für koninuierliche und diskree Signale. Zur Unerscheidung der Darsellung wird folgende Vereinbarung für das Symbol der Variablen geroffen: ( ) zeikoninuierliches Signal [ n ] zeidiskrees Signal Periodendauer x() = x( + ) = x( + m ) [ ] [ ] xn = xn+ N für alle N m, N ganzzahlig Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 9

10 Gerades Signal x() = x( ) [ ] = [ ] xn x n Ungerades Signal x( ) = x( ) [ ] = [ ] x n x n Gleichspannung und Gleichsrom U = Gleichspannung I = Gleichsrom werden mi Großbuchsaben bezeichne und beschreiben saische, d.h. zeilich konsane Größen. Die harmonische Schwingung - harmonisches Signal Für die Darsellung wird eine allgemeine im mahemaischen Sinne f() und eine für die elekroechnische Anwendung u() gebräuchliche Schreibweise gewähl. f () = a$ *sin( ω + ϕ) u () = U$ *sin( ω+ ϕ ) u () U$ ω f ϕ = Momenanwer der Spannung = Spizenwer der Spannung = Kreisfrequenz = πf = Frequenz = Nullphasenwinkel Bemerkung zu w w = Kreisfrequenz, wird aber auch als Frequenz bezeichne, wenn Verwechslung mi f ausgeschlossen is. Empfehlung is aber, immer den Ausdruck Kreisfrequenz zu verwenden. ω = * π * f Um die Kurve u () = U $ *sin( ω + ϕ) darzusellen, wählen wir: U = 3 V f = 5 Hz => =, s j = 74, Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

11 = -,5 s...,7 s mi D =,4 d.h. 5 Süzsellen in einer Periode Ein abellenkalkulaionsprogramm, z. B. Excel, biee die Möglichkei die Parameer U, ju, f zu ändern und unmielbar die Auswirkung im Diagramm zu sehen. Für den Aufbau des Diagrammes is folgende Vorüberlegung durchzuführen: Die unabhängige Variable, in unserem Fall solle in der ersen Spale sehen, das Ergebnis nämlich die abhängige Variable u in der zweien Spale. Alle anderen Größen können wir beliebig anordnen. Die Parameer U, f, ju gehen jeweils in die Formel für u ein. Daher is den Feldern, die diese Parameer enhalen ein Namen zu vergeben, dami vermieden wird, daß in den jeweiligen Ergebnisfeldern von u keine relaive Adressierung safinde. Inkremen = / 5 =,4 Nullphasenwinkel = j =,3 w = w = 3,4597 Außerdem finden Sie in der uneren abelle noch die Größen j in Grad ( 74,48453) und die Größe j/w =,4383. Dies is genau der Absand des Schnipunkes der Kurve mi der x-achse im negaiven eil nahe des Nullpunkes. Dieser Absand ensprich dem Nullphasenwinkel. Ändern Sie einmal die fe und kursiv formaieren Größen 3, 5,,3. Sie können das abellenfenser und das Diagrammfenser unereinander anordnen und sehen so unmielbar die Auswirkungen Ihrer Parameeränderungen. [s] u / [V] U / [V] f / [Hz] w j /[s] /5 /[s] 3 5 3,4597,3,,4 -,5 -,984 74, ,48 - j/w,6946 -,44 -,4664,4383 Bild 6: Ausschni aus abellenkalkulaion Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

12 Sinusförmige Spannung 4 3 u [V] -,5 -,3 -, -,8,8,48,68,88,8,8,48,68,88,8,8,48, [s] Bild 7: Sinusförmige Spannung u () = U $ *sin( ω + ϕ) erzeug mi EXCEL U_SIN.XLC Durch diese Möglichkei, die heoreischen Signale sehr einfach grafisch zu erzeugen, haben wir die Voraussezung geschaffen, ebenso die Summe von mehreren Signalen einfach darzusellen. Ein weieres Merkmal für die unersuche Signalklasse "Sinusförmige Signale" is der Effekivwer. Dieser kann über eine Leisungsberachung berechne werden. Der Effekivwer U eff = / / ud Warum Leisungsberachung? P = U * I = U² / R = cons. * U² bei Wirkleisung P u () = = R / u d () * R / Zur Erinnerung sei nochmals der Mielwer aufgeführ. x () = xd () oder für eine Spannung u() u () = ud () Berechnen wir den Effekivwer für das Spannungssignal u () = U $ *sin( ω + ϕ ) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

13 U eff / = ud= U + ( $ *sin( ω ϕ)) d / / / = * U $ =, 77* U $ Vorsich! Nur im Fall einer sinusförmigen Spannung - Srom kann man einfach mi,7 muliplizieren. Überprüfung auf periodisches Signal Für ein periodisches Signal gil: u ( ) = u ( + ) Prüfen wir dies in Bild 7 nach: Wir können einen beliebigen Zeiwer nehmen, z.b.,48. Die Ampliude u is,98 V. Es gil dann: u (,48 s ) =,98 V = u (,48s +,s ) = u (,48s ) =,98 V Allgemeine periodische Signale Diese werden auch als "periodische nichsinusförmige Spannungen und Sröme" bezeichne. Periodische nichsinusförmige Spannungen können nach Fourier durch Überlagerung unendlich vieler sinusförmiger Spannungen ( Spekrum ) mi im allgemeinen unerschiedlichen Ampliuden ( Ampliudenspekrum ) und unerschiedlichen Nullphasenwinkeln ( Phasenspekrum ) dargesell werden. Die Zerlegung bzw. Ermilung der Fourierkoeffizienen is hema von Kapiel 3. Lassen Sie uns deshalb zuers den umgekehren Weg gehen und eine nichsinusförmige Spannung erzeugen. Die nichsinusförmige Spannung, wird aber nich aus unendlich vielen sinusförmigen Spannungen, sondern sehr viel realiäsnaher aus der Summe von verschiedenen sinusförmigen Spannungen besehen. Hier verwenden wir wiederum ein abellenkalkulaionsprogramm. u () = U_ * sin ( w_ * + j_) + U_ * sin ( w_ * + j_) + U_3 * sin ( w_3 * + j_3) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

14 Die Parameer legen wir beliebig fes ( Wie in abelle ) Die höheren Kreisfrequenzen sind aber ganzzahlige Vielfache der unersen Kreisfrequenz.. Allgemeines periodisches Signal u() -, , , ,3683 3,399 4, ,9694 7,6833 8, x[s] Bild 8: Periodische nichsinusförmige Spannung ( Excel ALLG_PER.XLC) Zur Erinnerung sei nochmals die Fourierreihe aufgeführ. a y ( ) = + acosω+ acosω+ a3cos 3ω+... bsinω+ bsinω + b3sin 3ω+... a = + / yd () / $A= a + b $A = a + b k k k Übung: Umrechnungen nach Addiionsheorem Das charakerisische eines allgemeinen periodischen Signals is das Aufreen von ganzzahligen Vielfachen der Grundschwingung Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

15 Deerminiere nich periodische Signale Quasiperiodische Signale Diese werden nur der Vollsändigkei halber erwähn. Die Kreisfrequenzen w i = π f i haben kein ganzzahliges Verhälnis zur Grundfrequenz. Die Funkion ha dami einen zeiabhängigen Charaker. f ( ) =,5 * sin w +,3 * sin,3w +,5 * sin,7w Quasiperiodische Signale - nich periodische Signale,8,6,4, u() -, ,383 -,397 -, ,683 -, , -,566,5664,37699,6839,879646,3973,383,63368,884956,3683,3876,638938,8965 3,4593 3,399 3, , ,469 4,3983 4, ,9885 5,5 5, , ,9694 6,575 6, ,6676 6,954 7,683 7,4459 7, ,9683 8,684 8, ,4 -,6 -,8 [s] Bild 9: Quasiperiodische Spannung (Excel QUAS_PER.XLC ) Übergangsvorgänge Hieruner fallen Impulse, ransienen, mi anderen Woren unperiodische nich sinusförmige Signale. u() Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 5

16 Bild : Impuls - Übergangsvorgang Diese Signale lassen sich nich mi diskreen Frequenzen beschreiben. Man muß den Übergang zu unendlich vielen Frequenzen durchführen und komm somi von der Fourierreihe zum Fourierinegral. Durch diesen Übergang enseh ein koninuierliches Spekrum. F( ω) f ( )* e j ω = d Fourierransformaion Sochasische Signale Negaiv formulier, sind dies die nich deerminieren Signale. Für diese Signale is f() der exaken mahemaischen Beschreibung nich mehr zugänglich, aber rozdem läß sich eine mahemaische Beschreibung mi saisischen bzw. wahrscheinlichkeisheoreischen Mehoden durchführen. Saionäre Zufallssignale Saionäre Zufallssignale sind Signale, deren Wer zufällig is, deren Vereilung aber konsan bleib. Nich saionäre Zufallssignale sind Signale deren Wer zufällig is und deren Vereilung ebenfalls veränderlich is. sochasisches Signal Vereilung des sochasischen Signals x,5,4,3,, -, -, -, x,5,4,3,, -, -, -,3 -,4 -,4 -,5,,4,6,8,,,4 p(x) Bild : Sochasisches Signal und dessen Vereilung In der obigen Darsellung des sochasischen Signals x() is der Werebereich des Signals x von -,5 bis, Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 6

17 Die Wahrscheinlichkei p(x) is durch Eineilung in Werebereiche xi i =... berechne worden. Hierbei geh das erse Inervall von -,5 bis -,4 das zweie Inervall von -,4 bis -,3 u.s.w. Weierhin wurde berücksichig: pxdx ( ) = in unserem Fall bedeue dies: pxi ( ) = Sicherlich is diese Darsellung ewas ungewohn, wenn dies mi den üblichen mahemaisch korreken Darsellungsweisen verglichen wird. In diesen Darsellungen wird immer lim lim x und verwende, was sicher korrek is, aber nichs mi der Realiä, d.h. mi einer ingenieurmäßigen Aufgabe, die immer in der realen endlichen Wel exisier, zu un ha. Was kann eine solche Aufgabe sein? esen Sie einen A/D-Wandler. Diese Aufgabe läß sich mi der Ermilung der Vereilung lösen. Arbeie der A/D-Wandler korrek, muß bei der Vereilung einer Dreiecksspannung ein Recheck erscheinen. - Übung: Wie sieh die Vereilung einer Sinuskurve aus? Mielwer E( x) = µ x = x* p( x) dx Quadraischer Mielwer E( x ) = ψx = x * p( x) dx Varianz σx = ( ψ x µ x) = ( x µ ) * p( x)dx Diese Kennwere auch mi Momene bezeichne, sind keine Funkionen der Zei! Ergodenhypohese Die Ergodenhypohese besag, daß für einen Signalprozeß die Scharmielwere gleich dem Zeimielwer eines einzigen eilprozesses angesez werden kann. Diese Hypohese läß sich an einem einfachen Beispiel erklären: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 7

18 Es sollen Säbe mi der Länge m hergesell werden. Angenommen Sie beaufragen Sudenen, jeweils einen Sab mi der Länge m herzusellen. Messen Sie anschließend die Säbe sind die Säbe zu kurz oder zu lang oder evl. genau richig. Sie können dieses Ergebnis als Vereilung darsellen. Die Ergodenhypohese besag nun, dass wenn Sie diese Aufgabe einem einzigen Sudenen geben das gleiche Ergebnis für die Vereilung enseh Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 8

19 Einführung in die Fourierransformaion Warum sind ransformaionen ein wichiges Hilfsmiel? In der Sprachwissenschaf bedeue die Aussage "einen Ausdruck ransformieren" lediglich, den Ausdruck nach besimmen Regeln in einen anderen Ausdruck mi demselben Inhal umzuwandeln. Die Aussage und deren Inhal bleiben also gleich, wobei die Ausdrücke wechseln. In gleicher Ar und Weise wird die mahemaische ransformaion verwende. Ein Modell sell ein Abbild echnischer Sachverhale mi Hilfe der Mahemaik dar. Dieses Abbild kann in verschiedensen Darsellungen erfolgen. Beispiel: Koordinaenransformaion Beim Lösen von mechanischen Aufgaben wähl man zuers das Koordinaensysem. Hierbei kann ein ebenes karhesisches Koordinaensysem verwende werden, aber, je nach Geomerie der Bewegung, kann es voreilhaf sein, ein anderes Koordinaensysem zu verwenden. Erfolg die Bewegung kreisförmig, is es sinnvoll Polarkoordinaen zu verwenden. Die Umrechnung zwischen diesen beiden Koordinaensysemen is eine ransformaion. Zwei Voreile ergeben sich hieraus :. Das Ersellen der Bewegungsgleichungen vereinfach sich.. Die Rechenoperaionen werden einfacher. Mi Hilfe einer ransformaion können wir Zusammenhänge eines Sysems aus einem anderen Blickwinkel beschreiben und die Sysemzusammenhänge of vereinfach darsellen. Bei der Ersellung des Modells muß der Beobacher zuers seinen Bezug angeben. In der Mechanik is dies die Angabe, ob ein körperfeses oder raumfeses Koordinaensysem verwende wird. Im folgenden Beispiel wird bereis sehr konkre die Fourierransformaion durchgeführ. Mahemaisch ausgedrück, führen wir die Beschreibung zum einen im Zeibereich und zum anderen im Frequenzbereich durch Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 9

20 Beispiel Fahrplan: Beschreibung im Zeibereich Beschreibung im Frequenzbereich Fahren nach Knielingen Fahren nach Knielingen 5: ab 5: alle Minuen 5: 5:4 6: 6: 6:4 Bild : Fahrplan Welche Beschreibungsform is günsiger? Falls eine konsane Periode, d.h. ein konsanes Zeiinervall vorhanden is, is die Beschreibung im Frequenzbereich viel eleganer. In unserem f = = = 833µ Hz Beispiel haben wir eine Frequenz von s Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

21 [s] u() [V] -,5 -, ,48 -,798 -,44 -,8838 -,4, ,36, ,3, ,8,4849 -,4, ,, ,6,5474 -,, ,8 3, ,4 3,8464 3, ,4 3, ,8 3, , 3, ,8-3, , -3,4834,6-3,46469, -3,78783,4-3,994454,8 -,8734,3 -, ,36 -,8375,4 -,93798,44 -, ,48 -,46475,5 -,798,56 -,8838 Selbsversändlich enseh eine große Verwirrung, wenn wir die Periodendauer bei derarig langsamen Vorgängen in µhz angeben. Eine Angabe wie " drei Mal pro Sunde fähr die Sraßenbahn" beschreib den gleichen Sachverhal lediglich mi anderen Einheien. Bei roaionssymmerischen Problemen verwende man die Kreisfrequenz: π ω = * π * f = Der Unerschied zwischen Frequenz und Kreisfrequenz wird of nich konsequen eingehalen. Of wird bei roaionssysmmerischen Problemen bei denen die Kreisfrequenz zum Einsaz komm, nur von der Frequenz gesprochen. Man muß dann jeweils aus den Zusammenhängen auf die "richige" Frequenz schliessen. ransformaionen sollen Rechenoperaionen vereinfachen und neue Einsichen ermöglichen. Hierzu ein einfaches Beispiel. Sie nehmen mi einem A/D-Wandler folgende Were auf. Mi diesen Weren können Sie eine diskree Fourierransformaion durchführen. Hieraus werden Sie folgende Erkennnis erhalen: ω = * π * f = 3,45 f = 5Hz U$ = 35, V In anderer Darsellung sieh dies folgendermaßen aus: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

22 U_Spize[V] 3,5 Die Zahlenkolonne in anderer Darsellung 3,5,5, f [Hz] Bild 3: Darsellung im Frequenzbereich Nur bei der Frequenz 5Hz haben Sie eine Ampliude mi 3,5 V. Wenn Sie die Zahlenkolonne im u() Diagramm aufragen, erkennen Sie sofor die Bedeuung dieser Darsellung. Es is eine Sinusschwingung von 5Hz mi der Ampliude von 3,5 V. Die Phasenverschiebung dieser Schwingung is aus der oberen Darsellung nich ablesbar. Dieser Informaionsverlus is in vielen Anwendungen der Schwingungsmeßechnik zu verreen. In manchen Anwendungen is er sogar erwünsch. Sinusförmige Spannung 4 3 u [V] -,5 -,3 -, -,8,8,48,68,88,8,8,48,68,88,8,8,48, [s] Bild 4: Darsellung der Sinusschwingung im Zeibereich Wichig bei der Darsellungsform im Frequenzbereich is, daß die Funkion im Zeibereich periodisch sein muß. Wo kann eine solche Schwingung ensehen? Bei urbinen in einem Krafwerk is immer eine Resunwuch vorhanden. Diese läß sich mi einem Beschleunigungsmesser ermieln Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie

23 Sinusförmige Spannung abgease 4 3 u [V] - -,5 -,3 -, -,8,8,48,68,88,8,8,48,68,88,8,8,48, Unwuch [s] Meßrichung des Beschleunigungsmessers Bild 5: Sinusförmige Spannung am Beschleunigungsmesser (abgease) Seh der Beschleunigungsmesser senkrech zur Wirkrichung der Unwuch, so wird der Meßwer gemessen. Durch die Roaion der Unwuch wird der Meßwer bei ca. 48 ms maximal sein. An diesem Beispiel is die Phasenverschiebung gu erklärbar. Wird die Messung nich bei der Zei =, sondern bei einer anderen Zei gesare, wird eine Phasenverschiebung vorhanden sein. Eine Phasenverschiebung enseh, wenn nich zwischen der Ursache - in unserem Falle die Unwuch- und der Wirkung - Meßwer am Beschleunigungsmesser synchronisier wird. Diese Erscheinung werden wir späer noch genauer unersuchen. Die obige Messung is sehr idealisier. Normalerweise werden noch zusäzliche Beschleunigungen ensehen. Beispielsweise durch Lager, deren Kugeln nich opimal sind. Hierdurch ensehen überlagere Schwingungen die sich aus der Umdrehungsfrequenz und der Kugelumlauffrequenz zusammensezen. Diese zusammengesezen Schwingungen können wir mi der Fourierreihe beschreiben Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

24 U[V] Grundschwingung überlager mi höheren Ordnungen 4 3,5 3,5,5,5 -,5 5ms - Bild 6: Grundschwingung überlager mi Frequenzen höherer Ordnung Die rigonomerische Fourierreihe Ein periodisches Signal s() läß sich nach Fourier in einzelne Schwingungen zerlegen. Diese Schwingungen besehen aus Sinus- und Cosinusschwingungen mi ensprechender Ampliude an, bn. Wichig beim Versändnis der folgenden Formel is, daß die höheren Kreisfrequenzen - Frequenzen, ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. s ( ) = a+ acosω + acosω+ a3cos 3ω+... bsinω+ bsin ω+ b3sin 3ω +... () A + n = an bn () a b n n = = + / / + / / f ()cos nω d f ()sin nωd (3) (4) a = / sd () / (5) Der Koeffizien a is der Mielwer der Funkion s(). Die Berechnung dieses Koeffizienen is nur dann eindeuig definier, wenn die Darsellung der Fourierreihe gegeben is. Man finde auch folgende Schreibweise mi k ansa n: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

25 s () = A + Ak*cos( ωk * + ϕk) k = (6) hierbei is A = / ud () / folglich wiederum der Mielwer. Und a A =. Is die Fourierreihe folgendermaßen gegeben ( aus Papula ) a y ( ) = + acosω+ acosω+ a3cos 3ω+... bsinω+ bsinω + b3sin 3ω +... dann is a = + / yd () / aber a A (7) Für das Versändnis is es lezendlich wichig, daß der erse Ausdruck in der Fourierreihe der Mielwer der Funkion is. Die Ampliude der jweiligen Schwingung läß sich aus der geomerischen Addiion der jeweiligen Koeffizienen besimmen. A ˆ + n = an bn (8) Die Phasenverschiebung ϕ k kann für die jeweilige Frequenz berechne werden: b ϕn = arcan a n n (9) für An * cos( ω n * + ϕ n ) Die komplexe Schreibweise der Fourierreihe Bei der rigonomerischen Schreibweise der Fourierreihe sind bei jeder Schwingung cos- und sin-aneile enhalen. Die komplexe Schreibweise für die Fourierreihe mi der Formel für Koeffizienenberechnung laue: + s () = cn * e jnω () c n = + / / jnω s ()* e d () Die Umrechnung der beiden Schreibweisen, is durch die Umrechnung der Koeffizienen möglich Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 5

26 Es gil: a n = + / / f()cos nωd () b n = + / / f()sin nωd (3) berechne man: a n b n + / = f n d ()cos ω / + / + / / = f [ n n ] d ()cos ω sin ω / f ()sin nωd (4) und vergleich mi: c n = + / / + / jnω s ()* e d = s [ n j n d ] ()*cos ω sin ω / so folg hieraus: (5) cn = a jb ( n n) (6) Für die Anschauung is die rigonomerische Fourierreihe voreilhaf. Für die kompakere Schreibweise kann die komplexe Fourierreihe herangezogen werden. Im folgenden Beispiel wird die Fourierreihe für eine Recheckschwingung mi variabler Impulsbreie berechne. s() Uo -/ -a/ +a/ +/ Bild 7: Recheckschwingung mi variabler Impulsbreie Es lieg eine periodische Funkion vor. Die komplexen Koeffizienen cn berechnen sich innerhalb der Periodendauer von -/ bis + / mi: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 6

27 c n = + / + a / jnω jn ω / s( ) * e d = a / Uo * e d (7) beachen Sie die Änderung der Grenzen des Inegrals, da die Funkion außerhalb des Rechecks gleich is. Der Mielwer muß gesonder berechne werden. für n = gil: c + a / jω = Uo e d = Uo d a U * * = * a / + a / a / (8) für n gil: c n = = + a/ a/ jnω Uo* e d jnω + a/ Uo jnω* a/ jnω* a/ [ e ] = [ e e ] Uo * * * jnω a/ jnω (9) mi der Umformung: * π ω * a* ω * a = * a = π * a () folg: U π cn = * * e e jnπ c n π [ ] o jn a jn a Uo = * * sin( jnπ Uo = *sin( π ) n π [ n a ] [ j nπa) ] () () dami erhalen wir für die Fourierreihe in komplexer Darsellung n=+ s cn e jn n=+ ω U () = * = *sin( [ na )* ] e jn ω π nπ n= n= (3) Für die Darsellung der komplexen Fourierreihe im Frequenzbereich müssen wir für a einen konkreen Wer einsezen. a=/3: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 7

28 Der Wer Uo kann zu gesez werden, oder man muß an der y-achse cn / U aufragen. Spekrum der Recheckschwingung mi Uo= und a=/3 Cn,35,3,5,,5,, , ω/ω -, Bild 8: Spekrum der Recheckschwingung Das Spekrum enhäl nur ganzzahlige Were für die Schwingungen. Die niedrigse Frequenz is die Grundfrequenz. Alle anderen Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache dieser Grundfrequenz. Um die Zeifunkion wieder rekonsruieren zu können, benöigen wir nach der Formel unendlich viele Frequenzen ω +. Prakisch kann jedoch der Aneil der höheren Frequenzen vernachlässig werden. Dies is aus dem Bild "Spekrum der Recheckschwingung" ersichlich. Die Ampliude der hohen Frequenzen kling sehr sark ab. Das Abklingen erfolg nach einer si = sin x / x -Funkion. Die Umrechnung der komplexen Fourierreihe in die rigonomerische Fourierreihe kann durch die Aufeilung der Summe erfolgen: n=+ jnω s () = cn * e n= (4) s c e j ω c e j ω ( )... * * c c * e j ω = c * e j ω... (5) n=+ jnω n=+ jnω s () = cn * e + c + c n * e n= n= (6) Zu beachen is hierbei der erm für den Mielwer der Funkion. Wie kann man sich die obere Formel anschaulich erklären? Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 8

29 Hierzu sezen wir den Mielwer der Funkion zu Null. Die reale Schwingung s() sez sich dann aus zwei konjugier komplexen Schwingungen zusammen. Im c n Re c n * Bild 9: Reale Schwingung, als Summe von zwei roierenden konjugier komplexen Zeigern In unserem Beispiel der Recheckschwingung mi n=+ jnω U s () = cn * e = *[ sin( naπ )] * e n= n=+ nπ n= jnω (7) können wir dami folgendermaßen darsellen: n=+ n=+ Uo jnω Uo jnω s () = *sin( [ nπa) ]* e + c + *sin( [ nπa) ]* e n= nπ n= nπ (8) n=+ Uo s () = c + *sin( ) nπ + n= n=+ n= [ nπa ] Uo *sin( ) nπ [ nπa ] * * e e jnω jnω (9) n=+ Uo s () = c + *sin( [ n a) ] e jn e jn * + ω ω π n n= π (3) mi der Umformung e jn ω e jn ω + = *cos( nω) erhäl man: s () = a* U + n=+ n= * Uo *sin( ) cos( ) nπ [ nπa ]* [ nω ] (3) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 9

30 Das gleiche Ergebnis muß man bei der Berechnung mi der geomerischen Fourierreihe erhalen. Es gil: f ()= U für a / + a / sons mi den allgemeinen Formeln für die rigonomerische Fourierreihe: s( ) = a+ acosω + acosω + a3cos 3ω+... bsinω + bsinω + b3sin 3ω+... a n = + / / s ()cosnωd b n = + / / s ()sinnωd a = / sd () / können wir durch eine einfache Überlegung die Rechnung verkürzen. Die Funkion is gerade. Deshalb is bn =. a a* / = Ud= a U * a* / (3) a n + a* / U = U n d = *cos ω a* / n * sin ω nω + a* / a* / (33) U sin( nω * a* / ) sin( nω *( a) * / ) = * nω nω U = *sin( [ n* π * a) sin( n* π *( a)) ] * nω (34) mi sin( α ) = sin( α ) gil: U [ n π a ] = * sin( * * ) * nω (35) U an = *[ sin( n* π * a) ] * π * n (36) U an = [ n a ] n * *sin( * π π * ) (37) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

31 U U s () au [ a ] [ a ] * *sin(* * )cos = + π ω + * sin( * π * ) cos ω +... π * π + *sin ω + *sin ω + *sin 3ω +... (38) s( ) = a U U [ sin( n π a) cos( n ω ] + ) n= π n (39) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

32 Spezielle Fourierreihe In den meisen mahemaischen Formelsammlungen sind für spezielle Funkionen die Fourierreihen aufgeführ. Meis kann man mi geschicken Variaionen dieser Reihen Aufgaben lösen. Die Funkionen sind: Recheckskurve Recheckimpuls Dreieckskurve Kippschwingung Sinusimpuls ( Einweggleichrichung ) Sinusimpuls ( Zweiweggleichrichung) Parabelbögen Welche Informaionen können wir aus diesen Formeln bekommen? Hierzu ein Beispiel aus der geomerischen Meßechnik. Vermessung von roaionssymmerischen eilen Bei der geomerischen Messechnik werden die Fehler orsabhängig sein. Deshalb sprich man hier nich von der. Harmonischen sondern von der. Ordnung. Bei der Bearbeiung von runden eilen, werden diese in ein Dreibackenfuer eingespann. Wird das Dreibackenfuer zu sark angespann, verform sich das runde eil. Die Ampliude der drien Ordnung wird anwachsen. Das heiß, die Ampliude A $ 3= a3 + b3 (4) wird größer. Bei der Vermessung eines Kreises is es nur durch Ausrichung möglich, den Drehmielpunk des Messgeräes mi dem Mielpunk des Messobjekes deckungsgleich zu bekommen. Is dies nich möglich enseh ein zusäzlicher Messfehler in Form einer Exzenriziä. Zuers das Meßobjek ohne Fehler von Dreibackenfuer ideal ausgeriche. Ideales Meßobjek und ideale Messung u = Ampliude der. Ordnung u = Ampliude der. Ordnung... u.s.w. [s] u u u3 u4 u5 u6 u7 Offse u_summe U / [V] 3 f /,595494,383989, , , , ,4846 [Hz] w Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 3

33 j 6, ,45965,94395, ,566376,479755, /5,56637 abelle :für Berechnung der nachfolgenden Grafik Fehler + Offse in [mm] 3 Ohne Fehler durch Dreibackenfuer und Exzenriziä,5,5,5 3,459 6,839 Kreisfrequenz [rad] Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 33

34 Fehler durch Dreibackenfuer [s] u u u3 u4 u5 u6 u7 Offse u_summe U / [V],3 3 f / [Hz],5955,383,477465,6366,795775,95493,485 w j 6,8385 3,4593,94395,57796,56637,4798, /5,5664 abelle : für Berechnung Fehler durch Dreibackenfuer Fehler + Offse in [mm] 3,5 3,5,5,5 -,5 3,459 6,839 Kreisfrequenz [rad] Bild : Fehler durch Dreibackenfuer Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 34

35 Fehler durch Dreibackenfuer und Exzenriziä [s] u u u3 u4 u5 u6 u7 Offse u_summe U / [V],3,3 3 f /,595494,383989, , , , ,4846 [Hz] w j 6, ,45965,94395, ,566376,479755, /5,56637 abelle 3: Berechnung der nachfolgenden Grafiken Fehler + Offse in [mm] 4 3,5 3,5,5,5 -,5 Fehler durch Dreibackenfuer und Exzenriziä 3,459 6,839 Kreisfrequenz [rad] Bild : Fehler durch Dreibackenfuer und Exzenriziä In diesem Beispiel sieh man sehr schön, wie sich die linke Kurve als x-y- Kurve dargesell aus der Summe von der. Ordnung und 3. Ordnung zusammensez Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 35

36 Vermessung der Wälzabweichung an Gerieben Die Zahnräder von einem Geriebe sollen im Idealzusand gleichmäßig abrollen. Wenn das anreibende Zahnrad mi konsaner Geschwindigkei dreh, muß da angeriebene Zahnrad ebenfalls mi konsaner Geschwindigkei drehen. Sind jedoch Fehler an der Flankengeomerie der Zähne, wird sich das angeriebene Rad nich mi konsaner Geschwindigkei bewegen. Der Fehler, d.h. die Abweichung vom Sollweg is: F'= sis ssoll (4) räg man diesen Fehler F' über den zurückgelegen Weg s des Zahnrades auf, erhäl man das Wälzdiagramm. Die Wegmessung erfolg durch zwei Drehgeber. Diese sind an der jeweiligen Welle des Zahnrades befesig. Als Kurve kann man diesen Sachverhal auch folgendermaßen darsellen: Bild : Einflankenwälzdiagramm nach DIN Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 36

37 Überragungsverhalen linearer zeiinvarianer Syseme Die häufigse Frage beim Enwurf von Sysemen is: Welches Überragungsverhalen muß das Sysem haben? Wenn das Überragungsverhalen des Sysems bekann is, kann man die Anwor auf ein beliebiges Eingangssignal berechnen. Das Überragungsverhalen eines Sysems kann in zwei prinzipiell unerschiedlichen mahemaischen Modellen dargesell werden. im Zeibereich im Frequenzbereich Welche Darsellungsform die günsigere is, häng vom Überragungsverhalen des Sysems ab. Is das Sysem von der Frequenz unabhängig is die Beschreibung im Zeibereich die günsigere. Beispiel Versärker: - - u () g() u () - - s () s () Bild 3: Einfacher Versärker mi Versärkung Is das Sysem von der Frequenz abhängig, is die Beschreibung im Frequenzbereich günsiger. Beispiel: Idealer iefpaß Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 37

38 u (),8,6,4, ω G( ω),8,6,4, u () idealer iefpaß S ( ω) S ( ) ω Bild 4: Idealer iefpaß mi ωg=*ωs ω Beim idealen iefpaß gil: Oberhalb der Grenzfrequenz fg is unendlich hohe Dämpfung Phasenverschiebung is Die Signalfrequenz im vorherigen Bild is die Hälfe der Grenzfrequenz des idealen iefpasses. Dieser Sachverhal kann für den idealen iefpaß auch im Zeibereich sehr einfach berechne werden. Durchgang durch iefpaß mi fg=4,*fs dargesell im Zeibereich. u (),,8,6,4, -, -,4 Eingang u () idealer iefpaß u () Ausgang nach iefpaß u (),,8,6,4, -, -,4 f g=4 f Bild 5: Recheckspannung mi Impuls-Pausen-Verhälnis : auf iefpaß mi 4-facher Grenzfrequenz Bei der Grenzfrequenz fg des idealen iefpasses gil: fg = 4 * f (4) Dami gil: U s () = au + n * π 4 [ sin( * ] [ n= n π* a) * cosnω ] (43) Es is beim Summenzeichen n= bis n=4 zu beachen Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 38

39 Bei einem realen iefpaß is die Dämpfung nich unendlich groß. Die Phasenverschiebung is von der Frequenz abhängig. Dieser Sachverhal kann sehr gu mi dem Bode-Diagramm dargesell werden. A /db f - -4, f g -45 ϕ, f f g -9 Bild 6: Bode-Diagramm für realen iefpaß u (),,8,6,4, -, -,4 Eingang u () u () Bild 7: Durchgang des Signals durch realen iefpaß Ausgang nach realem iefpaß u (),,8,6,4, -, -,4 f g=4 f Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 39

40 Filerung mi Hilfe der Fourierreihe Durch die harmonische Analyse kann man eine beliebige periodische Kurve aus ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz zusammensezen. Wir können nun sehr einfach einen idealen Filer realisieren, in dem die Koeffizienen der n-en Schwingung zu null gesez werden. Ein idealer iefpaß mi der Grenzfrequenz fg kann folglich wie folg realisier werden: Darsellung der Funkion als Fourierreihe Koeffizienen von Frequenzen größer als fg werden zu Null gesez Rückransformaion Darsellung der Funkion im Zeibereich. u() Filerung durch Fourierreihe Filerung durch Fourierreihe U() 4 3,5 3,5,5,5 -,5 - Rückransformiere Funkion Bild 8: Filerung durch Fourierreihe im Zeibereich u(f) 3 u(f) 3,6,4,6,4,, f Bild 9: Darsellung als Ampliudenspekrum höhere Frequenzen zu Null gesez f Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

41 Einfache nichperiodische Zeifunkionen Sehr gue Orgelbauer haben eine besondere Fähigkei, die Orgel an die baulichen Gegebenheien anzupassen. Um die Größe und den Aufsellungsor der Orgel zu besimmen, gehen sie mi einem Sock in die Mie der Kirche und soßen kurz gegen den Boden. Nach mehreren solchen Sößen weiß der Orgelbauer, welches Insrumen, wohin gebau wird. Aus mahemaischer Sich gesehen, mach der Orgelbauer einen "Dirac- Soß". Diese einfache nichperiodische Zeifunkion können wir aus der Einheissprungfunkion herleien. Der Dirac-Soß is im folgenden Bild in der Mie dargesell. Einheissprung Dirac-Soß Recheckimpuls Bild 3: Einfache nichperiodische Zeifunkionen Die Einheissprungfunkion ε( ) = für < für > (44) = beliebig, manchmal wird / gewä hl Physikalisch realisierbar is naürlich nur eine Annäherung an den Einheissprung, da sons unendlich seile Flanken erzeug werden müßen. x() physikalisch realisierbarer Einheissprung -/ +/ Bild 3: Einheissprung In Gleichungsform geschrieben: Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

42 = für < - / x () = *+/ für -/<</ = für > / (45) Als Grenzübergang geh die Periodendauer gegen und wird dami zum Einheissprung ε( ) = lim x( ) (46) Der Dirac-Impuls Hierbei handel es sich um keine Funkion im herkömmlichen Sinne. Der Funkionsbegriff wird erweier zur Disribuion. δ( ) = = für = für alle δ( d= ) (47) und (48) + Für den Dirac-Soß müssen beide Bedingungen gelen. Es handel sich hierbei um einen unendlich kurzen Impuls mi der Fläche =. Physikalisch kann diese Funkion nur näherungsweise realisier werden. / x() -/ / Bild 3: Annäherung des Dirac-Impulses Bei der Annäherung muß wiederum gelen: xd () = Die Beziehung zwischen der Einheissprungfunkion und dem Dirac-Soß is durch eine formale Differeniaion gegeben. δ() = dε() d ε() = δ( u) du (49) und (5) Muliplikaion einer Funkion mi Dirac-Impuls Die Muliplikaion einer Funkion mi dem Dirac-Soß bei ergib den Funkionswer der Funkion an der Selle. Dieser Sachverhal spiel bei der Abasung von Signalen eine wesenliche Rolle Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 4

43 s( ) δ(- ) Bild 33: Muliplikaion einer Funkion mi dem Dirac-Soß Weierhin gil: s() δ( ) d = (5) s( ) δ( ) d = s( ) δ( ) d (5) = s ( )* δ( ) d = s ( )* = s ( ) (53) Diese doch sehr absrake Mahemaik ha einen sehr wichigen Hinergrund bei der Unersuchung von Sysemen. Mi einem Dirac-Soß kann die Eigenfrequenz eines Sysems ermiel werden. Der Dirac-Soß soll unendlich kurz sein. Diese Bedingung kann enschärf werden, indem man frag für welches Sysem der Dirac-Impuls angewende wird. Hierbei muß dann lediglich gelen, daß der Impuls im Vergleich zu der Grundperiodendauer des zu unersuchenden Sysems sehr kurz is. Als prakisches Beispiel kennen Sie die Anregung einer Giarrensaie durch Zupfen. Infolge des kurzen Zupfimpulses des Fingernagels wird die Giarrensaie angereg und schwing mi ihrer Eigenfrequenz. Die Eigenfrequenz eines Sysems läß sich durch den Dirac-Soß ermieln Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 43

44 Fourierreihe - Fourierinegral Eine periodische Zeifunkion läß sich mi Hilfe der Fourier- Reihenenwicklung immer durch eine Summe unendlich vieler diskreer Frequenzennn mi unerschiedlicher Ampliude und Phase darsellen. Die Frequenzabhängigkei der Ampliude und Phase ergib ein Linienspekrum. u() F Â( ω) diskree Linien,9,8,7,6,5,4,3,, ω Bild 34: Periodische Funkion im Zeibereich und Ampliudenspekrum u() F(j ω) koninuierliches Spekrum F,8,6,4, sin x/x π 4π Bild 35: Nich periodische Funkion im Zeibereich und koninuierliches Ampliudenspekrum ω Die Frequenzabhängigkei der Ampliude und Phase ergib ein koninuierliches Spekrum Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 44

45 Das Fourierinegral Durch den Übergang von einer periodischen Funkion im Zeibereich in eine zeilich begrenze Funkion z.b. den Recheckimpuls, geh die Funkion im Frequenzbereich von einem diskreen Spekrum in ein koninuierliches Spekrum über. periodisches Signal p nichperiodisches Signal p f = f p abelle 4: Übergang vom periodischen zum nichperiodischen Signal f is der Absand der Spekrallinien. Man läß bei einem nichperiodischen Signal die Periodendauer gegen unendlich gehen und kann durch diese Berachungsweise den Übergang vom periodischen Signal zum nichperiodischen Signal vollziehen. Hierdurch erfolg ein Übergang vom Linienspekrum zum koninuierlichen Spekrum. c n = + / / Linienspekrum p + s () = cn * e jnω s ()* e d jnω koninuierliches Spekrum p (54) inverse Fourierransformiere jω f () = F( ω) e dω π f Fourierransformiere (55) F( ω) f ( ) e j ω = d (57) abelle 5: Übergang vom Linienspekrum zum koninuierlichen Spekrum Die beiden Gleichungen vom koninuierlichen Spekrum werden als Fourierinegrale bezeichne. Of finde sich Gleichung (56) d. h. die inverse Fourierransformiere mi der Kreisfrequenz dargesell. ω = * π * f dω = * π * df df = jω f () = F( ω) e dω π dω π (58) (57) Die Funkion F( ) ω wird als Spekrum bezeichne. Das Spekrum is eine komplexe Funkion Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 45

46 F( ω) = Re( F( ω)) + j( F( ω)) (59) F( ω) = R( ω) + jx( ω) Die Funkion F( ω ) wird als Ampliudendichespekrum bezeichne. Für den Berag gil: F( ω) = R ( ω) + jx ( ω ) (6) für den Winkel gil: X ( ω) ϕ = arcan R ( ω) (6) Für die Fourierransformiere von nichperiodischen Signalen gil allgemein:. Nichperiodische Signale besizen ein koninuierliches Frequenzspekrum. F( ω) f ( ) e j ω = d falls das Inegral exisier.. Das Spekrum is im allgemeinen komplex. Berags- und Phasenfunkion wird in Abhängigkei der Frequenz dargesell. F(j ω) koninuierliches Spekrum ϕ(ω),8,6,4, ω π ω π Bild 36: Ampliudendichespekrum und Phasenspekrum 3. Durch die inverse Fourierransformaion kann die Zeifunkion rückgewonnen werden. jω f () = F( ω) e dω π 4. Is f () gerade, so ha F( ω ) nur einen Realeil und keinen Imaginäreil Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 46

47 5. Is f () ungerade, so ha F( ω ) nur einen Imaginäreil und keinen Realeil. 6. Das Energiedichespekrum berechne sich bei reellen Funkionen aus Muliplikaion des Ampliudendichespekrum mi dem konjugier komplexen Ampliudendichespekrum. ( f ( )) d = π F( ω) dω (6) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 47

48 Rechenregeln für die Fourierransformaion f() d < Voraussezung: (63). Lineariä af () + af () o af ( ω) + af ( ω) (64) Es darf gliedweise ransformier werden. Konsane Fakoren bleiben dabei erhalen. Verschiebung f ( ) o F e j ω ( ω)* (65) f() x() -/ / o Bild 37: Verschiebung der Recheckfunkion um o f f() * sin( π o ) π f j f x () o e ω * * sin( π ) πf 3. Differeniaion f ( n ) () o ( j ) n ω * F( ω) f ( n) d < Voraussezung Eine elegane Anwendung zum berechnen der Fourierransformieren mi Hilfe der Differeniaion bilde die Impulsmehode. Funkionen, die sich durch eine oder mehrere Differeniaionen auf Dirac-Impulse zurückführen lassen, können mi dieser Rechenregel einfach ransformier werden. f() f '() / f ''() / / Bild 38: Grafisches Differenzieren des Dreieckimpulses -/ Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 48

49 f ''( ) = δ( + ) δ( ) + δ( ) o = o j f X f e π ( π ) ( ) = + e j f πf X( f ) = ( si( πf)) 4. Differeniaion im Frequenzbereich ( n) ( j) f ( ) o F ( n) ( ω) 5. Inegraion f ( τ) dτ o F( ω) + πf( ) δ( ω) jω 6. Ähnlichkei / Maßsabsänderung f ( a* ) o a ω * F a,5 f()=sin,5 g()=sin(),5,5 -,5-3,46 6,83 -,5 -,5 - -,5 Bild 39: Ähnlichkei bei der Fourierransformaion 3,46 6,83 7. Falung f f = f f * ( τ) dτ o F* F Falung im Zeibereich is eine einfache Muliplikaion im Frequenzbereich. 8. Falung im Frequenzbereich π F F o F * F Eine Falung im Frequenzbereich is eine Muliplikaion im Zeibereich Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 49

50 Zusammensellung von wichigen Fourierransformaionen Zeibereich δ( ) f() δ () Frequenzbereich F( ω) π f( ) π 3 Recheckimpuls r ( ) Impulsbreie f() δ( ω) F( ω) F( ω) = sin( ω) ω δ ( ω) ω ω 4 - π* r * ω( ω) f() - π π sin( ω ) - π π Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 5

51 Überragungsfunkion und Fourierransformiere Der Fourierransformaion lieg folgende Formel zugrunde: jω = f ( e d F( ω ) ) (66) Is die Funkion f () die Impulsanwor g(), so gil: jω = g( e d G( jω ) ) (67) d.h. g() o G( jω ) (68) Die Fourierransformiere der Impulsanwor is die Überragungsfunkion des Sysems. Um die Überragungsfunkion des Sysems zu ermieln, können wir also einen Impuls auf das Sysem geben. Die Impulsanwor g() können wir messen und erhalen dami die Überragungsfunkion. Das Sysem sei eine Giarrensaie. Als Impulsanwor erhäl man eine abklingende Schwingung mi der Eigenfrequenz dieser Saie. Der Frequenzgang is lediglich ein Ausschni aus der Überragungsfunkion. Man erreg das Sysem am Eingang mi einer besimmen Frequenz. Am Ausgang wird die Ampliude und die Phasenverschiebung im eingeschwungenen Zusand gemessen. Dies wird für alle für das Sysem wichige Frequenzen durchgeführ. Bei einem HIFI- Versärker sind dies die Frequenzen von Hz bis khz. Die Fourierransformiere von Abassignalen Um die Fourierransformiere von Abassignalen zu erhalen, wird die koninuierliche Variable durch eine diskree Variable ersez: n = n * n (69) Das Inegral geh über in eine Summe: Die Fourierransformiere geh dami über in: jω = f ( e d ( F'( ω) = * f( n* )* e F ω ) ) n=+ n= jπf** n (7) Prof. J. Waler, FH Karlsruhe, Molkesr. 3, 7633 Karlsruhe; el.: Daei:445_k_info.doc Seie 5