Fourier-Transformation

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1 Fourier-Transformaion Transformaionspaar eines (zeilich unbegrenzen) Sinus-Signals Fourier-Transformiere von u(): F(ω) is komplex: Ampliudenspekrum: Phasenspekrum: Inverse Fourier-Transformaion:

2 Diskree Fourier-Transformaion ) ( ) ( T h h + = Periodische Funkion ( ) ( ) ( ) = + + = sin cos 2 ) ( n n n n b n a a h ω ω Fourier-Enwicklung T π ω 2 0 = + = T d h T a 0 0 ) ( = T n d n h T a 0 0 ) cos( ) ( 2 ω 0 + = T n d n h T b 0 0 ) sin( ) ( 2 ω 0 Fourier-Koeffizienen mi:

3 Spekren-Darsellung Zu jeder Frequenz des Spekrums gehör die Angabe der Ampliuden von Cosinus- bzw. Sinus-Aneil. Diese Aneile ensprechen dem Real- bzw. Imaginäreil einer komplexen Zahl. Das (komplexe) Spekrum läss sich also in ein (reelles) Spekrum der Realeile (Cosinus) und in ein (reelles) Spekrum der Imaginäreile (Sinus) aufspalen. Das Spekrum läss sich auch durch die Angabe von Berag und Phase darsellen. Bei vielen Problemsellungen komm es im Wesenlichen auf den Ampliuden- Frequenzgang (Berag) an, während der Phasen-Frequenzgang (Phase) eine unergeordnee Rolle spiel.

4 Lineare Regression 10 9 Messwere Lineare Regression 8 7 Y 6 5 Linear Regression: Y = A + B * X X Parameer Wer Error A -2, ,0528 B 1, , R σ N , , Der Korrelaionskoeffizien R is eine Größe zur Kennzeichnung der Güe des unersellen (linearen) Zusammenhangs zwischen den Werepaaren xi und yi.

5 Fi Fi (nich-lineare Kurvenanpassung) Verallgemeinerung der linearen Regression basierend auf der Mehode der kleinsen Quadrae Gesuch wird eine angenähere Funkion y*(c,), deren Parameer c so anzupassen sind, dass die besmögliche Anpassung an die diskreen Were erreich wird. Polynom 2.Grades Polynom 6.Grades Polynom 9.Grades Problem: Wahl der Fi -Funkion!

6 Signal-Grundformen

7 Signal-Parameer

8 Nichperiodische Signale

9 Sochasische Signale

10 Signal-Aren z.b. Spannung am Drucksensor z.b. Periodische Akualisierung einer Balkenanzeige z.b. Gerä sende nur Messwer, wenn dieser sich veränder ha z.b. Ausgang eines A/D Wandlers

11 Digialisierung Aufnehmer/Sensor Abasung A/D-Wandler Quanisierung Analoges Signal zeikoninuierlich werkoninuierlich A/D-Wandler z.b Bi Were Digiales Signal zeidiskre werdiskre Von den normalerweise zeikoninuierlichen Signalen am Eingang des Messgeräes werden zu besimmen Zeien Proben ennommen (Momenanwere). Durch diese Abasung geh die Informaion über den Signalverlauf zwischen den Abaspunken verloren. Das Signal lieg jez in zeidiskreer Form vor und kann als Folge von Einzelweren gespeicher und verarbeie werden. Wegen der Umsezung im A/D-Wandler (z.b. 12 oder 16 Bi) lieg das Signal jez in zeiund werdiskreer Form (z.b oder mögliche Were) vor (abgease und quanisier). Der Vorgang der Abasung heiß auch "Sampling". Um ewas über die Kurvenform des erfassen Signals aussagen zu können, solle man genügend Abaspunke des ineressierenden Deails zur Verfügung haben.

12 Vor- und Nacheile der digialen Signalverarbeiung Voreile der digialen Signalverarbeiung - Einsaz mikroelekronischer inegrierer Komponenen - keine Probleme mi Temperaur- und Speisespannungsschwankungen - keine Einflüsse von Baueiloleranzen auf die Genauigkei der gewünschen Funkion - hohe Genauigkei, die sich durch Vergrößerung des Aufwandes nahezu beliebig erhöhen läss - keine Abgleichvorgänge - exake Reproduzierbarkei, da Abarbeiung arihmeischer Operaionen (Nachbildung mi Hard-, Sofware) - einfacher Anschluss an digiale Umwel für komplexe Weierverarbeiung - Flexibiliä durch einfache Programm-Änderung bei Sofwarerealisierung - keine Begrenzung des Dynamikbereiches durch Eigenrauschen der passiven und akiven Bauelemene - eilweise sind Eigenschafen zu erzielen, die mi analogen Sysemen nich erreichbar sind (z.b. sreng lineare Phase bei Filern) Nacheile der digialen Signalverarbeiung - Grenzen zu kleinen Ampliuden und höheren Frequenzen hin (Prozessor- und algorihmusabhängig) - bei Verarbeiung analoger Signale mehrfache Wandlung erforderlich - Quanisierungs-, Rundungsrauschen durch begrenze Worlänge bei der Realisierung - weiere spezielle Effeke (z.b. Überlaufschwingungen, Grenzzyklen)

13 Abasung Frage: Geh beim Abasen Informaion verloren? Wann is die Signalrekonsrukion exak möglich? Signalfrequenz: f S = 1Hz Abasperiode: T = 0.5s Abasfrequenz: f A = 1/T = 2Hz Signalfrequenz: Abasfrequenz: f S f A = 0.8Hz = 1/T = 2Hz Abasung nich eindeuig! Signalfrequenz: Abasfrequenz: f S f A = 1.2Hz = 1/T = 2Hz

14 Fazi: Abasheorem (Nyquis/Shannon) Enhäl das abzuasende Signal Frequenzen, die größer (oder gleich) der halben Abasfrequenz sind, so is der Zusammenhang zwischen Abasweren und dem koninuierlichen Signal nich eindeuig. Ein Signal kann aus seinen Abasweren nur dann eindeuig rekonsruier werden, wenn die Abasfrequenz mehr als doppel so groß wie die höchse im Signal vorkommende Frequenz is. f A > 2* f S f A ( f ) > 2* f Lehrsaz mi der größen Bedeuung innerhalb der Insrumenierung! max min (allg. Form) Experimeneller Beweis: Bereis eine Abasfrequenz von 2.2Hz erlaub die eindeuige Rekonsrukion einer 1Hz Sinusschwingung (blaue Linie überdeck grüne Linie).

15 Mahemaischer Beweis Periodische Funkion: Grundschwingung: Annahme: keine Frequenzen größer als N*f1 (durch analoge Filerung), N=10 Exake Beschreibung von h(): Folglich müssen wir noch 2N+1 (21) Koeffizienen besimmen und benöigen dafür 21 unabhängige Gleichungen. Wenn wir nun 21 mal in der Periode abasen, erhalen wir 21 Gleichungen für h(m) mi = : Sinnvollerweise sind die Abaspunke äquidisan: Für die minimale Abasfrequenz bei gegebener höchser Signalfrequenz erhalen wir:

16 Aliasing Befund: Is die Abasfrequenz kleiner als die halbe Signalfrequenz (weniger als zwei Punke pro Schwingung), gib es immer eine Inerpolaion (Rekonsrukion) mi niedrigerer Frequenz als das Original. Dies wird als Aliasing-Effek (Informaionsverfremdung) bezeichne. Die beiden möglichen Frequenzen scheinen an der Abasfrequenz gespiegel zu sein (Spiegelfrequenz). Zeisignal Fourier Transformaion Spekrum Signal von 4Hz erschein an Abasfrequenz von Lösung: Abasheorem verlez (7Hz) 7Hz gespiegel bei 3Hz Abasheorem erfüll (10Hz) Erhöhung der Abasfrequenz über das Doppele der im Signal vorkommenden Frequenzen. Dazu muss das Spekrum des Signals schon bekann sein. Naürlich gib es hier echnische Grenzen (Abasfrequenz und Speicherkapaziä)! Analoge Tiefpass-Filerung (oder auch Bandpass-Filerung) des Signals vor der Abasung. Dazu is ein Ani-Aliasing-Filer mi seiler Filerflanke erforderlich.

17 Signalrekonsrukion f = 8 * A f S (4-faches Oversampling) Dreieck Recheck Sägezahn

18 Signal Generaor Insrumenierung - Blockbild Daen-Ausgabe FFT Array Teilung Daen-Eingabe

19 Insrumenierung - Beispiel Visual Sudio.NET 2003 mi Naional Insrumens Measuremen Sudio Aliasing

20 Signalanpassung Die Messwererfassung muss zur Vermeidung sysemaischer Fehler opimier werden!!! analoge Signale durch Vorversärkung an den Arbeisbereich von A/D-Wandlern anpassen Der bei A/D-Wandlern prinzipiell nich zu vermeidende Quanisierungsfehler wirk sich vor allem bei kleinen Signalen sark aus. durch analoge Filer unerwünsche Sörungen beseiigen Sörungen in analogen Signalen sind Informaionen, die ursächlich nichs mi der Messgröße zu un haben. Sie ensehen durch Rauschen von Sensoren und Versärkern oder durch elekromagneische Einwirkungen auf die Signalleiungen und können die Ergebnisse verfälschen. Ofmals helfen Filer, um vor der Digialisierung die unerwünschen Aneile aus den Signalen zu beseiigen. Filer sind elekronische Sperren, die den Durchlaß von Signalen nach dem Frequenzbereich regeln. Zum Beispiel läss ein Tiefpassfiler nur die Signalaneile passieren, deren Frequenz kleiner als die (wählbare) Grenzfrequenz des Filer is, somi werden hochfrequene Söraneile im Signalsrom unerdrück. die höchse im Signal enhalene Frequenz begrenzen (Anialiasing-Filer) Bei der Abasung eines analogen Signals gil das Shannonsche Abasheorem: fa > 2* fg. Wird diese Bedingung nich eingehalen, komm es zu Aliasing-Effeken (Überlappung), die bei Frequenzanalysen zu völlig falschen Ergebnissen führen. Diese Fehler sind nur vermeidbar, wenn man vor der Abasung, also im analogen Bereich, die Shannonsche Bedingung durch den Einsaz von Anialiasing-Filern (Tiefpaß) erfüll. durch galvanische Trennung von Sensor und A/D-Wandler die Ensehung von Sörspannungen vermeiden Beim Zusammenschalen elekrischer Geräe komm es zu Verbindungen über verschiedene Leiungen: Nezkabel (Spannungsversorgung) und Leiungen für die Signalüberragung. Dadurch ensehen ofmals Poenialunerschiede, die in den Signalen niederfrequene Sörungen induzieren und die Signalqualiä erheblich beeinrächigen. Abhilfe schaff hier die sogenanne galvanische Trennung. Die Signale werden opisch überragen und dami is zwischen Messeinrichung und Rechnereingang eine isolierende Verbindung hergesell.

21 Denkansösse (1) Welches Signal (bei gleicher Frequenz) benöig die höchse Abasfrequenz, wenn mi Hilfe der Abaswere das Originalsignal mi einem Fehler kleiner 5 % (milere quadraische Abweichung bezogen auf RMS) rekonsruier werden soll? Geben Sie die richige Reihenfolge an. A: Sinus, Sägezahn, Dreieck, Recheck B: Recheck, Sägezahn, Dreieck, Sinus C: Dreieck, Sägezahn, Sinus, Recheck (2) Gegeben is eine ideale Recheckschwingung der Frequenz 1Hz. Geben Sie die minimale Samplingrae an, die nowendig is, um aus den Abasweren die Originalfunkion fehlerfrei wiederzugeben. Begründen Sie die Enscheidung! A: 2 Hz B: 10 Hz C: 1kHz D: 1MHz E: