In einem linearen System können sich Schwingungen ungestört überlagern. Die Schwingungen beeinflussen sich dabei nicht gegenseitig.

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1 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - /6. Sysee i ehreren Freiheisgraden. Das Superposiionsprinzip für Lineare Sysee Die Schwingungsdifferenialgleichung is eine lineare DGL. Lineare Sysee (Sysee die i linearen DGL beschrieben werden) haben in der Physik eine besondere Bedeuung, da viele Grundgeseze der Physik linear sind. I folgenden wollen wir die wichigsen Eigenschafen Linearer Sysee diskuieren. ) In linearen Syseen gil: Wenn x und x eine Lösung sind, dann is auch x = x + x eine Lösung. Eine verkürze Schreibweise erhäl an, wenn an für die in der DGL enhalenen Operaionen an der Variablen x die bkürzung L(x) verwende. x bx Dx L( x ) x bx Dx L( x) x x ) b( x x ) D( x x ) 0 L x ) L( x ) L( x x ) 0 ( ( ) Weierhin gil in linearen Syseen: Wenn x eine Lösung is, dann is auch x = ax eine Lösung. (Dai ko die Unabhängigkei der von der pliude zu usdruck) ( ax ) b( ax ) D( ax ) a( x bx Dx ) 0 L ax ) al( x ) 0 ( Nehen wir also an, wir haben, wie auch ier, eine Lösung x und eine weiere Lösung x gefunden. Dann können wir sofor sagen, dass jede beliebige Linearkobinaion x = ax + bx auch eine Lösung darsell. Die ussagen von ) und ) zusaengefass liefern dai die Begründung für das Superposiionsprinzip In eine linearen Syse können sich Schwingungen ungesör überlagern. Die Schwingungen beeinflussen sich dabei nich gegenseiig. In de Zusaenhang sell sich einen weiere Frage. Wie viele unabhängige Lösungen (d.h. Lösungen, die nich als Linearkobinaion anderer Lösungen dargesell werden können) gib es für ein schwingungsfähiges Syse? Ohne Begründung sellen wir dazu fes. Die Zahl der unabhängigen Lösungen is gleich der Zahl der Freiheisgrade. In eine Syse i zwei Freiheisgraden, z.b zwei gekoppele Pendel, gib es zwei unabhängige Lösungen ( Eigenschwingungen). Eine beliebige Linearkobinaion dieser Lösungen sell dann die allgeeinse Lösung dar. Zu Schluss wollen wir noch die Begründung für die allgeeine Lösung der erzwungenen Schwingung nachliefern. Dazu nehen wir an, die Lösung x der hoogenen Schwingungs-DGL is bekann und eine spezielle Lösung x j der inhoogenen DGL is auch gefunden. Dann können wir sofor sagen, dass x = x + x j auch eine Lösung is. x bx Dx x j bx j Dx j F( x x ) b( x x ) D( x x ) F( ) x x x is auch Lösung ( j j j j

2 . Überlagerungen von Schwingungen 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - /6 Die Überlagerung von Schwingungen werden wir in der kusik (verschiedene Töne, d.h. Sinusschwingungen überlagern sich zu eine Klang) und in der Wellenopik (Inerferenz und Beugung) kennen lernen. In den folgenden Kapieln werden wir einfache Schwingungsforen diskuieren, die durch Überlagerung von haronischen Schwingungen zusande koen, bzw. darsellbar sind... Überlagerung bei gleicher Raurichung ) Gleiche pliude, gleiche ( sin( ( sin( Konsrukive Inerferenz ˆ ( sin( ) ( ) sin( ) Desrukive Inerferenz (Beispiel: nischall in der kusik) ˆ ( sin( ) ( ) sin( / ) / Ergebnis häng von der Phasendifferenz ab. Darsellung i koplexen Zeigern oder Phasoren. reelle Schwingungen ( ) cos( ) ( ) cos( ) Für = = ergib die Überlagerung:: ) ( ( ˆ cos( ) ( i: ˆ ˆ ˆ ˆ cos( ) ˆ ˆ sin ˆ sin an ˆ cos ˆ sin koplexe Phasoren: ) ˆ exp( j( ( )) ( ) exp( j( )) Die Zeigersue als Darsellung der koplexen Schwingungsüberlagerung dreh sich in der koplexen Ebene. Dabei dreh sich jeder Zeiger i der ih eigenen Winkelgeschwindigkei i. Die Projekion der Zeigersue auf die reelle chse ergib die reelle Schwingung.

3 ) Gleiche pliuden, en: = 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - 3/6 Ergebnis häng von der Phasendifferenz ab. Die Periodendauer is durch die niedrigere besi. 3) pliuden und en unerschiedlich: / = 9/ I überlageren Syse is die Bewegung nich ehr syerisch zur Ruhelage. Die Periodendauer is hier doppel so groß, wie die Periodendauer der niedrigeren. (waru?) 4) pliuden gleich, en nahezu gleich: reine SCHWEBUNG Ergebnis der Überlagerung: Schwingung i periodisch sich ändernder pliude. ( sin( ) ( sin( ( ( ( ˆ ( cos( sin( niedrige hohe Modulaionsperiode (Quasiperiode) T M ( ) / Schwebungsperiode (Quasiperiode) T T S M ( ) Schwebungsfrequenz: S

4 Bei ungleich großen pliuden erhäl an eine sogenanne unreine Schwebung. Schwebungen können zur Messung von kleinen differenzen benuz werden. ( Versuch i Sigabeln) 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - 4/6 Einschub: Spekrale Darsellung, Spekru Kobiniere Zei- und darsellung einer zusaengesezen Schwingung Projekion für Zeidarsellung Zei Projekion für darsellung Zeibereich bereich ufragung der pliuden der einzelnen haronischen Schwingungen über der pliudenspekru () Das pliudenspekru enhäl keine Inforaion über die Phasenlage der einzelnen Schwingungen. Deshalb zusäzlich Phasenspekru () chung: Das Phasenspekru wird of einfach weggelassen Die Darsellungen i Zei- bzw. i bereich sind äquivalen. Sie enhalen jeweils die vollsändige Inforaion über das Signal.

5 .. Modulaionsverfahren 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - 5/6 Prinzip: Zur effizienen Überragung eines Inforaionssignals, wird dieses auf einen Träger aufodulier. Nach der Überragung erfolg bei der Deodulaion wieder eine Trennung von Träger und Inforaion. Träger HF Lich Mikrowelle Überragungssrecke Inforaion (analog) MODULTOR Kabel, Funk, LWL ec. DEMODULTOR Inforaion Die Modulaion is nowendig, u die Nachrichenüberragung den physikalischen Eigenschafen des Überragungsedius anzupassen. Die wichigsen klassischen Modulaionsaren sind pliudenodulaion (M) und odulaion (FM). Dabei wird das sinusförige Trägersignal in eine koplizierere Signalfor ugewandel. ) pliudenodulaion ( [ f ( ] cos heiß Modulaionsgrad Für den einfachen Fall einer cosinusförigen Modulaion ( ( cos cos ( cos cos cos ( cos cos( ) cos( ) f ( cos ergib sich: M-Zeisignal = 0,8 M-Spekru 0 0 f - f f f +f f - - T = Trägerfrequenz M = Modulaionsfrequenz

6 Beliebig apliudenodulieres Signal i der Bandbreie 6_Superposiionsprinzip_B_W000.doc - 6/6 M-Spekru 0-0 f f - = Überragungsbandbreie Eigenschafen: Nowendige Überragungsbandbreie: Zwei syerische nbänder Inforaion is bereis in eine nband enhalen. Träger uss nich unbeding überragen werden. nwendungen* ) Zweiseienbandodulaion i unerdrücke Träger us der spekralen Darsellung sieh an, dass selbs bei 00% Modulaion nur /6 der Sendeleisung in den beiden nbändern überragen werden, die bereis die ganze Nuzinforaion enhalen. Sendeleisung wird gespar, wenn an auf die volle Überragung des Trägers verziche. Trägerunerdrückung Da i Epfänger der Träger zur Deodulaion benöig wird, uss er aus de Epfangssignal i aufwendigen Filern herausgefiler und versärk werden. (M-Rundfunk) Eine weiere Einsparung von Sendeleisung erreich an i der ) Einseienbandodulaion i unerdrücke Träger Erforder nur die halbe Bandbreie Of wird der Träger vollsändig unerdrück. Dann uss er aber i Epfänger i eine quarzsabilen Hilfsräger erzeug werden. (Sprechfunk, Schiffsfunk) 3) Resseienbandodulaion (nalog TV) Bei einer Zweiseienbandodulaion is eine Bandbreie von ca. MHz erforderlich. (65 Zeilen*5 Halbbilder/s*65 Bildpunke/Zeile) Überragen wird das obere nband und nur ein Teil (Res des uneren nbandes plus Träger. Das unere Resseienband is ca. 0,75 Megaherz brei. Der Tonräger lieg 5,5 MHz über de Bildräger und is i einer Bandbreie von 50 KHz frequenzodulier ( FM). Nacheil der M: Hohe Söranfälligkei wegen pliudenabhängigkei