5 Erzwungene Schwingungen mit harmonischer Belastung

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1 4 Teil I.5 Haronische Belasung Einassenschwinger 5 Erzwungene Schwingungen i haronischer Belasung Bei den erzwungenen Schwingungen i haronischer Belasung kann die Lasfunkion auf der rechen Seie der Bewegungsgleichung geschrieben werden als sinω ( Es sind wieder die zwei Fälle der ungedäfen und der gedäfen Schwingung zu unerscheiden. T Abb. 5- Haronische Belasung 5. Ungedäfe Schwingung uner haronischer Belasung ie Bewegungsgleichung (.3 ergib sich i Fall der ungedäfen Schwingung i haronischer Las zu u& &+ ku sinω ie Gleichung kann ugefor werden zu u& &+ ω u sinω (5. ie Lösung dieser ifferenialgleichung. Ordnung sez sich aus zwei Aneilen zusaen: * de hoogenen Aneil u n ( * de arikularen Aneil u ( er hoogene Aneil uss die ifferenialgleichung der freien Schwingung erfüllen u & ω u& + n Man erhäl als Lösung Acosω + Bsinω (5. u n In dieser Lösung sind die Inegraionskonsanen bereis enhalen. er arikulare Aneil uss daher nur noch die vollsändige ifferenialgleichung ohne Berücksichigung der Randbedingungen (Anfangsbedingungen erfüllen. u& + ω u sinω Ein Lösungsansaz in der For der rechen Seie und ein oeffizienenvergleich ergib: G sinω u Einsezen in Gleichung (5.

2 Einassenschwinger Teil I.5 Haronische Belasung 43 G ω sinω + G G ω sinω ( ω ω sinω Es wird nun das Verhälnis β der Belasungsfrequenz (Erregerfrequenz ω zur Eigenfrequenz ω eingeführ. ω (5.3 ω Mi ω erhäl an P G ie Gesalösung u( laue dai P u A cos ω + B sinω + ( sinω Mi den Anfangsbedingungen u( u und ů( ů folg A u u& P B ω und als Bewegungsgleichung: u& P u( u cosω + sinω + ( sinω sinω ω (5.4 er Parikularaneil wird auch als saionäre Schwingung bezeichne, da er bei gedäfen Schwingungen erhalen bleib. er hoogene Aneil wird auch als ransiener Aneil bezeichne, da er bei vorhandener äfung i der Zei abkling und verschwinde. Bei den weieren Berachungen wird vorausgesez, dass sich das Syse bei Beginn der Belasung in Ruhe befinde. u u, u& u& ( ( ai vereinfach sich die Gleichung (5.4 zu P u( ( sinω sinω (5.5 er Ter P kann als saische Verschiebung gedeue werden. u s er verbleibende Ter wird als dynaischer Lasfakor LF (dynaic load facor bezeichne u u LF ( ( s

3 44 Teil I.5 Haronische Belasung Einassenschwinger LF ( ( sinϖ β sinω (5.6 ieser Fakor is zeiabhängig. Für Berechnungen der Belasung von Bauwerken is sein Maxialwer über die Zei wichig. ie Frequenzen ω und ω sind unabhängig voneinander, so dass der Gröwer bei sin ω und sinω - aufreen wird. LF ( ( + Hieri werden aber die bei wirklichen Syseen aufreenden Were überschäz, da bei vorhandener äfung nach einiger Zei der saionäre Aneil der Schwingung wei überwieg, so dass genügend genau gil LF MF ax (5.7 ieser Wer wird auch Vergröerungsfakor genann und nach seiner Bezeichnung in der englischsrachigen Lieraur MF (Magnificaion Facor oder (ynaic Magnificaion Facor genann. Zur Beureilung des dynaischen Lasfakors LF sind drei Fälle zu unerscheiden.. Fall : << ω << ω ie Gleichungen (5.5, (5.6, (5.7 lauen dann näherungsweise P u( sinω, LF sinω, ie Erregerfrequenz is gegenüber der Eigenfrequenz so klein, dass das Syse der Belasung folg, und nur die saische Auslenkung wirksa wird. Es genüg eine saische Berechnung des Syses.. Fall : >> ω >> ω er LF sreb gegen, d. h. es erfolg nur eine sehr kleine Auslenkung, die vernachlässig werden kann. ie Erregerfrequenz is verglichen i der Eigenfrequenz so gro, dass die Energie gar nich so schnell überragen werden kann. 3. Fall 3: ω ω er LF wächs über alle Grenzen. iese Erscheinung bezeichne an als Resonanz. ie Erregerfrequenz si i der Eigenfrequenz überein oder lieg i ihr in Resonanz. er Verlauf des LF kann über eine Grenzberachung erhalen werden.

4 Einassenschwinger Teil I.5 Haronische Belasung 45 LF LF li β li β sinω β sinω β ω cos ω sinω β ω cos ω + sinω (5.8 LF ω ie Aliuden des ersen Aneils und dai die Aliuden des LF wachsen linear i der Zei über alle Grenzen. Abb. 5- Schwingungsverlauf dei Resonanz ω ω 5. Gedäfe Schwingung uner haronischer Belasung Wie schon bei der freien Schwingung gezeig, is der Bereich i der unerkriischen äfung c < c kr bzw. ξ < für viele rakische Zwecke ineressan. ie ifferenialgleichung (.3 u& + c u& + k u sinω laue ugefor i c ξ c kr, c kr ω u& &+ ξ ω u& + ω u sinω (5.9 ie Lösung sez sich wieder aus eine hoogenen Aneil u n und eine Parikularaneil u zusaen. u u n + u er hoogene Aneil ensrich der Eigenschwingung eines gedäfen Syses ξω un e ( Acosω + B sinω i ω ω ξ Für den Parikularaneil wird als Lösungsansaz gewähl G sin G cos ω u ω + Eingesez in Gleichung (5.9 ergib ein oeffizienenvergleich der sin- und cos-tere: P G + ζ G P ( ( ζ ( + ( ζ Für die Gesalösung ergib sich ξω u( e A cos ω + B sin ω + ( ( β sinϖ ξ β ( β + ( ξ β cos ϖ ransien saionär (5.

5 46 Teil I.5 Haronische Belasung Einassenschwinger er erse (ransiene Aneil an der Eigenschwingung kling sehr rasch ab (er wird "herausgedäf", so dass nach kurzer Zei nur noch der saionäre Aneil der Bewegungsgleichung erhalen bleib. I folgenden wird daher nur noch dieser Aneil berache. P ( sinω ξ cosω u( (5. + ξ ( ( iese Beziehung kann wieder in eine sin-funkion i der Aliude ρ und de Phasenwinkel Θ ugefor werden. P u( sin ( ω θ + ξ i θ an ( ( ξ (5. Für ξ (keine äfung geh diese Beziehung in den saionären Aneil der erzwungenen ungedäfen Schwingung über (vgl. Gleichung (5.5. Bei der Aliude is der führende Fakor die saische Auslenkung u s P o /. er übrige Teil wird wieder als dynaischer Lasfakor LF bezeichne. LF( sin ( ω θ (5.3 + ξ ( ( Von Ineresse is sein Maxialwer (ynaischer Vergröerungsfakor LF ax sin ( ω θ + ξ ( ( (5.4 er Wer von häng wieder vo Verhälnis ω /ω und de äfungsa ξ ab. Wenn über aufgeragen wird, ergib sich für verschiedene Were von ξ das in Abb. 5-3 gezeige iagra.

6 Einassenschwinger Teil I.5 Haronische Belasung 47 3,,,,5,5,5,35,5, ξ c c kr,5,, 3, 4, 5, I II III Abb. 5-3 Abhängigkei des dynaischen Lasfakors von bei äfung Man erkenn, dass das Maxiu von nahe bei der Resonanz ω ω ( lieg (genauer gesag bei eine ewas niedrigeren Wer. Aus Gleichung (5.4 kann an für den Wer des Maxius herleien ax für ω ω ξ (5.5 en gesaen Verlauf der urven kann an in die drei Bereiche aufeilen, die in Abb. 5-3 gekennzeichne sind. Bereich I: <, 5, ω < ω / Hier is unabhängig von und ξ. Es genüg eine saische Berechnung der Belasung. er dynaische Aneil ergib eine nur unwesenliche Erhöhung der Beansruchung aus saischer Belasung. In Bezug auf die Resonanz lieg eine unerkriische Belasung vor, das hei, die Belasung is so langsa für das Baueil, dass keine dynaische Anwor aufri. Bereich II:, 5, ω / ω ω In diese Bereich lieg die Resonanzselle. er Einfluss der äfung is hier a gröen. Bereis für eine (für echnische Sysee relaiv hohe äfung von ξ.5 is i Resonanzfall rozde > 3. Bezogen auf die Beansruchung aus saischer Belasung ergeben sich u ehrere Fakoren höhere Beansruchungen. Bei Baueilen, die dynaisch beansruch werden, versuch an daher, diesen Bereich öglichs zu vereiden (z. B. Brücken, Maschinenfundaene. ies geschieh durch eine Vereidung der Lasen i diesen Frequenzen oder ein Versien des Baueils (Ubau, Änderung der Posiion von Massen und Seifigkeien oder Zusazassen oder eine Beriebsweise, bei der dieser Frequenzbereich öglichs schnell assier wird und die hohen Aliuden der Verforungen und Beansruchungen sich nich enwickeln können.

7 48 Teil I.5 Haronische Belasung Einassenschwinger Bereich III: >, ω ω Hier wird sehr klein, bei 3 is <. unabhängig von ξ. ie dynaische Beansruchung kann vernachlässig werden. Es lieg eine überkriische Belasung vor, das hei, die Belasung is so schnell für das Baueil, dass keine dynaische Anwor aufreen kann. Eine weiere charakerisische Gröe is die Phasenverschiebung θ, deren Verlauf in Abb. 5-4 abhängig vo äfungsa aufgeragen is. Man erkenn, dass unabhängig von der äfung i Resonanzfall die Phasenverschiebung zwischen der Erregerschwingung und der Schwingung des Syses 9 beräg.,5,5,375, Abb. 5-4 Phasenverschiebung bei gedäfen Aus Abb. 5-3 und 5-4 kann an ableien, Syseen dass bei geringer Frequenz die Trägheis- und äfungskräfe vernachlässigbar sind. In diese Bereich wirk der Belasung i wesenlichen die Federkraf engegen. I Resonanzbereich wird die Belasung durch die äfungskraf ausgeglichen, während Feder- und Trägheiskraf gegeneinander geriche sind. Bei hohen Frequenzen wirk der Belasung i wesenlichen die Trägheiskraf engegen. iese Wirkungen können auch anhand von Zeigerdiagraen klargesell werden. θ 8 9 ξ β

8 Einassenschwinger Teil I.5 Haronische Belasung 49 Beisiel In diese Beisiel wird dargesell, wie die Auswirkung einer Schwingungserregung auf ein Maschinenfundaen reduzier werden kann. ie Ursache der Schwingungserregung sind Unwuchkräfe ( auf das Maschinenfundaen. ie Lasfunkion kann dai beschrieben werden i sinω ( fs f fs u( Saionäre Schwingung u( sin u( & ϖ cos f ( k u( s ( β P S ax ( ϖ Θ + ( ϖ Θ sin ax ( ϖ Θ c f ( c u( & ϖ cos ( ϖ Θ i (5.6 c ξ ; ω ω f f f ax ax f ξ cos + f ( ϖ Θ ( ξ β Manchal wird die Transissibiliä (ransissibiliy daraus abgeleie. as is das Verhälnis der axialen dynaischen Auslenkung bezogen auf die saische Belasung fax TR + ( ξ (5.7 P Abb. 5-5 Elasisch und gedäf gelagere Maschine