7 Harmonischer Oszillator & Schwingungen

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1 7 Haronischer Oszillator & Schwingungen 7.1 Motivation Als haronischen Oszillator bezeichnet an in der Mechanik ein Syste, das ein Potentialiniu besitzt und bei einer Auslenkung x aus diese Miniu eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft F R erfährt. Abweichungen von dieser einfachen Proportionalität werden als Anharonizitäten bezeichnet und können zu koplexeren Bewegungsabläufen bis hin zu einer chaotischen Dynaik des Systes führen. 7. Lösen der Differentialgleichung des ungedäpften haronischen Oszillators Die Differentialgleichung (DGL des ungedäpften haronischen Oszillators soll hier exeplarisch anhand der Kräftebilanz eines echanischen Oszillators, z.b. eines Federpendels, abgeleitet werden. Bei einer Auslenkung x(t zu Zeitpunkt t aus der Ruhelage erfährt eine Masse eine Kraft in entgegengesetzter Richtung zur Auslenkung und proportional zu Betrag des Auslenkung. Man spricht von einer Rückstellkraft F R : F R = kx(t (1 Geäß den Newtonschen Axioen der Mechanik ist die Sue aller wirkenden Kräfte gleich der Trägheitskraft F. Also gilt: F = ẍ(t = kx(t = F R ẍ(t = k x(t ( I folgenden wird bei x(t die Zeitabhängigkeit nicht ehr explizit erwähnt und in Vorausschau auf das Ergebnis wird ω0 = k gesetzt. Dies ist öglich, da k und positive Größen sind. Daraus ergibt sich dann die folgende DGL: ẍ + ω 0x = 0 (3 Dies ist eine hoogene lineare Differentialgleichung. Grades; hoogen, da kein Störter vorhanden ist, der nicht von x oder einer zeitlichen Ableitung von x abhängig ist und linear, da die Funktion x und ihre Ableitungen nur it konstanten Faktoren versehen sind und addiert werden. (Man spricht von einer Linearkobination. Man kann zeigen, daß jede Linearkobination zweier voneinander linear unabhängiger Lösungsfunktionen ebenfalls die DGL löst. Ebenso kann an zeigen, daß eine lineare DGL.Grades axial voneinander linear unabhängige Lösungen haben kann. Deshalb ist eine allgeeine Lösung eine Linearkobination aus zwei linear unabhängigen Lösungen. U eine solche Funktion zu berechnen, acht an nun folgenden Ansatz: x = Ce λt ( 1

2 Dait ist: ẍ = λ Ce λt (5 Dies setzt an nun in die DGL (3 ein und erhält: λ Ce λt + ω 0Ce λt = 0 λ + ω 0 = 0 (6 Gleichung (6 bezeichnet an als charakteristisches Polyno der Differentialgleichung (3. Wie an leicht sieht, ist diese Gleichung i Reellen nicht lösbar, also üssen wir ins Koplexe ausweichen. Dabei ist zu beachten, daß die Ergebnisse ebenfalls koplex werden und deshalb die reellen Lösungen noch als physikalisch sinnvoll aus de Ergebnis extrahiert werden üssen. (Denn was soll schon eine koplexe Auslenkung in x-richtung darstellen? Gleichung (6 hat die Lösungen: λ 1, = ±iω 0 Einsetzen in den Lösungsansatz ( ergibt zwei Lösungsfunktionen: z 1 = C 1 e iω 0t z = C e iω 0t ; z 1,z,C 1,C Diese beiden Lösungen sind voneinander linear unabhängig. Die allgeeine Lösung ist also eine Linearkobination aus beiden Lösungen und lautet: z = C 1 e iω 0t + C e iω 0t (7 Wie oben schon erwähnt ist dies jedoch eine koplexe Lösung, wobei C 1 und C koplexe Konstanten sind. Will an eine rein reelle Lösung, uß an das Ergebnis in Real- und Iaginärteil aufspalten und die Lösungen extrahieren, deren Iaginärteil = 0 ist. Dazu schreibt an die Konstanten in Polarkoordinaten: Die For der Lösung entspricht dann: z = ρ 1 e iϕ 1 e iω 0t + ρ e iϕ e iω 0t = ρ 1 e i(ω 0t+ϕ 1 + ρ e i( ω 0t+ϕ C 1 = ρ 1 e iϕ 1 C = ρ e iϕ = ρ 1 (cos (ω 0 t + ϕ 1 + i sin (ω 0 t + ϕ 1 + ρ (cos ( ω 0 t + ϕ + i sin ( ω 0 t + ϕ = ρ 1 cos (ω 0 t + ϕ 1 + ρ cos ( ω 0 t + ϕ + i [ρ 1 sin (ω 0 t + ϕ 1 + ρ sin ( ω 0 t + ϕ ] Bei den physikalisch sinnvollen Lösungen uß der Iaginärteil von x für alle Zeiten t gleich Null sein, d.h. ρ 1 sin (ω 0 t + ϕ 1 + ρ sin ( ω 0 t + ϕ = 0 ρ 1 sin (ω 0 t + ϕ 1 = ρ sin (ω 0 t ϕ

3 Da ρ und ϕ konstant sind, uß ρ 1 = ρ ϕ 1 = ϕ sein, was bedeutet, daß C = C 1. Dies setzt an in den verbleibenden Realteil ein und erhält die allgeeine reelle Lösung der DGL: x = ρ 1 cos (ω 0 t + ϕ 1 + ρ 1 cos ( ω 0 t ϕ 1 = ρ 1 cos (ω 0 t + ϕ 1 + ρ 1 cos (ω 0 t + ϕ 1 = ρ 1 cos (ω 0 t + ϕ 1 Führt an nun noch die gängigen Bezeichnungen A = ρ 1 und = ϕ 1 ein, folgt für die Lösung: x(t = A cos (ω 0 t +, (8 wobei A und reelle Konstanten sind. Die Lösungsfunktion beschreibt einen sinusförigen Weg-Zeit-Verlauf it der Aplitude A und der Phasenverschiebung. In Abbildung 1 ist der zeitliche Verlauf der Elongation x(t it den Anfangsbedingungen x(0 = 0 und ẋ(0 = 1 abgebildet x(t Abbildung 1: Beispiel für x(t des hoogenen ungedäpften Oszillators it ω 0 =. 7.3 Lösen der DGL des gedäpften haronischen Oszillators Zusätzlich zur Rückstellkraft betrachten wir nun eine Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ẋ ist. Für die auftretenden Kräfte gilt dann: ẍ = βẋ kx 3

4 Üblicherweise schreibt an sie in der For: ẍ + γẋ + ω 0x = 0 (9 it γ = β und ω 0 = k. Auch dies ist eine hoogene lineare Differentialgleichung. Grades. Die Bezeichnug des Vorfaktors von x als ω0 rührt übrigens daher, daß ω 0 i ungedäpften Fall (für γ = 0 gerade die Frequenz der Schwingung des Oszillators wäre. Wie oben acht an nun folgenden Ansatz: Dait sind: x = Ae λt ẋ = λae λt ẍ = λ Ae λt Dies setzt an nun in die DGL (9 ein und erhält: λ Ae λt + γλae λt + ω 0Ae λt = 0 λ + γλ + ω 0 = 0 (10 Gleichung (10 ist das charakteristische Polyno der Differentialgleichung (9. Auch hier ist es eine quadratische Gleichung; für sie gilt: ( λ + γ = ω 0 + γ Abhängig vo Vorzeichen der rechten Seite der Gleichung, uß an drei Fälle unterscheiden. > ω 0 1. Kriechfall In diese überdäpften Fall sind die Lösungen für λ reell und lauten: λ 1, = ± γ ω 0 Analog zu oben lautet dann die allgeeine Lösung: x(t = A 1 e ( γ + ω 0 = e t A 1 e ( γ t + A e ω 0 t + A e ω 0 t ω 0 t Diese Funktion zeigt für typische Anfangsbedingungen nach kurze Anstieg einen exponentiell abfallenden Verlauf, x wechselt während des gesaten Bewegungsverlaufes sein Vorzeichen nicht. Abbildung zeigt den Verlauf der Bewegung eines gedäpften haronischen Oszillators i Kriechfall it x(0 = 0 und ẋ(0 = 1.

5 x(t Abbildung : Beispiel für x(t des gedäpften haronischen Oszillators it γ = und ω 0 = 1 für den Kriechfall. = ω 0. aperiodischer Grenzfall Hier erhält an nur einen Wert für λ, nälich λ = Man spricht von einer Entartung des Lösungsraues. In diese Fall kann an zeigen, daß die Lösungen von der For sind. Also lautet sie in diese Fall: x = (A 1 + A te λt x(t = (A 1 + A te t Abbildung 3 zeigt den Verlauf der Bewegung für die Anfangsbedingungen x(0 = 0 und ẋ(0 = 1. Der Verlauf von x sieht de des Kriechfalles sehr ähnlich, allerdings it de wichtigen Unterschied, daß diese Funktion viel schneller abfällt. < ω 0 3. Schwingfall Nur in diese Fall findet überhaupt eine echte Schwingung statt. Das charakteristische Polyno ist allerdings wieder nur i koplexen lösbar. Analog zu ungedäpften Fall erhält an für λ: λ 1, = γ ± i ω0 γ 5

6 x(t Abbildung 3: Beispiel für x(t des gedäpften haronischen Oszillators it γ = und dait ω 0 = 1 für den aperiodischen Grenzfall. Die allgeeine Lösung lautet dann: ( γ z = C 1 e +i ω0 γ t ( γ + C e i ω0 γ t z = e t C 1 e i ω0 γ t + C e i ω0 γ t Auch hier ist zu beachten, daß diese Lösung koplex ist. Also üssen die reellen Lösungen wieder wie i ungedäpften Fall durch Seperation in Real- und Iaginärteil gefunden werden. Das funktioniert hier absolut analog, nur daß an die Stelle von ω 0 nun ω0 γ tritt. Dait lautet die reelle Lösung: x(t = Ae t cos ( ω0 γ t + (11 Abbildung zeigt den Verlauf der Elongation eines gedäpften haronischen Oszillators i Schwingfall it den Anfangsbedingungen x(0 = 0 und ẋ(0 = 1. Zur Verdeutlichung der Schwingung wurde ω 0 diesal etwas höher gewählt. Diese Lösung hat wiederu einen sinusförigen Weg-Zeit-Verlauf, der allerdings von einer fallenden Exponentialfunktion eingehüllt wird, so daß die Schwingungsaplitude für große Zeiten t gegen 0 geht. Die Frequenz, it der das Syste schwingt, ist ω0 γ und dait kleiner als die Frequenz ω 0 des ungedäpften Oszillators. Oft benutzt an den Logarithus des Verhältnisses der Auslenkung zweier aufeinanderfolgender Maxia der Schwingung u die Däpfung zu beschreiben. Diese Größe nennt an das 6

7 1 0.8 x(t Abbildung : Beispiel für x(t des gedäpften haronischen Oszillators it γ = 1 und ω 0 = 5 für den Schwingfall. logarithische Dekreent Λ. U die Zeit t n zu berechnen, bei der der Oszillator axiale Auslenkung zeigt, setzt an an: cos (ωt n + = 1 ωt n + = πn ;n t n = πn ω Daraus errechnet sich dann das logarithische Dekreent zu Λ = ln x(t n x(t n+1 = ln Ae tn cos (ωt n Ae t n+1 cos (ωt n+1 = lne tn ( t n+1 = (t n+1 t n = γ + 1 (π(n ω = πγ ω = πγ ω0 γ πn ω (1 (13 (1 7

8 7. Lösen der DGL des gedäpften haronischen Oszillators bei periodischer, äußerer Kraft Wir betrachten nun einen Oszillator, der von einer äußeren, periodischen Kraft F A = cos (ωt + δ erzwungene Schwingungen ausführt. Betrachtet an die wirkenden Kräfte, so ist: Man schreibt die DGL in der For: ẍ = βẋ kx + cos (ωt + δ ẍ + γẋ + ω 0x = cos (ωt + δ (15 Dies ist eine inhoogene lineare DGL.Grades. cos (ωt + δ bezeichnet an als Störung und ẍ + γẋ + kx = 0 als die zugehörige hoogene DGL. Man kann zeigen, daß die Lösungen solcher DGLn sich schreiben lassen als Sue aus der allgeeinen Lösung der zugehörigen hoogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung (auch partikuläre Lösung genannt der inhoogenen, d.h. vollständigen, DGL. Sei x H also die Lösung aus de vorherigen Kapitel und x S eine spezielle Lösung dieser inhoogenen DGL, dann ist die allgeeine Lösung: x = x H + x S (16 Die Lösung der hoogenen DGL ist bereits bekannt, es uß nur noch eine spezielle Lösung x S gefunden werden. Dafür existieren in der Matheatik ehrere Verfahren. Eines davon ist die sogenannte Kochrezeptethode für spezielle Störtere. Allgeeiner ist das Verfahren der Variation der Konstanten. In eine solchen einfachen Fall wie diese kann an aber eine spezielle Lösung durch scharfes Hinsehen erkennen. Es vereinfacht die folgenden Rechnungen ganz erheblich, wenn an F A einen Iaginärteil hinzufügt, etwa: Dann lautet die DGL (i koplexen: F A = (cos (ωt + δ + i sin (ωt + δ = e i(ωt+δ Betrachtet an den Realteil dieser Gleichung, Re [ z + γż + ω 0z ] z + γż + ω 0z = ei(ωt+δ (17 [ ] F0 = Re ei(ωt+δ Re[ z] + γre[ż] + ω0re[z] = Re[cos(ωt + δ + i sin(ωt + δ] (Re[z] + γ(re[z] + ω 0Re[z] = 8 cos (ωt + δ,

9 so erkennt an, daß dieser äquivalent zu Gleichung (15 ist. Das bedeutet, daß der Realteil der Lösung von DGL (17 der Lösung von DGL (15 entspricht. I folgenden soll eine Lösung für die koplexe Differentialgleichung gefunden werden. Mit F = eiδ folgt für die DGL (17: Dann erkennt an auch leicht eine partikuläre Lösung: z + γż + ω 0z = F e iωt (18 z S = A e iωt (19 A bestit an durch Einsetzen von (19 in die DGL (17. Dafür berechnet an noch die Ableitungen: ż S z S = iωa e iωt = ω A e iωt Eingesetzt ergibt das: ω A e iωt + iωγa e iωt + ω 0A e iωt = F e iωt A ( ω 0 ω + iωγ = F A = F ω 0 ω + iωγ Zur Vereinfachung setzen wir A = A e iδ, d.h. wir betrachten eine Aplitude A, aus der die Phase δ der Erregerschwingung herausgerechnet wurde. Für dieses A gilt: A = ω 0 ω + iωγ (0 Nun uß der Nenner reell geacht werden. Dafür erweitert an den Bruch it de konjugiert Koplexen des Nenners. Man erhält: A = = (ω 0 ω iωγ (ω0 ω + (ωγ (ω 0 ω (ω0 ω + (ωγ + i F0ωγ (ω0 ω + (ωγ Zur Berechnung der Polardarstellung von A benötigt an den Betrag von A und den Phasenwinkel. A = A e iϕ 9

10 Dait ergibt sich für z S : A = = tanϕ = = (ω 0 ω + (ωγ (ω0 ω + (ωγ (ω0 ω + (ωγ ωγ (ω 0 ω ωγ ω0 ω z S = A e iωt = Ae iδ e iωt = A e iϕ e iδ e iωt = A e i(ωt+ϕ+δ ( z S = ei(ωt+arctan ωγ ω +δ 0 ω (ω0 ω + (ωγ Nun hat an eine koplexe Lösung der inhoogenen Differentialgleichung (17. Wie vorher gezeigt wurde, ist der Realteil von z S Lösung der (reellen Differentialgleichung (15: x S = Re[z S ] ( ( ωγ = (ω 0 ω + (ωγ cos ωt + arctan + δ. (1 ω0 ω Geäß Gleichung (16 lauten dann die vollständigen Lösungen, unterschieden nach den Fällen wie i vorherigen Kapitel: 1. Kriechfall: x(t = e t A 1 e ω 0 t + A e ω 0 t. aperiodischer Grenzfall: 3. Schwingfall: + (ω 0 ω + (ωγ cos x(t = (A 1 + A te t + (ω 0 ω + (ωγ cos x(t = Ae t cos ( ( ω0 γ t + + (ω 0 ω + (ωγ cos ( ωt + arctan ωt + arctan ωt + arctan ( ωγ ω 0 ω ( ωγ ω 0 ω ( ωγ ω 0 ω + δ + δ + δ ( (3 ( 10

11 Diese Weg-Zeit-Gesetze beschreiben eine Überlagerung von zwei Bewegungen. Für große Zeiten t geht der Anteil von x H in allen Fällen gegen Null. Die Bewegung wird dann nur noch durch x S beschrieben; deshalb nennt an x S auch die stationäre Lösung. Die Überlagerung beider Bewegungen für kleine t bezeichnet an als Einschwingvorgang. Obige Unterteilung bezieht sich nur auf die Art der Eigenschwingung des Oszillators. Auch i Kriechfall führt das Syste für große t noch eine oszillierende Bewegung aus. Der Unterschied zu Schwingfall besteht darin, daß der Einschwingvorgang bereits nach weniger als einer Periode der Eigenschwingung beendet ist bzw. erst gar nicht zu Tragen kot, wenn die Däpfung so groß ist, daß der Einfluß der Eigenschwingung von Anfang an vernachlässigt werden kann. Interessant ist bei diesen Schwingungen das Auftreten von Resonanzphänoenen. Dazu betrachtet an die Frequenzabhängigkeit der Aplitude A der stationären Lösung. Es war A = A e iϕ it A = tanϕ = (ω 0 ω + (ωγ (5 ωγ ω 0 ω (6 I folgenden wird der Verlauf des Betrags der Aplitude gegen die Erregerfrequenz ω diskutiert. Dafür setzt an: A(ω = 0 ω Führt an die Differentiation durch, so erkennt an, daß für γ < ω 0 ein Maxiu existiert it: ω ax = ω0 γ (7 A ax = γ ω 0 γ ω = ω ax bezeichnet an als Resonanzbedingung. Mit kleiner werdender Däpfung γ verschiebt sich die Position des Maxius zu größeren Frequenzen und der Betrag der Aplitude wird größer. I Grenzfall γ 0 wird die Aplitude sogar unendlich groß; an spricht von einer Resonanzkatastrophe. Abbildung 5 zeigt den Verlauf von A(ω für verschiedene Däpfungskoeffizienten γ. Der Verlauf der Phasenverschiebung ϕ(ω zwischen Erregerschwingung und stationärer Schwingung beschreibt einen Arcustangens und wird für verschiedene Däpfungskoeffizienten γ in Abbildung 6 dargestellt. Der Wert π stellt sich bei ω = ω 0 ein, unabhängig von der Däpfung γ, für große ω stellt sich der Wert π ein. (8 11

12 γ=0 γ=1 γ= γ= Abbildung 5: Verlauf von A(ω für verschiedene Werte von γ für ω 0 = 3 und = γ=0 γ=1 γ= γ= Abbildung 6: Verlauf von ϕ(ω für verschiedene Werte von γ für ω 0 = 3 und = 1. 1