gelöst. Durch Einsetzen von (10.4) in (10.3) erhält man eine algebraische Gleichung, aus der λ bestimmt werden kann:

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1 . Mechanische Schwingungen Federn beruhen auf den elastischen Eigenschaften von Festkörpern. In elastischen mechanischen Systemen sind mechanische Schwingungen möglich die an Hand einfacher Beispiele besprochen werden sollen. Dabei zeigt sich dass Schwingungsprobleme am besten mit komplexen Zahlen beschrieben werden...der freie und ungedämpfte harmonische Oszillator Als Beispiel eines freien ungedämpften harmonischen Oszillators kann ein Massenpunkt an einer Feder dienen. Die Rückstellkraft ist nach dem Hooke schen Gesetz proportional zur Dehnung der Feder F Dx (. Das Vorzeichen ist negativ gewählt weil die Kraft gegen die Ausrichtung gerichtet ist (bei positivem x in die negative x-richtung und umgekehr. Die Bewegungsgleichung des ungedämpften Oszillators lautet: mx& Dx (. Mit ω D m folgt die Bewegungsgleichung: x& + ω x (.3 (.3 ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (linear weil x und die Ableitungen &x &&x etc. nur linear auftreten mit konstanten Koeffizienten. Solche Differentialgleichungen werden durch einen Lösungsansatz in der Form: x( x exp( λ x& ( λ x exp( λ λx( x& ( λ x exp( λ λ x( (.4 gelöst. Durch Einsetzen von (.4 in (.3 erhält man eine algebraische Gleichung aus der λ bestimmt werden kann: x & + ω x ( λ + ω x (.5 Da x in der Regel nicht verschwindet muss der Ausdruck in der Klammer verschwinden d.h. es muss gelten: λ + ω λ ± iω (.6 i ist hierbei die imaginäre Einheit für die i gilt. Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z durch einen Real- x und einen Imaginärteil y beschreiben z x + iy. Komplexe Zahlen werden am besten in der komplexen Zahlenebene veranschaulicht in einem kartesischen 7

2 Koordinatensystem mit der reellen x-achse und der imaginären y-achse. Aus der Taylorentwicklung von ( iϕ ( iϕ ( iϕ ϕ ϕ ϕ exp( i ϕ + iϕ K + + K + i( ϕ + K cosϕ + i sinϕ! 3! 4!! 4! 3! kann sofort der Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Sinus und Kosinusfunktionen abgeleitet werden. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (.3 ist dann x( ωt x ( + x ( x exp( iω + x exp( i (.7 x und x sind in der Regel komplexe Zahlen die z.b. aus Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Zwei Beispiele sollen verdeutlichen wie x und x aus den Anfangsbedingungen folgen. Im ersten Fall soll angenommen werden dass die Feder aus der gedehnten Lage xt ( x ohne Anfangsgeschwindigkeit vt ( xt &( losgelassen werden soll. Mit x& ( iω x exp( iω iω x exp( iω folgen zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten x und x : x x + x ( x iω x (.8 Aus der zweiten Gleichung in (.8 folgt sofort dass x x sein muß woraus mit der ersten x Gleichung x x folgt. Die Lösung lautet also für dieses Beispiel: x x ( t [ exp( iω + exp( iω t] [ cos( ω + i sin( ω + cos( ω i sin( ω ] x cos( ω x Im ersten Beispiel waren die zu suchenden Konstanten x und x rein reell. Es soll jetzt in einem zweiten Beispiel gezeigt werden dass die Konstanten x und x durchaus auch komplex sein können. Hierzu werden die Anfangsbedingungen so gewählt dass der Massenpunkt aus der entspannten Lage der Feder xt ( durch einen kurzen Stoß mit der Anfangsgeschwindigkeit vt ( xt &( v starten soll. Für dieses Beispiel lauten die zu lösenden Gleichungen für die beiden Unbekannten: 73

3 v x iω + x ( x x (.9 Nunmehr folgt sofort aus der ersten Gleichung in (.9 dass x v der zweiten Gleichung x x iω x sein muss woraus mit folgt. Die Lösung lautet also für dieses Beispiel: v v v ( t iω iω ω [ exp( iω exp( iω t] [ cos( ω + i sin( ω cos( ω + i sin( ω ] sin( ω x Die beiden Beispiele haben auch folgendes gezeigt: Obwohl die Lösungsfunktion komplex geschrieben wurde wird die Lösungsfunktion bei gegebenen Anfangsbedingungen durch reelle Zahlen beschrieben. (Die Auslenkung der Feder ist ja eine reelle Größe. Neben der Darstellung der Lösungsfunktion (.7 können noch folgende äquivalente Darstellungen verwendet werden: x( a cos( ω + a sin( ω x( Acos( ω t + ϕ (. a a ; A und ϕ sind dann jeweils die zwei Unbekannten die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen. Das Argument der Kosinusfunktion in der zweiten Gleichung in (. welches den momentanen Wert der Auslenkung des Massenpunktes bestimmt heißt Phase der Schwingung. Die Auslenkung Geschwindigkeit und Beschleunigung eines harmonischen Oszillators veranschaulicht man sich am besten an Hand einer Skizze. x( x( x( x( x( x( t.. Der freie gedämpfte harmonische Oszillator Oszillatoren sind stets gedämpft. In den folgenden Überlegungen soll die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit sein ein Beispiel hierfür ist die Stokes sche Reibung. Aus der Hydrodynamik weiß man dass die Reibungskraft F auf eine Kugel die sich mit der Geschwindigkeit v durch eine Flüssigkeit bewegt F 6πηrv (. 74

4 direkt proportional zur Geschwindigkeit ist. Die Materialgröße η wird Viskosität genannt und besitzt die Einheit Ns/m Pa*s. Die Viskositäten von Flüssigkeiten können sich um Größenordnungen unterscheiden z.b. hat Wasser bei C die Viskosität mpa*s Glyzerin dagegen 48mPa*s. Bei Berücksichtigung einer geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft lautet die Bewegungsgleichung des freien gedämpften harmonischen Oszillators: m x& Dx bx& (. (Zu beachten ist daß die Reibungskraft entgegengesetzt gerichtet ist zur Geschwindigkei. Mit ω Dm und γ bm folgt: x& + γ& x + ω x (.3 (.3 ist ebenfalls eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung die ebenfalls mit einem Lösungsansatz (.4 gelöst wird. Die Bestimmungsgleichung für λ lautet nun: λ + γλ + ω (.4 mit den Lösungen: λ γ ± γ ω (.5 Für einen schwach gedämpften Oszillator (d.h. γ << ω und ω ω γ wird (.5 zu λ γ ±i ω und die allgemeine Lösung lautet [ a exp( iω + b exp( iω ] exp( γ Aexp( γ cos( ω + ϕ x( t (.6 Die allgemeine Lösung stellt also eine gedämpfte Schwingung dar mit exponentiell abklingender Amplitude (Schwingfall. Zu beachten ist dass die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung bei gleicher Rückstellkraft kleiner ist als die der ungedämpften Schwingung. Für starke Dämpfung γ >> ω werden beide Lösungen λ γ ± α mit α γ ω reell so dass die allgemeine Lösung eine Überlagerung exponentiell gedämpfter Kurven darstellt. Man nennt dies den Kriechfall. Für γ ω dem aperiodischen Grenzfall wird λ γ. In diesem Fall muss (da die allgemeine Lösung zwei Bestimmungsgrößen benötig die allgemeine Lösung durch den Ansatz ( γ x( a( exp (.7 75

5 bestimmt werden. Man kann nun durch Einsetzen in die Differentialgleichung (.3 zeigen dass die allgemeine Lösung ( γ ( ( γ xt ( at (exp t a + at exp t (.8 lautet. Auch im aperiodischen Grenzfall entartet die Schwingung zu einer einzigen Auslenkung..3. Erzwungene Schwingungen Erzwungene Schwingungen treten überall in der Technik auf oft sind die dabei auftretenden Resonanzerscheinungen unerwünscht man denke an Brücken die durch Resonanzschwingungen zerstört werden oder an das Klappern beweglicher Teile an Fahrzeugen etc. Erwünscht (obwohl sehr abhängig von den Ohren des jeweiligen Hörers sind Resonanzphänomene in Musikinstrumenten aber auch in der Technik z.b. in piezoelektrischen Filtern. In der Vorlesung betrachten wir zunächst nur lineare Systeme die durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Die Bewegungsgleichungen lauten in diesem Fall: ( iω mx& Dx bx& + F exp (.9 wofür der Einfachheit halber das System mit einer harmonischen Kraft mit der Frequenz ω angeregt werden soll. Mit K F / m folgt die Differentialgleichung ( iω x& + γx& + ω x K exp (. Zu beachten ist dass in (. ein komplexer Ansatz für die Kraft gewählt wurde. Die Bedeutung des komplexen Ansatzes kann man sich an Hand der komplexen Zahlenebene veranschaulichen. exp( iω beschreibt in der komplexen Zahlenebene den Einheitskreis. Die Antwortfunktion des linearen Systems wird auch durch einen Kreis in der komplexen Zahlenebene beschrieben wobei allerdings in der Regel eine Phasenverschiebung zwischen der Anregung und der Antwort des Systems besteht. Physikalische Bedeutung hat der Realteil der Lösungsfunktion. Im(x Im(x exp(iωt t >t i exp(iωt i exp(iω Aexp(iω Re(x Re(x Phasenverschiebung ϕ 76

6 Zur Lösung von (. wird der Ansatz x( Aexp( iω x( iωa exp( iω & und x& ( ω Aexp( iω gemacht. Einsetzen in die Differentialgleichung (. liefert ( ω ω + iγω A ( iω K exp( iω & (. K exp A (. ω ω + iγω Der Betrag der Antwortfunktion ist K A (.3 ( ω ( ω + γω Links und rechts von der Resonanz ergeben sich die Grenzfälle A A K / ω für ω. K / ω für ω bzw. Eine technische Anwendung von Resonanzen findet sich in Seismometern. Erdbeben verursachen schnelle Bewegungen des Erdbodens. Da ein empfindliches Seismometer mit großer Masse und schwachen Federn realisiert ist arbeitet man rechts von der Resonanz. Will man links von der Resonanz arbeiten benötigt man kleine Massen und starke Federn. Bei Stoßdämpfern ist es das Bestreben Resonanzschwingungen zu unterdrücken da periodische Schwingungen während der Fahrt extrem unangenehm sind (Seekrankhei. Hier arbeitet man mit Flüssigkeitsdämpfern mit kritischer Dämpfung nahe des aperiodischen Grenzfalles. Bei Lautsprechern arbeitet man in der Regel oberhalb der Resonanzfrequenz des schwingenden Gebildes da man damit eine nahezu gleichmäßige Schallintensität abstrahlen kann bei vorgegebener Amplitude der Erregung. Dies ist allerdings der Wunschtraum jedes Lautsprecherherstellers die Realität sieht ganz anders aus. Während Verstärker lineare Frequenzgänge haben die mit einem Lineal über den ganzen Audiobereich gezeichnet werden können weisen Lautsprecher ein wildes Gezappel auf das nur in logarithmischer Darstellung erträglich aussieht weil Schwankungen um mehr als db nicht ungewöhnlich sind (zum Glück sind unsere Ohren auch mehr der Logarithmusfunktion zugänglich. Die Phasenverschiebung bezüglich der Anregung ist γω tan ϕ (.4 ω ω Links von der Resonanz geht tanϕ d.h. Anregung und Antwort des erzwungen schwingenden Oszillators sind in Phase. Für ω ω sind Anregung und Antwort 9 außer Phase rechts von der Resonanz sind Anregung und Antwort 8 außer Phase (gegenphasig. Bei der Resonanzfrequenz wird A maximal. Die Herleitung zeigt dass Resonanz bei einer 77

7 Resonanzfrequenz auftritt die nicht mit der Resonanzfrequenz des freien gedämpften Oszillators übereinstimmt ω ω γ (.5 R Das Amplituden- und Phasenverhalten des getriebenen Oszillators veranschaulicht man sich am besten durch eine graphische Darstellung wobei Fälle zunehmender Reibung illustriert sind. γ/ω.3 A γ/ω. γ/ω π γ/ω.3 ω/ω γ/ω. ϕ π/ γ/ω ω/ω.4. Nichtlineare Schwingungen Das wesentliche Charakteristikum nichtlinearer Schwingungsprozesse ist die Unmöglichkeit analytische Lösungen anzugeben. Oft ergeben sich sogar völlig chaotische Bewegungsabläufe ein Beispiel liefert das Überschlagspendel. Chaotische Prozesse treten auch in periodischen Systemen auf wo sie gänzlich unerwünscht sind z.b. beim Herzflimmern oder bei Atmungsapnoen (Atemstillstände. Letztere treten bei allen Menschen während des Schlafens mehrmals auf die Apnoen betragen in der Regel um die 3s können aber auch Minuten anhalten. Bei Kindern führen Apnoen sogar oft zum plötzlichen Kindstod. Die nichtlineare Dynamik befasst sich gerade mit solchen nicht vorhersehbaren Systemen und versucht Gesetzmäßigkeiten aufzufinden die es gestatten z.b. Risikopatienten rechtzeitig zu identifizieren (Verknüpfung von Medizin Physik und Ingenieursdisziplinen..5. Gekoppelte Schwingungen 78

8 Oft sind bei einem Prozess mehrere harmonische Schwingungen überlagert (z.b. in der Akustik Musik Sprache etc.. Ein weiteres Beispiel stellen gekoppelte Pendel dar. Als einfaches Beispiel werden die Bewegungsgleichungen für zwei gekoppelte Federpendel besprochen. Die Bewegungsgleichungen lauten: mx&& Dx D( x x (.6 mx&& Dx D( x x Gleichung (.6 beschreibt gekoppelte Differentialgleichungen. Durch eine geeignete Variablensubstitution kann man oft gekoppelte Differentialgleichungen entkoppeln im Fall von (.6 gelingt dies durch Bildung der Summe und Differenz der beiden Gleichungen: m( x&& m( x&& + x&& D( x + x x&& D( x x D ( x x (.7 In den neuen Variablen ux +x und vx -x lauten die Gleichungen (.7 mu&& Du mv&& D + D ( v (.8 Die allgemeinen Lösungen der beiden Gleichungen in (.8 sind durch harmonische Schwingungen gegeben u Acos( ω t + ϕ v Bcos( ω t + ϕ (.9 mit den Resonanzfrequenzen ω D / m ω ( D + D / m. Für den Fall gleicher Amplituden AB folgt als Lösung in den ursprünglichen Koordinaten unter Ausnutzen der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen: x x ( u + v ω ω ϕ ϕ ω + ω ϕ + ϕ Acos( t + cos( t + ω ω ϕ ϕ ω + ω ϕ + ϕ ( u v Asin( t + sin( t + (.3 79

9 Die Lösungen stellen Schwebungen dar deren Maxima für die beiden Massenpunkte gegeneinander versetzt sind. Schwebungen beschreiben den Energietransport vom einen Pendel auf das andere Pendel und umgekehrt. Die erste Cosinus-Funktion verursacht die Schwebung weil ω ω klein ist im Vergleich zur schnellen Frequenz ( ω + ω/. Die Kopplung vieler schwingungsfähiger Systeme führt zu Wellenbewegungen und zu Energietransport durch den Raum. Φ Schwebung t Die Lösungen in (.9 bezeichnet man auch als Eigenschwingungen des Systems. Diese kann man durch geeignete Anfangsbedingungen experimentell sehen. Lässt man beide Massen in Phase schwingen wird die Kopplung nicht beansprucht. Man erhält eine rein harmonische Schwingung mit der Eigenfrequenz ω. Lässt man dagegen beide Massen gegenphasig schwingen wird die Kopplung beansprucht. Man erhält in diesem Fall wiederum eine rein harmonische Schwingung mit der Eigenfrequenz ω die größer ist als die Eigenfrequenz ω. Die Bedeutung harmonischer Schwingungen offenbart sich in der Fourierzerlegung. Jede periodische Funktion z.b. auch die Rechteckfunktion kann in harmonische Funktionen (Grundund Oberschwingungen zerlegt werden. a f ( + n T / a f t dt T ( T / T bn T [ an cos( nω + bn sin( nω ] / a T / n T f ( sin T / T / f ( cos ( nω dt ( nω dt (.3 Auf die Fouriertransformation wird genauer in der Optik eingegangen (Fourier-Optik. Dort wird gezeigt dass man mit einfachsten optischen Mitteln die Fouriertransformation von Funktionen experimentell visualisieren kann..6. Eigenschwingungen von Körpern 8

10 Eigenschwingungen von Körpern hierzu zählen Saiten Stäbe oder Platten sind nicht nur Grundlage vieler Musikinstrumente auch in der Technik spielen solche Eigenschwingungen eine wichtige Rolle. Im nächsten Semester werden beispielsweise elektromechanische Wandler diskutiert. Diese bestehen z.b. aus piezoelektrischen Materialien bei denen elektrische Signale durch Druckänderung erzeugt werden können bzw. mechanische Verformungen durch Anlegen einer elektrischen Spannung. Solche Systeme können elektrisch zu mechanischen Resonanzschwingungen angeregt werden. Anwendungen finden sich z.b. im Quarzresonator zur Messung kleiner Schichtdicken während des Aufdampfens von Materialien (hierbei wird die Frequenzverschiebung der Resonanz ausgenutzt die wegen des aufgedampften Materials auftrit in elektrischen Hochfrequenzfiltern in Fernsehgeräten Mobiltelefonen etc. bzw. in piezoelektrischen Oberflächenwellensensoren die ihre Betriebsenergie durch Funkwellen eingestrahlt bekommen und die Sensorantwort über Funk abstrahlen. Mechanische Resonanzen können experimentell mit einem auf beiden Seiten eingespannten Seil beobachtet werden. Man kann mehrere Resonanzschwingungen nachweisen die Grundschwingung und die ersten beiden Oberschwingungen sind in einer Abbildung veranschaulicht. Die hier beschriebenen Eigenschwingungen sind ein Beispiel für stehende mechanische Wellen. Grundfrequenz. Oberschwingung. Oberschwingung 8