v = I max I min I max + I min

Transkript

1 Kohärenz Kohärenz is eine koninuierliche Eigenschaf von inerferierenden Wellen; es gib Wellen, die vollsändig kohären sind, welche, die vollsändig inkohären sind, und Wellen, die weder vollsändig kohären noch vollsändig inkohären sind. Kohärenz definier man üblicherweise über die Inensiä der Überlagerung aller inerferierenden Wellen [2]: v = I max I min I max + I min ; Beispiel: Inerferier eine ideale Sinuswelle mi einer zeiverzögeren Kopie von sich selbs (echnisch realisierbar durch halbdurchlässige Spiegel, wie beispielsweise beim Michelsoninerferomeer), so is v = 1: Der minimale Ausschlag is V m, der maximale Â. Die Inensiä is direk proporional zum Quadra des Ausschlags; da wir die vollsändige Formel für I nich kennen (und diese für uns auch nich ineressan is), fassen wir alle Konsanen, die wir nich weier berücksichigen wollen, als k zusammen. Dami is die Kohärenz dieses Szenarios: Überlagerung einer idealen Sinuswelle mi einer zeiverzögeren Kopie Originalwelle Zeiverzögere Kopie Überlagerung v = I max I min I max + I min = kâ2 V m kâ2 + V m = 1; Überlager eine ideale Sinuswelle eine zeiverzögere Kopie von ihr selbs, is v = 1; ideale Sinuswellen sind vollsändig kohären. Bemerkbar mach sich das dadurch, dass Inerferenzmuser der Überlagerung beispielsweise am Schirm eines Michelsoninerferomeers sehr gu sichbar sind. Inerferieren dagegen zwei Wellen mi v < 1, so is die Sichbarkei (die Schärfe, der Konras) weniger gu.

2 Kohärenz is also auch ein Maß für die Ausgepräghei des Inerferenzmusers. In der Ta wird diese Eigenschaf of auch als Definiion der Kohärenz genuz. Man bezeichne eine Welle als inkohären, wenn v kleiner als ein besimmer, zuvor ausgemacher Wer is. Übliche Schwellenwere sind 66 %, 5 % und 1 e. Den maximalen Weglängenunerschied, den zwei Lichwellen, die einer gemeinsamen Quelle ensammen, haben dürfen, dami noch ein sichbares Inerferenzmuser enseh, bezeichne man als Kohärenzlänge l c. Über l c c = c kann man die Kohärenzlänge in die Kohärenzzei umrechnen. Die Kohärenzzei und -länge idealer Sinuswellen is unendlich ; ideale Sinuswellen sind immer vollsändig kohären. Sonnenlich ha eine Kohärenzlänge von ewa einem Mikromeer [13]. Die Kohärenzlängen von Lasern liegen im Bereich einiger Zenimeer bis sogar mehreren Kilomeern [14]. Michelsoninerferomeer s1 s2 Beweglicher Spiegel s3 Lichquelle (Laser, Glühbirne, ec.) Halbdurch lässiger Spiegel Feser Spiegel s4 Schirm Die wichigsen grundlegenden Geseze und Tasachen der Physik sind endeck [... ] und daher is die Wahrscheinlichkei, dass sie jemand durch neue Endeckungen ergänz, äußers gering. Alber Abraham Michelson, 193 [5]

3 Eine Möglichkei der Besimmung der Kohärenz eines Wellenfelds geh auf Alber Abraham Michelson zurück, den ersen amerikanischen Physiknobelpreisräger, der sich von 1887 bis ewa 192 mi Inerferomerie beschäfige. Bekann is er für sein Michelsoninerferomeer und den oben gedrucken Ausspruch [3]. Beim Michelsoninerferomeer wird eine eingehende Lichwelle zuers durch einen Srahleiler, üblicherweise einem halbdurchlässigen Spiegel, in zwei Wellen geeil. Der durchgelassene Teil der Welle wander zum fesen Spiegel rechs, zurück zum Srahleiler und schließlich zum Schirm. Der reflekiere Teil der Welle wander zum beweglichen Spiegel oben, zurück zum Srahleiler und schließlich ebenfalls zum Schirm, wo ransmiiere und reflekiere Teilwelle inerferieren [4]. Das Inerferenzmuser häng von den Phasen der beiden Teilwellen ab am Schirm ab. Ha eine der beiden Teilwellen beispielsweise gerade ein Maximum und die andere ein Minimum, so löschen sich beide vollsändig aus; man sprich von vollsändiger desrukiver Inerferenz. Sind die Ausschläge der beiden Teilwellen beim Einreffen auf dem Schirm beide maximal, komm es zu vollsändiger konsrukiver Inerferenz. Zur Besimmung der Kohärenz der einfallenden Welle is die Weglängendifferenz s ineressan. Diese errechne sich durch die Differenz der Längen, die die beiden Teilwellen zurücklegen, bis sie auf dem Schirm einreffen. s = (s 1 + s 2 + s 2 + s 4 ) }{{} Transmiiere Welle (s 1 + s 3 + s 3 + s 4 ) = 2s }{{} 2 2s 3 ; Reflekiere Welle Es sell sich nun heraus, dass sich ein klar sichbares Inerferenzmuser nur dann herausbilde, wenn die Weglängendifferenz s kleinergleich als die Kohärenzlänge l c is: s l c ; Is s > l c, wird das sichbare Inerferenzmuser unscharf. Is die Weglängendifferenz sehr viel größer als die Kohärenzlänge, so bilde sich fas gar kein sichbares Muser mehr aus. Variier man s 3, verschieb man also den beweglichen Spiegel, änder sich also die Sichbarkei des Inerferenzmuser. Änder man s 3 so, dass das Inerferenzmuser gerade noch sehr scharf is, is der Weglängenunerschied näherungsweise gleich der Kohärenzlänge.

4 Die wiederhole Verwendung des einschränkenden Adjekivs sichbar in den vorhergehenden Absäzen ha einen Grund: Sreng genommen bilden sich nämlich immer Inerferenzmuser aus schließlich inerferieren die beiden Teilwellen immer, es gib ja auch keinen Grund, wieso sie es nich un sollen. Allerdings änder sich das Muser zeilich sehr schnell, wenn die Weglängendifferenz sehr viel größer als die Kohärenzlänge is mal inerferieren die Wellen konsrukiv, dann desrukiv, dann wieder konsrukiv. Im Miel wird weder desrukive noch konsrukive Inerferenz bevorzug; für unsere Augen enseh dann nich der Eindruck eines Musers, sondern nur der einer beleucheen Fläche. Es is nich so, als dass sich zwei Wellenzüge gegenseiig beschnuppern würden, und dann, je nachdem ob die beiden Wellenzüge genügend kohären sind oder nich, inerferieren. Zeiliche Kohärenz Ein Wellenfeld is genau dann zeilich kohären, wenn die Phasendifferenz zwischen dem Signal der überlageren Gesamwelle in einem fesen Punk gegenüber einem anderen fesen Punk zu jeder Zei gleich is. Anders ausgedrück is zeiliche Kohärenz ein Maß für die Einfarbigkei eines Wellenfelds. Beispiele: In einer Wellenwanne befinden sich an zwei unerschiedlichen, aber fesen Oren je ein Korken, welche sich mi den Wellen in der Wellenwanne bewegen. Nun werden gerade Wellen gleicher Frequenz (ω kons.) und gleicher Wellenausbreiungsrichung ( k kons.) erzeug. Berache man nun die Bewegung der Korken, so wird man beispielsweise fessellen, dass beide immer zugleich nach oben schwingen, dass beide immer zugleich das Schwingungsmaximum erreichen, dass beide immer zugleich nach unen schwingen usw. (Phasendifferenz ). Die Wellen sind in diesem Fall zeilich kohären.

5 Zwei fese Punke, variable Zei Schwingung in einem Punk A Schwingung in einem Punk B Es is aber auch möglich, dass, immer dann, wenn der eine Korken sein Maximum erreich ha, der andere Korken sein Minimum erreich ha und umgekehr (Phasendifferenz 18 ). Auch in diesem Fall würde man von zeilicher Kohärenz sprechen. Und auch die Fälle mi anderen Phasendifferenzen würde man der zeilichen Kohärenz zuordnen. Man sprich nur dann nich von zeilicher Kohärenz, wenn sich die Phasendifferenz mi der Zei änder, also beispielsweise wenn zu einem Zeipunk beide Korken ihr Maximum erreich haben, und zu einem anderen nur einer der beiden sein Maximum erreich ha. In einer Wellenwanne werden mehrere gerade Wellen gleicher Frequenz (ω kons.), aber unerschiedlicher Ausbreiungsrichung ( k nich konsan) erzeug. Auch hier wird man wieder fessellen, dass die Phasendifferenz der Schwingungen in zwei fesen Punken zeilich unveränderlich is; auch dieser Fall is also zeilich kohären. Zwei fese Punke, variable Zei Schwingung in einem Punk A Schwingung in einem Punk B

6 Erzeug man mehrere Wellen unerschiedlicher Frequenz, so is die Phasendifferenz zwischen zwei Oren zeilich nich konsan, die Wellen sind also zeilich inkohären. Zwei fese Punke, variable Zei Schwingung in einem Punk A Schwingung in einem Punk B Räumliche Kohärenz Ein Wellenfeld is genau dann räumlich kohären, wenn die Phasendifferenz zwischen dem Signal der überlageren Gesamwelle zu einem fesen Zeipunk gegenüber einem anderen fesen Zeipunk in jedem Or gleich is. Anders ausgedrück is zeiliche Kohärenz ein Maß für die Geradhei bzw. Ebenhei eines Wellenfelds. Beispiele: Mehrere ebene Wellen der gleichen Frequenz (ω kons.) sind räumlich kohären. Die Richung der Wellen spiel dabei keine Rolle. Zwei fese Zeipunke, variabler Or Schwingung zu einer Zei _1 Schwingung zu einer Zei _2

7 Sogar mehrere gerade Wellen unerschiedlicher Frequenz (ω nich konsan) sind räumlich kohären [Achung, widersprich Unerrich, ensprich aber mehreren Quellen [6], [7], [8], [9], [1], [11], [12]]: Zwei fese Zeipunke, variabler Or Schwingung zu einer Zei _1 Schwingung zu einer Zei _2 Mehrere punkförmige Wellen sind räumlich inkohären. Die Frequenz der Wellen spiel keine Rolle [Achung, widersprich Unerrich, ensprich aber mehreren Quellen [6], [7], [8], [9], [1], [11], [12]]: Zwei fese Zeipunke, variabler Or Schwingung zu einer Zei _1 Schwingung zu einer Zei _2 Inensiä Inensiä kennen wir flüchig bereis uner einem anderen Begriff, Energiesrom pro Fläche. Die Einhei der Inensiä is [ J s m 2 ].

8 Inensiäen kann man immer angeben, wenn Energie fließ. Für uns besonders ineressan is Inensiä aber im Konex von (elekromagneischen) Wellen. Inensiä is indirek proporional zum Quadra der Enfernung von der Lichquelle [1]. I 1 r 2; Grund: Summier (inegrier) man die Inensiäen von jedem Punk einer Hüllfläche um die Lichquelle auf, so erhäl man den gesamen Energiesrom (die Gesamleisung). I E = P = }{{} [ J s ] I( r) }{{} h i J s m 2 }{{} da ; [m 2 ] Im einfachen Fall der kugelförmigen Hüllfläche mi Radius r können wir das Inegral auflösen: I E = P = I(r) 4πr 2 ; Aufgelös nach I(r) erhäl man für die Inensiä im Absand r von der Punkquelle: I(r) = P 4πr 2 ; I/(J/(s m^2)) Inensiäsverlauf einer Punkquelle bei gleichbleibender Ampliude r/m Inensiä Außerdem is die Inensiä direk proporional zum Quadra der Ampliude der Überlagerungswelle: I A 2 ges; Inensiäsverlauf einer Punkquelle bei gleichbleibendem Quellabsand Inensiä I/(J/(s m^2)) A/(V/m)

9 Herleiung der Gleichung für ebene Wellen Möche man verschiedene Szenarien miels Graphenploer visualisieren, muss man naürlich die Gleichung für ebene Wellen kennen. Die Gleichung für Kreiswellen is einfach f(x, y, ) = A sin 2π (f + 1λ ) ( r = A sin 2π f + λ 1 ) (x ) 2 ( ) 2 xquelle + y yquelle ; Bei Kreiswellen is die Enfernung von einem besimmen Wellenpunk (x, y) zur punkförmigen Quelle (x Quelle, y Quelle ) wichig. Bei geraden Wellen is die Quelle idealisier aber eine Gerade, kein einzelner Punk. Enscheidend is also die Enfernung von einem besimmen Wellenpunk (x, y) zur Quellgeraden (y Quelle = m Quelle x + Quelle ). Das Problem dabei is, eine Formel für den Absand eines Punkes zu einer Geraden zu finden. Um sie zu finden, legen wir ein Geradenbüschel durch den allgemeinen Punk B(x B, y B ), und überprüfen dann, welche der Geraden des Büschels senkrech zur Quellgeraden seh. Anschließend berechnen wir die Enfernung von B zum Schnipunk von Quellgerade und der Senkrechen. Wellenpunk B(x_B, y_b) y Q = an αx Q + Q ; Q = y Q an αx Q ; (Q is ein beliebiger Punk auf der Quellgeraden.) Quellgerade y B = mx B + B ; B = y B mx B ; m an α = 1; m = 1 an α ; (Gesuch is die Schargerade, die senkrech zur Quellgeraden seh.) y = 1 an α x + y B + 1 an α x B; (Senkreche zur Quellgeraden durch B) y = y Quelle ; 1 an α x + y B + 1 an α x B = an αx + y Q an αx Q ; (Schnipunk der Senkrechen mi der Quellgeraden) x = y 1 B + x B an α y Q + x Q an α an α + 1 ; an α Sez man dieses x in die Geradengleichung der Quellgeraden ein, so erhäl man die y- Koordinae des Schnipunks. Mi bekanner x- und y-koordinae kann man dann die Enfernung zur Quellgeraden wie gewohn miels dem Saz des Pyhagoras besimmen.

10 Abschließende Bemerkung Viele Quellen über Kohärenz gehen sehr schnell auf echnisch wichige Deails über Laser ein welche Ar von Laser, wie müssen Laser auf opical ables befesig werden, wie können Erschüerungen am besen gedämpf werden, usw., erläuern die Bedeuung von Kohärenz im Rahmen der Quanenphysik (besonders auffällig war das Bose Einsein-Kondensa), oder nuzen vekorielle Wellengleichungen und Fourierransformaionen, zu deren Inerpreaion wir noch nich in der Lage sind. Dies behinder naürlich den Lernprozess: Man möche weniger über die genauen echnisch relevanen Deails bescheid wissen, sondern sich ers ein Gesambild machen. Späer kann man sich dann mi Deails auseinandersezen. Ein großes Problem war auch, dass es mir nich möglich war, ein widerspruchsfreies Bild über Kohärenz herzuleien, solange ich an der Korrekhei unserer Unerrichssunde über Kohärenz feshiel; alle Quellen, die ich erfolgreich inerpreieren konne, widersprachen dem Tafelbild. Da die Quellen uner sich widerspruchsfrei waren, die Definiionen von zeilicher und räumliche Kohärenz nach den Quellen (Phasendifferenz bei zwei fesen Punken und variabler Zei bzw. zwei fesen Zeipunken und variablen Or) mir einleucheen und die Graphen der Unerrichsszenarien die Definiionen auch unersüzen, enschied ich mich mangels Alernaiven, der Lieraur zu folgen. Wird Kohärenz wirklich so unerschiedlich versanden?

11 [1] Wikipedia-Einrag zu Inensiä: Quellen hp://de.wikipedia.org/wiki/inensi%c3%a4 %28Physik%29 [2] Grundlagen von zeilicher und räumlicher Kohärenz im Hinblick auf Laserphysik von Rico Poser: hp:// (unen) [3] Wikipedia-Einrag zu Michelson: hp://de.wikipedia.org/wiki/alber Abraham Michelson [4] Nichöffenliches Vorlesungsskrip von Mark Wolf über Wellenopik [5] Prognosen und Thesen... nich nur zum Schmunzeln von Hermann Maurer, veröffenlich im Informaik-Spekrum 23 (2) 1, S [6] Englischer Wikipedia-Einrag zu Kohärenz: hp://en.wikipedia.org/wiki/coherence %28physics%29 [7] Mail von Kai-Marin Knaak über räumliche Kohärenz: hp://groups.google.com/group/de.sci.elecronics/msg/24397da84162bfde [8] Lasers: Wha is Coherence? von William Beay: hp://amasci.com/miscon/coherenc.hml [9] Wikipedia-Einrag zu kohärener Srahlung: hp://de.wikipedia.org/wiki/koh%c3%a4rene Srahlung [1] Mail von Billy Fish über räumliche und zeiliche Kohärenz: hp://groups.google.com/group/sci.opics/msg/197bdc7f85af635?hl=en& [11] Mail von Gleb Vdovin über die Beziehung von räumlicher Kohärenz und der Geradhei von Wellen: hp://groups.google.com/group/sci.opics/msg/fa3abc d4?hl=en& [12] Mail von Doug Goncz über den Zusammenhang von räumlicher Kohärenz und Kreiswellen: hp://groups.google.com/group/sci.physics/msg/59c39f4a67b5988?hl=en& [13] Skrip über Wellenopik von T. Hebbeker: hp:// hebbeker/lecures/ph3 23/p323 l5/ p323 l5.hml [14] Englischer Wikipedia-Einrag zur Kohärenzlänge: hp://en.wikipedia.org/wiki/coherence lengh