Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen, Teil 4

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1 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen, Teil 4 Mi diesem Beirag wird die Reihe zur Fourier-Transformaion forgesez, die in Hef Nr. 4/ der Unerrichsbläer begann. Auf die bisher veröffenlichen Teile wird punkuell Bezug genommen. Im Mielpunk dieses vieren Teils seh die Falung mi ihren Anwendungsmöglichkeien und schließ direk an Teil 3 an. Hierbei werden lineare und zeiinvariane Syseme, verschiedene Mehoden der Falung und besondere Effeke anhand von prakischen Anwendungsfällen vorgesell. Der Auor Falung und Muliplikaion Muliplikaion Prof. Dr.-Ing. Diemar Rudolph is am Insiu für Bildung und Hochschulkooperaion der Telekom Training beschäfig und lehr an der Technischen FH Berlin. Sein spezielles Arbeisgebie is die digiale Funkkommunikaion. Die Falung erweis sich als eine der wichigsen Beziehungen zwischen zwei Funkionen. Die ensprechende Beziehung der Transformieren is die Muliplikaion. Dies kann symbolisch dargesell werden als: Zeibereich Frequenzbereich Falung Muliplikaion Muliplikaion Falung F ( ) = F ( ) H ( ) (46) gehör im Zeibereich die Falung der zugehörigen Transformieren. Die Falung is eine Inegralbeziehung und laue: Falung f () = f ( )h( ) d = f () h() (47) Falung im Zeibereich Zu dem Produk zweier Funkionen im Frequenzbereich Siehe hierzu die Beiräge Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen Teil, Unerrichsbläer Nr. 4/, S. 84 ff.; Teil, Unerrichsbläer Nr. 5/3, S. 74 ff. und Teil 3, WissenHeue Nr. 9/4, S. 5 ff. 576

2 WissenHeue Jg. 58 /5 Das Thema im Überblick Der vorliegende viere Teil über die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen beschäfig sich zunächs mi der Falung, einer wichigen Beziehung zwischen Transformieren. Hierbei werden Anwendungsfälle anhand prakischer Beispiele, wie die Enladekurve eines Kondensaors oder eine Keenschalung zweier RC-Tiefpässe berache. Es werden die grundlegenden Eigenschafen und die Möglichkei der grafischen Inerpreaion der Falung vorgesell. Die vereinfache Falung mi einem Dirac-( )Impuls wird anhand des Übungsbeispiels Falung zweier Recheckimpulse verdeulich. Die Falung mi einer Sprungfunkion () wird mi Hilfe eines Überragungssysems und eines idealen Tiefpasses erläuer. Darüber hinaus werden die Falung im Frequenzbereich, die komplexe Falung, das Parseval sche Theorem und das asympoische Verhalen von Zeifunkionen und Spekraldichen beleuche. Zur Vereinfachung der Schreibweise in Anlehnung an die Muliplikaion der Transformieren wird das Inegral in Gleichung 47 symbolisch miels eines Falungs-Serns ausgedrück. Beweis: Mi der Fourier-Transformaion gil: F ( ) = f ()e j d In dieses Inegral wird Gleichung 47 eingesez: F ( ) = f ( )h( )d e j d Durch die Verauschung der Reihenfolge der Inegraion wird daraus: F ( ) = h( )e j ( ) d H ( ) f ( )e j d = H( ) F ( ) Gruppe, weil sie viele Syseme in der Praxis einfach und mi guer Näherung beschreiben. Bei einem Überragungssysem sei die Ausgangsgröße u a () = g() die (Aus-)Wirkung W einer Eingangsgröße u e () = s(). u a () = g() = W u e () = W s() (48) Lineariä: Ein Sysem is linear, wenn jede Linearkombinaion von Eingangsgrößen s i (), i =,, 3 zu einer ensprechenden Linearkombinaion von Ausgangssignalen g i () führ. Bild 6 s() a Lineariä N N N W Σa i s i () = Σa i W s i () = Σa i g i () (49) i = i = i = Zeiinvarianz: Ein Sysem heiß zeiinvarian, wenn für jede beliebige zeiliche Verschiebung gil: Zeiinvarianz W s( ) = g( ) (5) Also is die Form der Ausgangsgröße g() von der zeilichen Verschiebung unabhängig, denn das Sysem ha seine Eigenschafen zwischenzeilich nich geänder; es is zeiinvarian. Bild 6 zeig ein Beispiel für ein solches LTI-Sysem. LTI-Sysem im Zeibereich Ein lineares zeiinvarianes (Überragungs-) Sysem mi der Überragungsfunkion (Sysemfunkion) H( ) überrage die Eingangsgröße u e () zu seinem Ausgang, wo diese als Ausgangsgröße u a () erschein, wie in Bild 6 dargesell. q.e.d. seh für quod era demonsrandum und bedeue: was zu beweisen war. Beispiel für die Reakion eines LTI-Sysems: linear und zeiinvarian a a s() R g() C a g() Mi der Subsiuion =, d = d is das Inegral in der Klammer { } das Definiionsinegral für H( ). Da H( ) nich von abhäng, kann es vor das verbleibende Inegral gezogen werden, welches seinerseis das Definiionsinegral für F ( ) darsell. Dami ergib sich insgesam F ( ) = H ( ) F ( ), q.e.d. s()=a s ()+a s ( ) g()=a g ()+a g ( ) Bild 6 Überragung über ein lineares zeiinvarianes Sysem LTI-Sysem u e () h() : Impulsanwor u a ()=u e () h() Lineares Zeiinvarianes Überragungssysem Lineare Zeiinvariane Syseme (linear ime invarian = LTI) sind eine besonders wichige U e () H() : Überragungsfunkion U a ()=U e () H() 577

3 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 6 Falung als gewichee Summe der Impulsanworen eines Sysems Das Sysem anwore auf jedes () mi seiner Impulsanwor h(), weil das Sysem zeiinvarian is. Daraus ergib sich die Ausgangsspannung u a () als infiniesimal feine Summe sämlicher (gemäß den Weren der Eingangsspannung gewicheer und ensprechend zeilich verschobener) Impulsanworen. f() h() g() Für den Zusammenhang zwischen den Einund Ausgangsgrößen gil im Frequenzbereich die muliplikaive Verknüpfung (ensprechend zur komplexen Wechselsromrechnung): Muliplikaion im Frequenzbereich n n τ f( n ) h ( n ) f( n+ ) h ( n+ ) f( n ) τ f() h(τ ) h() f( n ) h(τ ) = f( n ) h( n ) f( n ) h ( n ) Σ n = Σ n = f( n ) h( n ) f( n ) h( n ) f(τ) h( τ) dτ (s. Teil, S. 87, Abschni 8. Ausblendeigenschaf der -Funkion ) darsellen, wobei zunächs formal per Definiion gil: Die Anwor eines linearen Sysems auf einen Impuls () als Eingangsgröße is seine Impulsanwor h(). u a () = u e ( ) h ( ) d = u e () h () (55) Bild 6 zeig diesen Zusammenhang für den Fall, dass die Eingangsfunkion u e () aus endlich breien Impulsen zusammengesez is (d.h. vor dem Grenzübergang). Zur Messung der Impulsanwor Die Überragungseigenschafen eines Sysems können vollsändig durch seine Impulsanwor h() beschrieben werden. Das heiß aber nich, dass die Impulsanwor eines beliebigen realen Sysems mi Hilfe von Nadelimpulsen mi hoher Spannung gemessen werden kann. Eine impulsförmige Eingangsspannung führ im Allgemeinen zur Überseuerung und im schlimmsen Fall zur Zersörung des Überragungssysems. Einer Messung zugänglich is die Sprunganwor a(), d. h. die Anwor eines Sysems auf einen Sprung () der Eingangsgröße. Dies wird z.b. aus prakischen Gründen viel in der Regelungsechnik angewende. Die Impulsanwor h() ergib sich aus der Ableiung der Sprunganwor a() (s. S. 584, Abschni Sprunganwor eines Überragungssysems ). Die Impulsanwor läss sich auch mi Rauschsignalen über eine Korrelaionsanalyse 4 ermieln. U a ( ) = U e ( ) H( ) (5) Dami wird die ensprechende Beziehung im Zeibereich zu einer Falung: Falung im Zeibereich u a () = u e () h() (5) In Gleichung 5 wird h() als die Impulsanwor des Überragungssysems bezeichne, und es gil die Korrespondenz: Impuls- Überragungsanwor funkion (53) h() H( ) Dieser Zusammenhang läss sich hier mi Hilfe der Ausblendeigenschaf der -Funkion Ein- und Ausgangsspannung als gewichee Summe Die Eingangsspannung u e () kann man sich ensprechend zum Lineariäs- oder Überlagerungssaz besehend aus infiniesimal 3 feinen Treppensufen vorsellen. Dies läss sich mi Hilfe der Ausblendeigenschaf der -Funkion darsellen als: u e () = u e ( ) ( ) d = u e () () (54) 3 Die Infiniesimalrechnung is ein wesenlicher Besandeil der Analysis, eines Teilgebiees der Mahemaik. Sie is zenrales Hilfsmiel in Naur- und Ingenieurwissenschafen. Die Infiniesimalrechnung befass sich mi mahemaischen Funkionen und unersuch das Verhalen dieser Funkionen auf kleinsen Inervallen. Zur Anschauung is es hilfreich, sich die Funkionen durch ihren Funkionsgraph (bei -dimensionalen Funkionen eine,linie ) vorzusellen. Die Infiniesimalrechnung liefer eine Mehode, durch Bildung geeigneer Grenzwere die Funkion auf beliebig kleinen (d.h. infiniesimalen) Abschnien widerspruchsfrei zu beschreiben. Diese Beschreibung des Funkionsverhalens in infiniesimalen Abschnien wird in der Differenialrechnung formal behandel. Eine derarige Beschreibung der Funkionen im Kleinen erlaub es, die von Funkionsgraphen eingeschlossenen Flächen zu berechnen. Diese Fragesellung behandel die Inegralrechnung. 4 Die Korrelaion is eine wechselseiige Beziehung zwischen saisischen Ergebnissen, die durch Wahrscheinlichkeisrechnung ermiel wurden. Die Korrelaionsanalyse is ein Zweig der mahemaischen Saisik, der sich mi der Unersuchung von zufallsabhängigen (sochasischen) Zusammenhängen beschäfig. 578

4 WissenHeue Jg. 58 /5 kommuaiv f g = g f F G = G F assoziaiv f (g h) = f g h F (G H) = F G H (56) disribuiv f (g + h) = f g + f h F (G + H) = F G + F H Kurve f g gleich der Summe der Breien der mieinander gefaleen Funkionen f und g is. Eigenschafen der Falung Die Falung und die Muliplikaion bilden ein Transformaionspaar. Daraus folg, dass die Falung Eigenschafen ha, wie sie von der Muliplikaion her bekann sind. Es gelen die gleichen mahemaischen Gesezmäßigkeien (Gl. 56). Bei einem gleichzeiigen Aufreen von Falung und Muliplikaion sind Klammern zu sezen, dami die Rechenvorschrif eindeuig is, denn es gil: Die grafische Inerpreaion läss sich auch so darsellen, dass man sich die umzuklappende Funkion auf ein Lineal gezeichne vorsell, welches gemäß dem Parameerwer verschoben wird, wie es in Bild 64 gezeig wird. Die Durchschiebe-Mehode der Falung zeig unmielbar, dass die Breie der Ergebnis- Bild 63 Grafische Inerpreaion der Falung Impulsanwor des RC-Tiefpasses Ein RC-Tiefpass (RC-TP) (s. Teil 3, S. 56 f., Bild 45) ha gemäß Gleichung 7 die Überragungsfunkion H ( ) = ; T = R C (59) + j T f (τ) Hierzu gehör seine Impulsanwor h () = e /T ; (6) T f (g h) (f g) h (f h) g F (G H) (F G) H (F H) G (57) Grafische Inerpreaion der Falung h(τ) τ Die Formel für die Falung gib die direke Vorschrif an, wie das Falungsinegral grafisch inerpreier werden kann. Dies is in Bild 63 dargesell. f (τ) h( τ) f (τ) h( τ) τ Geh man im Beispiel (s. Bild 63) davon aus, das gil: f () =f () h() = f ( )h( ) d (58) f (τ) Fläche = f ( ) τ so kann man die einzelnen Schrie wie folg grafisch inerpreieren: τ Umbenennen der Variablen in : Umklappen der. Funkion: h( ) h( ) Verschieben der. Funkion (Parameer ): h( ) h( ) Produkbildung: f ( ) h( ) Die Inegraion ensprich der Fläche uner dem Produk (schraffier) Der Wer der Fläche ergib den Wer der Ergebnisfunkion an der Selle des Parameerweres Der Parameer nimm nun beliebige Were an und wird zur Variablen der Ergebnisfunkion Bild 64 Veranschaulichung des Durchschiebens der umgeklappen Funkion f g f g = 579

5 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Beweis: Enladekurve eines Kondensaors Die abklingende e-funkion h () gemäß Gleichung 6 (Bild 65), erhäl man auch als Enladekurve x () eines Kondensaors C, der über einen Widersand R enladen wird. Dami erhäl die Impulsanwor eines RC-Tiefpasses physikalisch eine weiere Bedeuung (Bild 66): Mi Hilfe des -Impulses () wird der Kondensaor C in infiniesimal kurzer Zei geladen. Da die Quelle den Innenwidersand R = Ω und nach der Zei = + die Spannung V ha, enläd sich der Kondensaor sofor wieder (Schalersellung ). Zur prakischen Messung einer Enladekurve is ein langsames Aufladen eines Kondensaors aus einer Gleichspannungsquelle nowendig (Schalersellung ). Das anschließende Enladen erfolg in Schalersellung 3. Ampliude Bild H ( ) = h ()e j d = e (j +/T) d T = e (j +/T ) = T (j +/T ) + j T Impulsanwor eines RC-Tiefpasses und Enladekurve eines Kondensaors Impulsanwor eines RC-Tiefpasses Impulsanwor h () Anfangs-Seigung der e-funkion Enladekurve x () eines Kondensaors Zei/T Bild 67 Enkoppele Keenschalung von RC-Tiefpässen mi δ() als Eingangsgröße R V = δ δ() u e () C u R e = u C u a () R a = Ampliude Bild Keenschalung zweier RC-Tiefpässe Die Enladefunkion x () eines ersen RC- Tiefpasses werde (über einen Trennversärker) einem. RC-TP zugeführ. Der Trennversärker ha einen Eingangswidersand R e (dami er den. RC-TP nich belase) und einen Ausgangswidersand R a (dami er für den. RC-TP eine Quelle mi Innenwidersand Ω darsell). In Bild 67 is die Anwor eines RC-Tiefpasses auf einen e-funkions- Eingangsimpuls dargesell. R Falung zweier e-funkionen am Beispiel der Keenschalung zweier RC-Tiefpässe (T =T /) Anwor eines RC-Tiefpasses auf einen e-funkion-eingangsimpuls Zei/T Es soll nun besimm werden, wie der Zeiverlauf x a () am Ausgang des. RC-TP aussieh. Die Lösung dieser Aufgabe erfolg analyisch mi Hilfe des Falungsinegrals, die hier grafisch gemäß Bild 64 (als Durchschieben) inerpreier werden kann (Bild 68). x a () = x () h () = x ( )h ( )d = e /T e ( + )/T d = e /T (6) T T T T e T T d = e /T e /T () T T T T Technische Inerpreaion: Transversales Überragungssysem Das ransversale Filer (s. Teil, S. 74, Bild 35 und Bild 69) approximier 5 die Falung im Zeibereich. Dies läss sich folgendermaßen erkennen: Der Poenialverlauf der Eingangsspannung über der Verzögerungssrukur sell den gespiegelen (umgeklappen, gefaleen) zeilichen Verlauf dar (Bild 7). Die (Filer-)Koeffizienen, die Süzwere (Abaswere) h n der Impulsanwor h() sind, werden mi den abgegriffenen Weren der (verzögeren) Eingangsspannung muliplizier. Die Produke werden aufsummier (nich inegrier). Dami wird also durch eine solche ransversale Srukur das Falungsinegral 5 Approximaion: mahemaischer Näherungswer; angenähere Besimmung oder Darsellung einer unbekannen Größe oder Funkion. Bild 66 RC-Tiefpass mi δ() oder σ() als Eingangsgröße R Bild 69 Transversale Filersrukur, FIR-Filer FIR-Filer N-Sufen u e () h h h h 3 h 4 h N- h N δ σ 3 u e () C u a () u a () 58

6 WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 7 ue() Zei- und Poenial-Verlauf der Eingangsspannung Bild 7 Gläungseffek der Falung f() g() h() Zeiverlauf ue(x) Falungs-Inegral approximier als: Falungs-Summe Poenialverlauf u a () = h( )u e ( )d = h() u e () (6) N u a () = h n u e ( n ) (63) n = Die Digiale Signalverarbeiung beschäfig sich ausführlich mi den Unerschieden zwischen der Falung und ihrer Approximaion durch ein ransversales Sysem. Das Ziel is es, diese Unerschiede zu minimieren. Gläungseffek der Falung Werden zwei Funkionen f () und g() mieinander gefale, so is das Falungsproduk h(), also das Ergebnis (hier gesrichel gezeichne), im Allgemeinen glaer als die beeiligen Ausgangsfunkionen (Bild 7). Dies wird anschaulich, wenn man die Falung physikalisch als Überragung durch ein Sysem berache. Ha nämlich die Überragungsfunkion des Sysems eine Grenzfrequenz die kleiner is, als es den höchsen Frequenzkomponenen des Eingangssignales ensprich, so sind in der Ausgangsfunkion diese Frequenzkomponenen nich mehr (oder zumindes nich mehr so sark) enhalen. Einer Überragungsfunkion mi niedriger Grenzfrequenz ensprich gemäß dem Zei-Bandbreien-Gesez eine lang andauernde und dami glaere Impulsanwor. In Bild 7 is f () die Eingangsgröße, g() die Impulsanwor und h() die Ausgangsgröße. x Falung mi der -Funkion Besonders einfach berechne sich eine Falung, wenn die Funkion ein -Impuls (mi der Fläche A) is, hier an der Selle = in Bild 7. f () = A ( ) f () = A ( ) (64) f ( ) d Mi der Subsiuion: = und d = d wird daraus uner Verwendung der Ausblendeigenschaf der -Funkion: f () = A ( ) f ( ) d = f ( ) A ( ) d = A f ( ) Falung mi -Funkion f () = A ( ) f () = Af ( ) (66) Wegen der Ausblendeigenschaf der Funkion kann im Inegranden die Variable = in die Funkion f eingesez werden. Anschließend bleib nur noch das Inegral über Bild 7 Falung mi einer δ-funkion f () f () (65) die -Funkion, was deren Fläche ergib. Das Ergebnis wird dami sehr einfach (s. Bild 7): Die Falung mi einer -Funkion liefer eine Reprodukion der Funkion f () an der Selle, wo zuvor die -Funkion war. Sie muss noch mi der Fläche A der -Funkion muliplizier und gemäß ihrer Phase gedreh werden. Dami ergib sich folgende Vorgehensweise bei der Falung mi der -Funkion: Das Achsenkreuz von f () dien als Markierung. f () is so zu verschieben, dass die verikale Achse genau auf die Posiion der -Linie zu liegen komm. Der verikale Maßsab der Ergebniskurve is mi der Fläche A der -Funkion zu beweren. Die Ergebniskurve is gemäß der Phase der -Funkion zu drehen. Ein Gläungs-Effek ri hierbei nich auf. Weil die Falung mi einer -Funkion so bequem durchzuführen is, wird im weieren δ( ) 58

7 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Verlauf dieses Beirages angesreb, eine solche Form zu erreichen. Dies führ dann zum Konzep der vereinfachen Falung. Physikalische Inerpreaion der Falung mi einem Impuls Überräg man eine Zeifunkion f () über ein verzerrungsfreies Sysem, so erschein sie nach einer Laufzei als f ( ) am Ausgang dieses Sysems. Da dies ohne Einschränkungen gelen soll (was echnisch nur heoreisch realisierbar is), gil dies auch dann, wenn die Eingangsgröße eine -Funkion () is. Die Impulsanwor h vf () dieses verzerrungsfreien Sysems is in Bild 73 dargesell. Bild 73 u e () δ() u a () Ein δ-impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Sysems δ( ) Impulsanwor des verzerrungsfreien Sysems h vf () = ( ) (67) Wird nun eine (beliebige) Zeifunkion u e () auf den Eingang des verzerrungsfreien Sysems gegeben, wird dessen ausgangsseiige Zeifunkion zu: u a () = u e () h vf () = u e () ( ) = u e ( ) U e ()= U e () U a () ψ()= (68) Physikalisch gesehen erschein die Eingangsgröße unverzerr, aber um die Laufzei verzöger, am Ausgang, wie in Bild 74 erkennbar is. Die Falung mi einer -Funkion kann daher als Überragung über ein verzerrungsfreies Sysem inerpreier werden. Verzerrungsfreies Sysem und Zeiverschiebungs-Saz Lau Zeiverschiebungssaz (Teil, S. 8, Gl..9) gil: u e () U e ( ) u e ( ) = u a () U e ( )e j = U a( ) H vf ( ) = e j Die Sysem-Funkion H vf ( ) eines verzerrungsfreien Sysems bewirk eine lineare Phasendrehung (in ). In der Spekralvereilung der mi einer -Funkion gefaleen Funkion komm also nur eine lineare Phasendrehung hinzu. Ein Gläungseffek ri in diesem Fall nich auf. Vereinfache Falung (69) Im Unerschied zu einer Falung mi beliebigen Funkionen, wo umgeklapp, verschoben und inegrier werden muss, wird die Falung dann ganz einfach und anschaulich, wenn eine der zu falenden Funkionen eine -Funkion is (s. S. 58, Abschni Falung mi der -Funkion ). Wenn es also geling, ein allgemeines Falungs-Problem so zu modifizieren, dass aus einer der zu falenden Funkionen -Impulse ensehen, wird der Teil ganz einfach, der sich auf die Falung bezieh. Dieser Gedanke lieg der vereinfachen Falung zu Grunde. Der hierfür gewähle Ansaz geh davon aus, dass die Ableiung eines Sprungs () auf eine -Funkion führ, d.h. es gil (s. Teil 3, S. 59, Gl. 5, Bild 75): Bild 75 δ() Sprungfunkion σ() als Inegral über δ() oder δ() als Ableiung von σ() d/d...d τ als Ableiung von σ() d () = () (7) d Bei der grafischen Mehode wird meis von einer Korrespondenz ausgegangen, bei der ein () (oder ensprechend ein ( )) beeilig is. Diese Vereinfachung der Falung kann in den meisen Fällen angewende werden, weil man sich das Recheck aus zwei Sprüngen () zusammengesez denken kann (Bild 76). Bild 76 Zusammensezung eines Rechecks T() aus zwei Sprungfunkionen T () Zusammensezung von durch Sprungfunkionen σ (+T) T T σ ( T) T () = ( + T) ( T) (7) Bild 74 Die verluslose Leiung mi Anpassung als Beispiel eines verzerrungsfreien Sysems Z ~ u () s() g() Z s() τ g() Nach dem Lineariäs-Saz sez sich die Spekraldiche des Rechecks ensprechend aus den Spekraldichen der beiden Sprünge zusammen. Spekraldichen des Pulses und des Sprungs () Nach Gleichung 6 (s. Teil 3, S. 59) gil die Korrespondenz: 58

8 WissenHeue Jg. 58 /5 Sprungfunkion () = + π ( ) (7) j Der Mielwer des Sprunges (gerechne von bis ) is ein Gleichaneil der Größe /. Daher ri in dessen Spekralvereilung ( ) auf. Mi dem Zeiverschiebungssaz folg daraus: zeiverschobene Sprünge ( ±T) = e±j T + π ( )e ±j T (73) j In der Korrespondenz aus Gleichung 73 sind die Aneile der ( )-Funkionen nur bei = ungleich Null. Dami wird aus dem. Term: π ( )e ±j T = π ( )e = π ( ) (74) Zusammengefass ergib sich somi: T () = e+j T e j T + π ( ) π ( ) j heben sich weg sin( T) (75) = T T An diesem Beispiel wird deulich, dass sich die -Funkionen, welche sich in der Transformieren des Sprunges () ergeben, im Ergebnis aufheben. Dies is ein wichiges Ergebnis für die Güligkei der vereinfachen Falung. Ensprechendes gil für ( ). Verallgemeinerung Prinzipiell läss sich die vereinfache Falung immer dadurch erreichen, dass man einen glaen Funkionsverlauf durch eine Treppenkurve approximier. Diese Treppen kann man sich aus Sprungfunkionen zusammengesez (ensprechend zeiverschobenen) denken (Bild 77). Für die Approximaion von f() ergib sich dann N f () a i ( i ) (76) i= wobei a i die Höhe der Sufe is und i deren Beginn. Eine grobe Approximaion mi großen Sufen eigne sich gu für eine Durchführung der vereinfachen Falung von Hand (s. S. 584, Abschni Falung mi der Sprungfunkion () ). Für eine grafische Ausführung der Falung von Hand is eine feine Approximaion mi kleinen Sufen zu aufwendig, jedoch sell dies genau den Übergang zur Berechnung der Falung mi dem Rechner dar. Im Rechner werden die zu verarbeienden Funkionen in Form von Süzweren berei gehalen. Dies is bezogen auf den Funkionsverlauf gleichbedeuend mi einer reppenförmigen Approximaion einer ursprünglich glaen Kurve. Herleiung der vereinfachen Falung im Zeibereich Zur Falung im Zeibereich gehör die Muliplikaion im Frequenzbereich. f () =f () h() F ( ) = F ( ) H( ) (77) Den Ausdruck im Frequenzbereich kann man mi j /j auf zwei Aren erweiern. Beide Aren sind gleichwerig, allerdings wähl man möglichs die Mehode aus, die im Zeibereich am einfachsen auf -Funkionen führ. F ( ) = F ( ) j H( ) = j F ( ) H( ) j j Erweierung mi j j Nach dem Zei-Differeniaionssaz (s. Teil 3, S. 59, Gl. ) bzw. dem Zei-Inegraionssaz (s. Teil 3, S. 58, Gl. 3) gil: Zei-Differeniaion j X( ) d χ() d Zei-Inegraion X( ) + χ( )d j (78) (79) Im Zei-Inegraionssaz ri der Term π ( ) X() auf, hier mi angedeue, der sich allerdings bei der vereinfachen Falung wegheb. Die vereinfache Falung läss sich ebenfalls bei der Laplace-Transformaion 6 anwenden, bei deren Transformieren keine -Funkionen aufreen. Ansa einer Falung mi den ursprünglichen Funkionen f () und h() kann auch eine Falung mi dem gleichen Ergebnis durchgeführ werden, wenn eine der Funkionen abgeleie und die andere inegrier wird: Bild 77 ƒ() ƒ(τ) Approximaion eines Funkionsverlaufes ƒ() durch eine Treppen-Kurve, gebilde aus Sprungfunkionen Sepwise approximaion o ƒ() ƒ(τ) τ τ 3 4 dƒ(τ) dτ dτ f () =f () h() = d f () h( ) d d = f ( ) d dh( ) d Symbolisch kann man für die Ableiung einen ' und für die Inegraion einen Srich uner die bereffende Funkion schreiben: 6 Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (749 bis 87): Der französische Mahemaiker und Asronom beschäfige sich uner anderem mi der Wahrscheinlichkeisheorie und Differenialgleichungen. Der Zweck der Laplace-Transformaion is es, lineare Differenialgleichungen mi konsanen Koeffizienen zu lösen. Sie ha formale Ähnlichkei mi der Fourier-Transformaion. τ (8) f () =f ()' h() = f () h()' (8) Es gil der Grundsaz: Es wird diejenige Funkion differenzier, die am einfachsen auf -Funkionen führ. Es wird gegebenenfalls eine Funkion durch eine Treppenkurve approximier und dann abgeleie. Beispiel: Falung zweier Recheckimpulse Bild 78 zeig ein Beispiel zur Durchführung der vereinfachen Falung. Hierbei werden auch die Einheien der beeiligen Größen berücksichig. Einheien und Dimensionen bei der Falung Definier man eine Überragungsfunkion H( ) als Quoien zweier Größen gleicher Dimension, wie z. B. die Spekraldichen der 583

9 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 78 Beispiel zur Durchführung vereinfacher Falungen A δ(+t) Spannungen am Ein- und Ausgang eines Überragungssysems, H( ) = U a ( )/U e ( ) (8) so folg daraus, dass H( ) dimensionslos sein muss. Eine Spekraldiche (im Unerschied zu einer Überragungsfunkion) besiz die Einhei s (oder /Hz). Die Impulsanwor h() als Korrespondierende zu H( ) ha daher die Einhei /s. Dies simm überein mi der Dimension für (), welche ebenfalls [/Zei] is, wie anhand des Grenzübergangs erkennbar is, der auf () führ (s. Teil, S. 87, Gl..). Eine in der Lieraur of verwendee, in Bezug auf die Dimension allerdings unkorreke, Schreibweise is beispielsweise u e () = () (83) Konsequenerweise solle es z.b. folgendermaßen lauen: u e () = û T () oder z.b. u e () = V s () (84) Aus Gründen der Bequemlichkei wird in der Fachlieraur häufig diese auf eine Sekunde normiere Schreibweise verwende. A u e ()/V T u è ()/V/s T A/V B/ /s ABT/V s s T A δ( T) 3 T T A B T u a ()/V T/ T B h()/ /s T/ 3T/ h/()/ B T T/ 5T In einer der Funkionen sind bereis -Funkionen vorhanden Beseh eine Funkion ohnehin schon aus -Funkionen, darf nich differenzier werden. Enhäl eine Funkion andere Funkionen, zerleg man das Falungsproblem nach dem Disribuiv-Gesez (s. Gl. 56) in solche Teile die -Funkionen enhalen und Teile, bei denen -Funkionen ers durch Differeniaion erzeug werden müssen. Nach dem Lineariässaz ergib sich das Gesamergebnis aus der Summe der einzelnen Teile. Falung mi der Sprungfunkion () Mi Hilfe der vereinfachen Falung und der Beziehung zwischen () und () (s. Gl. 5) und der Ausblendeigenschaf der -Funkion, folg: Falung mi () 3T/ f () =f () () = () f () (85) = () f ( ) d = f ( ) d Die Falung mi einer Sprungfunkion is also gleichbedeuend mi einer Inegraion. Falung einer approximieren Funkion (Treppen-Kurve) Es wird angenommen, dass eine Funkion f () durch eine Treppen-Kurve approximier wird. N f () a i ( i ) (86) i= Dami ergib sich für das Falungsproduk f 3 () = f () f (): N f 3 () = f () f () a i ( i ) f () i= N = a i f ( i ) d i= (87) Der Zeiverlauf gemäß dem Inegral f ( )d wird nur einmal gebilde, dann mi den Koeffizienen a i bewere und an die Selle i verschoben. Bild 79 zeig diese Falung am Beispiel f () = a cos( π /T), gefale mi (). Dargesell is hier die Durchschiebe-Mehode, die die Gewinnung des Inegrals f ( )d veranschaulich. Sprunganwor eines Überragungssysems Die Anwor eines Überragungssysems auf einen Sprung () is dessen Sprunganwor a(). Der Zusammenhang, der zwischen () und () beseh, gil in gleicher Weise auch für die zugehörigen Anworen: a() = () h() = () h( ) d = h( ) d (88) Sprunganwor = Impulsanwor Sprunganwor des idealen TP und das Gibbs sche Phänomen Ein idealer Tiefpass ha per Definiion eine recheckförmige ( ) Durchlasskurve. Seine Impulsanwor h() ha daher einen six-förmigen Verlauf (Bild 8). Die Ampliuden der Nebenmaxima des six sind dabei vollkommen unabhängig von der Grenzfrequenz ( ) c des Tiefpasses, wobei die Größe des. Nebenmaximums Prozen des Haupmaximums beräg. Nach Gleichung 88 is die Sprunganwor des idealen Tiefpasses das Inegral über den six mi laufender oberer Grenze. Diese Funkion is als Inegralsinus Si(x) bekann (Bild 8). 584

10 WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 79 a Inegral-Sinus Falung mi der Sprungfunkion am Beispiel der cos-kuppe als Beispiel für eine Inegraion mi laufender oberer Grenze T T at (/π) at (/π) f()=a cos(π/4t) σ( τ) Bild 8 zeig die Sprunganwor a() des idealen Tiefpasses. Sprunganwor des idealen Tiefpasses a() = Si( c )/π + / (9) T T τ τ σ() f() = f(τ)dτ Si() = π /+ sin( ) d (89) Die Ampliuden der Überschwinger des Si(x) in der Sprunganwor a() sind ebenfalls unabhängig von der Grenzfrequenz c des idealen Tiefpasses, wobei hier die Größe des. Nebenmaximums 9 Prozen der Sprungampliude beräg. Ihre Größe bleib selbsdann erhalen, wenn die Grenzfrequenz c geh. Das ideale Tiefpass-Sysem läss sich ensprechend zu dem Bild (s. Teil, S. 85) inerpreieren. Dabei is der Sprung () als F-Analyse-Signal (Eingangs-Signal der Filer- Bank) und die Sprunganwor a() = Si( c )/ π + / als F-Synhese-Signal (Ausgang der Filerbank) zu inerpreieren. 7 Der ideale TP bewirk ein hares Abschneiden aller Fourier-Komponenen mi Frequenzen, die größer als c sind. Wie Bild 8 zeig, sind die Überschwinger im F-Synhese- Signal unabhängig von der Größe der Grenzfrequenz. Dieser Effek wird als das Gibbs - sche Phänomen 8 bezeichne. Zur Vermeidung des Überschwingens darf daher im Spekrum kein hares Abschneiden erfolgen, vielmehr solle ein sanfer Übergang erfolgen. Anwendungen hierzu sind beipielsweise die Verrundung (Formung) von Daensymbolen oder die Fenserung von Impulsanworen (mi Verauschungs-Saz), die in FIR-Filern (s. Bild 69) als Koeffizienen (Süzwere) abgeleg werden (s. Teil, Bild 35 und 36). Rampenfunkion Durch nochmalige Inegraion komm man von der Sprungfunkion () zur Rampenfunkion () (Bild 83). Ensprechendes gil für die zugehörigen Anworen. Die Sprungund die Rampenanwor haben messechnische Bedeuung, speziell in der Regelungsechnik. 9 Si (x) Bild a () Der Inegral-Sinus Inegralsinus Si (x) π / π / x==> Bild Sprunganwor des idealen Tiefpass-Sysems (mi Phase ) Sprunganwor des idealen TP a() Sprunganwor a() Impulsanwor h() 9 % TP Tiefpass Bild 83 Zei N a() h() % Sprung- und Rampen-Funkion Spekraldiche Bild 8 Der ideale Tiefpass H() = c () (mi Phase ) und seine Impulsanwor h()= sin (c) c/π c c Spekraldiche sin(x)/x Zeifunkion sin (x)/x. c () c /π c /π sin( c )/ c ) =.5 c /π π/ c.. c / c.5 π/ c T N =π/ c /T N Kreis-Frequenz Zei Ampliude ρ() : Rampenfunkion σ() : Sprungfunkion 7 Siehe hierzu den Beirag Zeifunkionen und Spekren oder Was is Frequenz?, Unerrichsbläer Nr. 9/, S. 56 ff. 8 Das Gibbs sche Phänomen is nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibb (839 bis 93) benann. 9 Siehe hierzu den Beirag Spekren periodischer Zeifunkionen, Unerrichsbläer Nr. /, S. 7 ff. 585

11 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 84 Dreiecksfunkion Λ mi ransformierer si χ Die Impulsanwor des RC-TP is gemäß Gleichung 6: T ( F()=T sint T ( Impulsanwor RC-TP h() = e /T ; ; T = R C (93) T f()=λ T() T T f()= c sin c T π ( c T c π ( π T π T Hierbei is T = R C die Zeikonsane des RC-TP. Gemäß der Vorgehensweise der vereinfachen Falung wird der Recheckimpuls T () differenzier, denn dieser Schri führ sofor auf -Funkionen. Dann muss aber ensprechend h() inegrier werden, was zur Sprunganwor a() führ: Sprunganwor RC-TP F()=Λ () a() = h( ) d = e /T d =( e /T ) () T (94) π π π π c c c c c c Die Durchführung dieser Falung eigne sich als Übungsaufgabe. Das Ergebnis zeig Bild 85. Falung im Frequenzbereich Rampe = Sprung () = ( )d Rampenanwor = Sprunganwor r() = a( )d (9) Eine Falung mi einer Rampenfunkion () bedeue dami die zweifache Inegraion. Gewinnung weierer Korrespondenzen mi Hilfe der Falung Viele Korrespondenzen lassen sich mi Hilfe der Falung bequem gewinnen, weil es sehr of möglich is, Funkionen als Ergebnis einer Falung aufzufassen. Es sollen an dieser Selle die Andeuungen für zwei Beispiele genügen. Ein Beispiel zeig Bild 84, wo die Dreiecksfunkion T () aus der Falung von Rechecken T () enseh. T () = T () T () T sin( T) T c sin( c) = c ( ) (9) π c Da bei den Transformieren muliplizier wird, ergib sich, dass zu einem () ein six gehör. Die. Korrespondenz ergib sich mi Hilfe des Verauschungssazes (s. Bild 84). Beispiel: Biphase-Signal & Hilber-Filer Zur Herleiung der Korrespondenzen in Bild (s. Teil, S. 78) (Biphase-Signal & Hilber-Filer) benöig man die Falung eines Rechecks mi zwei aniparallelen -Impulsen. Mi den beiden Teil-Ergebnissen aus Bild 46 (s. Teil 3, S. 57) komm man dann sofor zur Transformieren. Die. Korrespondenz in Bild erhäl man mi dem Verauschungssaz. Es empfehlen sich immer wieder die Konrollen mi Hilfe der Symmerien und der Zenralordinae. Formung eines Recheckimpulses durch einen RC-Tiefpass Ein Recheckimpuls T () wird beim Durchgang durch einen RC-Tiefpass in seiner Form veränder. Die einzige Kurvenform, die beim Durchgang durch ein lineares Nezwerk nich verform wird, is die harmonische Schwingung. Die komplexe Wechselsromrechnung basier auf dieser Eigenschaf. Eine Muliplikaion im Zeibereich bedeue eine Falung im Frequenzbereich. Nach dem Verauschungssaz gelen hier die gleichen Zusammenhänge wie bei der Falung im Zeibereich. Weil das Falungsinegral über der Kreisfrequenz = π f gebilde wird, muss hier vor dem bereffenden Inegral der Term π sehen. f () h() = π F (ν) H ( ν) dν = F ( ) H( ) = F ( ) π H ( ) π Ampliude Bild Formung eines Rechecks durch einen RC-Tiefpass Ausgang eines RC-Tiefpasses für -förmiges Eingangssignal (95) Zei /T 586

12 WissenHeue Jg. 58 /5 π Bei der grafischen Durchführung z. B. der vereinfachen Falung im Frequenzbereich empfiehl es sich, falls die Funkionen grafisch vorliegen, den Fakor z. B. über dem Falungssern π zu schreiben, dami er nich vergessen wird. Bis auf den Fakor π is die Falung im Frequenzbereich idenisch mi der Falung im Zeibereich. Das gil auch für die vereinfache Falung. Bei vielen ypischen Anwendungen wie Modulaion und Abasung is mindesens eine periodische Zeifunkion an dem Produk im Zeibereich beeilig. Auf periodische Funkionen wird im Teil 5 dieser Beiragsreihe deaillier eingegangen. Formung von Daen-Symbolen: Roll-Off Die Verrundung von Daensymbolen kann im Spekrum als Filerung inerpreier werden (s. Bild 6). Danach ensehen die verrundeen Daensymbole als Impulsanwor des ensprechenden Filers: Is dieses Filer ein idealer Tiefpass H( ) = c ( ), so ergeben sich sin(x)/x-förmige Daenimpulse mi großen Nebenmaxima. Ha dieses Filer eine cos -förmigen Ampliudengang, so ergeben sich Daensymbole mi sehr kleinen Nebenmaxima (s. Bild 93). Soll der Symbolak für beide Fälle T sein, so is die Grenzfrequenz c für das cos - Filer doppel so groß wie für das ideale TP-Filer (die mileren Grenzfrequenzen sind gleich). Bandbreie kann eingespar werden, wenn eine Verrundung gewähl wird, die geringer is als bei dem cos -Filer. Das Maß für die gewähle Verrundung is der Roll-Off-Fakor mi (Bild 86). Die Were liegen in der Praxis bei,5,3. In Bild 86 sind die Überragungsfunkion eines Formungs-Filers mi cos-roll-off und die zugehörigen verrundeen Daensymbole dargesell (s. Teil, S. 8, Abschni Anwendung auf verrundee Daenimpulse ). Die Gewinnung der Überragungsfunkion Hν( ) eines allgemeinen Roll-Off-Filers, das der Nyquis -Bedingung genüg, mi Bild 86 Ampliude Überragungsfunkion eines Formung-Filers mi cos-roll-off ( ρ = [;,;,5; ]) und die zugehörigen verrundeen Daensymbole Verrundungs-Filer mi cos-roll-off H v () ρ = ρ =. ρ 3 =.5 ρ 4 =. c (-ρ 3 ) c c (+ρ 3 ) c (Kreis-) Frequenz / c > Hilfe der Falung im Frequenzbereich wird in Bild 87 gezeig. Dami die Daensymbole die Nyquis-Bedingung erfüllen, muss die Überragungsfunkion Hν( ) des Formungs-Filers Symmerie- Punke auf ihren Flanken (Nyquis-Flanken) aufweisen. Wie die Konsrukion erkennen läss, ensehen diese Symmerie-Punke dadurch, dass die Überragungsfunkion H i ( ) eines idealen Tiefpasses mi einer geraden Funkion G( ) gefale wird. Diese Bedingung is hinreichend. In der Praxis wird für die gerade Funkion G( ) eine cos-kuppe genuz, weil durch diese Wahl die Nebenmaxima der Daensymbole kleiner werden (s. S. 588, Abschni Asympoisches Verhalen von Zeifunkionen und Spekraldichen ). Bild 87 c c Ampliude: cos-roll-off verrunde Nyquis Daensymbole [Form: cos-roll-off] Komplexe Falung Zei /T ρ= ρ=. ρ= [si(x)] ρ=.5 Bei der Verarbeiung von Bandpass-Signalen im Basisband reen komplexwerige äquivalene Tiefpass-Signale auf, (s. Teil 3, S. 5, Abschni Bandpass-Signale und äquivalene Tiefpass-Signale ). Eine Filerung der äquivalenen Tiefpass-Signale erforder deshalb eine komplexe Falung (Bild 88). Weil das Gewinnung der Überragungsfunkion eines Symbol-Verrundungs-Filers H υ () mi Hilfe der Falung im Frequenzbereich H i () Punk Symmerie { } π { } π H v () c ( ρ) c c ( +ρ) Harry Nyquis (889 bis 976) war ein amerikanischer Physiker, der einen wichigen Beirag zur Informaionsheorie leisee. Seine ersen Forschungen befassen sich mi dem hermischen Rauschen und mi der Sabiliä rückgekoppeler Versärker. Weierhin erforsche er die erforderliche Bandbreie zur Informaionsüberragung. Im Jahr 97 selle er fes, dass ein analoges Signal mi wenigsens der doppelen Signalfrequenz abgease werden muss, um aus dem digialen Abbild des Signals das analoge Ausgangssignal rekonsruieren zu können. Punk Symmerie ρ c ρ:roll-off G ( ) gerade in ρ c ρ c 587

13 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 88 x R () x l () Bandpass-Filer für diesen Zweck in den Basisband-Bereich ransformier werden muss, is die äquivalene Impulsanwor h aeq () ebenfalls komplex. äquivalene TP-Impulsanwor h aeq () = h R () + jh I () (96) Das äquivalene TP-Signal x() = x R () + j xi () soll gefiler werden und ergib dann das zugehörige Ausgangssignal y () = y R () + j yi (). Dami ergib sich: y() = y R () + jy I () = x() h aeq () = x R ( h R () x I () h I () + j x R () (97) h I () + x I () h R () Diese Gleichung ensprich formal derjenigen, die auch für eine komplexe Muliplikaion Bild 89 Srukur für eine komplexe Falung im Basisband-Bereich h R () h R () h I () h I () erforderlich is (s. Teil 3, S. 5, Gl. 37). Während jedoch eine komplexe Muliplikaion mi vielen Programmen oder Simulaoren direk ausgeführ werden kann, muss die komplexe Falung meis gemäß Gleichung 97 in vier (reelle) Falungsoperaionen aufgespalen werden. Energie-Saz, Parseval sches Theorem Die Berechnung der Signalenergie kann sowohl im Zei- als auch im Frequenzbereich erfolgen. Hierbei ergib sich das gleiche Ergebnis. Die dabei ensehende Beziehung is uner den Namen Parseval sches Theorem bekann. Parsevals Formel laue: Beweis: Es gil mi dem Falungsinegral und der Fourier-Transformaion: Mi = wird daraus: Mi der Subsiuion f ( ) u(), g( ) ν (); F( ) U( ), G( ) ν (), V ( ) folg Gleichung 98. Beispiel zur Berechnung der Energie; die grauen Flächen sind gleich ƒ ( s ) y R () y l () x F ( s ) ƒ ( x ) F ( s ) u()ν ()d = U( )ν (), V ( ) d π (98) f( ) g( ) d = π f( ) g( ) d = π F( )G( )e j d F( )G( )d s Aus Gleichung 98 folg mi ν () = u( ) sofor der Energie-Saz: Parseval sches Theorem Hierbei is u () d = U ( ) d (99) π Energie im Energie im Frequenzbereich Zeibereich u() = u() u () und U( ) = U( ) U ( ) () Für reelle Zeifunkionen u() wird der Inegrand in Gleichung 99 zu u() (ohne Beragssriche). Die Berechnung der Signalenergie erfolg prakischerweise immer in dem Bereich, in dem die Rechnung einfacher is (Bild 89). Man beache den Unerschied zum Zenralordinaen-Saz, der für die nich quadrieren Zeifunkionen und Spekraldichen gil. Das Parseval sche Theorem für periodische Funkionen folg im Teil 5 dieser Beiragsreihe. Asympoisches Verhalen von Zeifunkionen und Spekraldichen Bei der Überragung von Signalen ri immer der Fall auf, dass sich zeilich oder frequenzmäßig benachbare Signale gegenseiig beeinflussen und dami sören können. Dies is ein grundsäzliches Problem, weil nach dem Zei-Bandbreien-Gesez enweder nur die Bandbreie oder nur die Dauer eines Signals begrenz sein kann, aber nich beides gleichzeiig. Dies sind Grenz- oder Exremfälle, die echnisch gesehen nich zu befriedigenden Lösungen führen. In der Überragungsechnik gil es, Signalformen zu finden, die sowohl im Zeibereich als auch im Frequenzbereich möglichs rasch abklingen, um gegenseiige Sörungen zu minimieren. Diese Signalformen müssen also gewissen Opimierungs-Krierien genügen. Eine ähnliche Problemaik ri bei der Dimensionierung von Filern auf, die sich Das Parseval sche Theorem in der Funkionsalanalyse is die allgemeinse Form des Sazes des Pyhagoras (a + b = c ) für Innenprodukräume. Zugleich is es wichig für Orhogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für die verallgemeinere Fourier-Transformaion. Die Gleichung is nach dem französischen Mahemaiker Mark-Anoine Parseval (8. Jahrhunder) benann. 588

14 WissenHeue Jg. 58 /5 z. B. darin äußer, dass die Dämpfung im Sperrbereich nich beliebig groß sein kann. Eine Lösungsmöglichkei im Rahmen der Digialen Signalverarbeiung is, mi geeigneen Fenserfunkionen zu arbeien, für die die gleichen Überlegungen gelen, die in diesem Kapiel angesell werden. Im Rahmen der Digialen Signalverarbeiung is es nach heuigem Sand der Technik üblich, die nowendige Opimierung über geeignee Suchalgorihmen miels eines PCs durchzuführen. Bild 9 Asympoisches Verhalen der Spekraldiche verschiedener Impulsformen: Die Anzahl der Ableiungen, bis δ-impulse aufreen, besimm die Ordnung n mi der die Nebenmaxima der Transformieren abnehmen. (Gesrichel gezeichne: Die Asympoen) Funkion enhäl δ() ƒ() F() Asympoisches Verhalen von Impulsen endlicher Dauer Bei der Feslegung von Impulsformen endlicher Dauer für eine digiale Überragung sellen sich folgende Fragen, die beanwore werden müssen:. Ableiung enhäl δ() Wie nimm für Impulse endlicher Dauer die Spekraldiche über der Frequenz ab? Was is die Asympoe an die Spekraldiche? Wie nehmen die Nebenmaxima eines Digialen Symboles (Zeiverlauf) ab, wenn nur eine endliche Bandbreie für eine Überragung zur Verfügung seh?. Ableiung enhäl δ() 3. Ableiung enhäl δ() 3 Aus dem Zei-Differeniaionssaz (s. Teil 3, S. 57, Gl. 3) folg unmielbar die Aussage für: Asympoisches Verhalen im Spekrum Enhäl die n-fache Ableiung einer Zeifunkion f() -Impulse, so verhäl sich deren Spekraldiche F( ) für hohe Frequenzen beragsmäßig wie n. Als Verallgemeinerung auf Grund des Verauschungssazes gil: Die Anzahl n der nowendigen Ableiungen, bis -Impulse in einem Bereich aufreen, is gleich der Ordnung n mi der die zugehörige Transformiere asympoisch abnimm. Beweis: g() = d n f() (j )n F( ) = G( ) d = F( ) = G( )/(j ) n Weil nach der n-fachen Ableiung -Impulse aufreen, is g() = (). Dami wird G( ) =. Im allgemeinen Fall können im Laufe der Ableiungen mehrere Terme ensehen, die addiiv verknüpf sind. Der erse Term daraus soll nach n Ableiungen auf -Impulse führen. Andere Terme führen z. B. ers nach n Ableiungen auf -Impulse (mi n > n ), weiere Terme gar nich. Die zu den Termen korrespondierende Spekraldiche nimm umso schneller ab, je größer die Anzahl der Ableiungen is. Ehe dabei -Impulse aufreen, dominieren für das asympoische Verhalen die Terme, die nach der gerings möglichen Anzahl von Ableiungen auf -Impulse führen. Beispiele hierzu sind in Bild 46 bis Bild 48 (s. Teil 3, S. 57 ff.) sowie Bild 9 und 9 (S. 59) aufgeführ. Asympoe für den Größenverlauf der Nebenmaxima eines Daen-Symbols Nach dem Verauschungssaz gil der Zusammenhang zwischen dem Aufreen von -Funkionen bei der Ableiung in einem Bereich und dem asympoischen Verlauf im anderen Bereich auch für die Frage der Abnahme der Nebenmaxima einer Zeifunkion. Wenn fesgesell werden soll, wie die Nebenmaxima abnehmen, wird die jeweilige Transformiere so lange abgeleie, bis -Impulse aufreen. Die Anzahl der hierfür erforderlichen Ableiungen läss sich meis bequem grafisch finden. Weil die -Impulse immer (auch) am Beginn und am Ende der Funkion aufreen, is gerade dieser Übergangsbereich ineressan. Bild 9 zeig die erforderlichen Ableiungen am Beispiel einer cos -Kuppe. Die 3. Ableiung (n = 3) der Spekraldiche enhäl -Impulse, also erfolg die Abnahme der Nebenmaxima im Zeibereich 3 als asympoischer Wer, bezogen auf den Zeipunk des Maximums des Symbols. 589

15 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 9 Spekraldiche Spekraldiche cos Spekraldiche F() (Kreis-)Frequenz (Kreis-)Frequenz Zahl n der Ableiungen der Spekraldiche Asympoe d n = n d n n Ableiung einer cos-kuppe (in der Spekraldiche): Die 3. Ableiung enhäl δ-impulse. Die Nebenmaxima der zugehörigen Symbolform nehmen proporional zu 3 ab, bezogen auf den Zeipunk des Maximums des Symbols. Ableiung F () () Spekraldiche Spekraldiche Ableiung (Kreis-)Frequenz δ-impuls F () 3. Ableiung F () δ-impuls (Kreis-)Frequenz Dispersive Überragungssyseme Überragungssyseme haben ses eine endliche Bandbreie. Aus diesem einfachen Grund können keine recheckförmigen Daensignale überragen werden, weil sie gemäß six eine große Bandbreie haben. Bei einem Funkkanal z. B. is dies unmielbar ersichlich, weil Sörungen durch Nachbarkanäle vermieden werden müssen. Dies gil gleichermaßen für leiungsgebundene Syseme, die mehrere frequenzmäßig gesaffele Kanäle überragen. Bei leiungsgebundenen Sysemen, bei denen nur ein Frequenzbereich benuz wird (wie z. B. beim PCM3-Sysem oder bei der Glasfaser-Überragung), könne man vermuen, dass hier keine Bandbegrenzung erforderlich is, weil hier keine Nachbarn gesör werden können. Die Bandbegrenzung is hier dennoch nowendig, weil die Überragungssrecke eine frequenzabhängige Dämpfung und Laufzei ha. Insbesondere die frequenzabhängige Laufzei (Gruppenlaufzei gr ( ), physikalisch: Dispersion ) is dafür veranworlich, dass die Daenimpulse zerfließen (s. Teil, S. 83, Abschni 5.5. Signal-Laufzei bei Sysemen mi nichlinearer Phase ). Man sorg deswegen durch geeignee Formgebung der Impulse dafür, dass solche Spekralaneile, die am Ende einer Überragungssrecke wesenlich zur Impuls-Verzerrung beiragen, von vorne herein durch Formungsfiler herausgefiler werden. Technisch gesehen läss man die Bandbegrenzung also nich durch die Überragungssrecke selbs vornehmen. Auf Grund der echnischen Bedingungen is es nowendig, Impulsformen zu finden, deren Spekraldiche außerhalb des Haupbereiches sehr schnell abnimm, d. h. deren Nebenmaxima rasch sehr klein werden. Beispiele für Fenserfunkionen Bild 9 zeig Beispiele für Impulse gleicher Breie mi der zugehörigen Spekralvereilung (Beräge in logarihmischer Darsellung). Diese finden sich wieder als Fenserfunkionen bei der Digialen Signalverarbeiung. Es zeig sich, dass eine bessere Verrundung im Zeibereich zwar einerseis auf eine schnellere asympoische Abnahme im Spek- Dispersion: Abhängigkei der Forpflanzungsgeschwindigkei einer Wellenbewegung von der Wellenlänge oder der Frequenz. Dämpfung (db) Bild Beispiele für Impulse gleicher Breie und gleicher Fläche und deren Spekralvereilung im Bode-Diagramm; Hanning: cos -Form, Hamming: ( + cos )-Form,,,4,6,8,x Recangular Hanning Hamming Gaussian Frequenz T, 4, 6, 8, db/decade db/decade 6 db/decade 59

16 WissenHeue Jg. 58 /5 rum führ, allerdings auch auf eine Verbreierung des spekralen Haupmaximums. Die bessere Verrundung geh mi einer Verringerung der mileren Impulsbreie einher. Die milere Impulsbreie ergib sich aus der Breie des flächengleichen Rechecks mi der gleichen Höhe wie der ursprüngliche Impuls. Die Verbreierung des spekralen Haupmaximums folg aus dem Zei-Bandbreien- Gesez der Nachrichenechnik. Die Energie, die man durch die Verrundung aus den Nebenmaxima gewinn, finde sich im Haupmaximum wieder. Bild Ampliude Beispiel für einen verrundeen Daenimpuls mi endlicher Bandbreie; Verrundung gemäß cos, d.h. Roll-Off-Fakor ρ =, Daenak: T verrundeer Daenimpuls / T d() 3 3 Zei T /T Spekraldiche cos Spekraldiche des verrundeen Daenimpulses π/ c D() c : milere Breie c c /c (Kreis-) Frequenz Das Bode-Diagramm Das Bode-Diagramm verwende eine doppellogarihmische Darsellung (diese wird ebenfalls bei der Laplace-Transformaion genuz). Die Beräge der Überragungsfunkionen werden in db aufgeragen, während die Frequenzachse direk in logarihmischem Maßsab dargesell wird. In dieser Darsellung lassen sich speziell die Sperrbereiche von Filern darsellen. Von speziellem Ineresse sind hier die Bereiche, wo die Spekralvereilung der Impulse asympoisch abnimm. Bild 9 zeig die Spekraldichen in der doppellogarihmischen Darsellung des Bode- Diagramms der zugehörigen Impulsformen. Für die asympoische Abnahme der Nebenmaxima in der Spekralvereilung gil die Tabelle. Tabelle Abnahme zu Asympoische Abnahme der Nebenmaxima in der Spekralvereilung Seigung im Bodediagramm db/dekade / / / 3 db/dekade 4 db/dekade 6 db/dekade Die Darsellungen zeigen die aus dem Zei- Bandbreien-Gesez bekanne Tasache, dass zu einer endlichen Zeidauer eine breie Spekralvereilung gehör. Wenn die Nebenmaxima im Spekrum rasch genug abnehmen, muss prakisch nur eine endliche Bandbreie berücksichig werden, weil das immer vorhandene Rauschen größer is als die Nebenmaxima und sie dami überdeck. Daenüberragung bei endlicher Bandbreie Wird eine endliche Bandbreie (ohne Nebenmaxima) geforder, so ha nach dem Verauschungssaz die Zeifunkion Nebenmaxima. Für eine Daenüberragung leg man dann die Takrae T so fes, dass das Haupmaximum des nächsen Daenimpulses auf die. Nullselle des vorherigen Daenimpulses fäll (. Nyquis-Bedingung). Dami werden die Haupmaxima der Impulse, die die eigenliche digiale Informaion beinhalenden, nich durch die Nebenmaxima der anderen Impulse gesör. Ein mögliches Beispiel hierzu wird in Bild 93 dargesell (mi Roll-Off- Fakor = ). Der Gauß-Impuls Die einzige Impulsform, die beliebig of abgeleie werden kann ohne dass -Impulse aufreen, is der Gauß sche Glockenimpuls. Bild 95 Bild Die Gauß-Funkion und ihre Transformiere Die Gauß-Funkion in normierer Darsellung flächengleiches Recheck Gauß-Funkion normier auf σ σ: Sreuung x m /σ= Daraus läss sich schließen, dass die Transformiere asympoisch beliebig schnell verschwinde. Bild 94 zeig die Gauß-Funkion in normierer Darsellung. Weil beim Gauß- Impuls keine Nebenmaxima aufreen, is die gesame Energie im Haupmaximum enhalen, das folglich ensprechend breier wird. Die Gleichung für die normiere Gauß- Glocke laue: e π/4 =,46, ƒ() π m F() m m m m m 59

17 Nachrichenechnik > Die Fourier-Transformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 58 /5 Bild 96 Gauß-Glocke Zenraler Grenzwer-Saz: Mehrfache Falung führ auf Verläufe, die im Grenzfall zu Gauß-Glocken werden f i () f() 3 π e 3( ),75,5 f() π e (,5) n= n=3 3 g() = e = exp () Für die Normierung gil: m m = π π π π = Bild Gauß-Glocke (σ=), Error- Funcion erf(x), komplemenäre Error-Funcion erfc(x), Q-Funkion und gespiegele Q-Funkion Gauß, erf, erfc, Q-Funcion erfc(x) Q(x) f G (x)= π) / expl{ x/} Q( x) = Q(x).5 erf(x) x In der hier verwendeen Form ergib sich mi der Abkürzung m = π/, wobei m bzw. m die Breie der flächengleichen Rechecke angeben, die Korrespondenz: f g () = e π (/ m ) F g ( ) = π e π ( / m ) ; m m m = π/ (3) Die Spekralvereilung einer Gauß-Kurve is ebenfalls eine Gauß-Kurve (Bild 95). Diese Kurvenform is also invarian bezüglich der Fourier-Transformaion. Die Säze der Fourier- Transformaion, wie z. B. das Zei-Bandbreien- Gesez oder der Saz über die Zenralordinae gelen jedoch weierhin. Beweis: F g ( ) = e π (/ m ) e j d; Subsiuion: π (/ m ) = /a = e ( /a +j d; Erweiern: ( /a +j a /4) a /4 =e ( a/) e (/a+j /) d; Subsiuion: /a + j a/ = ; d = ad =e ( a/)π a e d ; hierbei is: e d = π π m =e ( a/) a π = e π ( / m ) ; hierbei is: a = m / π = π / m = (4) Zenraler Grenzwersaz Für die Zeikurven in Bild 9 (S. 589) kann man sich vorsellen, sie wären aus einer mehrfachen Falung von () mi () ensanden, d.h. von oben nach unen: (), () (), () () (), () () () () Augenscheinlich näher sich die daraus ensehende Kurvenform zunehmend einer Gaußkurve, je öfer gefale wird. Die Transformiere wird ebenfalls zur Gaußkurve, die in diesem Fall durch forlaufende Muliplikaion eines six mi sich selbs enseh (Bild 96). Dass sich das Ergebnis einer mehrfachen Falung mi sich selbs schließlich einer Gaußkurve annäher, is allgemein gülig und heiß Zenraler Grenzwersaz. Gauß - sche Glockenkurven ergeben sich auch, wenn die Eigenschafen vieler von einander unabhängiger Ereignisse berache werden, z. B. die Ampliudenvereilung einer Rauschspannung. Die Rauschspannung ergib sich z. B. aus der Wärmebewegung von Leiungselekronen, die von einander unabhängig sind. In der Naur is das der normale Fall, weshalb die Gauß-Vereilung auch Normal- Vereilung genann wird. Es gib allerdings Ausnahmen zu dieser Gesezmäßigkei, z. B. -Funkionen oder six-funkionen, die mi Bild Gauß-Glocke (σ =), Q-Funkion und gespiegele Q-Funkion, dazu flächengleiches Recheck und Tangenen Gauß, Q-Funkion, inv. Q-Funkion Q(x) f G (x)=π) / expl{ x/} Tangenen Q( x) = Q(x) flächengl. Recheck x 3 4 x m =.533 x m =.533 Bild Die Q-Funkion in logarihmischer Darsellung und ihre Grenzkurven Q(x)= π e β/ dβ x / πx e x e x / πx / e x x x 59