Spektren periodischer Zeitfunktionen

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1 pekren periodischer Zeifunkionen Der Auor Prof. Dr.-Ing. Diemar Rudolph (59) kam 97 zur damaligen Ingenieurakademie und späeren Fachhochschule der Deuschen Bundespos Berlin. Er verra dor die Fachgebiee analoge und digiale Überragungsechnik, Digiale ignalverarbeiung, Regelungsechnik und Mobilfunkechnik. ei 983 beschäfig er sich mi digialer Überragung im Rundfunk. Er is derzei bei der -ysems Nova, Berkom beschäfig. Im ersen eilbeirag Zeifunkionen und pekren oder: Was is Frequenz? 3 wurden die physikalischen Hinergründe des Begriffs Frequenz dargeleg. Es wurde dabei gezeig, dass Frequenz immer im Zusammenhang mi dem zugehörigen Messgerä versanden werden muss. Dieses Messgerä enhäl als charakerisischen Kern eine Filerbank aus LC-chwingkreisen 4. Im heoreischen Grenzfall der Bandbreie dieser Filer B liefer dieses so definiere Messgerä genau die gleichen Ergebnisse, wie sie mi Hilfe der Fourier 5 - Analyse berechne werden können. Für die radiionelle Fourier-Analyse sprechen auch noch die folgenden physikalischen Gründe: Jede Überragung is bandbegrenz. Frequenzbänder und Bandgrenzen werden miels Fourier beschrieben. Da recheckförmige Zeifunkionen physikalisch mi prüngen des Energieinhals der ignale verbunden wären und dami mi hohen Leisungsspizen, gib es aus energeischen Gründen solche ignale in dieser srengen Form nich. Eine Zerlegung realer ignale in (ideale) Recheckschwingungen würde dami zwangsläufig immer auf kompliziere Zusammenhänge führen. Dami die Formeln überschaubar und einfach und deren Anzahl gering gehalen werden kann, werden zunächs ymmerien behandel. Es zeig sich, dass sich mi deren Hilfe der Rechenaufwand im weieren Verlauf sark reduzier. Harmonische ignale, die daran anschließend analysier werden, sind einerseis sehr anschaulich, spielen aber andererseis in der Messechnik eine wichige Rolle. Mi Hilfe der harmonischen ignale werden die Begriffe der Phasenverschiebung und der kompleen Zeiger veranschaulich. Dami wiederum läss sich die negaive Frequenz anschaulich definieren. Mi Hilfe der negaiven Frequenz gelang man im Frequenzbereich zur zweiseiigen Darsellung, die sich bei der Modulaion als sehr nüzlich erweisen wird. Dann wird zunächs die reelle Fourier-Zerlegung berache und daran anschließend die komplee. Beide Fourier-Zerlegungen werden mi Hilfe von Zeifunkionen durchgeführ, die in der Nachrichenechnik sehr ypisch sind: Dreieckschwingung und Recheckschwingung. Am Beispiel der Recheckschwingung wird gezeig, wie die Variaion der Parameer im Zeibereich sich auf das pekrum auswirk. Dadurch ergeben sich einige elemenare Zusammenhänge, die gesaen, den pekralverlauf graphisch sehr bequem anzugeben. Diese Mehode ha auch noch im Zeialer der rechnergesüzen, mahemaischen Analyseprogramme (z. B. MALAB 6 ) ihre Berechigung, denn mi ihr sieh der Anwender (In iehe hierzu den Beirag in den Unerrichsbläern Nr. 9/, chwingkreis, der aus der Indukiviä L und der Kapaziä C gebilde wird. J. B. J. Baron de Fourier (768 83): Französischer Physiker und Mahemaiker, der die analyische heorie der Wärmeausbreiung und -leiung mi Hilfe von Fourier-Reihen und Fourier-Inegralen enwickele und den Begriff der physikalischen Dimension und der Fourier-Analyse einführe. iehe hierzu den Beirag Das Programm MALAB eine arhilfe für Einseiger, Unerrichsbläer Nr. /999, Das hema im Überblick oll die Fourier-Zerlegung nich nur als Formel berache werden, die sur durchgerechne wird, muss das Analyse-Problem in leich überschaubare eilschrie aufgespale werden. In einem ersen chri werden hierzu ymmerie-eigenschafen der Zeifunkionen analysier. Hierbei zeig sich, dass jede Funkion in einen geraden und einen ungeraden eil aufgespale werden kann eine Aufspalung, die sich auch in den Formeln für die Fourier- Analyse wieder finde. Um weiere ymmerien ausnuzen zu können, wird neben der reellen auch die komplee Fourier-Analyse berache. Bei der Durchführung der Fourier-Analyse sell sich heraus, dass diese sich in mehrere eilprobleme aufspalen läss. Dies wiederum gib die Möglichkei, auf einfache Weise die Auswirkung der Änderung eines Parameers im Zeibereich auf den Verlauf des pekrums angeben zu können. Mi den Beispielen ägezahnschwingung und Recheck-Impuls-Zug wird die Analyse eemplarisch durchgeführ. Es werden dabei die allgemein güligen Zusammenhänge herausgearbeie. Dabei zeig sich, dass die Form der primiiven Periode der Zeifunkion die Hüllkurve des pekrums allein besimm. Diese Eigenschaf führ einerseis direk auf die Fourier- ransformaion die das hema des nachfolgenden Beirags sein wird und andererseis dazu, dass es uner Ausnuzung dieser allgemein güligen Zusammenhänge nich nowendig is, weiere Beispiele für die Fourier-Analyse einzeln zu berechnen, weil diese Ergebnisse im weieren Verlauf viel einfacher gewonnen werden können. 7

2 genieur) unmielbar die Auswirkung der Änderung eines Parameers auf das pekrum. Ganz abgesehen davon is diese graphische Mehode auch sehr gu als Konrolle für pekren zu gebrauchen, die miels eines Compuerprogramms berechne worden sind. f() Bild 8: Zerlegen in geraden und ungeraden Aneil 4 ymmerien, harmonische ignale und Zeigerdarsellung Dieser Abschni, in welchem ymmerien von Zeifunkionen und harmonische ignale berache werden, dien der Vereinfachung der Fourier-Analyse. Die Fourier-Analyse is eine mahemaische Mehode, die es gesae, periodische Funkionen mi Hilfe von Cosinus- und inus-chwingungen (harmonische ignale) zu beschreiben. Die Fourier-Analyse und als deren Umkehrung die Fourier-ynhese sell somi die mahemaische Beschreibung der idealisieren LC-Filerbank aus Abschni in Zeifunkionen und pekren oder: Was is Frequenz? dar. fe() 4. ymmerien Berechnungen vereinfachen sich immer, wenn ymmerien sich ergeben. Davon wird Gebrauch gemach, wenn zur Gewinnung der Ergebnisse ein graphisches Verfahren verwende werden soll, bei dem die Formeln durch Graphiken veranschaulich werden. f () Im Allgemeinen haben zwar die Zeifunkionen keine ymmerien, jedoch lassen sich beliebige Funkionsverläufe in einen geraden bzw. spiegel-symmerischen und einen ungeraden bzw. punk-symmerischen eil aufspalen. Zerlegung in geraden und ungeraden Aneil Der Zeiverlauf wird hierfür angesez zu: Unerrichsbläer f() = f e () + f o () () Der Inde e bedeue even (gerade); o bedeue odd (ungerade). Mi den ymmerie-eigenschafen f e ( ) = f e () piegel-ymmerie (3) f o ( ) = f o () Punk-ymmerie (4) ergib sich aus Gleichung (): f e () = {f () + f ( )} gerader Aneil (5) f o () = {f () f ( )} ungerader Aneil (6) Im Falle von nichperiodischen Funkionen kann diese Zerlegung in vielen Fällen bequem graphisch durchgeführ werden (Bild 8). Dieses graphische Verfahren ha den Voreil, dass sich sofor folgende Punke konrollieren lassen: Is der gerade eil asächlich gerade? Is der ungerade eil asächlich ungerade? Ergib die Addiion beider Aneile wieder die ursprüngliche Funkion? 4. Harmonische ignale Die harmonischen ignale sin( ) und cos( ) spielen bei linearen ysemen eine große Rolle, denn die Eigenschwingungen von linearen ysemen sind cosinusförmig 7. Weierhin gil, dass ein lineares ysem bei cosinusförmiger Erregung auch eine cosinusförmige Anwor ha. Auf dieser asache beruh die gesame komplee Wechselsrom-Rechnung Messung der Nichlineariä miels harmonischer ignale In der Prais kann ein cosinusförmiges ignal zur Messung der Nichlineariä eines Überragungssysems dienen. Is das ysem nichlinear, is die Ausgangsspannung nich mehr cosinusförmig. Eine spekrale Zerlegung (Fourier-Zerlegung bzw. messechnisch z. B. Messung mi einem Fourier-Analysaor) des Ausgangs- ignals liefer dann Oberschwingungen. Die Leisung, die in diesen Oberschwingungen seck, dien als Maß für die Nichlineariä, die in einem solchen Fall mi Hilfe von Klirrfakoren ausgedrück wird. Gerade wegen dieser Konrollmöglichkeien wird im Weieren immer wieder auf eine graphische Inerpreaion der jeweiligen Formeln zurückgegriffen. 7 8 Bei sabilen ysemen handel es sich um abklingende chwingungen. Wenn es nur auf die Kurvenform ankomm, könne ebenso sinusförmig geschrieben werden, denn für die Form spiel die Phasenlage keine Rolle. iehe hierzu den Beirag Komplee Zahlen, Unerrichsbläer Nr. /99,

3 ( ) Hierbei is: a = ŝ sin = ŝ cos () b = ŝ cos = ŝ sin () ŝ = a + b (3) = arcan (a/b) (4) = arcan (b/a) (5) Bild 9: Zerlegen einer phasenverschobenen harmonischen chwingung 4.. Phasenverschobene harmonische chwingung Bekannlich läss sich eine phasenverschobene harmonische chwingung s() mi Hilfe einer inus- und einer Cosinus-chwingung darsellen. s() = ŝ sin( + ) = ŝ cos( + ) (7) Unerrichsbläer Das Bild 9 zeig ein Beispiel für eine solche Zerlegung. Die abelle is eine Hilfe für die Ersellung von kizzen Zeigerdarsellung Die harmonischen chwingungen cos( ) und sin( ) werden gerne mi Hilfe von Zeigern dargesell, weil dies auf eine bequeme Berechnungsmöglichkei miels der kompleen Rechnung führ. Dieser Zusammenhang kann veranschaulich werden, indem eine roierende cheibe, auf der ein Pfeil oder Zeiger markier is, projizier wird und die Pfeilspize als zeiliche Änderung der Länge beobache werden kann. Es enseh der Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung bzw. der kompleen Rechnung und den inus-/ Cosinus-chwingungen bzw. der reellen Rechnung (Bild ). Die Zerlegung in einen geraden und einen ungeraden Aneil geschieh hier am einfachsen mi Hilfe der Addiions-heoreme 9 s() =ŝ sin( + ) =ŝ sin cos( ) + ŝ cos sin( ) a s() =ŝ cos( + ) =ŝ cos cos( ) ŝ cos sin( ) a b b (8) (9) = a cos( ) + b sin( ) () gerade ungerade abelle: Charakerisische Were der Kreisfunkionen Grad 3 Grad 45 Grad 6 Grad 9 Grad Bild : Projekion der Kreisbewegung sin / cos / 4 / 3 cos / / / 3 / / 4 Die Projekion in Richung der imaginären Achse, d. h. auf die reelle Achse, ergib dabei die cosinusförmige chwingung. Der Winkel zwischen den beiden Projekionen beräg 9 Grad. Dies ensprich dem Übergang von Re (reell) nach Im (imaginär) in der kompleen Ebene, d. h. j bedeue 9 Grad Phasendrehung, wie auch aus dem Übergang von der Cosinus- zur inus- chwingung zu erkennen is. Es gib den folgenden Zusammenhang zwischen den ymmerien und den Eigenschafen in der kompleen Ebene: cos : gerade Grad : reell sin : ungerade 9 Grad : imaginär Mahemaisch wird der Zusammenhang mi der Zeigerdarsellung durch die Euler schen Formeln ausgedrück. e j = cos + j sin ; = (6) e j = cos j sin ; = ( ) (7) Umgeform ergeben sich die bekannen und of benöigen Beziehungen: cos = {e j + e j }; = (8) Im sin sin = {e j e j }; = ( ) (9) j Projekion auf Im-Achse Re Die Gleichungen (8) lassen sich nun wieder graphisch durch zwei gegenläufige Zeiger veranschaulichen (Bild ). Projekion auf Re-Achse sin Unerrichsbläer 9 Die Zerlegung ensprechend Gleichung (5) gil auch hier, jedoch bring in diesem Fall die zeichnerische Anwendung dieser Gleichungen keine Vereinfachung. L. Euler (77 783): chweizer Mahemaiker und Physiker, der an der Enwicklung der Inegral-, Differenial- und Variaionsrechnung, der Algebra, Zahlenheorie, Elemenar- und Differenialgeomerie sowie der Mechanik arbeiee. 7

4 imaginäre oder sin-achse imaginäre oder sin-achse Bild : Darsellung der Cosinusbzw. inus- chwingung durch roierende Zeiger reelle oder cos-achse reelle oder cos-achse Unerrichsbläer Eine relle Größe läss sich aus einer kompleen und einer konjugier kompleen Größe zusammensezen, ensprechend zu: = {( + jy) + ( jy)} (3) komple konjugier komple 4..4 Negaive Frequenz Mi Hilfe der Euler-Beziehungen kann formal eine negaive Frequenz definier werden, wie z. B. aus der Darsellung für cos( ) hervorgeh. Das Minuszeichen aus der Darsellung nach Euler wird dabei der Frequenz zugeordne. sellen der Funkion nach der ynhese Überschwinger ensehen (Gibbs sches Phänomen ). 5. Reelle Fourier-Zerlegung Für die reelle Fourier-Zerlegung gil der Ansaz f() = a + a n cos(n ) + b n sin(n ) (3) n= = / gerade in ungerade in is die Periodendauer der Zeifunkion; a n und b n sind formal die Fourier-Koeffizienen. Physikalisch inerpreier sind es die Ampliuden der Cosinus- bzw. inus- Dauerschwingungen. (Man beache auch hier den geraden und den ungeraden Aneil.) cos( ) = {e j + e j( ) } (3) approimieren: annähern. Formel: e j e j( ) Zeiger: links rechs herum laufend mahemaisch: posiiver negaiver Umlaufsinn formal: posiive negaive Frequenz Physikalisch gib es keine negaiven Frequenzen, aber zur leicheren Darsellung mi kompleer Rechnung wird formal eine negaive Frequenz eingeführ. Graphisch läss sich eine negaive Frequenz darsellen, indem die Frequenzachse zu negaiven Weren hin verlänger wird. Dies führ dann auf eine zweiseiige und dami symmerische Darsellung im Frequenzbereich (Bild ). Bei der einseiigen Darsellung wird im pekrum die Ampliude der chwingung aufgeragen, während bei der zweiseiigen Darsellung die Zeigerlängen (= halbe Ampliude) aufgeragen werden. Der Voreil der zweiseiigen Darsellung wird sich z. B. bei der Behandlung der Fourier-Zerlegung oder der Modulaion zeigen. 5 Fourier-Analyse Mi Hilfe der Fourier-Analyse lassen sich beliebige periodische Funkionen durch Cosinus- und inus- Dauerschwingungen in dem inne approimieren, dass das milere Fehlerquadra ein Minimum wird. Diese Einschränkung ha zur Folge, dass an prung- Für das Gibbs sche Phänomen wird bei Behandlung der Fourier-ransformaion eine anschauliche Erklärung gegeben werden. a) b) Ampliude Zeigerlänge Unerrichsbläer Bild : pekrum einer harmonischen chwingung in ein- und zweiseiiger Darsellung 73

5 f() Darsellung, bei der die Kreisfrequenz von bis + läuf. Dami erhäl man die zweiseiige Darsellung im Frequenzbereich, bei welcher sich ymmerien ausnuzen lassen. + Der Übergang von der reellen zur kompleen Fourier- Zerlegung erfolg mi Hilfe der Euler schen Formeln Gleichung (8). Hierbei werden in Gleichung (3) die Ausdrücke cos( ) und sin( ) jeweils mi e j bzw. e j ausgedrück. Unerrichsbläer Läss man die umme von bis + laufen, können die erme mi e + bzw. e zusammengefass werden, woraus eine geschlossene Darsellung folg. + n= f() = C n e jn (39) = / Linienabsand im pekrum Periodendauer der chwingung (4) Bild 3: ägezahnschwingung Diese Fourier-Koeffizienen berechne man mi den Inegralen: a n = / / f() cos(n ) d; n =,,, (33) b n = / / f() sin(n ) d; n =,, (34) Diese beiden Inegrale sellen genau berache Orhogonaliäsbedingungen dar, wie sie im ersen eil in Gleichung () vorgesell wurden. An einer prungselle (Unseigkeisselle) ergib sich ein Funkionswer aus dem arihmeischen Mielwer der links- und rechsseiigen Grenzwere f( ) und f( + ). f() = {f ( ) + f ( + )} (35) Fass man die Cosinus- und inus-erme der einzelnen Frequenzen zusammen, so folg f() = a + cos(n + n ) (36) n= mi A n = (a n + b n ) Ampliuden-pekrum (37) n = arcan (b n /a n ) Phasen-pekrum (38) Die Gleichungen (37) und (38), die formal eine ransformaion von karesischen zu polaren Koordinaen darsellen, können physikalisch mi Hilfe der Filerbank inerpreier werden. Es sind A n : Ampliude und n : Phase der chwingung des bereffenden chwingkreises der LC-Filerbank (s. Bild 3, Unerrichsbläer 9/,. 56). räg man A n und n über der Frequenz auf, erhäl man einen Graphen des Berags- bzw. Ampliudenund des Phasen-pekrums der Zeifunkion f(). Die -Achse läuf dabei von bis. Dies is eine einseiige Darsellung in Frequenzbereich. 5. Komplee Fourier-Zerlegung Die komplee Fourier-Zerlegung is diejenige, die im weieren Verlauf benuz werden soll. ie führ auf eine C n = +/ f() / e jn d komplee Fourier-Koeffizienen C n = (a n jb n ) Zusammenhang mi reellen Fourier-Koeffizienen (4) (4) Da die Fourier-Koeffizienen C n komple sind, sind in ihnen sowohl die Ampliuden C n als auch die Phasen C n der eilschwingungen enhalen 3. C n = A n = (a n + b n ) Ampliuden-pekrum (43) C n = n = arcan (b n /a n ) Phasen-pekrum (44) räg man die Koeffizienen C n direk über der Frequenz auf ( geh hier von bis + ), so komm man nur dann zu einer zeichnerisch einfachen Lösung, wenn diese Koeffizienen enweder rein reell (die Zerlegung also nur aus Cosinus-chwingungen beseh) oder rein imaginär sind (die Zerlegung also nur aus inus-chwingungen beseh). In allen anderen Fällen enseh eine dreidimensionale Darsellung, so dass man dann besser die Ampliuden (ses > = ) und die Phasen aufräg. 6 Beispiele zur Fourier-Analyse In diesem Abschni werden zwei ypische Beispiele behandel. Zunächs wird die ägezahn-chwingung mi reeller Fourier-Zerlegung unersuch und anschließend ein Recheckpuls-Zug miels kompleer Fourier- Zerlegung. Die Beispiele zeigen zum einen eemplarisch die Vorgehensweise bei der Anwendung der Fourier-Analyse, zum anderen werden charakerisische Eigenschafen der Fourier-Zerlegung herausgearbeie. Dies vereinfach und verallgemeiner schließlich den Analyseprozess. Dami erleicher es die Anwendung auf andere (Zei-)Funkionen. 3 Das Inegral zur Berechnung von C n is wieder eine Orhogonaliäsrelaion, die physikalisch als Ergebnis einer Resonanz inerpreier werden kann. Ein Beispiel dazu is die Feldsärkeanzeige eines Rundfunkempfängers, der aus der Überlagerung sämlicher zu empfangenden HF-räger einen ender herausfiler. 74

6 6. ägezahnschwingung Das Bild 3 zeig als erses Beispiel eine ägezahnschwingung, wie sie echnisch z. B. als -Ablenkspannung in einem Oszillographen vorkomm. Aber auch die immbänder erzeugen bei der Bildung von Vokalen dergesalige Laue, die dann miels des Mundund Rachenraums so gefiler werden, dass daraus die Vokale ensehen. Die Zeifunkion ägezahnschwingung enhäl also sinusförmige chwingungen verschiedener Frequenz, die sich prakisch herausfilern und mahemaisch ensprechend Fourier analysieren lassen. Bei der Durchführung einer Fourier-Analyse geh man nach folgendem chema vor:. Aufsellen der Gleichung im Grundinervall: bn n Unerrichsbläer f() = ; / < </; f ( ± ) = f (); = / (45). ymmerien der Funkion: f ( ) = f() ungerade a n = (46) Da alle a-koeffizienen null sind, sez sich die ägezahn-chwingung nur aus inus-chwingungen zusammen Berechnung der Koeffizienen: b n = / / f() sin(n ) d (47) = / / f() sin(n ) d (48) = 4 cos(n ) +/ + / / cos(n ) d / n n (49) Parielle Inegraion = cos(n ) (5) (n ) 4. Ergebnis der Analyse: b n = +/n n ungerade (5) /n n gerade 5. Graphische Darsellung der Analyse: pekrum oder pekralvereilung (Bild 4). Da die Analyse nur eine ore von Koeffizienen ergeben ha (hier b-koeffizienen), können diese in einem einzigen Diagramm aufgeragen werden. Hierbei bedeuen: posiive b-koeffizienen: + inus-chwingung negaive b-koeffizienen: inus-chwingung (Gezeichne sind die eilschwingungen bis 4, 6 und 8 und die ummenschwingungen für 4, 6, und unendlich viele eilschwingungen): Arihmeischer Mielwer: Die ynhese-kurven gehen durch den Punk, der sich aus dem arihmeischen Miel zwischen links- und rechsseiigem Grenzwer ergib. Gibbs sches Phänomen: Auf Grund der dem Fourier-Ansaz zu Grunde liegenden quadraischen Näherung erhäl die ynhese-kurve Überschwinger (Gibbs sches Phänomen), deren Größe unabhängig von der Anzahl der verwendeen Koeffizienen is. 6. Recheck-Puls Der Recheck-Puls, der auch als periodische Recheck-chwingung bezeichne werden kann (Bild 6) wird mi der kompleen Zerlegung analysier. Der Rech- 4 Wenn richig gerechne wird, ergeben sich die a-koeffizienen zu Null. Es is allerdings bequemer, eine ymmerieberachung durchzuführen. Bild 4: pekralvereilung der ägezahnschwingung Bild 5: ynhese der ägezahnschwingung aus inus- chwingungen 6. ynhese der Zeifunkion Die ynhese ergib hier die Zusammensezung der ägezahn-funkion aus sinusförmigen Dauerschwingungen. f() = {sin( ) sin( ) + sin(3 ) + } 3 (5) 7. Graph der aus der ynhese gewonnenen Zeifunkion Das Bild 5 der synheisieren Zeifunkion zeig die beiden der Fourier-Analyse eigenen Besonderheien Unerrichsbläer 75

7 f() A Die Koeffizienen C n sind reell, was bedeue, dass die Zerlegung dieses Recheck-Pulses nur Cosinus-chwingungen liefer. Mi Hilfe der ymmerie-überlegung finde man dieses Ergebnis auch ohne Durchführung der Fourier-Analyse sofor. - Unerrichsbläer Die graphische Darsellung der pekralvereilung kann demzufolge in einem (einzigen) Bild erfolgen. Nach den vorausgegangenen Überlegungen wird der Realaneil des pekrums dargesell, der sowohl posiive als auch negaive Were annehmen kann (Bild 7). Aus der Konsrukion des pekrums sind folgende allgemein gülige Zusammenhänge zu erkennen: Bild 6: Recheck-Puls (periodische Recheckschwingung) eck-puls komm in der echnik häufig vor, z. B. in der digialen ignalverarbeiung oder bei der Modulaion. In dem gewählen Beispiel is die Pulshöhe A, die Pulsbreie is, die Periodendauer is 5. Die Achsen sind hier so gewähl, dass sich eine piegel-ymmerie bezüglich der Zeiachse ergib. Dadurch wird der Recheck-Puls eine gerade Funkion in der Zei. Die Zeifunkion des Recheck-Pulses is: f() = A / = A für = / f ( ± n) = f () (53) für / < < /; Die Berechnung der Koeffizienen ergib: C n = / / A e jn d (54) = A e jn / (55) (jn / ) = A (ejn / e jn / ) (jn ) (56) Das pekrum beseh aus einzelnen Linien mi gleichen Absänden (äquidisan). Dies is ses der Fall, wenn die Zeifunkion periodisch is. Der Linien-Absand = / is reziprok zur Periodendauer. Diese reziproke Gesezmäßigkei is ein pezialfall des Zei-Bandbreien-Gesezes. Die Größe der Linien kann in Abhängigkei von der Ordnung n mi Hilfe einer Hüllkurve beschrieben werden. Die Hüllkurve des pekrums ergib sich aus der Form der primiiven Periode der Zeifunkion. Hüllkurve: si ; primiive Periode: Recheck. Der Zusammenhang Recheck si finde sich als Korrespondenz-Paar bei der Fourier-ransformaion wieder. Das ymbol wird zur Kennlichmachung von Korrespondenzen benuz. Die eie mi dem Kreis is immer dor, wo die Zeifunkion seh. Ensprechend kann daher auch vorkommen, wenn die Zeifunkion auf der rechen eie seh. Die Lage der ersen Nullselle der si-hüllkurve is bei = / und dami reziprok zur Breie eines Impulses. Die Größe der Linie bei der Frequenz = ensprich dem Gleichaneil der Zeifunkion. Beim Recheck is das 6 : = A sin(n /) (n /) (57) In Gleichung (54) ri die häufig gebrauche Form des si auf. si = sin()/ = sin() ; = n / (58) 5 6 Die folgenden Zusammenhänge werden besser mi Hilfe der Begriffe (Pulshöhe, Pulsbreie, Periodendauer, ) als durch Formelzeichen (A,, ) erkann. Diese können je nach Problemsellung unerschiedlich sein. Begriffe sind porabel, dagegen sind Formelzeichen lokal, was zu Fehlinerpreaionen führen kann. Dies is ein ypisches Beispiel für einen Zusammenhang, der besser in Begriffen und nich in Formelzeichen versanden werden kann. Bild 7: pekrum des Recheck-Pulses (zweiseiige Darsellung) Cn A n = - n = Unerrichsbläer 76

8 Bild 8: si Funkion in normierer Darsellung, si() sin,75,5,5 -, Unerrichsbläer C = A (59) Linie bei = : Gleichaneil = (Impulshöhe mal Impulsbreie) (6) Periodendauer. Die Höhe der Nebenmaima is proporional zu / (Hyperbel), d. h. db/dekade 8 im logarihmischen Maßsab Der Wer bei = ergib sich zu: si() = lim sin = lim cos = Bernoulli-L Hospial (6) Beliebiges Puls-Pausen-Verhälnis Bei Beachung dieser Zusammenhänge kann sofor die pekralvereilung eines Recheck-Pulses mi beliebigem Puls/Pause-Verhälnis angegeben werden, weil man die Einflüsse der einzelnen Parameer auf die pekralvereilung direk erkenn. Puls/Pause = Dies is ein besonders wichiger pezialfall. Er ri bei der Modulaion auf. Wegen Puls/Pause = is die Periodendauer doppel so groß wie die Impulsbreie. Dami fäll eine Nullselle der Hüllkurve auf jede zweie Linie, welche dami verschwinden. Es gib also hier nur ungeradzahlige Vielfache der Grundschwingung, also (n + ) ; n =,,, 6.3 si-funkion Da in der echnik häufig Recheck-Funkionen aufreen, is die im pekrum aufreende si-funkion si besonders wichig. Insbesondere wird sich die graphische Mehode zur Besimmung der pekralvereilung prakisch immer in irgendeiner Form auf die Korrespondenz Recheck sin() (6) beziehen. 4. Der Wer bei = /, d. h. in der Mie zwischen Maimum und erser Nullselle wird: si( /) = sin( /) = / =,636 3,9 db (63) ( /) Das Bild 8 zeig die si-funkion in normierer Darsellung Überleiung zur Fourier-ransformaion Die in den vorausgegangenen Abschnien angewendee Vorgehensweise der Zerlegung der Analyse in voneinander unabhängige eilschrie zeige deulich den Einfluss der Form der primiiven Periode der Zeifunkion auf die Hüllkurve des pekrums. Wird demnach bei einer periodischen Funkion nur die Form der primiiven Periode veränder, so änder sich im pekrum nur deren Hüllkurve. Die Posiion der Linien bleib unveränder und ihre Länge brauch offensichlich nur der akuellen Hüllkurve angepass zu werden. Das bedeue auch, dass es nich nöig is, eine Vielzahl von Kurvenformen mi Hilfe der Fourier-Analyse einzeln durchzurechnen, weil die Ergebnisse offensichlich wesenlich eleganer und anschaulicher gewonnen werden können. Es lieg daher nahe, zunächs das eilproblem Form der primiiven Periode der Zeifunkion Form der Hüllkurve des pekrums zu berachen. Das soll in der 6.3. Eigenschafen der si-funkion Als Recheckimpuls wird hierzu eine auf normiere Form 7 berache, d.h. Höhe A = und Breie =. Die si-funkion erhäl dami folgende Eigenschafen:. sin() ha äquidisane Nullsellen (ensprechend dem inus), also bei,, 3, Die Normierung bedeue keine Einschränkung der Allgemeinhei, weil miels der zuvor angegebenen Zusammenhänge eine Ennormierung problemlos möglich is. Dekade: Verhälnis :. In der echnik werden Größenverhälnisse z. B. B/A in der Regel im logarihmischen Maßsab angegeben und dann mi Pegel p bezeichne. lg B/A = p. Die dimensionslose Größe p enhäl dabei eine Pseudo-Einhei dezi-bel = db. 77

9 nächsen Folge geschehen, und es wird sich zeigen, dass dieser Zusammenhang genau mi Hilfe der Fourier-ransformaion beschrieben werden kann. 6.4 Lernkonrolle 6.4. Übungsaufgabe: pekrum eines Recheckpulses Um sich die oben aufgezählen allgemeinen Zusammenhänge besser einprägen zu können, wird die Durchführung der folgenden Übungsaufgabe empfohlen.. kizzieren ie einen Recheck-Puls mi den Weren: Ampliude Vol, Periode msec, Pulsbreie msec.. Uner Verwendung der aufgeliseen Gesezmäßigkeien is das pekrum des Recheck-Pulses maßsäblich zu skizzieren. Die Achsen sind zu beschrifen. Charakerisische Were (Größe der Linie bei der Frequenz, Linienabsand, Nullsellen der Hüllkurve) sind anzugeben einschließlich deren Einheien. 3. Die Periode werde nun zu 5 msec angesez (Res wie uner Punk.). kizzieren ie das pekrum mi Angabe der charakerisischen Were. 4. Die Pulsbreie werde zu msec gewähl (Res wie uner Punk.). kizzieren ie das hierfür ensehende pekrum mi Angabe der charakerisischen Were. 5. Nun sei die Ampliude 4 Vol, die Periode bleibe msec, aber die Pulsbreie verringere sich auf,5 msec. kizzieren ie das hierfür ensehende pekrum mi Angabe der charakerisischen Were. 6. Die Ampliude sei,5 Vol, die Periode 6 msec und die Pulsdauer 3 msec. kizzieren ie das hierfür ensehende pekrum mi Angabe der charakerisischen Were Übungsaufgabe: si-funkion. kizzieren ie eine sin() -Funkion im Bereich.. Ziehen ie Geraden vom Maimum des si zu den ersen und drien Nullsellen des si rechs und links des Maimums. 3. Berechnen ie die eigung des sin() in diesen Nullsellen und zeigen ie, dass diese idenisch is mi der eigung der jeweiligen Geraden. 4. Verallgemeinern ie das gefundene Ergebnis auf die eigung des sin () in allen seinen Nullsellen. (Ge) Der Beirag wird forgesez. Lieraurhinweise [] Bergmann, K.: Lehrbuch der Fernmeldeechnik, Fachverlag chiele & choen, 5. Auflage 986. [] Küpfmüller, K.: Die ysemheorie der elekrischen Nachrichenüberragung,. Hirzel Verlag, 3. Auflage 968. [3] Randall, R. B.: ech, B.A.: Frequency Analysis, Brüel & Kjaer 977. [5] Lüke, H. D.: ignalüberragung, pringer 5. Auflage 99. Unser Leserservice für elekom-miarbeier/innen einfach über Inrane Bie wählen ie die Adresse: hp://c.elekom.de Wir bieen Ihnen Informaionen zu Nachbesellungen, Jahresinhalsverzeichnisse vom Jahr 994 an, ein Archiv und als Leseprobe vollsändige Hefe der Unerrichsbläer sowie eine Möglichkei zur Abonnemenbesellung. Ihre Redakion Unerrichsbläer 78