Einheitsganglinien-Verfahren

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1 Einheisganglinien-Verfahren Themen: Wiederholung von Grundlagen der Impulsanworverfahren Definiion der Einheisganglinie Beispiel: Rechnen mi einer gegebenen Einheisganglinie Übersich: Mehoden zur Besimmung der Einheisganglinie Lieraur: Dyck & Peschke (995): Grundlagen der Hydrologie; Verl. f. Bauwesen Vorlesungsskrip Hydrologie, Uni BW München, Prof. M. Disse Manuskrip zur Vorlesung Hydrologie und Wasserwirschaf - Hydrologische Modellierung, Prof. Hinkelmann, TU Berlin

2 2 Einordnung in die Niederschlags-Abfluss-Modellierung Ganglinie des Effekivniederschlags Einzugsgebie (Sysem) Ganglinie des Direkabflusses aus Dyck/Peschke (995)

3 3 Impulsanwor als Modellkonzep für die Abflusskonzenraion Grundidee Die Ganglinie des Effekivniederschlags wird als eine Folge von diskreen Impulsen der Dauer dargesell (Eingangssignale des Sysems) I eff Niederschlag als Folge von Impulsen besimmer Inensiä und Dauer Miels einer für das Sysem (Einzugsgebie) charakerisischen Vorschrif ( Überragungsfunkion, Sysemoperaor, Anworfunkion ) kann für jeden Effekivniederschlagsimpuls die Sysemanwor (Ausgangssignal, hier: Direkabfluss am Gebiesauslass) berechne werden 2 Q D Direkabflüsse aus den Einzelimpulsen Die aus dem gesamen Niederschlagsereignis resulierende Ganglinie des Direkabflusses erhäl man durch Überlagerung der Reakionen auf die einzelnen Impulse Q D 3 Ganglinie des Direkabflusses

4 4 Impulsanwor als Modellkonzep für die Abflusskonzenraion Grundprinzip : "Proporionaliäs- oder Versärkungsprinzip" Aus einem mi k muliplizieren Eingangssignal p folg ein mi k muliplizieres Ausgangssignal U(k*p()) = k*u(p()) U: Überragungsfunkion p(): Eingangssignal, U(p()): Ausgangssignal k: beliebige Konsane Die Höhe des aus einem Effekivniederschlagsimpuls (I eff ) resulierenden Direkabflussimpulses (Q D ) häng linear von der Höhe des Effekivniederschlagsimpulses ab Form und Dauer der aus einem Effekivniederschlagsimpuls resulierenden Direkabflussganglinie sind v. der Effekivniederschlagsinensiä unabhängig I eff p() Q D U(p()) V V I eff k*p() Q D k*u(p()) V 2 V 2 Es gil die Volumenbilanz: PI eff d = Q D d (keine permanene Speicherung)

5 5 Impulsanwor als Modellkonzep für die Abflusskonzenraion Grundprinzip 2: "Superposiions- oder Überlagerungsprinzip" Die Sysemanworen mehrerer (z.b. zeilich aufeinander folgender) Eingangsimpulse überlagern sich ungesör U(p () + p 2 ()) = U(p ()) + U(p 2 ()) I eff p p 2 Q D U(p ) U(p 2 ) Die Kombinaion von Proporionaliäs- und Superposiionsprinzip bezeichne man als "Lineariäsprinzip" U(k *p () + k 2 *p 2 ()) = k *U(p ()) + k 2 *U(p 2 ())

6 6 Impulsanwor als Modellkonzep für die Abflusskonzenraion Grundprinzip 3: Zeilich invarianes Sysemverhalen Die Überragungsfunkion is zeilich unveränderlich ein idenischer Impuls des Effekivniederschlags erzeug immer die gleiche Direkabflussganglinie Daraus folg u.a., dass: die Überragungsfunkion bei Veränderung der Gebieseigenschafen (Vegeaion, Versiegelungsgrad ec.) ungülig wird besondere Siuaionen (gefrorener Boden, Schneeschmelze) mi einer für Normalbedingungen güligen Überragungsfunkion nich behandel werden können Weiere Grundannahme: Homogene Niederschlagsvereilung Die Ganglinie des Effekivniederschlags wird für das gesame Einzugsgebie als gülig angenommen Die Anwendung is daher auf kleine Gebiee beschränk oder erforder eine Gliederung in Teileinzugsgebiee

7 7 Impulsanwor als Modellkonzep für die Abflusskonzenraion Schrie zur Anwendung von Impulsanworverfahren. Besimmen der Überragungsfunkion U für das unersuche Einzugsgebie ( Sysemidenifikaion ) Mehoden + Anwendungen 2. Berechnung der Ganglinie des Direkabflusses am Gebiesauslass aus der Ganglinie des Effekivniederschlags mi Hilfe der bekannen Überragungsfunkion Ableiung von U aus Gebieseigenschafen (z.b. Isochronen-Verfahren) Ableiung von U aus beobacheen Ein- und Ausgangssignalen (Black-Box-Mehode) (z.b. Einheisganglinien-Verfahren)

8 8 Definiion der Einheisganglinie (EGL) Die Einheisganglinie (Synonym: -Impulsanwor) eines Einzugsgebies is definier als die Ganglinie des direken Abflusses von mm, die aus einem Effekivniederschlag dieser Höhe mi der Einheisdauer resulier. Anders ausgedrück: Die Einheisganglinie beschreib, wie ein Effekivniederschlagsimpuls der Höhe mm und der Dauer über die Zei vereil zum Abfluss gelang. (Überragungsfunkion) Die EGL kann in diskreer oder koninuierlicher Form angegeben werden: h i Σh i = i= i=2 i=n h() h() d= Die Ganglinie des direken Abflusses eines Niederschlagsimpulses der Dauer mi einer Niederschlagshöhe erhäl man durch Muliplikaion der EGL mi der veränderen Niederschlagshöhe [mm] ( siehe Proporionaliäsprinzip).

9 9 Inerpreaion einer diskreen Einheisganglinie Gewich h(, ) (kurz h i ) Σh i = i= i=2 i=n Wird im Zeiinervall von =0 bis =* ein Effekivniederschlag der Höhe P [mm] gebilde, dann gelang im Inervall von =0 bis =* der Aneil h *P, d.h. 0 % des Effekivniederschlagsvolumens, zum Abfluss. Im Inervall i=2 gelang der Aneil h 2 *P (d.h. 40%, da h 2 =0.4) zum Abfluss. Im Zeiraum von =0 bis =4* gelang das gesame Volumen des Effekivniederschlagsimpulses zum Abfluss, da h +h 2 +h 3 +h 4 =.0. Die Ordinaen der Einheisganglinie können also als Gewiche inerpreier werden, die die Vereilung des aus einem Effekivniederschlagsimpuls gebildeen Direkabflusses über die Zei beschreiben.

10 0 Berechnen von Q D () aus I eff () in 3 Schrien...

11 Schri : Diskreisieren der Effekivniederschlagsganglinie Die Ganglinie der Effekivniederschlags-Inensiä I eff () wird als Folge von Recheckimpulsen der Dauer dargesell I eff Diskreisierung einer realen Ganglinie I eff Diskreisierung eines Blockregens Innerhalb der Inervalle der Dauer wird die Effekivniederschlags- Inensiä als konsan angenommen wird für die prakische Rechnung ensprechend der zeilichen Diskreisierung der gegebenen Einheisganglinie gewähl

12 2 Schri 2: Umrechnen der Einhei des Effekivniederschlags Die Effekivniederschlagsinensiä I eff wird mi Hilfe der Fläche des Einzugsgebies A E in die Einhei des Direkabflusses umgerechne I eff [L 3 /T] = I eff [L/T] * A E [L 2 ] Bei Verwendung der üblichen Einheien: I eff m³ s = 3.6 * I eff mm h * L: Längeneinhei T: Zeieinhei A E [ km²]

13 3 Schri 3: Berechnen der Ganglinie des Direkabflusses Inpu: Effekivniederschlagsganglinie Ieff [m³/s] Ieff [m³/s] Auflösung in Einzelimpulse Einheisganglinie als Überragungsfunkion Ieff [m³/s] Ieff [m³/s] h(, ) QD [m³/s] QD [m³/s] Superposiion QD [m³/s] QD [m³/s] Oupu: Direkabflussganglinie

14 4 Schri 3: Berechnen der Ganglinie des Direkabflusses I eff [m³/s] Einheisganglinie als Überragungsfunkion h i Q D [m³/s] j= j=2 j=3 (n=4 Ordinaen) i= i=2 i=3 i=4 j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 Inpu: Effekivniederschlagsganglinie Formel für den Direkabfluss: n = h j ( Ieff j i+ i= QD * h ) j: Index des Zeischris der Ganglinien von Effekivniederschlag und Direkabfluss i: Index des Zeischris der Einheisganglinie n h : Anzahl der Zeischrie der Einheisganglinie Oupu: Direkabflussganglinie i

15 5 Dauer des Direkabflusses (Länge der Ganglinie Q D ()) I eff [m³/s] Einheisganglinie als Überragungsfunkion h i Q D [m³/s] (n p =3 Ordinaen) Inpu: Effekivniederschlagsganglinie j= j=2 j=3 (n h =4 Ordinaen) i= i=2 i=3 i=4 j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 Ein Niederschlagsimpuls komm über n h Zeiinervalle zum Abfluss (n h = Anzahl Ordinaen der EGL). Der erse Niederschlagsimpuls verursach also eine Direkabflussganglinie der Länge n h *. Jeder weiere der insgesam n p Niederschlagsimpulse folg mi einem Zeiversaz von. Die Direkabflussganglinie verlänger sich jeweils um. Die Direkabflussganglinie beseh aus n q = n h +n p - Zeiinervallen und die Abflussdauer is (n h +n p -)*. (n q =6 Ordinaen) Oupu: Direkabflussganglinie

16 6 Rechenbeispiel: Anwendung der Einheisganglinie Ziel: Berechnen der Ganglinie Q D () aus einer Ganglinie des Niederschlags I() miels gegebener, diskreer Einheisganglinie Gegeben: I [mm/h] Niederschlagsganglinie weiere Angaben: [h] Größe des Einzugsgebiees A E = 7.2 km² diskree Einheisganglinie Abflussbeiwer ψ= 0.25 (zeilich & räumlich konsan) h i = h Zeischriindex i

17 7 Rechenbeispiel: Aufbereien der Niederschlagsganglinie Umrechnen in den Effekivniederschlag I eff = I * ψ Zeiinervall [h] I eff [mm/h] I [mm/h] I eff [mm/h] 3 5 [h] 2 Diskreisieren in Inervalle =h ensprechend der Auflösung der EGL und Umrechnen von mm/h m³/s I eff m ³ s Zeiinervall [h] = I eff [m³/s] * I eff [mm/h] I eff [h] mm h I eff [m³/s] * A E [ km ²]

18 8 Rechenbeispiel: Berechnen der Direkabflussganglinie j n = h QD ( Ieff * h ) i= j i+ Berechnen der Summenformel miels Tabelle Zeischri der Ganglinie Q D () PI eff j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 j=7 Zeischri der Ganglinie I eff () j= 6m³/s 6*0. 6*0.4 6*0.3 6* j=2 6m³/s - 6*0. 6*0.4 6*0.3 6* j=3 - i 0m³/s - - 0*0. 0*0.4 0*0.3 0*0.2 j: Zeischriindex der Ganglinien I eff () und Q D () i: Index des Zeischris der Einheisganglinie n h : Anzahl der Zeischrie der Einheisganglinie j=4 0m³/s *0. 0*0.4 0*0.3 0*0.2 Spalensumme (QD j [m³/s]) ein Zeischri j dauer von (j-)* bis j* (hier =h)

19 9 Rechenbeispiel: Konrolle der Berechnung Es muss gelen: I eff d = Q D d (Effekivniederschlagsvolumen = Direkabflussvolumen) Das Direkabflussvolumen V QD is: V QD = nq j = (QD j ) = * nq j = j: Zeischriindex der Ganglinie n q : Anzahl der Zeischrie der Ganglinie Q D : Dauer eines Zeischris * QD Effekivniederschlagsvolumen V P (analog): V P = * np j = Ieff j Hier: V QD = V P = 32 m 3 /s * 3600 s = 5200 m 3 j j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 j=7 QD j [m³/s] ΣQD j [m³/s] = 32.0*3600s Ieff j [m³/s] ΣIeff j [m³/s] = 32.0*3600s

20 20 Rechenbeispiel: Ergebnis als Diagramm Zeiinervall j der Dauer =h Direkabfluss Q D [m³/s] Niederschlagsinensiä I [mm/h] QD(j) I(j)

21 2 Rückblick. Schema der Niederschlags-Abfluss-Modellierung (Abflussbildung Abflusskonzenraion Wellenablauf) 2. Grundidee der Impulsanworverfahren 3. Annahmen über das Sysemverhalen 4. Definiion der Einheisganglinie 5. Anwendung einer gegebenen Einheisganglinie (Berechnung der Ganglinie des Direkabflusses aus der Ganglinie des Effekivniederschlags)

22 22 Besimmung der Einheisganglinie I eff [m³/s] I eff [m³/s] I eff [m³/s] I eff [m³/s] Inpu: Effekivniederschlagsganglinie Auflösung in Einzelimpulse Einheisganglinie als Überragungsfunkion h(, ) Oupu: Direkabflussganglinie Für die Berechnung von Q D () aus I eff () muss die Einheisganglinie bereis bekann sein Q D [m³/s] Q D [m³/s] Q D [m³/s] Q D [m³/s] Superposiion

23 23 Mehoden zur Besimmung der Einheisganglinie Beim Einheisganglinienverfahren werden die hydrologischen Prozesse, die zur Abflusskonzenraion im Einzugsgebie führen (Fließvorgänge), nich explizi berache Das Einzugsgebie wird als Black-Box berache und die aus einem Effekivniederschlag resulierende Direkabflussganglinie wird als charakerisisches Sysemverhalen inerpreier Die Einheisganglinie (Überragungsfunkion) muss also aus beobacheen Niederschlags-Abfluss-Ereignissen abgeleie werden Mehoden zur Besimmung der Einheisganglinie. Auswerung des Direkabflusses aus einem einzelnen Niederschlagsimpuls 2. sog. Direkes Verfahren (sehr fehleranfällig) 3. Kleinse-Quadrae-Verfahren zur Besimmung der Ordinaen einer diskreen Einheisganglinie 4. Darsellung der Einheisganglinie als koninuierliche Funkion (z.b. auf Basis der linearen Speicherkaskade) und Besimmung der Funkionsparameer Praxis

24 24 Auswerung von Q D () eines einzelnen Niederschlagsimpulses (auf EZG-Fläche bezogen) I eff [m 3 /s] [h] 0 0 Q D [m 3 /s] Es gil die Volumenbilanz: ΣQD i * = ΣIeff i * (d.h. ΣQD i = ΣIeff i ) [h] Im Inervall i der Dauer beräg das Direkabflussvolumen: V i = QD i * Der Aneil des Direkabflussvolumens im Inervall i am Gesamvolumen des Direkabflusses bzw. Niederschlags is: h i = QD i / Σ QD i = QD i / Σ Ieff i Die Were h i sind die gesuchen Ordinaen (Gewiche) der Einheisganglinie (hier h =2/5, h 2 =4/5,..., h 5 =/5) und es gil: Σ h i =

25 25 Wahl der zeilichen Diskreisierung der Einheisganglinie Im Allgemeinen muss zur Berechnung einer diskreen Einheisganglinie, zuers eine geeignee zeiliche Diskreisierung fesgeleg werden h i Σh i = h i Σh i = Wie groß das Zeiinervall zu wählen is, häng von der Konzenraionszei des Einzugsgebiees ab. Allgemein gil: Je schneller der Effekivniederschlag abfließ, umso kürzer muss gewähl werden, z.b.: A E = km², mileres Gefälle > 5%: =...2 h A E = km², mileres Gefälle < 0.05%: = h Der Scheiel der Direkabflussganglinie solle gu erfass werden (ein zu großes bedeue einen Gläungseffek). Der Ansieg der Ganglinie (Beginn des Direkabflusses bis Scheieleinri) solle durch mind. 2 Ordinaenwere abgebilde werden.

26 26 Ermieln der Länge/Dauer der Einheisganglinie Für die Anzahl der Zeiinervalle der Direkabflussganglinie gil: n q = n h + n P - n h : Anzahl d. Zeiinervalle der Einheisganglinie n q : Anzahl d. Zeiinervalle der Ganglinie Q D () n P : Anzahl d. Zeiinervalle der Ganglinie I eff () Die Anzahl der Zeiinervalle der gesuchen Einheisganglinie is somi: n h = n q - n P + Ein Niederschlagsimpuls komm in der Zei n h * vollsändig zum Abfluss

27 27 direkes Verfahren : Prinzip und Beispiel Das direke Verfahren verwende unmielbar die Summengleichung zur Berechnung des Direkabflusses: j n = h QD ( Ieff * h ) i= j i+ i j: Zeischriindex der Ganglinien I eff () und Q D () i: Index des Zeischris der Einheisganglinie n h : Anzahl der Zeischrie der Einheisganglinie Is die Länge der Einheisganglinie (n h ) bekann, dann können die h i (i=...n h ) anhand bekanner Were QD j und Ieff j berechne werden Beispieldaen: Ieff [m³/s] beobacheer Effekivniederschlag j= j=2 j=3 j=4 Zeischriindex QD [m³/s] beobacheer Direkabfluss j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 Zeischriindex 2

28 28 direkes Verfahren : Prinzip und Beispiel Die Einheisganglinie ha im Beispiel n h = n q -n P + = 6-4+ = 3 Ordinaen Nach der Summengleichung für den Direkabfluss muss gelen: Q = I *h + I 0 *h 2 + I - *h 3 Q 2 = I 2 *h + I *h 2 + I 0 *h 3 Q 3 = I 3 *h + I 2 *h 2 + I *h 3 Q 4 = I 4 *h + I 3 *h 2 + I 2 *h 3 Q 5 = I 5 *h + I 4 *h 2 + I 3 *h 3 Q 6 = I 6 *h + I 5 *h 2 + I 4 *h 3 Terme fallen weg, da kein Regen nach Zeischri j=4 fäll (I=0) Ausweg : Gleichungen weglassen direkes Verfahren Terme fallen weg, da kein Niederschlag vor dem Zeischri j= fäll (I=0) Ausweg 2: Es sehen 6 Gleichungen für die Besimmung der 3 Unbekannen h, h 2, h 3 zur Verfügung. Die Nebenbedingung Σh = h +h 2 +h 3 = komm als weiere Gleichung hinzu. Das Gleichungssysem is überbesimm! h,...,h 3 so opimieren, dass Abweichung zwischen beobacheen und gemessenen Q j -Weren minimal is siehe Kleinse-Quadrae-Verfahren

29 29 direkes Verfahren : Lösung für das Beispiel gegebene Ganglinien Besimmung der h i aus Gleichung & 2 Zeiindex Q D. Gleichung: Q = I *h j= j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 Lösung I eff [m³/s] h = 0.5/3 = [m³/s] h 2 = 2.5/3-3*0.5/9 = h 3 = = Gleichung: Nebenbedingung: h =Q /I Q 2 = I 2 *h + I *h 2 h 2 =Q 2 /I - (I 2 *h )/I h 2 =Q 2 /I - (I 2 *Q )/I 2 h 3 =-h -h 2

30 30 direkes Verfahren : Probleme der Mehode Anwendung der Lösung zeig Problem der Mehode In der Realiä lassen sich nie alle beobacheen QD j exak mi Hilfe der Einheisganglinie aus den Ieff j ableien Gesuch sind also Were für h i, die möglichs kleine Abweichung zwischen beobacheen und berechneen QD j liefern Problem: Zur Besimmung der Modellparameer (h i ) nuz das direke Verfahren nur ein Teil der vorhandenen Informaionen (hier die ersen beiden QD j - Were, da übrige Gleichungen weggelassen werden) Folge: QD berechne [m³/s] QD beobache [m³/s] j= j=2 j=3 j=4 Zeiindex Für die ersen beiden QD j -Were simmen beobachee und berechnee Were exak überein. Fehler werden auf übrige berechnee QD j vereil! Fehlerforpflanzung, wenn für Anpassung genuze QD j fehlerbehafe Subjekiviä: Welche QD j nuz man für Ermilung der h i? j=5 j= Direkabfluss [m³/s]

31 3 Anpassung der h i miels Kleinse-Quadrae-Verfahren Ziel des Verfahrens Besimme die Modellparameer (h i ) so, dass beobachee und berechnee Direkabflüsse (QD j ) möglichs wenig voneinander abweichen Dabei sollen alle vorhandenen QD j -Were einbezogen werden Mahemaische Formulierung der Opimierungsaufgabe (Kleinse-Quadrae-V.): S n q = j= ( QD j q j ) 2! = min Die QD j berechnen sich wieder nach der Summenformel: j n = h QD ( Ieff * h ) i= j i+ i S: zu minimierende Zielfunkion n q : Index des Zeischris der Direkabflussganglinie QD j : berechnee Direkabflüsse q j : beobachee Direkabflüsse j: Zeischriindex der Ganglinien I eff () und Q D () i: Index des Zeischris der Einheisganglinie n h : Anzahl der Zeischrie der Einheisganglinie

32 32 Anwendung des K.-Q.-V. am Beispiel Beispieldaen Ieff [m³/s] Die gesuche Einheisganglinie ha n h = n q -n p + = 3 Ordinaen Außerdem gil h +h 2 + h 3 = Zeiindex j QD [m³/s] Q = I *h Die Zielfunkion für das Beispiel laue somi: Aus der Summenformel für die QD j folg: Q 2 = I 2 *h + I *h 2 Q 3 = I 2 *h 2 + I *h 3 Q 4 = I 2 *h 3 S= (I *h -q ) 2 + (I 2 *h +I *h 2 -q 2 ) 2 + (I 2 *h 2 +I *(-h -h 2 )-q 3 ) 2 +(I 2 *(-h -h 2 )-q 4 ) 2 =! min Zeiindex j

33 33 Anwendung des K.-Q.-V. am Beispiel Die Zielfunkion S= (I *h -q ) 2 + (I 2 *h +I *h 2 -q 2 ) 2 + (I 2 *h 2 +I *(-h -h 2 )-q 3 ) 2 +(I 2 *(-h -h 2 )-q 4 ) 2 is eine Funkion von 2 Veränderlichen S(h,h 2 ). Nowendiges Krierium für ein Minimum von S(h,h 2 ) is, dass alle pariellen Ableiungen Null sind: δs/δh = 0 δs/δh 2 = 0 Die opimalen Were für h und h 2 ergeben sich als Lösung des Gleichungssysems der pariellen Ableiungen.

34 34 Anwendung des K.-Q.-V. am Beispiel Als parielle Ableiungen von S= (I *h -q ) 2 + (I 2 *h +I *h 2 -q 2 ) 2 + (I 2 *h 2 +I *(-h -h 2 )-q 3 ) 2 +(I 2 *(-h -h 2 )-q 4 ) 2 nach den einzelnen h i ergeben sich (Keenregel): δs/δh = 2*(I *h -q )*I +2*(I 2 *h +I *h 2 -q 2 )*I 2-2*(I 2 *h 2 +I *(-h -h 2 )-q 3 )*I -2*(I 2 *(-h -h 2 )-q 4 )*I 2 δs/δh 2 = 2*(I 2 *h +I *h 2 -q 2 )*I +2*(I 2 *h 2 +I *(-h -h 2 )-q 3 )*(I 2 -I )-2*(I 2 *(-h -h 2 )-q 4 )*I 2 Nullsezen der pariellen Ableiungen und Sorieren der unbekannen h i auf die linke Seie ergib ein lineares Gleichungssysem (LGS): (4*I 2 +4*I 22 )*h +(2*I 2 *I -2*I *(I 2 -I )+2*I 22 )*h 2 = 2*q *I -2*q 2 *I 2-2*(I -q 3 )*I -2*(I 2 -q 4 )*I 2 (2*I 2 *I -2*I *(I 2 -I )+2*I 22 )*h +(2*I 2 +2*(I 2 -I ) 2 +2*I 22 )*h 2 = 2*q 2 *I +2*(I -q 3 )*(I 2 -I )-2*(I 2 -q 4 )*I 2 LGS in Marix-Schreibweise: 4*I 2 +4*I 2 2 2*I 2 *I -2*I *(I 2 -I )+2*I 2 2 2*I 2 *I -2*I *(I 2 -I ) 2*I 2 +2*(I 2 -I ) 2 +2*I *I 2 2 h x = h 2 2*q *I -2*q 2 *I 2-2*(I -q 3 )*I -2*(I 2 -q 4 )*I 2 2*q 2 *I +2*(I -q 3 )*(I 2 -I ) -2*(I 2 -q 4 )*I 2

35 35 Anwendung des K.-Q.-V. am Beispiel Einsezen der bekannen Were: x h h 2 = und Lösung (z.b. mi Gauss schem Algorihmus): h = h 2 = h 3 = -h -h 2 = Die QD j berechnen sich wieder nach der Summenformel: j n = h QD ( Ieff * h ) QD j = i= j i+ i j: Zeischriindex der Ganglinien I eff () und Q D () i: Index des Zeischris der Einheisganglinie n h : Anzahl der Zeischrie der Einheisganglinie

36 36 Anwendung des K.-Q.-V. am Beispiel Vergleich der gemessenen mi der berechneen Ganglinie des Direkabflusses QD berechne [m³/s] QD beobache [m³/s] j=2 j= j=4 j=3 Zeiindex Der Fehler vereil sich über alle Ordinaen der Ganglinie. Der Gesamfehler (Summe der Fehlerquadrae) is minimal. Direkabfluss [m³/s]

37 37 Prakische Auswerung von N-A-Ereignissen Jedes Niederschlags-Abfluss-Ereignis is verschieden! (z.b. Verschlämmung der Bodenoberfläche, Eis, Zusand der Vegeaion, Gewässerverkrauung...) Solche Einflüsse bleiben in der Einheisganglinie unberücksichig! Besimm man die Einheisganglinie für mehrere Ereignisse erhäl man unerschiedliche Ergebnisse! Mögliche Auswege: verschiedene Einheisganglinien für ypische Gebieszusände anpassen (sez genügend Beobachungen voraus) Berechnen einer mileren Einheisganglinie nachdem die Scheiel der einzelnen EGL übereinander geschoben wurden

38 38 Einheisganglinie als koninuierliche Funkion Darsellung der Einheisganglinie als analyische Funkion h i Σh i = i= i=2 i=n 0 h() h() d= Der Übergang von der diskreen zur koninuierlichen Form der Einheisganglinie ensprich der Annäherung 0. Das Inegral der Funkion im Bereich =0 bis = is. Die Funkion h() bezeichne man als Momenaneinheisganglinie oder Insananeous Uni Hydrograph (IUH). Sie ensprich der Direkabflussganglinie infolge eines Niederschlagsimpulses mi dem Volumen.0 und der Dauer =0 (Inensiä ; Dirac scher Soß, Momenaneinheisimpuls ). An die Selle der bisher verwendeen Summenformel zur Berechnung der Direkabflussganglinie ri das Falungsinegral : Q D ( ) = τ = 0 I eff ( τ ) * h( τ ) dτ

39 39 Einheisganglinie als koninuierliche Funkion Als Srukur der Funkion h() ha sich die Anworfunkion der linearen Speicherkaskade bei Eingabe eines Momenaneinheisimpulses bewähr: Momenaneinheisimpuls als Inpu zur Zei =0 Der Abfluss jedes Speichers is dessen Füllung proporional (Linearspeicher) Impulsanwor der linearen Speicherkaskade h( ) = * K * ( n )! K n * e / K Die Funkion besiz 2 freie Parameer: n: Anzahl der Einzellinearspeicher K: Speicherkonsane (für alle Speicher gleich) Läss man für n gebrochene Were zu, ri an die Selle des Fakuläs-Terms "(n-)!" die Gammafunkion Γ(n).

40 40 Einheisganglinie als koninuierliche Funkion Einfluss der Parameer n und k auf den Funkionsverlauf h(): h() Variaion der Speicheranzahl n n= K= n=2 K= n=5 K= n=0 K= Variaion der Speicherkonsane k Die Einheisganglinie erhäl man in diesem Fall durch Anpassung der beiden Parameer n und k, so dass berechnee und beobachee Direkabflussganglinie möglichs gu übereinsimmen. Ein mögliches einfaches Parameerschäzverfahren is hier die Momenenmehode. h() n=5 K= n=5 K=2 n=5 K=5 n=5 K=0

41 4 Abspann Merkpunke uner: hp://uni-posdam.de/u/geooekologie/insiu/hydrologie/download.hml Was fand ich besonders gu? Was ha mir gar nich gefallen? Was war überflüssig? Was ha gefehl, häe ich mir gewünsch? Hausaufgaben: mehr.weniger Geschwindigkei: schneller.langsamer Niveau: leicher.schwerer Online-Evaluaion: hp:// Kennnummer: 85477