Systemtheorie I WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden Mitschrift. Fabian Kurz

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1 Sysemheorie I WS 4/5 Prof Dr-Ing habil Hoffmann, TU Dresden Mischrif Fabian Kurz hp://fkurzne/ Zulez akualisier: 5 Mai 25

2 Inhalsverzeichnis Einführung Inhal des Lehrgebiees 2 Soffeineilung 3 Lieraur Teil : Digiale Syseme 2 Mahemaische Grundlagen 2 Algebraische Srukuren 2 Operaion und Srukur 2 2 Verallgemeinerungen 2 3 Isomorphe Srukuren 3 4 Boolesche Algebra 3 2 Schalalgebra 4 2 Rechenregeln 4 22 Gaerschalungen 5 23 Schalfunkionen 6 24 Vollsändiges Operaionensysem 6 3 Darsellung von Schalfunkionen 7 3 Wereabelle 7 32 Boolesche Terme 7 33 Kanonische disjunkive Normalfunkion 8 34 Kanonische konjunkive Normalform 8 35 Karnaugh Tafel 9 2 Saische digiale Syseme (kombinaorische Auomaen) 2 Alphabebildung 2 Alphabee 22 Syseme mi einem Ausgang 2 23 Syseme mi mehreren Ausgängen 2 22 Worabbildung 3 22 Buchsaben und Wörer Eigenschafen der Worabbildung 3 3 Dynamische digiale Syseme (sequenieller Auoma) 4 3 Zusandsbeschreibung 4 3 Speicher 4 32 Zusandsgleichungen 5 33 Auomaendarsellung 7 34 Spezielle Auomaen 8 32 Worabbildungen 9 32 Abbildungsfamilie Eigenschafen der Worabbildung Auonomer Auoma 2 I

3 Teil 2: Zeikoninuierliche Syseme 2 4 Zeikoninuierliche Signale und Syseme 2 4 Signalbeschreibung im Zeibereich 2 4 Zeikoninuierliche Signale 2 42 Signaloperaionen 2 43 Spezielle Signale Signale allgemeineren Typs Inerpolaion abgeaseer Signale Saische Syseme mi koninuierlicher Zei Elemenarsyseme Verallgemeinerung der Beispiele Kleinsignalverhalen Dynamische zeikoninuierliche Syseme 3 43 Zusandsbeschreibung Lineares zeikoninuierliches Sysem Ordnung Nichlineares zeikoninuierliches Sysem Ordnung 34 5 Lineare Syseme 35 5 Signalbeschreibung im Bildbereich (Fourier-Transformaion) 35 5 Die komplexe Fourier-Reihe Fourier-Inegral Fourier-Transformaion Rechenregeln der Fourier-Transformaion Signalbeschreibung im Bildbereich (Laplace-Transformaion) Laplace-Inegral Laplace-Transformaion Rechenregeln Grenzwersäze Die inverse Laplace-Transformaion Sysembeschreibung im Zeibereich Zusandsgleichungen Differenialgleichung und Realisierung 46 II

4 Einführung Inhal des Lehrgebiees Realiä Mahemaisches Modell Erregung (Ursache) Schalung Gerä, usw Reakion (Wirkung) Eingabe x() Sysem Ausgabe y() Aufgaben gegeben gesuch Gebie Eingabe, Sysem Ausgabe Sysemanalyse Eingabe, Ausgabe Sysem Sysemsynhese Sysem, Ausgabe Eingabe Messechnik Beache: Beispiel: Modell is anwendungsabhängig Drahwidersand Realiä Modell C C C R R L R L R L R L ω = NF HF UHF Eingabe und Ausgabe sind Zeifunkionen x() bzw y() oder sogenanne Signale 2 Soffeineilung (nach der Ar des verarbeieen Signals) Zeikoninuierliche Syseme Zeidiskree Syseme Digiale Syseme x() x(k) 2 3 k x(k) k reell k ganzzahlig k ganzzahlig x() reell x(k) reell x(k) ganzzahlig 3 Lieraur Wunsch/Schreiber, Digiale Syseme, Verlag Technik / Springer Wunsch/Schreiber, Analoge Syseme, Verlag Technik / Springer

5 Teil : Digiale Syseme Mahemaische Grundlagen Algebraische Srukuren Operaion und Srukur Beispiele: = 7 x x 2 = x 3 A Die Menge A mi der auf ihr definieren Operaion * bilde eine algebraische Srukur, in Zeichen (A, ) a 2 a 3 = a a a 2 Beispiele: (R, +) (Z, ) reelle Zahlen mi Addiion ganze Zahlen mi Muliplikaion 2 Verallgemeinerungen a) Träger der Srukur kann auch mehr als eine Menge enhalen b) Srukur kann auch mehrere Operaionen enhalen Beispiele: (R, +, ) reelle Zahlen mi Addiion und Muliplikaion (P (M),,, ) Poenzmenge von M mi Vereinigung, Durchschni und Komplemen c) Operaionen können n sellig sein d) Bisher: a A, a 2 A a 3 = a a 2 A innere Operaion Allgemein: a A, a 2 A a 3 = a a 2 B A a a 2 B a 3 äußere Operaion Beispiel: Skalarproduk zweier Vekoren x x 2 = c 2

6 3 Isomorphe Srukuren Gegeben seien die Srukuren (A, ) und (B, ) (A, ) (B, ) Definiion: Die Srukuren (A, ) und (B, ) heißen isomorph (gleichgesalig), in Zeichen (A, ) = (B, ), falls eine bijekive x x 2 y y 2 Abbildung ϕ : A B exisier, so daß gil: x y x2 y 2 ϕ(x x 2 ) = ϕ(x ) ϕ(x 2 ) = y y 2 Die Abbildung ϕ heiß dann Isomorphismus Beispiel: (A, ) = (R +, ) (B, ) = (R, +) posiive reelle Zahlen mi Muliplikaion reelle Zahlen mi Addiion Behaupung: (R +, ) = (R, +) Isomorphismus: ϕ : R + R, ϕ(x) = log x Dann gil: ϕ(x x 2 ) = ϕ(x ) + ϕ(x 2 ), denn log(x x 2 ) = log x + log x 2 Beache: Isomorphe Srukuren unerscheiden sich lediglich durch die Bezeichnung der Elemene des Trägers und der Operaionen Ansonsen sind sie formal gleich Bedeuung isomorpher Srukuren Originalsrukur (kompliziere Operaion) Transformaion (bij Abbildung) Bildsrukur (einfache Operaion) Lösung in der Originalsrukur Rückransformaion Lösung in der Bildsrukur Beispiele: ˆ Logarihmenrechnung ˆ komplexe Wechselsromrechnung ˆ Funkionalransformaion (Fourier, Laplace, Z) 4 Boolesche Algebra Definiion: Die Srukur (A,,,, e, e ) heiß Boolesche Algebra, falls gil: (a) und sind assoziaiv (b) und sind kommuaiv 3

7 (c) is adjunkiv bezüglich und umgekehr (d) is disribuiv bezüglich und umgekehr (e) neurale Elemene x e = x, x e = x, (x A) (f) einsellige Operaion: x x = e, x x = e Beispiel: Mengenalgebra (P (M),,,,, M) Für beliebige M, M 2, M 3 M gil: () M (M 2 M 3 ) = (M M 2 ) M 3 Assoziaivgesez M (M 2 M 3 ) = (M M 2 ) M 3 (2) M M 2 = M 2 M Kommuaivgesez M M 2 = M 2 M (3) M (M M 2 ) = M Adjunkivgesez M (M M 2 ) = M (4) M (M 2 M 3 ) = (M M 2 ) (M M 3 ) Disribuivgesez M (M 2 M 3 ) = (M M 2 ) (M M 3 ) (5) M = M neurale Elemene M M = M (6) M M = M Komplemenbildung M M = Jede endliche Boolesche Algebra is zu einer endlichen Mengenalgebra isomorph 2 Schalalgebra 2 Rechenregeln Einfachser Sonderfall einer Booleschen Algebra: A = {e, e } Neue Symbolik: (A,,, e,, e ) (B,,,,, ) : oder Verknüpfung (Disjunkion), : und Verknüpfung (Konjunkion), : Negaion Eine Boolesche Algebra mi zweielemenigem Träger heiß Schalalgebra Rechenregeln der Schalalgebra: x (y z) = (x y) z x (y z) = (x y) z 2 x y = y x x y = y x 3 x (x y) = x x (x y) = x 4 x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) 5 x x = x x = 6 x = x x = x 7 = = 8 x y = x y x y = x y 9 x x = x x x = x x = x = x = x () (6) ensprechen der Booleschen Algebra, x y wird of als xy geschrieben 4

8 Anwendung: Vereinfachung Boolescher Terme Beispiel: y = (ax (a x))(b )c a, b, c, x, y B = {, } = (ax (a x))c mi Regeln und 6 = (ax ax)c mi Regeln 8 und = (a a)xc mi Regel 4 = xc mi Regeln 5 und 6 Operaionsabellen oder und nich 22 Gaerschalungen Tabelle der Schalsymbole: Bezeichnung DIN 47 (al) DIN 49 (neu) Oder Gaer Und Gaer & Negaions Gaer NOR Gaer NAND Gaer & Anivalenz Gaer *) = Äquivalenz Gaer *) = *) nich genorm Bemerkungen: ˆ Die Variablen x, x 2, B heißen Schalvariablen und bezeichnen die Eingangs und Ausgangsbelegung eines Gaers ˆ Jedem Booleschen Term kann eine Gaerschalung zugeordne werden 5

9 Beispiele Gaerschalung zum Term x x 2 x 3 : x x 2 x 3 & y 2 Gaerschalung zum Term x x 2 x 3 : x x 2 x 3 & y einfacher: x x 2 x 3 & y 3 x x 2 x x 2 = x x 2 (Anivalenz, Exklusiv Oder) 4 x x 2 x x 2 = x x 2 (Äquivalenz) 23 Schalfunkionen Definiion: Die Abbildung f : B n B; f(x, x 2,, x n ) = y heiß n sellige Schalfunkion Eigenschafen I) Definiionsbereich: enhäl 2 n Elemene Werebereich: B = {, } B n = {, } n = {(,,, ), (,,, ),, (,,, )} }{{} n Elemene II) Anzahl n selliger Schalfunkionen: 2 (2n) (Tabelle s Formelsammlung) III) In die Rechenregeln der Schalalgebra (2) können anselle der Variablen x, y, z auch Schalfunkionen f, f 2, f 3 eingesez werden 24 Vollsändiges Operaionensysem Das Operaionensysem (,, ) is vollsändig dh es is jede beliebige Schalfunkion dami darsellbar Frage: Gib es weiere vollsändige Operaionensyseme? Beispiel : (, ) is vollsändig, läß sich durch ausdrücken: x x x 2 = x x 2 = x x 2 x 2 x & y y x 2 6

10 Beispiel 2: ( ) is vollsändig, wobei x x 2 = x x 2 (NAND) x = xx = x x x & y & x & y x x 2 = x x 2 = x x 2 = (x x ) (x 2 x 2 ) x 2 & x & x x 2 = x x 2 = x x 2 = (x x 2 ) (x x 2 ) & x 2 y 3 Darsellung von Schalfunkionen 3 Wereabelle Beispiel: n = 3, f : B 3 B, y = f(x, x 2, x 3 ) i x x 2 x 3 y Boolesche Terme Bemerkungen: ˆ Tabelle beschreib Schalbild vollsändig ˆ Es genüg Angabe der Zeilen mi Funkionswer ˆ Einführung Zeilenenindex i aus Indexmenge I: I f = {i : f(x, x 2,, x n ) = } mi i = Bin(x, x 2, x n ) Für obiges Beispiel: I f = {3, 5, 6} Konsanen und und die Variablen x, x 2, x n sind Boolesche Terme 2 Is B ein Boolescher Term, so auch B 3 Sind B und B 2 Boolesche Terme, dann auch B B 2 sowie B B 2 Beispiel: B = ((x x 2 x 3 )x 3 ) (*) Darsellung einer Schalfunkion ensprechend (3): Wereabelle x x 2 x 3 y Verallgemeinerung: Jeder Boolesche Term mi n Variablen sell eine n sellige Srukur dar Umkehrung: Jede n Sellige Srukur f : B n B läß sich durch einen Booleschen Term darsellen, jedoch nich in eindeuiger Weise Beispiel: Der Term sell die gleiche Schalfunkion dar wie B = x x 2 x 3 Definiion: Boolesche Terme die die gleiche Schalfunkion darsellen heißen äquivalen Sandardisierung durch sogenanne Normalfunkion! 7

11 33 Kanonische disjunkive Normalfunkion Definiion: Ein Boolescher Term des Typs m i = x i x 2 i 2 x n i n mi x ν i ν = heiß Minerm in n Variablen Eigenschafen { xν falls i ν = x ν falls i ν = m i enhäl jede Variable genau einmal und zwar negier oder nich negier 2 Alle Variablen sind konjunkiv verknüpf 3 m i nimm für genau eine Belegung der Variablen den Wer and, sons 4 Die Bedeuung des Index von i von m i : Die Binärdarsellung Bin (i) ensprich der Belegung für die m i den Wer annimm { für x =, x Beispiel: n = 3, m 2 = x x 2 x 3 = 2 =, x 3 = sons Darsellungssaz I f(x, x 2,, x n ) = i I f m i heiß Darsellung von f in kanonischer disjunkiver Normalform (KDNF) Beispiel: Wereabelle aus (3), I f = {3, 5, 6} f(x, x 2, x 3 ) = m i = m 3 m 5 m 6 = x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 i I f = x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 34 Kanonische konjunkive Normalform Definiion: Ein Boolescher Term des Typs M i = x i x 2 i 2 x n i n mi x ν i ν = heiß Maxerm in n Variablen Eigenschafen M i enhäl jede Variable genau einmal, negier oder nich negier 2 Die Variablen sind disjunkiv verknüpf { xν falls i ν = x ν falls i ν = 3 M i nimm genau für eine Belegung der Variablen den Wer an, sons immer 4 Bedeuung des Index i von M i : Die Binärdarsellung Bin (i) ergib die Belegung der Variablen für die M i = is 8

12 { Beispiel: n = 3, M 5 = x x 2 x x =, x 3 = x x 2 x 3 = 2 =, x 3 = sons Darsellungssaz II f(x, x 2,, x n ) = i I f M i mi I f = I I f heiß Darsellung von f in kanonischer konjunkiver Normalform (KKNF) Beispiel: (zur Vereinfachung mi einer anderen Wereabelle) i x x 2 x 3 f(x, x 2, x 3 ) I f = {, 5} f(x, x 2, x 3 ) = M i = M M 2 i I f = (x x 2 x 3 ) (x x 2 x 3 ) = (x x 2 x 3 ) (x x 2 x 3 ) Bemerkungen KDNF und KNNF sind eindeuig bis auf die Reihenfolge der Maxerme bzw Minerme 2 Wann KDNF bzw KKNF? Werespale enhäl mehr als KKNF, sons KDNF 35 Karnaugh Tafel Ziel: Gewinnen eines minimalen Booleschen Terms Beispiel: n = 4 Wereabelle: x x 2 x 3 x 4 f(x, x 2, x 3, x 4 ) m i f(,,, ) m f(,,, ) m f(,,, ) m 2 f(,,, ) m 5 Karnaugh Tafel für n = 4: x 3,4 x,2 m m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 m 8 m 9 m m Eigenschafen: Jedem Käschen is genau ein Minerm zugeordne 2 Die Minerme in den benachbaren Käschen unerscheiden sich in der Negaion genau einer Variablen, zb m = x x 2 x 3 x 4 m = x x 2 x 3 x 4 m 4 = x x 2 x 3 x 4 (benachbar sind auch die Randkäschen) 9

13 Beispiele 3 Um Schalfunkionen anzugeben werden die bereffenden Minerme durch markier 4 Vereinfachung der Schalfunkionen geschieh durch Blockbildung benachbarer Minerme f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x 3,4 x,2 = x x 2 unerer Viererblock x x 3 x 4 Zweierblock Beim uneren Viererblock sind x 3 x 3 und x 4 x 4 immer wahr Beim oberen Zweierblock is x 2 x 2 immer wahr Daher können diese Terme wegfallen f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x x 3 x 4 2 f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x 3,4 x,2 = x 3 x 4 Viererspale x x 3 Viererblock In diesem Falle is es einfacher mi zwei Viererblöcken als mi einem Vierer und einem Zweierblock zu arbeien Vereinfach ergib sich für die Schalfunkion: f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x 3 (x 4 x ) 3 f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 x x 2 x x 2 x 3 x 4 x x 2 x x 2 x 3 x 4 x 3,4 x,2 = x 2 Acherblock x 3 x 4 Viererspale x x 3 Viererblock f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 x 3 (x x 4 )

14 2 Saische digiale Syseme (kombinaorische Auomaen) 2 Alphabebildung 2 Alphabee x x x 2 x l Φ y y 2 y m y zb Gaerschalung Definiionen: Die Menge X = {, } l = B l heiß Eingabealphabe mi den Buchsaben x x = (x, x 2, x 3,, x l ) oder x 2 x = x l 2 Die Menge Y = {, } m = B m heiß Ausgabealphabe mi den Buchsaben y y = (y, y 2, y 3,, y m ) oder y 2 y = y m 3 Jede Abbildung Φ : X Y kurz Φ(x) = y heiß Alphabeabbildung Φ(x, x 2,, x l ) = (y, y 2, y m ) 4 Das Eingabealphabe X = B l und das Ausgabalphabe Y = B m zusammen mi der Alphabeabbildung Φ bilde ein (absrakes) saisches digiales Sysem (oder einen kombinaorischen Auomaen), in Zeichen: (X, Y, Φ) Beache: (X, Y, Φ) sell eine algebraische Srukur dar: X x Φ y Y

15 22 Syseme mi einem Ausgang Sonderfall: m =, X = B l, Y = B = {, } x x 2 x l Φ y y = Φ(x, x 2,, x l ) Ergebnis: Die Alphabeabbildung sell eine l sellige Schalfunkion dar 23 Syseme mi mehreren Ausgängen Beispiel: l = 3, m = 2 x x 2 x 3 & y Φ & y 2 y = x x 2 x 3 = f (x, x 2, x 3 ) y 2 = x x 2 x 3 = f(x, x 2, x 3 ) Verallgemeinerung: (l, m beliebig) Die Alphabeabbildung Φ läß sich durch m l sellige Schalfunkionen f i : B l B (i =,, n) darsellen f (x, x 2,, x l ) = y f 2 (x, x 2,, x l ) = y 2 f m (x, x 2,, x l )= y m Φ : B l B m x f x l f 2 y y 2 Φ f m y 3 2

16 22 Worabbildung 22 Buchsaben und Wörer Definiionen: Zeiskala T = {,,, k,, N}, Takzeipunke k T (äquidisan) Die Zei is normier (dimensionslos) 2 Die Abbildung x : T X heiß digiales Eingabesignal oder Eingabewor Schreibweise: x = (x(), x(), x(2),, x(k),, x(n)) x(k) X is Eingabebuchsabe im Takzeipunk k x () x () x (N) (x (), x (), x (2),, x (N)) x x 2 () x =, x 2 (),, x 2 (N) = (x 2 (), x 2 (), x 2 (2),, x 2 (N)) = x 2 x l () x l () x l (N) (x l (), x l (), x l (2),, x l (N)) x l 3 Die Abbildung y : T Y heiß digiales Ausgabesignal oder Ausgabwer Schreibweise: y = (y(), y(), y(2),, y(n)) y (k) y 2 (k) Mi y(k) = analog zu 2 y m (k) 4 Worlänge l(x) = T = N + 5 Eingabeworraum: X T = X Menge aller Eingabewörer Ausgabeworraum: Y T = Y Menge aller Ausgabewörer 6 Die Abbildung Φ : X Y, Φ(x) = y heiß Worabbildung 222 Eigenschafen der Worabbildung Offensichlich: Abbildung erfolg Buchsabe für Buchsabe Eingabewor: x : x() x() x(2) x(n) Φ Φ Φ Φ Ausgabewor: y : y() y() y(2) y(n) Grundgleichung des kombinaorischen Auomaen: y(k) = Φ(x(k)) Diskussion: l(y) = l(y) 2 Ausgabe y(k) im Tak k häng nur von Eingabe x(k) im gleichen Tak k ab, nich aber von x(k ), x(k 2), 3 gleiche Eingangsbuchsaben haben gleiche Ausgangsbuchsaben zur Folge 3

17 Gegenbeispiel: x? y x = (,,,,, ) y = (,,,,, ) Diese Worabbildung is durch einen kombinaorische Auomaen nich realisierbar 3 Dynamische digiale Syseme (sequenieller Auoma) 3 Zusandsbeschreibung 3 Speicher Zusäzlich zu den beracheen BE (Gaer) wird eingeführ: Speicher S x(k) = y(k + ) x S y Durch Hinzunahme von Speichern zu einem kombinaorischen Auomaen enseh ein sequenieller Auoma Beispiel: x (k) x 2 (k) & S z (k) y (k) z 2(k) S 2 x 3 (k) & z 2(k+) y 2 (k) z 3 (k) S 3 z 3 (k+) Regel: An den Ausgängen der Speicher werden Hilfswörer z i erzeug, da ein direker Zusammenhang zwischen y(k) und x(k) nich dargesell werden kann Aus Schalung ablesbar: Eingangswer x = x x 2 x 3 Gesuch: Ausgangswer y = = ( y z (k + ) = z 2 (k)(x (k) x 2 (k)) z 2 (k + ) = z 3 (k) z 3 (k + ) = z (k) x 3 (k)z 3 (k) y 2 y (k) = z (k) y 2 (k) = z (k) x 3 (k)z 3 (k) (,, ) (,, ) (,, ) ) =?, Anfangszusand z() = z () z 2 () z 3 () = 4

18 Lösung k 2 3 x (k) x 2 (k) x 3 (k) z (k) z 2 (k) z 3 (k) y (k) y 2 (k) Ergebnis: y = ( y y 2 ) = ( (,, ) (,, ) ) 32 Zusandsgleichungen Verallgemeinerung: x x 2 x l Gaer + n Speicher y y 2 y m z(k) x(k) {}}{{}}{ z (k + ) = f [ z (k),, z m (k), x (k),, x l (k)] z(k + ) z n (k + ) = f n [z (k),, z m (k), x (k),, x l (k)] y (k) = g [z (k),, z m (k), x (k),, x l (k)] y(k) z n (k + ) = f n [z (k),, z m (k), x (k),, x l (k)] Zusammenfassung des sequeniellen Auomaen: z(k + ) = f[z(k), x(k)] y(k) = g[z(k), x(k)] Definiionen: Die Menge Z = B n = {, } n heiß Zusandsalphabe (Zusandsraum) 2 Die Abbildung z T Z heiß Zusandswor (Zusandsrajekorie) z (k) z = (z(), z(),, z(n)) mi z(k) = z(k) heiß Zusand des Auomaen im Tak k z n (k) 5

19 3 z() = z () z n () Diskussion der Zusandsgleichungen f: Überführungsfunkion g: Ergebnisfunkion heiß Anfangszusand des Auomaen Definiion: Die Mengen X = B l (Eingabealphabe), Y = B m (Ausgabealphabe) und Z = B n (Zusandsalphabe) zusammen mi den Abbildungen f : Z X Z f[z(k), x(k)] = z(k + ) g : Z X Y g[z(k), x(k)] = y(k) bilden ein (absrakes) dynamisches digiales Sysem (oder einen absraken sequeniellen Auomaen oder Mealy Auomaen), in Zeichen (X, Y, Z, f, h) z(k) x(k) n Leiungen l Leiungen f S g z(k + ) m Leiungen y(k) Der sequenielle Auoma is durch zwei herkömmliche Auomaen (f und g) und n Speicher darsellbar Beispiel: (aus 3) z (k + ) = z 2 (k)(x (k) x 2 (k)) z 2 (k + ) = z 3 (k) z 3 (k + ) = z (k) x 3 (k)z 3 (k) y (k) = z (k) y 2 (k) = z (k) x 3 (k)z 3 (k) z (k) z 2 (k) z 3 (k) x (k) x 2 (k) x 3 (k) & S z (k+) z 2 (k+) S z 2 (k) & S z 3 (k+) & y (k) y 2 (k) 6

20 33 Auomaendarsellung x (k) x 2 (k) x(k) x l (k) Gaer + n Speicher y (k) y 2 (k) y(k) y m (k) z(k + ) y(k) = f[z(k), x(k)] = f[z(k), x(k)] (z (k), z 2 (k),, z 3 (k)) }{{} z(k) Der sequenielle Auoma läß sich wie folg darsellen: Auomaenabelle: Zusandsalphabe f z(k) Zusandsalphabe g z(k) Eingabealphabe x(k) z(k + ) Eingabealphabe x(k) z(k + ) Überführungsabelle Ergebnisabelle 2 Auomaengraph Bezeichnung Symbol Bedeuung Knoen O Zusand Zweige (Kanen) Zusandsübergänge Zusandsgleichungen dargesell durch: z(k) x(k) y(k) z(k+) Beispiel : X = {, }, Y = {, }, Z = {(, ), (, ), (, ), (, ) } }{{}}{{}}{{}}{{} 2 3 Auomaenabelle (gegeben): Auomaengraph: X Z {}}{ { f X Z {}}{ { g 2 3 Es sei x = (,,,, ) und z() = Ablesen: y = (,,,, ) und z(5) =

21 Beispiel 2: gegeben: Auomaengraph gesuch: Auomaenabelle, Zusandsgleichungen, Schalung Auomaenabelle: X Z {}}{ { f X Z {}}{ { g Wereabelle z(k) x(k) z(k + ) y(k) Dekodiere Wereabelle z (k) z 2 (k) x(k) z (k + ) z 2 (k + ) y (k) y 2 (k) Zusandsgleichungen (aus Karnaugh-Diagramm): Schalung: f : z (k + ) = z (k) z 2 (k) x(k) f 2 : z 2 (k + ) = z 2 (k) x(k) z (k) z 2 (k) x(k) g : y (k) = z (k) x(k) z (k) z 2 (k) x(k) g 2 : y 2 (k) = z 2 (k) x(k) z (k) z 2 (k) x(k) f f 2 g g 2 z (k+) S z (k) z 2 (k+) S z 2 (k) y 2 (k) y (k) 34 Spezielle Auomaen Allgemeiner Fall: Mealy-Auoma x(k) f z(k+) S z(k) g y(k) z(k + ) = f[z(k), x(k)] y(k) = g[z(k), x(k)] 8

22 Sonderfälle: (a) Moore-Auoma x(k) f S g z(k+) z(k) y(k) z(k + ) = f[z(k), x(k)] y(k) = g[z(k)] (b) Medwedjew-Auoma x(k) f z(k+) S y(k) z(k) z(k + ) = f[z(k), x(k)] y(k) = z(k) (c) Auonomer Auoma (Generaor) f S g z(k+) z(k) y(k) z(k + ) = f[z(k)] y(k) = g[z(k)] NB: Bei allen Auomaen muß der Zusand z() bekann sein 32 Worabbildungen 32 Abbildungsfamilie Zusandsgleichungen Schema der Worabbildung: Eingabewor x {}}{ x() x() x(n) z() f, g z() f, g z(2) z(n) f, g z(n + ) y() y() y(n) } {{ } Ausgabewor y Diskussion: Eingabewor und Ausgabewor haben die gleiche Länge, L(x) = L(y) 2 Der Ausgabebuchsabe y(k) häng von x(k), x(k ),, x() ab, nich aber von x(k + ), x(k + 2), (Kausaliä) 3 Das Ausgabewor y häng vom Anfangszusand z() ab 9

23 Definiionen: Die Abbildung Φ z : X Y, Φ z (x) = y heiß vom Anfangszusand z = z() Z erzeuge Worabbildung 2 Jedem Mealy-Auomaen is eine Abbildungsfamilie zugeordne 322 Eigenschafen der Worabbildung Φ = {Φ z z Z} Definiion: Sind x = (x (), x (),, x (r)) und x = (x (), x (),, x (s)) zwei Wörer aus X, so heiß das Wor x x = (x (), x (),, x (r), x (), x (),, x (s)) X Verkeungsproduk (Konkaenaionsproduk) von x und x Beache: Eine Worabbildung Φ z : X Y is durch einen Mealy-Auomaen realisierbar, falls gil: L(x) = L(y) 2 Φ z (x x ) = Φ z (x ) Φ z (x ) (z : Zusand nach Eingabe von x ) }{{}}{{} y y 323 Auonomer Auoma Wir berachen Mealy-Auomaen mi konsaner Eingabe Beispiel: Es sei z() = 2 3 Fall I: x = (,,,, ) z = (, 2,, 3, 2,, 3, 2,, ) y = (,,,,, }{{} Zyklus,,,, ) periodische Folge Fall II: x = (,,,, ) z = (,,,,,,,, ) y = (,,,,,, }{{} Fixpunk, ) konsane Folge Verhalensformen des endlichen auonomen Auomaen I) Da bei Z = 2 n nach späesens 2 n Taken alle Zusände ausgeschöpf sind, wird späesens im Tak 2 n ein bereis durchlaufener Zusand erreich s: Periodendauer z(k + s) = z(k), für < s < z n II) Nach r Taken wird ein konsaner Endzusand (Fixpunk) erreich: z(k + ) = z(k), (An Schlingen im Graphen erkennbar) für k > r 2

24 Teil 2: Zeikoninuierliche Syseme 4 Zeikoninuierliche Signale und Syseme 4 Signalbeschreibung im Zeibereich 4 Zeikoninuierliche Signale Feslegungen: Zeiskala: Sonderfälle: Alphabe: Sonderfall: R T = R T = R + = [, ) X = C X = R Definiion: Ein zeikoninuierliches Signal is eine Abbildung x : T X, durch die jedem Zeipunk T ein Signalwer x() X zugeordne is Sonderfall: x : T R reelles zeikoninuierliches Signal oder analoges Signal Beispiel: x() e a, < a < 42 Signaloperaionen Einsellige Operaionen a) Skalarmuliplikaion y() = α x() x() y() y() x() b) Translaion x() y() y = S τ (x) y() = x( τ) x() y() 2

25 c) Differeniaion d) Inegraion y = D(x) y() = dx() d y = D (x) y() = x(τ) dτ x() y() y() x() x() y() y() x() Zweisellige Operaionen a) Signaladdiion: y() = x () + x 2 () b) Signalmuliplikaion: y() = x () x 2 () c) Falung: y = x x 2 y() = (x x 2 )() = x (τ) x 2 ( τ) dτ = x 2 (τ) x ( τ) dτ = (x 2 x )() Falung is kommuaiv! Sonderfall: x () = für <, x 2 () = für < Veranschaulichung am Beispiel x (τ) y() = (x x 2 )() = x (τ) }{{} x 2 ( τ) dτ }{{} für τ< für τ> x 2 (τ) τ x 2 (τ ) x 2 (τ ) x (τ) x 2 (τ ) τ τ τ : x (τ) x 2 ( τ) : y() = x (τ) x 2 ( τ) dτ τ 22

26 43 Spezielle Signale (a) Sprungsignal () 2 (b) Rampensignal r() (c) Rechecksignal für > () = 2 für = für < r() = r = D () (τ) dτ = r() = () x() = a ( + τ) a ( τ) { für für < x() a τ a τ x() a τ τ (d) Impulssignal, Dirac-Impuls a für τ < < τ a x() = 2 für = ±τ sons Aus (c) erhäl man für τ = ε und a = 2ε das schmale Rechecksignal δ ε δ ε () 2ε τ τ δ ε () ε = δ() = { für für = mi δ() d = Impulssignal, Dirac-Impuls, Dela-Funkion Diskussion: ˆ lim ε δ ε = exisier nich 23

27 ˆ lim ε kurz: δ ε () f() d = f() exisiier (e) Harmonisches Signal x() δ() f() d = f() Ausblendeeigenschf der Dirac-Funkion x() = ˆX cos(ω + ϕ x ) 44 Signale allgemeineren Typs Definiionen: Ein Signal heiß sückweise seig, wenn in jedem endlichen Teilinervall gil: (a) x is seig für alle τ i (i =,, n) (b) lim ε x(τ i ± ε) exisieren (kurz x(τ ± )) τ i τ i τ i+ 2 Ein Signal heiß sückweise gla, wenn (a) und (b) auch für ẋ gelen 45 Inerpolaion abgeaseer Signale a) Inerpolaionsproblem Zeikoninuierliches Signal Äquidisane Abasung x() x() 2 k x(k) = x() =k k Aufgabe: Zwischenwere inerpolieren, Abaswere unveränder lassen 24

28 b) Ansaz: Lagrangesche Inerpolaionsformel x() x( ) x( 2 ) x( 3) 2 3 x() = x( ) + x( 2 ) + x( 3 ) ( 2 )( 3 ) ( 2 )( 3 ) ( )( 3 ) ( 2 )( 2 3 ) ( )( 2 ) ( 3 )( 3 2 ) bei =, 2 und 3 = bei 2 =, und 3 = bei 3 =, und 2 = Verallgemeinerung auf K Messwere: x() = K ( ) ( k )( k+ ) ( K ) x( k ) ( k + ) ( K k )( k k+ ) ( k K ) k= mi P K () = ( )( 2 ) ( K ): x() = K P K () x( k ) ( k ) P K ( k ) k= P K () = 2 K 2 }{{ K } Q K () x() = k= K Q K () x( k ) ( k ) Q K ( k ) c) Lagrange-Inerpolaion für äquidisane Abaswere k = k, (k ganz), K ( Q () = k = k= ( ) 2 k 2 2 Einsezen in das Ergebnis von b): ( ) ) = sin π ( ) ( ) k x() = = = k= k= k= x(k ) (Abasreihe, Samplingreihe) sin π ( k ) π cos π k }{{} x(k ) k sin π ( k ) π = x(k ) sin( π ( k )) π ( k k k= x(k ) sin( π k π) ( k ) π 25

29 d) Inerpreaion der Samplingreihe Aufbaufunkion vom Typ sin α α = si α si α 3π 2π π π 2π 3π α ( π ) x() = x(k ) si ( k ) k= Beispiel für k = 3, x() =, x() =,5, x(2) =,75: x() 2 3 k = 42 Saische Syseme mi koninuierlicher Zei 42 Elemenarsyseme Grundbauseine Signalabbildung Gleichung Schalsymbol Bezeichnung Skalarmuliplikaion y() = α x(), α R x() α y() Versärker x () Signaladdiion y() = x () + x 2 () + y() Versärker x 2 () Signalmuliplikaion y() = x () + x 2 () x () x 2 () y() Muliplizierglied Sonderfall y() = [x()] n x() () n y() Poenzierglied 26

30 Beispiel für Zusammenschalung x () x 2 () () 2 a + b y () y 2 () y 3 () y () = f (x (), x 2 ()) = a (x ()) 2 + b x () x 2 () y 2 () = f 2 (x (), x 2 ()) = b x () x 2 () y 3 () = f 3 (x (), x 2 ()) = x () x 2 () Schema x () x 2 () Φ y () y 2 () y 3 () Φ : R 2 R 3 Φ(x (), x 2 ()) = (y (), y 2 (), y(3) ) }{{}}{{} R 2 R 3 Wichiger Sonderfall: Resisives elekrisches Nezwerk (keine Energiespeicher) u 2 () u D () u R3 () i i 3 2() () R 3 u () i () Eingänge: u () x () u 2 () x 2 () Ausgang: i () y () i 2 () y 2 () i 3 () y 3 () Widersand: i 3 () = u R3() = u () R 3 ( ) Diode: i 2 () = a e b ud() R 3 Knoengleichung: i () = i 2 () + i 3 () Maschengleichung: u D () = u () + u 2 () i () = f (u (), u 2 ()) = u ( ) () + a e b(u ()+u 2 ()) R ( 3 ) i 2 () = f 2 (u (), u 2 ()) = a e b(u ()+u 2 ()) i 3 () = f 3 (u (), u 2 ()) = u () R 3 27

31 422 Verallgemeinerung der Beispiele x () x 2 () x() x l () Φ y () y 2 () y() y m () y () = f (x (),, x l ()) y m () = f m (x (),, x l ()) Definiionen: a) Die Menge X R l heiß Eingabealphabe mi den Buchsaben (Signalweren) x () x() = X x l () b) Die Menge Y R m heiß Ausgabealphabe mi den Buchsaben (Signalweren) y () y() = Y y m () c) Die Abbildung Φ : X Y Φ(x (), x l ()) = (y (),, y m ()), kurz Φ(x()) y() heiß Alphabeabbildung d) Das Eingabealphabe X, das Ausgabealphabe Y und die Alphabeabbildung Φ bilden ein (absrakes) saisches Sysem, in Zeichen: (X, Y, Φ) e) Die Abbildung x : T X, (X = R l ) heiß l dimensionales Eingabesignal: x l () xx () x 2 () x x 2 x l x f) Die Abbildung y : T Y, (Y = R m ) heiß n dimensionales Ausgabesignal g) Die Menge aller Eingangssignale X T = X heiß Eigangssignalraum, die Menge aller Ausgabesignale Y T = Y heiß Ausgabesignalraum h) Die Abbildung Φ : X Y, Φ(x) = y heiß Signalabbildung 28

32 423 Kleinsignalverhalen x i () Φ y j () x i () c i Für alle Eingänge soll gelen: Für die Ausgänge gil dann: Taylorreihe: x i () = c i + x i (), i =,, l, x i () max c i y j () = f j (x (),, x l ()) f(x + h) = f(x) +! f (x) h + 2! f (x) h 2 + für h x berachen wir als gue Näherung nur das erse Glied der Taylorreihe: y j () = f j (x (),, x l ()) f j (c,, c l ) + y j (), l f i f j (c,, c l ) + (c,, c l ) x i x i= i }{{} y j () y () y m () } {{ } y() = mi c i = c konsane Marix, Kurzform: f f x x l f m f m x x l }{{} Jacobi-Marix J(x) x i =c i j =,, m x () x l () } {{ } x() y() = J(c) x() Linearisierung bei Kleinsignalberieb! Beispiel: Sysem aus Abschni 42 y () = f (x (), x 2 ()) = a (x ()) 2 + b x () x 2 () y 2 () = f 2 (x (), x 2 ()) = b x () x 2 () y 3 () = f 3 (x (), x 2 ()) = x () x 2 () J(x) = f x f x 2 f 2 x f 2 x 2 f 3 x f 3 x 2 2ax + bx 2 bx = bx 2 bx x 2 x 29

33 Es seien: x () = c + x cos(ω + ϕ ) und x 2 () = c 2 + x 2 cos(ω 2 + ϕ 2 ) }{{}}{{} x mi x c, x 2 c 2 y () 2ax + bx 2 bx y 2 () = bx 2 bx y 3 () x 2 x x 2 ( x cos(ω + ϕ ) x 2 cos(ω 2 + ϕ 2 ) ) y () ac 2 + bc c 2 + (2ac + bc 2 ) x cos(ω + ϕ ) + bc x 2 cos(ω 2 + ϕ 2 ) y 2 () bc c 2 + bc 2 x cos(ω + ϕ ) + bc x 2 cos(ω 2 + ϕ 2 ) y 3 () c c 2 + c 2 x cos(ω + ϕ ) + c x 2 cos(ω 2 + ϕ 2 ) 43 Dynamische zeikoninuierliche Syseme 43 Zusandsbeschreibung Hinzunahme eines weieren Elemens: Inegrierglied x() y() y() = y + Beispiel aus der Elekroechnik: Kondensaor i() Q Q() = Q() + i(τ) dτ, Zusammenschalung mi Elemenarsysem (42): x(τ) dτ, Q() = i() ẏ() = x() x 2 () a ż() z () () 2 y () () 2 y 2 () z 2 () ż 2 () x 2 () + y 3 () ż () = a x () z 2 () = z () z 2 2 () y () = (z () z 2 2 ()) 2 = z 2 () z 2 4 () y 2 () = z 2 2 () y 3 () = z 2 () + x 2 () nichlineares gekoppeles DGL-Sysem Ordnung Es sei: x () = für z () = x 2 () = sin ω für z 2 () = 3

34 Lösung: ż () = ax () = a z () = a c mi z () = c = z () = a 2 2 ż 2 () = z () z 2 2 () = a2 2 z 2 2 () dz 2 z 2 = a2 2 2 d z 2 = a3 6 + c 2 mi z 2 () = c 2 = z 2 () = a 3 6 = 6 a Einsezen in Ergebnisfunkionen y (), y 2 (), y 3 () Ggf numerische Lösungsverfahren für kompliziere DGL-Syseme anwenden Schema für Beispiel x () x 2 () z (), z 2 () y 3 () y 2 () y () Wichigser Sonderfall: Nichlineares RLC-Nezwerk i C () i L () u C () u () u R () i R () Schema: x () z (), z 2 () u L () y 2 () y () Eingabe: u () x() Ausgabe: u L () y () u C () y 2 () Zusände: Φ() z () (Magnefluß) Q() z 2 () (Ladung) Schalelemene: i R () = ϕ R (u R ()) = u() R u C () = ϕ C (Q()) = Q() C i L () = ϕ L (Φ()) u L () = Φ() i C () = Q() = Φ() L 3

35 Maschengleichung: u () = u C () + u L () = ϕ C (Q()) + Φ() Knoengleichung: i C () = i R () + i L () = ϕ R (u R ()) + ϕ 2 (Φ()) = Q() Zusandsgleichungen: Φ() = u () ϕ C (Q()) Q() = ϕ L (Φ()) + ϕ R (u R ()) = ϕ L (Φ()) + ϕ R (u () ϕ C (Q())) u L () = u () ϕ C (Q()) u C () = ϕ C (Q()) allgemein: ż () = f (z (), z 2 (), x()) ż 2 () = f 2 (z (), z 2 (), x()) y () = g (z (), z 2 (), x()) y 2) = g 2 (z (), z 2 (), x()) Verallgemeinerung x () x 2 () x() x l () z (),, z n () }{{} z() y () y 2 () y() y m () ż () = f (z (),, z n (), x (),, x l ()) ż() = ż n () = f n (z (),, z n (), x (),, x l ()) y () = g (z (),, z n (), x (),, x l ()) y() = y m () = g m (z (),, z n (), x (),, x l ()) Kurzform: ż() = f(z(), x()) y() = g(z(), x()) Grundgleichung des zeikoninuierlichen dyn Sysems f: Überragungsfunkion g: Ergebnisfunkion 32

36 Definiionen: Die Menge Z = R n heiß Zusandsalphabe (auch Zusandsraum) z () z() = Z, (z i () R, i =,, n) z n () 2 z() heiß Zusand des Sysems zum Zeipunk z() heiß Anfangszusand des Sysems 3 Die Abbildung z : T Z (Z = R n ) heiß n-dimensionales Zusandssignal (oder Zusandsrajekorie) z l () z () z 2 () z z 2 z n z z() z 3 z 3 z() z 2 4 Die Mengen X = R l (Eingabealphabe), Y = R m (Ausgabealphabe) und Z = R n (Zusandsalphabe) sowie die Überführungsfunkion und die Ergebnisfunkion f : Z X Z, f(z(), x()) = ż() g : Z X Y, g(z(), x()) = y() bilden ein absrakes zeikoninuierliches dynamisches Sysem, in Zeichen (X, Y, Z, f, g) 432 Lineares zeikoninuierliches Sysem Ordnung ż() = a z() + b x() } Überführungsfunkion y() = c z() + d x() Ergebnisfunkion (f und g sind jez lineare Funkionen) Zusandsgleichungen Schalung a x() b c y() ż() z() d gegeben: x() für, z() gesuch: y() für 33

37 Lösung: ż() a z() = b x() lineare DGL (inhomogen) Ordnung z() = z() e a + y() = c z() e a + }{{} freie Ausgabe b e a( τ) x(τ) dτ b c e a ( τ) x(τ) dτ + d x() } {{ } erzwungene Ausgabe 433 Nichlineares zeikoninuierliches Sysem Ordnung Beispiel: u R () R u() C i() u C () Zuordnungen: u() x() i() y() u C () z() nichlinearer Widersand: i R () = α u R 3 () (Varisor-Typ) linearer Kapaziviä: u C () = C Q(), u C() = C Q() = C i() Maschengleichung: u() = u R () + u C () Knoengleichung: i() = i R () = i R () Zusandsgleichungen: u C () = C i R() = C α u R 3 () u C () = α C [u() u C()] 3 ż() = f[z(), x()] i() = α [u() u C ()] 3 y() = g[z(), x()] u() U Lösung für : du C () d u() = U () = α C [U u C ()] 3 Lösung durch Trennung der Veränderlichen ) C u C () = U ( 2α U 2 + C i C () = C du ( 2 C() C U = i() = α d 2α U 2 + C ) 3 2 i() 34

38 5 Lineare Syseme 5 Signalbeschreibung im Bildbereich (Fourier-Transformaion) 5 Die komplexe Fourier-Reihe x() ω = 2π T Grundfrequenz T T 3T T 2 7T 2 Saz: Für jedes mi T periodische sückweise glae Signal x gil: x() = c(ω k ) e jω k k= (ω k = k ω ) wobei c(ω k ) = T T 2 x() e jω k d komplexer Fourier-Koeffizien T 2 Beweisskizze: c(ω n ) = T T 2 x() e jωn d Einsezen von x() T 2 = T T 2 T 2 = T k= k= = T c(ω ) c(ω k ) T 2 T 2 c(ω k ) e jω k e jωn d ω k = k ω, ω n = n ω T 2 T 2 d e j(k n)ω d Inegral verschwinde, außer für k = n Komplexe Fourier-Koeffizienen: c(ω k ) = c k Die Folge c = (, c 2, c, c, c, c 2, ) heiß komplexes diskrees Fourier-Spekrum des periodischen Signals 35

39 Eigenschafen der Koeffizienen c k : c k = c k = c k z + z = 2 Re (z), c k = c k e j arg c k x() = c k e jωk = c + 2 Re (c k e jωk ) k= k= x() = c + 2 c k cos(ω k + arg c k ) reelle Fourierreihe k= Graphische Darsellung Ampliudenspekrum Phasenspekrum c k arg c k ω-3 ω-2 ω- ω ω ω 2 ω 3 ω k gerade Funkion, da c k = c k = c k k ungerade Funkion, da arg c k = arg c k = arg c k 2 k= c k 2 = T 2 T 2 x 2 () d Parsevalsche Formel (Leisungsbilanz) 3 c k für k 52 Fourier-Inegral Aperiodische Signale Ansaz: Fourier-Reihe mi T Definiion: Signalraum X : Es gil x X, falls (a) x is sückweise gla (b) x is absolu inegrierbar, dh x() d < Saz: Für jedes Elemen x X gil die Darsellung x() = 2π X(ω) e jω dω, wobei X(ω) = x() e jω d X heiß kompexes (koninuierliches) Fourier-Spekrum des Signals x 36

40 Eigenschafen X( ω) = X (ω) Ampliudendichespekrum X(ω) Phasenspekrum arg X(ω) ω ω 2 x 2 () d = 2π (X(ω)) 2 dω Parsevalsche Formel (Leisungsbilanz) 3 X(ω) für ω Beispiele: Korrespondenzabelle S 55 Erser Einrag: Dirac-Impuls X(ω) = δ() e jω d = 53 Fourier-Transformaion X Fourier-Inegral X x y Originalsignal Bild- funkion Originalbereich Fourier-Umkehrinegral Bildbereich Zusammenfassung: Zu jedem x X exisier eine bijekive Abbildung mi den Zuordnungen x X X x Diese Abbildung heiß Fourierransformaion bzw Fourierrückransformaion Schreibweise: F{x()} = X(ω), F {X(ω)} = x() X(ω) = x() e jω d = x()e j2πf d x() = 2π X(ω) e jω dω = X(f)e j2πf df 37

41 54 Rechenregeln der Fourier-Transformaion Hef S 54 F{α x () + β x 2 ()} = α F{x ()} + β F{x 2 ()} = α X (ω) + β X 2 (ω) (Linearkombinaion) 2 Verschiebungssaz x() x( τ) F{x()} bekann, F{x( τ)} gesuch τ F{x( τ)} = = e jωτ x( τ) e }{{}} jω {{} e jω( +τ) x( ) e jω d d }{{} d τ =, = + τ = e jωτ F{x()} e jωτ : Verschiebungsfakor 5 Differeniaionsregel: F{ẋ()} = jωf{x()} = jωx(ω) { } 7 Falungssaz: F{(x x2)()} = F x (τ)x 2 ( τ) dτ = X (ω) X 2 (ω) 52 Signalbeschreibung im Bildbereich (Laplace-Transformaion) 52 Laplace-Inegral Nacheil der Fourier-Transformaion: konvergier für wichige Signale nich, zb ˆ Sprungfunkion (()) ˆ periodische Funkionen Ansaz: (σ >, s = σ + jω: komplexe Frequenz) Definiion: Signalraum X γ Es gil: x X γ, falls (a) x is sückweise gla (b) für < is x() = F{x() e σ () } = }{{} X ( kausale Signale ) x() e (σ+jω) = X(σ + jω) }{{} s (c) für gil x() < M e γ ( < M <, γ < ) 38

42 Veranschaulichung: x() M e γ x M e γ Im s = ω ω s γ δ σ Re s = σ Konvergenzhalbebene C γ X(s) = x() e s d Laplace-Inegral Saz: Für jedes Inegral x X γ gil die Darsellung x() = 2πj δ+j δ j X(s) e s ds Laplace-Umkehrinegral Bemerkungen: Das Laplace-Inegral konvergier für alle s = σ + jω, für die Re (s) = σ > γ gil 2 X(s) sell im Inneren von C γ (Konvergenzhalbebene) eine reguläre (analyische, holomorphe) Funkion der komplexen Variablen s dar 3 Für das Umkehrinegral gil: δ > γ Beispiele x() = () x() 2 x() = () x() X(s) = X(s) = () e s d = }{{} = e s = s () e s d = }{{} e s d = e s s für Re (s) = σ > = s 2 für Re (s) = σ > e s d = [ ] 39

43 3 x() = e a () (a R) x() X(s) = = s a e a e s d = e (s a) d = e (s a) (s a) Bedingung: Re (s a) >, Re (s) = σ > a Korrespondenzen: Doesch, Anleiung zum prakischen Gebrauch der Laplaceransformaion, siehe auch Tabelle im Hef 522 Laplace-Transformaion X γ x Original-/Zeibereich Laplace-Transformaion y X γ inverse Laplace- Transformaion Bildbereich Für alle Signale x X γ exisier eine bijekive Abbildung mi den Zuordnungen x X X x Diese Abbildung heiß Laplace-Transformaion bzw inverse Laplace-Transformaion 523 Rechenregeln L(x()) = X(s) = L (X(s)) = x() = 2πj x() e s d δ+j δ j X(s) e s ds Nr x() X(s) Bemerkung αx () + βx 2 () αx (s) + βx 2 (s) Lineariä 2 x( τ), (τ > ) e sτ X(s) Verschiebungssaz x() x() τ ) 3 x(a ), (a > ) a X ( s a Ähnlichkeissaz a > : Sauchung a < : Sreckung 4 ẋ() s X(s) x(+) Differeniaionsregel x() x(+) 4

44 5 x(τ) dτ X(s) s Inegraionsregel 6 x() e a X(s + a) Dämpfungssaz 7 x (τ)x 2 ( τ) dτ X (s) X 2 (s) Falungssaz = (x x 2 )() Anwendungsbeispiele x() a τ L(x()) = = x() e s d = τ a τ e s d + τ a e s d Zerlegung Vereinfachung x() x a τ x 2 x() = x () + x 2 () x () = a τ () x 2 () = a ( τ) ( τ) τ X(s) = X (s) + X 2 (s) = a }{{} τ Regel s 2 a τ 2 gegeben: X(s) = e sτ, gesuch: x() =? s(s + 3) }{{} X (s) s 2 e sτ } {{ } Regel 2 Zunächs: L {X (s)}, danach Zeiverschiebung um τ X (s) = Aus der Korrespondenzabelle: Zeiverschiebung um τ (e sτ ): x () x() = a τs 2 ( e sτ ) s(s + 3) = A s + B s + 3, durch Parialbruchzerlegung: A = 3, B = 3 x () = 3 () 3 e 3 () = 3 x() = x ( τ) = 3 ( e 3 ) () ( e 3( τ)) ( τ) x x τ 4

45 3 gegeben (Q C () = ): gesuch: i() für > R L C = u() i() di() R i() + L + i(τ) dτ = u() d C Differenialgleichung L-Transformaion: R I(s) + L(s I(s) i(+) ) + }{{}}{{} C s I(s) = U(s) }{{} Regel 4 Regel 5 ( R + s L + ) I(s) = U(s) s C Beache: Einfacher Zusammenhang im Bildbereich 2 Gleichung kann mi Regeln der E-Technik sofor aus Schalung abgelesen werden verallgemeinere symbolische Mehode I(s) = U(s) R + sl + sc = U(s) L = s (s s )(s s 2 ) U(s) sc s 2 LC + src + = U(s) s L s 2 + s R L + LC s /2 = R 2L ± ( R 2L ) 2 LC, sei ( ) R 2 > 2L LC s, s 2 R I(s) = U(s) [ A + B ], A = s, B = s 2 }{{ L } s s s s 2 s s 2 s 2 s }{{} X 2 (s) X (s) Falungssaz (Regel 7): i() = = x (τ) x 2 ( τ) dτ [ mi x () = A e s + B e s 2 s e sτ + s ] 2 e s 2τ u( τ) dτ s s 2 s 2 s L 42

46 524 Grenzwersäze Es sei x, ẋ X γ Dann gil: Falls lim x() = A, dann gil auch lim s s X(s) = A 2 Falls lim x() = B, dann gil auch lim s X(s) = B + s Beispiel (aus 523) lim x() = 3 x() = 3 lim s X(s) = lim s s s+3 = 3 2 lim + x() = lim s X(s) = lim s s s+3 = ( e 3 ) (), X(s) = 525 Die inverse Laplace-Transformaion Es gil (s 522) für X X γ : Probleme Wann gil X X γ? x() = 2πj Teilanwor: Es gil X X γ, falls (a) X(s) is raional in s, dh δ+j δ j s(s + 3) X(s) e s ds () X(s) = Z a ν s ν ν N b ν s ν ν Z: Grad des Zählerpolynoms N: Grad des Nennerpolynoms (b) für s gil X(s), dh Z < N 2 Wie kann das Umkehrinegral () auf einfache Weise berechne werden? Teilanwor: Is X(s) raional in s und gil Z < N, so gil die Residuenformel x() = L {X(s)} = s=s i Res [X(s) e s ] ( > ) s i : Singuläre Sellen von X(s) 43

47 Berechnung der Residuen s i sei Pol Ordnung: [ Res X(s) e s ] [ = lim X(s) e s (s s i ) ] s=s i s=si s i sei Pol m-er Ordnung: Res s=s i [ X(s) e s ] = (m )! lim s=s i Beispiel: X(s) = 3s2 + 6s + 6 s 3 + 4s 2 3s 8 = 3s2 + 6s + 6 (s 2)(s + 3) 2 s = 2: einfacher Pol, (m = ) s 2 = 3: doppeler Pol, (m 2 = 2) [ Res X(s) e s ] [ 3s 2 + 6s + 6 = lim s=2 s 2 [ Res X(s) e s ] = s=2 (2 )! lim s 3 d (m ) ds (m ) [ X(s) e s (s s i ) m] ] (s 2)(s + 3) 2 es (s 2) = 2 e 2 [ d 3s 2 + 6s + 6 ds (s 2)(s + 3) 2 es (s + 3) 2 ] [] = (3 + ) e 3 Ergebnis: x() = 2 e 2 + (3 + ) e 3 ( > ) 2 Beispiel: X(s) = 2s s+3 hier Z = N! Wir bilden: X(s) = Rückransformaion mi Tabelle: 2s X( ) + X( ) = 2s s + 3 s = x() = 6e 3 () + 2δ() 53 Sysembeschreibung im Zeibereich 53 Zusandsgleichungen 6 s x () x 2 () x() x l () z (),, z n () }{{} z() y () y 2 () y() y m () Allgemein: ż () = f [z (),, z n (), x (),, x l ()] ż n () = f n [z (),, z n (), x (),, x l ()] Überführungsgleichungen y () = g [z (),, z n (), x (),, x l ()] y m () = g m [z (),, z n (), x (),, x l ()] 44 Ergebnisgleichungen

48 Für lineare Syseme gil: ż () = a z () + + a n z n () + b x () + + b l x l () ż n () = a n z () + + a nn z n () + b n x () + + b nl x l () y () = c z () + + c n z n () + d x () + + d l x l () y m () = c m z () + + c mn z m () + d m x () + + d ml x l () In Marizen-Form: ż () a a n z () b b l x () = + } ż n () {{} } a n {{ a nn } z n () }{{} } b n {{ b nl } x l () }{{} ż() A z() B x() Kurzform: ẏ () c c n z () d d l x () = + } ẏ m () {{} } c m {{ c mn } z n () }{{} } d m {{ d ml } x l () }{{} y() C z() D x() ż() = A z() + B x() ẏ() = C z() + D x() Zusandsgleichungen des linearen, zeikoninuierlichen, dynamischen Sysems Beispiel aus 43 i C () i L () u () x() Eingabe } u L () y () u C () Ausgabe u C () y 2 () u () u R () u L () } Φ() z () i R () Zusände Q() z 2 () Außerdem gil: (da lineares Sysem) i R () = ϕ R (u R ()) = R u() i L () = ϕ L (Φ()) = L Φ() u C () = ϕ C (Q()) = C Q() 45

49 Dami gil für die Zusandgleichungen aus 43: Φ() = u() ϕ C (Q()) = Q() +u() C Q() = ϕ L (Φ()) + ϕ R (u() ϕ C (Q())) = L Φ() RC Q() + R u() u L () = u() ϕ C (Q()) = Q() +u() C u C () = ϕ C (Q()) } {{ } allgemein = + C Q() }{{} linearer Fall Marizenform: Bemerkung: Bei linearen Bauelemenen gil ( ) ( ) ( ) ( ) Φ() C Φ() = Q() L + u() RC Q() R }{{}}{{} A B ( ) ( ) ( ) ( ) ul () C Φ() = u C () + u() C Q() }{{}}{{} C D Φ() = L i L () Q() = C u C () in der Regel i L () bzw u C () als Zusandssignale verwende 532 Differenialgleichung und Realisierung Sonderfall: Eingang, Ausgang (l = m = ) x() z() Es gil: Ein lineares, zeikoninuierliches, dynamisches Sysem mi l = m = (n beliebig) kann durch eine Differenialgleichung folgenden Typs beschrieben werden: y (n) () + b y (n ) () + b 2 y (n 2) () + + b n ẏ() + b n y() = (a i, b i R, b = ) y() a x (n) () + a x (n ) () + a 2 x (n 2) () + + a n ẋ() + a n x() Ansaz: Blockschalbild Differenialgleichungen, Zusandsgleichungen x() a n a n- a a ż n() + z n() + b n b n- + ż () b z + () y() 46

50 Beschreibung des Blockschalbildes ż () = z 2 () + a x() b y() () ż 2 () = z 3 () + a 2 x() b 2 y() (2) ż n () = z n () + a n x() b n y() (n ) ż n () = a n x() b n y() (n) y() = z () + a x() (n + ) Übergang zur Differenialgleichung: Ziel: Eliminaion der z,, z n ˆ Gleichung (n + ) differenzieren: ẏ() = ż () + a ẋ() ˆ Gleichung () einsezen: ẏ() = z 2 () + a x() b y() + a ẋ() (n + 2) ˆ Gleichung (n + 2) differenzieren: ÿ() = ż 2 () + a ẋ() b ẏ() + a ẍ() ˆ Gleichung (2) einsezen ˆ Nach n Schrien sind alle Zusandssignale eliminier DGL ferig Übergang zu den Zusandsgleichungen: Einsezen von (n + ) in Gleichungen () bis (n): ż () ż 2 () ż n () ż n () b b 2 = b n } b n {{ } A y() = ( ) }{{} C z () z 2 () z n () z n () z () z 2 () z n () z n () a b a a 2 b 2 a + x() a n b n a a n b n a } {{ } B + (a ) x() }{{} D 47