Explizites und implizites Euler-Verfahren

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1 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Explizies und implizies Euler-Verfahren am Beispiel eines Räuber-Beue-Modells Vorlesung Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16

2 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Modellproblem: Räuber-Beue-Modell Inerakion von Raubfischen und Beuefischen in einem See u Menge der Räuber, v Menge der Beuefische

3 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Modellproblem: Räuber-Beue-Modell Inerakion von Raubfischen und Beuefischen in einem See u Menge der Räuber, v Menge der Beuefische v = c 1 v Inerpreaion der Terme: c 1 v Vermehrung der Beue

4 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Modellproblem: Räuber-Beue-Modell Inerakion von Raubfischen und Beuefischen in einem See u Menge der Räuber, v Menge der Beuefische v = c 1 v c 2 v 2 Inerpreaion der Terme: c 1 v c 2 v 2 Vermehrung der Beue Soziale Reibung uner den Beuefischen

5 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Modellproblem: Räuber-Beue-Modell Inerakion von Raubfischen und Beuefischen in einem See u Menge der Räuber, v Menge der Beuefische u = c 3 u 2 v = c 1 v c 2 v 2 Inerpreaion der Terme: c 1 v c 2 v 2 c 3 u 2 Vermehrung der Beue Soziale Reibung uner den Beuefischen Soziale Reibung uner den Räubern

6 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Modellproblem: Räuber-Beue-Modell Inerakion von Raubfischen und Beuefischen in einem See u Menge der Räuber, v Menge der Beuefische u = c 3 u 2 + c 4 uv v = c 1 v c 2 v 2 c 4 uv Inerpreaion der Terme: c 1 v Vermehrung der Beue c 2 v 2 Soziale Reibung uner den Beuefischen c 3 u 2 Soziale Reibung uner den Räubern ±c 4 uv Räuber friss Beue und vermehr sich ( ) u Seze y :=, erhale ẏ = f (y). v

7 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Zusammenhang mi der Dahlquis schen Tesgleichung Ausgangsgleichung: ẏ = f (y), f : R d R d Taylor: f (y) = f (y ) + f (y )(y y ) + O( y y 2 ),

8 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Zusammenhang mi der Dahlquis schen Tesgleichung Ausgangsgleichung: ẏ = f (y), f : R d R d Taylor: f (y) = f (y ) + f (y )(y y ) + O( y y 2 ), Seze w := y y und ignoriere Terme höherer Ordnung: ẇ = ẏ = f (y) = f (y ) + f (y )w

9 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Zusammenhang mi der Dahlquis schen Tesgleichung Ausgangsgleichung: ẏ = f (y), f : R d R d Taylor: f (y) = f (y ) + f (y )(y y ) + O( y y 2 ), Seze w := y y und ignoriere Terme höherer Ordnung: ẇ = ẏ = f (y) = f (y ) + f (y )w Nehme an, dass f (y ) R d d diagonalisierbar is. Darsellung von w in der Eigenbasis führ auf skalares Problem q = λq + c ( Dahlquis + c )

10 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 1 Anfangswere: y = ( ) 8 2 c 1 = 4, c 2 =.2, c 3 =.2, c 4 =.5 N Zeischrie, N {2, 1, 8, 5}

11 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 1 Räuber Explizier Euler (N = 2) Implizier Euler (N = 2) Beue Drie Zeile: Realeile der Eigenwere von f (y n ) -2

12 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 1 Räuber Explizier Euler (N = 1) 8 4 Implizier Euler (N = 1) 8 4 Beue Explizier Euler explodier, implizier Euler nich -2

13 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 1 Räuber Explizier Euler (N = 8) 8 4 Implizier Euler (N = 8) 8 4 Beue Explizier Euler explodier, implizier Euler nich -2

14 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 1 Räuber Explizier Euler (N = 5) 8 4 Implizier Euler (N = 5) 8 4 Beue Explizier Euler explodier, implizier Euler nich -2

15 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 2 Anfangswere: y = Gleiche Parameer ( ) 1 2

16 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 2 4 Explizier Euler (N = 2) 4 Implizier Euler (N = 2) Räuber 2 2 Beue Drie Zeile: Realeile der Eigenwere von f (y n ) -1

17 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 2 4 Explizier Euler (N = 1) 4 Implizier Euler (N = 1) Räuber 2 2 Beue Drie Zeile: Realeile der Eigenwere von f (y n ) -1

18 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 2 4 Explizier Euler (N = 8) 4 Implizier Euler (N = 8) Räuber 2 2 Beue Explizier Euler explodier, implizier Euler nich -1

19 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Beispiel 2 4 Explizier Euler (N = 5) 4 Implizier Euler (N = 5) Räuber 2 2 Beue Explizier Euler explodier, implizier Euler nich -2

20 Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Explizies und implizies Euler-Verfahren am Beispiel eines Räuber-Beue-Modells Vorlesung Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16