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1 lekion January 9, 8 Table of Conens Daen exporieren und imporieren Bilder exporieren / speichern Differenialgleichungen. erses Beispiel. inhomogene lineare DGL. Variaion der Konsanen Formel. Loesung mi einen Reihenansaz. Logisische Gleichung.6 Zweie Ordnung DGL.6. Anfangswere. Marixexponenialfunkion.8 Gekoppeles Pendel Kleinwinkelnaeherung.9 Pendelgleichung. Versuch Lekion In []: from IPyhon.display impor display impor numpy as np impor maplolib.pyplo as pl from sympy impor * ini_prining %maplolib inline x,y,z = symbols'x y z'. Daen exporieren und imporieren In []: H H = Marix,,[Raional,j+i+ for i in range for j in range] Ou[]:

2 In []: srh Ou[]: 'Marix[[, /, /, /, /], [/, /, /, /, /6], [/, /, /, /6, /], In []: sreprh # erzeug ausfuehrbaren Pyhon code Ou[]: 'MuableDenseMarix[[Ineger, Raional,, Raional,, Raional,, Raion In []: previewh,oupu='dvi' In [6]: wih open'oupu.x','w' as f: f.wriesreprh + '\n' # w: wrie In []: %less oupu.x In [8]: x,y = symbols'x y' f = logx*sqrx**/+y** df = f.diffx,y.simplify df f = Funcion'f' lhs = fx,y.diffx,y eq = Eqlhs, df eq Ou[8]: f x, y = x y y x x + y x log x + x + y In [9]: wih open'diff.ex','w' as f: f.wrielaexeq + '\n' In []: %less diff.ex In []: z = symbols'z:' V = Marix,,[z[j]**i for j in range for i in range] V Ou[]: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z In []: wih open'oupu.x','a' as f: f.wriesrepr*h + '\n' f.wriesreprv # 'a' append / anhaengen

3 In []: wih open'oupu.x' as f: # read defaul HH = Sf.readline H = Sf.readline VV = Sf.readline In []: HH, H, VV Ou[]: , 9, z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z In []: %less oupu.x In [6]: # '%' IPyhon Magie shell Befehl 'less' # Aendere oupu.x in Edior In []: wih open'oupu.x' as f: # read defaul for zeile in f: prinzeile else: prin'ende erreich' MuableDenseMarix[[Ineger, Raional,, Raional,, Raional,, Raional, ] MuableDenseMarix[[Ineger, Ineger, Raional,, Raional,, Raional, ], [I MuableDenseMarix[[Ineger, Symbol'z', PowSymbol'z', Ineger, PowSymbol'z', Ende erreich In [8]: %less oupu.x. Bilder exporieren / speichern In [9]: p = plo_implicix**+y**-

4 In []: p.save'kreis.png' In []: fig = pl.figure pl.plo[,],[,],'r';

5 In []: fig.savefig'roelinie.png',forma = 'png' fig.savefig'roelinie.pdf',forma = 'pdf' fig.savefig'roelinie.eps',forma = 'eps' fig.savefig'roelinie.svg',forma = 'svg'. Differenialgleichungen.. erses Beispiel ẏ = y In []: y = Funcion'y',au = symbols' au', real = True dgl = Eqy.diff-y, sol = dsolvedgl,y sol Ou[]: y = C e In []: C = sol.aomssymbol.differencedgl.aomssymbol.pop C Ou[]: C

6 In []: C = solvesol,c.pop.subs, C Ou[]: In [6]: checkodesoldgl,sol Ou[6]: True, y.. inhomogene lineare DGL u = u + sin In []: u = Funcion'u' = symbols'', real = True dgl = Equ.diff-u-sin sol = dsolvedgl,u sol Ou[]: u = C e sin e cos e In [8]: C = sol.aomssymbol.differencedgl.aomssymbol.pop C = solvesol,c.pop.subs, C Ou[8]: u + In [9]: w = sol.subssol.aomssymbol.differencedgl.aomssymbol.pop,c.rhs w Ou[9]: u + e sin e cos e.. Variaion der Konsanen Formel In []: v = u*exp + inegraeexp-au*sinau,au,, v Ou[]: ue + e sin cos 6

7 In []: simplifyv-w Ou[]:.. Loesung mi einen Reihenansaz mi einem Reihenansaz ẏ = y, y = In []: y,, C = symbols'y C' a = symbols'a:8' y = Funcion'y' In []: dgl = Eqy.diff,y dgl Ou[]: d y = y d In []: ys = sum[a[i]***i for i in range8] ys = ys.subsa[], # y = ys Ou[]: In []: gl = dgl.subsy,ys.doi gl Ou[]: a + a + a + a + a + a a + a + a + a + a + a + 6a 6 + a 6 = a + a + a + a + a + a a + In [6]: gl.coeff Ou[6]: In []: gl = gl.lhs - gl.rhs.expand gl Ou[]: a + a a + a a + a a + a a + a a a 6 a + a 6

8 In [8]: gls = gl.as_poly.all_coeffs gls[:] Ou[8]: [ a 6 + a, a + 6a 6, a + a, a + a, a + a, a + a, a ] In [9]: ac = solvegls[:] ac Ou[9]: { a :, a :, a : 6, a : In []: ac[a[]] = acc = [ac[j]for j in a] acc, a :, a 6 :, a : } Ou[]: [,, ], 6,,,, In []: [ acc[j]/acc[j+] for j in range] Ou[]: [,,,,, 6, ] In []: [ acc[j] - /facorialj for j in range8] Ou[]: [,,,,,,, ] In []: n = symbols'n' yr = Sum**n/facorialn,n,,oo yr Ou[]: In []: yr.doi Ou[]: n n= n! e 8

9 .. Logisische Gleichung ẏ = yy In []: y = Funcion'y' = symbols'', real = True dgl = Eqy.diff--y*y sol = dsolvedgl,y sol Ou[]: y = C e In [6]: K = sol.aomssymbol.differencedgl.aomssymbol.pop K Ou[6]: In []: C = solvesol,k C C Ou[]: ] [e e y In [8]: C = solvesol,k.pop.subs, C Ou[8]: y In [9]: sol.subssol.aomssymbol.differencedgl.aomssymbol.pop,c Ou[9]: y = e y 9

10 ..6 Zweie Ordnung DGL ÿ = ẏ + y cos In []: dgl = Eqy.diff, + *y.diff -y+*cos, dgl Ou[]: In []: sol = dsolvedgl,y sol Ou[]: y + cos + d d y + d d y = y = C e + + C e sin + cos Anfangswere y =, ẏ = In []: [Eqsol.rhs.subs,,, Eqsol.rhs.diff.subs,,] Ou[]: [C + C + =, C + + C ] = In []: Consans = solve[eqsol.rhs.subs,,, Eqsol.rhs.diff.subs,,] Consans # Loesung per Hand Ou[]: { C : +, C : } In []: # kuerzer Consans = solve[sol.rhs.subs,-, sol.rhs.diff.subs,] Consans Ou[]: { C : +, C : } In []: sol = sol.subsconsans sol

11 Ou[]: y = + e + + In [6]: n = np.linspace,, yn = lambdify,sol.rhs fig = pl.figure pl.plon,ynn Ou[6]: [<maplolib.lines.lined a xf8cdbd68>] e sin + cos.. Marixexponenialfunkion In []: = symbols'',real=true In [8]: A = Marix,,[,,,,,,,,] A Ou[8]: In [9]: *A.exp

12 Ou[9]: e e e e e e In [6]: u = Marix,,[,,] u Ou[6]: In [6]: u = *A.exp*u u Ou[6]: e + e + e e + e e In [6]: diffu, - A*u Ou[6]:..8 Gekoppeles Pendel Kleinwinkelnaeherung ergib aequivalen zum Sysem erser Ordnung ÿ = w y + cos ẅ = y w x = y, x = ẏ, x = w, x = ẇ In [6]: y = Funcion'y' w = Funcion'w', au = symbols' au',real=true ẋ = x ẋ = x x + cos ẋ = x ẋ = x x 6

13 In [6]: dgl = Eq y.diff,, w-y+cos, \ Eq w.diff,, y-w dgl Ou[6]: d d y = w y + cos, d w = w + y d In [6]: #dsolvedgl,y,w In [66]: A = Marix,,[,,,, -,,,,,,,,,,-,] A Ou[66]: In [6]: T = *A.exp T Ou[6]: e i + + e i i 8 e i + i i e i i e i e i + e i i e i + i e i e i + e i 8 e i e i + e i e i + + e i i e i + i e i e i + e i + i 8 e i i 8 e i e i + + e i i 8 e i + i + i 8 e i i 8 e i 8 e i i e i i e i e i + + e i In [68]: Tau = Marix,,[x.rewriesin.expand.subs,-au for x in T] Tau Ou[68]: cos τ + sin τ cos τ + sin τ τ + sin τ cos τ + τ sin τ cos τ + sin τ cos τ + cos τ + sin τ τ sin τ cos τ + τ + sin τ cos τ + In [69]: T = Marix,,[x.rewriesin.expand for x in T] T

14 Ou[69]: cos + sin cos + sin + sin cos + sin cos + sin cos + cos + sin sin cos + + sin cos + In []: u = Marix,,[,,,] fau = Marix,,[,,cos*au,] f = Marix,,[,,cos*,] u,fau, f Ou[]:, cos τ, cos In []: u = T*u + inegraetau*fau,au,, In []: u = u.doi u Ou[]: sin + sin + cos + cos sin sin + cos + cos In []: simplifyu.diff - A*u - f Ou[]: In []: A = Marix,,[,,,] A Ou[]: [ ]

15 In []: A.exp Ou[]: [ e e + e ] e..9 Pendelgleichung. Versuch ÿ = w y + cos ẅ = y w 8 Die Loesung von is gegeben durch ẍ = Bx + g x = C cos B + C B sin B + B sin τ Bgτdτ In [6]: B = Marix,,[,-,-,] T, D = B.diagonalize B,D,T, simplifyb- T*D*T.inv Ou[6]: [ ], [ ] +, + [ ] + +, [ ] In []: CosB = simplifyt*diagcos*sqrd[,],cos*sqrd[,]*t.inv SinBau = simplifyt*diagsin-au*sqrd[,]/sqrd[,],\ sin-au*sqrd[,]/sqrd[,]*t.inv v = Marix,,[,] gau = Marix,,[cos*au,] g = Marix,,[cos*,] displaysinbau, CosB, v, gau, g + + sin + τ + sin + τ + + sin + τ + sin + τ + + cos cos cos + cos + + cos + + cos + + [ ] cos +

16 [ ] cos τ [ ] cos In [8]: v = CosB*v + inegraesinbau*gau,au,, v = v.doi v Ou[8]: + cos cos + + cos + cos + + cos cos + + cos + cos + In [9]: v.simplify Ou[9]: cos + cos + + cos + cos + + cos + cos + cos + + cos + In [8]: simplifyv.diff, + B*v - g, v.subs,-v Ou[8]: [ ], [ ] 6

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