Lösung 2 : Logarithmen, Wurzeln & Komplexe Funktionen

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1 D-ITET FS 09 Meike Akveld Komplexe Analysis Lösung : Logarithmen, Wureln & Komplexe Funktionen Aufgabe..a) Berechnen Sie die folgenden Terme in der algebraischen Form. i) e i, ii) e i, iii) Log + i), i) Das Resultat ist e i, will man es in Polarform angeben. In der algebraischen Form erhält man cos + i sin. Dies entspricht näherungsweise i. ii) In Polarform ist das Resultat gegeben durch e e i. In der algebraischen Form erhält man e cos ei sin. Dies entspricht näherungsweise.3.47i. iii) Zuerst bemerken wir, dass + i umgerechnet in Polarform e πi 4 ergibt. Wenden wir den Hauptweig des Logarithmus an, so erhalten wir Log + i) = log + πi 4.b) Berechnen Sie die folgenden Terme approximativ: i) cos0i), ii) sin5 + 5i), iii) sin i). i) Man kann hier die Formel anwenden. Somit erhalten wir ii) Wir wenden die Formel an. Damit erhalten wir iii) Wir berechnen cos0i) = e 0 + e 0 cos = ei + e i i. = + e0 e sin = ei e i i sin5 + 5i) = e 5 e 5i e 5 e 5i i sin i) = e ei e e i i Aufgabe..a) Berechnen Sie die folgenden Grenwerte: i i.

2 i) lim n cosin), ii) lim n + ) n i n, iii) lim n n + πi) n /n n, iv) lim n Arg + ) n i n ), wobei in der letten Teilaufgabe der Hauptwert des Arguments gemeint ist. i) Ist n N, so gilt Ist n N, so gilt ebenfalls cosin) = e n + e n = + en e n. Daraus folgt, dass ii) Wir berechnen iii) Es gilt, dass Daher folgt, dass cosin) = e n + e n lim cosin) =. n = + e n e n. lim + n )n i n =. exp) = lim + n. n n) lim n + n πi)n /n n = lim + πi ) n = e πi =. n n iv) Der Hauptwert des Argumentes ist stetig auf { = re iφ r > 0, φ π, π)} und somit gilt lim Arg + ) n ) i n n = Arg) = 0..b) Berechnen Sie den Wert der Reihe n + πi)n. Wir teilen die Summe in ihre Einelteile und berechnen wobei wir die geometrische Reihe und die Exponentialreihe benutt haben. n + πi)n = n + q n =, q <, q n Aufgabe 3. In der Vorlesung hatten wir gesehen, dass exp + ) = exp ) exp ) πi) n = + e πi =, gilt, für alle, C. Benuten Sie diese Identität, um die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus u beweisen. Zeigen Sie also, dass sinx ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, cosx ± y) = cos x cos y sin x sin y,

3 für x, y R. Es gilt, dass für x R. Damit berechnen wir und sin x = Im e ix, cos x = Re e ix, sinx ± y) = Im e ix±y) = Im e ix e ±iy = Im e ix Re e ±iy + Re e ix Im e ±iy = sin x cos y ± cos x sin y, cosx ± y) = Re e ix±y) = Re e ix e ±iy = Re e ix Re e ±iy Im e ix Im e ±iy = cos x cos y sin x sin y. Aufgabe 4. 4.a) Berechnen Sie die Limites Grenwerte) der folgenden Funktionen an 0 = 0, sofern diese existieren: i) +, ii) cos), iii) sin). i) Der Limes Grenwert) von f) := + an 0 = 0 existiert nicht. Nimmt man per Widerspruch an, es gebe einen Grenwert, so müsste sich dieser finden lassen, indem man = x + iy aus irgendeiner Richtung gegen 0 = 0 gehen lässt. Betrachten wir aber x + x lim fx) = lim = x 0 x 0 x und iy y lim fiy) = lim =, y 0 y 0 iy so sehen wir, dass sowohl als auch der Grenwert von f sein müsste. Dies ist ein Widerspruch dau, dass der Grenwert eindeutig bestimmt ist. ii) Der Limes von f) := cos) an 0 = 0 existiert und ist. Man sieht dies indem man die Potenreihe des Kosinus betrachtet. Wir haben nämlich f) = ) ) n n = n)! ) n n ) n n = n)! n)! n= n= ) n+ n = n + )! und somit iii) Der Limes von lim f) = 0. f) := sin) an 0 = 0 existiert nicht. Nimmt man per Widerspruch an, es gebe einen Grenwert, so müsste sich dieser finden lassen, indem man = x + iy aus irgendeiner Richtung gegen 0 = 0 gehen lässt. Betrachten wir aber lim fx) = lim x 0 x 0 x ) n x n+ n + )! 3 = lim x 0 ) n x n n + )! =

4 und lim fiy) = lim y 0 y 0 iy ) n iy) n+ n + )! = lim y 0 ) n+ iy) n n + )! = so sehen wir, dass sowohl als auch der Grenwert von f sein müssten. Dies ist ein Widerspruch dau, dass der Grenwert eindeutig bestimmt ist. Aufgabe 5. Finden Sie wei komplexe Zahlen, C, so dass Log ) Log ) + Log ). Schreiben wir die komplexen Zahlen in Polarform, so erhalten wir und damit Log ) = Log = r e iφ, = r e iφ. r r e iφ+φ)) = log r r + iarg ) = log r + log r + iarg ). Also versuchen wir, C u finden mit der Eigenschaft, dass Arg ) Arg ) + Arg ) gilt. Betrachte r, r > 0, φ 0, π] und φ π φ, π] beliebig. Dann gilt und deswegen Arg ) = φ + φ π φ + φ = Arg ) + Arg ) Log ) Log ) + Log ). Es lassen sich in obiges Resultat auch leicht Zahlen einseten. Betrachten wir um Beispiel r = r = und φ = φ = π, so erhalten wir = = e iπ =. Ausserdem gilt Log ) = Log) = 0 iπ + iπ = Log ) + Log ) = Log ) + Log ). Bemerkung: Es ist auch möglich φ π, 0) und φ π, π φ ) beliebig u wählen und somit auf der unteren Seite des Intervals π, π] herausufallen. Aufgabe 6. Sei n Z. Beweisen Sie de Moivres Formel Benuten wir Eulers Formel cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ. e iφ = cos φ + i sin φ, so folgt diese Aussage schnell. Wir haben damit nämlich cos φ + i sin φ) n = e iφ) n = e inφ = cos nφ + i sin nφ. Aufgabe 7. 7.a) Schreiben Sie die Funktion f) := 3 ++ in der Form f) = ux, y)+ivx, y). Wir benuten = x + iy und rechnen f) = x + iy) 3 + x + iy) + = x 3 + 3ix y 3xy iy 3 + x + iy + Also gilt f) = ux, y) + ivx, y) mit = x 3 3xy + x + ) + i3x y y 3 + y). ux, y) := x 3 3xy + x +, vx, y) := 3x y y 3 + y. 7.b) Benuten Sie Ihre Lieblingsprogrammiersprache, um Re f), Im f) und f) auf dem Gebiet { = x + iy}x [, ], y [, ] u plotten. Wir benuten den Python3 Code in Abbildung für unsere Plots. Damit erhalten wir die Bilder in den Abbildungen, 3 und 4. 4

5 import numpy as np from mpl_toolkits import mplot3d import matplotlib. pyplot as plt def main ): # generate a grid to plot on [X,Y] = np. meshgrid np. linspace -.0,.0), np. linspace -.0,.0)) # compute real part, imaginary part and absolute value of f Re_f = X **3-3* np. multiply X, Y **) + X + Im_f = 3* np. multiply X**, Y) - Y **3 + Y Z = X + j*y Abs_f = np. abs Z **3 + Z + ) # plot and store the real part fig = plt. figure figsie =,9)) ax = plt. axes projection = 3d ) surf = ax. plot_surface X, Y, Re_f, cmap= viridis ) plt. savefig real. png, bbox_inches = tight ) # plot and store the imaginary part fig = plt. figure figsie =,9)) ax = plt. axes projection = 3d ) surf = ax. plot_surface X, Y, Im_f, cmap= viridis ) plt. savefig imag. png, bbox_inches = tight ) # plot and store the absolute value fig = plt. figure figsie =,9)) ax = plt. axes projection = 3d ) surf = ax. plot_surface X, Y, Abs_f, cmap= viridis ) plt. savefig abs. png, bbox_inches = tight ) if name == main : main ) Abbildung : Python3 Code ur Lösung der Aufgabe 7.b). Abbildung : Realteil der Funktion f. 5

6 Abbildung 3: Imaginärteil der Funktion f. Abbildung 4: Absolutbetrag der Funktion f. 6