Komplexe Analysis D-ITET. Serie 4

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1 Prof. Dr. P. S. Jossen M. Wellershoff Frühlingssemester 08 Komplexe Analysis D-ITET Serie 4 ETH Zürich D-MATH Aufgabe 4. Benutzen Sie Ihre Lieblingsprogrammiersprache, um die folgenden Vektorfelder zu zeich- ( ) ( ) xy x f(x, y) :=, g(x, y) := + y xy x y. (4.a) nen. Die Divergenz von Vektorfeldern Lösung: Wir benutzen folgendes Python Programm für unsere Plots. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def main(): # generate a grid to plot on [X,Y] = np.meshgrid(np.linspace(-.0,.0, 37), np.linspace(-.0,.0, 37)) # compute the vectorfields on the grid fx = np.multiply(x, Y) fy = np.multiply(x, Y) gx = X** + Y** gy = X** - Y** # plot the vectorfields and save the plots fig, ax = plt.subplots() ax.quiver(x, Y, fx, fy) plt.savefig( f.eps, bbox_inches= tight ) fig, ax = plt.subplots() ax.quiver(x, Y, gx, gy) plt.savefig( g.eps, bbox_inches= tight ) if name == main : main() Damit erhalten wir die Bilder in Abbildung 4.. (4.b) Berechnen Sie die Divergenz der Vektorfelder f und g und zeichnen Sie diese in derselben Programmiersprache, die Sie in (4.a) verwendet haben. Lösung: Die Divergenzen der Vektorfelder sind div f(x, y) = y + x, div g(x, y) = x y. Wir benutzen folgendes Python Programm für unsere Plots. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import cm def main(): # generate a grid to plot on [X,Y] = np.meshgrid(np.linspace(-.0,.0), np.linspace(-.0,.0)) Serie 4 Seite Aufgabe 4.

2 (a) f (b) g Abbildung 4.: Die Vektorfelder f und g (a) div f (b) div g Abbildung 4.: Die Divergenz von f und g. # compute the divergence of the vector fields on the grid divf = X + Y divg = *X - *Y # plot the vectorfields and save the plots fig = plt.contourf(x, Y, divf, 37, cmap=cm.coolwarm) plt.colorbar(fig) plt.savefig( divf.eps, bbox_inches= tight ) plt.clf() fig = plt.contourf(x, Y, divg, 37, cmap=cm.coolwarm) plt.colorbar(fig) plt.savefig( divg.eps, bbox_inches= tight ) if name == main : main() Damit erhalten wir die Bilder in Abbildung 4.. Serie 4 Seite Aufgabe 4.

3 Aufgabe 4. Berechnen Sie das Wegintegral Ein kompliziertes Pfadintegral wobei in Abbildung 4.3 gegeben ist. ( z cos dz, ) Lösung: Wir bemerken, dass cos(z/) die Stammfunktion ( z sin ) auf ganz C besitzt. Laut dem Satz der Stammfunktion gilt also, dass ( z cos dz = 0, ) da geschlossen ist. Aufgabe 4.3 (4.3a) Verschiedene Stammfunktionen Hat z n, n Z, auf C \ 0} eine Stammfunktion? Wenn ja, welche? Lösung: Ist n, so kann man sich leicht davon überzeugen, dass n+ zn+ eine Stammfunktion von f ist. Desweiteren berechnen wir dz = πi z 0 dt = πi, wobei die Parametrisierung des Einheitskreises im Gegenuhrzeigersinn ist. Laut dem Satz der Stammfunktion hat z also keine Stammfunktion auf C \ 0}. ir.4 + i Abbildung 4.3: Der Weg. R Serie 4 Seite 3 Aufgabe 4.

4 (4.3b) Hat z n, n Z, auf C \ (, 0] eine Stammfunktion? Wenn ja, welche? Lösung: Ist n, so hatten wir bereits in (4.3a) gesehen, dass eine Stammfunktion existiert. Auch für z finden wir auf C \ (, 0] eine Stammfunktion. Diese ist durch den Hauptwert des Logarithmus gegeben. (4.3c) Zeigen Sie, dass es keine stetig differenzierbare Funktion l : C \ 0} C gibt mit exp(l(z)) = z. Lösung: Nehmen wir per Widerspruch an es gäbe so eine Funktion l. Dann folgt sofort aus der Kettenregel, dass = exp(l(z))l (z) = zl (z), z C \ 0}. Damit ist l also eine Stammfunktion von z auf C \ 0}. In Aufgabe (4.3a) hatten wir jedoch gezeigt, dass keine solche Funktion existiert. Dies ist ein Widerspruch. Aufgabe 4.4 Harmonische Funktionen Sei U einfach zusammenhängend und u : U C harmonisch, i.e. u = x u + u = 0. Zeigen Sie: Es gibt f : U C holomorph mit Re(f(x + iy)) = u(x, y). (4.4a) Nehmen Sie an es gäbe f. Zeigen Sie, dass dann gilt x u(x, y) i u(x, y) und dass die Ableitung von f somit eindeutig durch u bestimmt ist. Lösung: Entweder hatten wir in der Vorlesung gesehen, dass für komplex differenzierbare Funktionen f = u + iv die Regel u(x, y) + i v(x, y) x x gilt, oder wir rechnen dies nach mit der Definition der Ableitung und f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z z0 u(x, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y) v(x 0, y 0 )) x x 0 + i(y y 0 ) u(x, y 0 ) u(x, y 0 ) + i(v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 )) = lim x x0 x x 0 = u(x, y) + i v(x, y), x x da die Ableitung an z 0 existiert und wir den Grenzwert also aus jeglicher Richtung berechnen können. Da f nun eben holomorph ist, so gilt dank der Cauchy Riemann Gleichungen auch x u(x, y) i u(x, y). Serie 4 Seite 4 Aufgabe 4.4

5 (4.4b) Wir benutzen nun also den Ansatz g(z) := x u(x, y) i u(x, y) für die Ableitung von f. Zeigen Sie, dass g holomorph ist. Lösung: Wir überprüfen die Cauchy Riemann Gleichungen. Schreiben wir g = ũ+iṽ so erhalten wir y) = u(x, y) = xũ(x, x u(x, y) = ṽ(x, y), ũ(x, y) = u(x, y) = u(x, y) = y), x x xṽ(x, da die partiellen Ableitungen kommutieren. Somit ist g also holomorph. (4.4c) Folgern Sie, dass eine holomorphe Funktion f : U C existiert mit Re f = u. Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Cauchy. Lösung: Wir hatten g als Ansatz für die Ableitung von f benutzt. Deswegen fixieren wir nun z 0 U und definieren f(z) := u(x 0, y 0 ) + g(τ) dτ, wobei : [0, ] U ein differenzierbarer Weg von z 0 nach z ist. Es bleibt zu zeigen, dass f tatsächlich eine holomorphe Funktion ist mit Re f = u. Zuerst einmal folgt aus dem Satz von Cauchy, dass f nicht von der Wahl des Weges abhängt, da g holomorph und U einfach zusammenhängend ist. Wir sagen f ist wohldefiniert. Ausserdem ist f eine Stammfunktion von g. Also ist f holomorph und ausserdem gilt Hat f Realteil ũ und Imaginärteil ṽ, so gilt f (z) = g(z) = x u(x, y) i u(x, y). y) + i y), xũ(x, xṽ(x, da f holomorph ist. Vergleichen wir dies mit g, so folgt dass ũ = u + c, für ein c R. Da aber ũ(x 0, y 0 ) = u(x 0, y 0 ) per Konstruktion gilt, folgt dass Re f = ũ = u. (4.4d) Ist das in Aufgabe (4.4c) konstruierte f eindeutig? Lösung: Nein, ist es nicht. Ist f nämlich holomorph mit Re f = u, so ist f + ic, für c R, auch eine holomorphe Funktion mit Reilteil u. Man kann auch leicht zeigen, dass die Funktionenschar f +ic, c R, alle Lösungen unseres Problems beschreibt. Sind nämlich f und f zwei Funktionen mit Re f = Re f = u, so ist f f eine rein komplexe holomorphe Funktion und muss darum konstant sein. Aufgabe 4.5 Homotopie (4.5a) Parametrisieren Sie die Kurve y = x (x + ) in C vom Anfangspunkt + i bis zum Endpunkt i. Serie 4 Seite 5 Aufgabe 4.5

6 ir ir R δ R (a) Die Kurve y = x (x + ). (b) Zwei homotope Wege. Abbildung 4.4: Illustration der Fragestellung in Aufgabe 4.5. Lösung: Wir setzen die Wegstücke 0 (t) := ( t) + i( t) t und (t) := (t ) + i( t) t zusammen und erhalten (t) := ( 0 )(t) gegeben durch ( 4t) + i( 4t) 4t für t [0, (t) = (4t 3) + i(3 4t) 4t für t (, ]. (4.5b) Zeigen Sie, dass die parametrisierte Kurve aus Aufgabe (4.5a) homotop ist zur Kurve δ(t) := + i ( t), t [0, ]. Lösung: Betrachten wir die Funktion H : [0, ] C definiert durch [( 4t)( s) + s] + i[( 4t) 4t( s) + s ( t)] für t [0, H(s, t) := [(4t 3)( s) + s] + i[(3 4t) 4t ( s) + s ( t)] für t (, so lässt sich zeigen, dass H eine Homotopie ist. Wir berechnen ( 4t) + i( 4t) 4t für t [0, H(0, t) = (4t 3) + i(3 4t) = (t), 4t für t (, ]. + i ( t) für t [0, H(, t) = + i = δ(t), ( t) für t (, ]. und H(s, 0) = + i, H(s, ) = i. Es bleibt zu zeigen, dass H stetig ist. Dies ist allerdings klar, da H nur aus stetigen Funktionen besteht. Serie 4 Seite 6 Aufgabe 4.5

7 (4.5c) Seien 0 und δ 0 δ je zwei homotope Wege in U C offen. Sei ausserdem 0 () = () = δ 0 (0) = δ (0). Zeigen Sie, dass dann 0 δ 0 δ. Also, dass die Wege 0 δ 0 und δ homotop sind. Lösung: Da 0 und δ 0 δ gilt, gibt es eine Homotopie H : [0, ] U zwischen 0 und und eine Homotopie H δ : [0, ] U zwischen δ 0 und δ. Wir definieren nun H (s, t) für t [0, H(s, t) := H δ (s, t ) für t (, ]. Dann gilt H(0, t) = 0 δ 0, H(, t) = δ, H(s, 0) = 0 (0) = (0), H(s, ) = δ 0 () = δ (). Erneut bleibt es zu zeigen, dass H stetig ist. Dies ist klar auf den Gebieten [0, ] [0 ) und [0, ] (, ]. Es bleibt das Verhalten von H an (s, t) t = } zu betrachten. Da H (s, ) = 0 () = () = δ 0 (0) = δ (0) = H δ (s, 0) gilt, lässt sich aber zeigen, dass H überall stetig ist. Hinweis: Die verschiedenen Objekte und Wege dieser Aufgabe sind in Abbildung 4.4 illustriert. Publiziert am 4. März. Einzureichen am. März. Serie 4 Seite 7 Aufgabe 4.5